Exercícios Resolvidos sobre Operadores Lineares e Transformações Lineares - Álgebra Linear

Seja v x y z t R4 Quais das aplicações abaixo são operadores lineares do R4 Escolha uma opção a Tx y z t 1 1 1 1 b NDA c Tx y z t x y z t 1 2 3 4 d Tx y z t x y 1 y z 2 x t z t e Tx y z t 0 0 0 0 Chamase núcleo de uma transformação linear T o conjunto dos pontos cuja imagem por T é nula O núcleo da transformação linear T R3 R3 definida por Tx y z x x y z é o subespaço do R3 gerado por Escolha uma opção a 0 0 0 b 0 1 0 c 1 0 1 d 1 1 0 e 1 0 1 1 0 1 Sendo u 2 1 e v 3 1 verifique se é uma transformação linear T R2 R3 T R2 R3 Tx y Tx y x y Escolha uma opção a Nenhuma das respostas acima b Sim são lineares c Só é possível se estiverem no espaço R2 d Não é possível verificar e Não são lineares 1 Notamos que se ū v R4 e λ R estas a Tū λTv 1 1 1 1 λ1 1 1 1 1 λ 1 λ 1 λ 1 λ e Tū λv Tw 1 1 1 1 w R4 Claramente Tū λTv Tū λv não é linear c Tū λTv x1 1 λx2 1 x1 1 λx2 λ Tū λv Tw x1 λx2 1 w x1 λx2 Como Tū λTv Tū λv não é linear d Tū λTv x1 y1 1 λx2 y2 1 x1 y1 λx2 λy2 λ e Tū λv Tx1 λx2 y1 λy2 x1 λx2 y1 λy2 1 Sendo Tū λTv Tū λv não é linear e Análogo ao item a Alternativa c xyz KerT Txyz 000 z x y z 000 ou seja z 0 x y 0 z 0 z 0 e x y 0 x y Assim xyz xx0 x110 ou seja KerT 110 Alternativa D 3 Temos se λ ℝ então Txy λ Tx y xy x y λ x y x y xy x y λ x λ y λ x y x λ x y λ y x y λ x y e Tx λ x y λ y x λ x y λ y x λ x y λ y x λ x y λ y x y λ x y Sendo Txy λ Tx y Tx λ x y λ y segue que T é linear