Ponto de Equilibrio - Modelagem Matematica e Solucoes em Excel

Modelagem Matemática Prof Paulo Sérgio Coelho Seção 02 Ponto de Equilíbrio Soluções analíticas e soluções numéricas Excel Atingir Meta Modelagem Matemática 2 1 Síncrona Ponto de Equilíbrio Conceitos aplicações Encontrando soluções para sistemas Forma analítica Forma numérica Atingir Meta Funções não lineares sem solução analítica 2 Assíncrona Equilíbrio Econômico Dinâmica de Mercado Demanda e Oferta Conteúdo da Seção Modelagem Matemática 3 Uma indústria muito antiga de perfumes vende cada litro de certa fragrância que produz pelo valor de R4300 e sempre consegue vender tudo que produz O custo de produção de cada litro desta fragrância é igual a R1500 e a indústria tem um custo fixo mensal de R5000 Seja 𝑥 a quantidade produzida A receita dessa indústria é a função linear 𝑅 43𝑥 O custo total de operação já considerando o variável de produção e o fixo também pode ser modelado como uma função linear 𝐶 15𝑥 5000 Caso 1 Produção de Perfumes Modelagem Matemática 4 Modelando em Excel Que valores são esses Ponto de Equilíbrio quantidade de produção tal que a receita consegue cobrir os custos totais Modelagem Matemática 5 Solução Analítica Considerando a condição de busca 𝑅 𝐶 então temse que resolver a equação 43𝑥 15𝑥 5000 Que se resolve com 𝑥 5000 43 15 17857 Generalizando seja 𝑅 𝑎1𝑥 𝐶 𝑎2𝑥 𝑏 Então o ponto de equilíbrio é calculado fazendo 𝑥 𝑏 𝑎1 𝑎2 Ponto de Equilíbrio Modelagem Matemática 6 Solução Analítica no Excel Quais vantagens da solução analítica no Excel Modelagem Matemática 7 Uma indústria muito antiga de grampeadores vende cada unidade que produz pelo valor de R3000 e sempre consegue vender tudo que produz O custo de produção de cada grampeador é de R2000 e a indústria tem um custo fixo mensal de R2000 Sendo 𝑥 a quantidade produzida A receita é 𝑅 30𝑥 O custo total é 𝐶 20𝑥 2000 Caso 2 Produção de Grampeadores Modelagem Matemática 8 Caso 2 Modelagem em Excel Modelagem Matemática 9 O Excel possui uma ferramenta que permite encontrar o ponto de equilíbrio de forma numérica Isso quer dizer encontrar uma solução por um método matemático de aproximações sucessivas uma estratégia não analítica É acessável dentro do Menu Dados dentro do grupo Teste de Hipóteses O Atingir Meta funciona da seguinte forma Ele altera o valor de uma célula até que uma determinada condição seja atendida A condição é que uma outra célula atinja um certo valor Solução Numérica Ferramenta Atingir Meta Modelagem Matemática 10 Solução Numérica Ferramenta Atingir Meta Por exemplo considere que se deseja saber qual a quantidade a ser produzida de forma que a Receita seja igual a 6000 Qualquer conteúdo na célula B16 será apagado Deve haver uma fórmula na célula C16 que de alguma forma a ligue à célula B16 Modelagem Matemática 11 Voltando ao Caso 1 Solução Numérica para o ponto de equilíbrio com Atingir Meta O primeiro passo é criar uma célula que seja a nova condição Se 𝑅 𝐶 então 𝑅 𝐶 0 que é a própria expressão do lucro E então A ferramenta obtém o mesmo valor Modelagem Matemática 12 Uma indústria de refrigerantes vende seu produto embalado em latas de 350ml e costuma analisar a produção considerando milhares de unidades produzidas Sendo 𝑥 a quantidade produzida em milhares de unidades a indústria sabe que A receita gerada é igual a 𝑅 2𝑥 1 O custo total observado é 𝐶 𝑥2 10 A solução analítica para o ponto de equilíbrio seria resolver a equação 2𝑥 1 𝑥2 10 2𝑥 𝑥2 11 que não tem método disponível Mas felizmente conseguimos analisar numericamente no Excel Uma situação analítica não trivial Caso 3 Modelagem Matemática 13 Caso 3 Modelagem em Excel Modelando a função de Receita na primeira célula da série Modelagem Matemática 14 Caso 3 Modelagem em Excel Essas funções resultam em valores muito grandes quando 𝑥 10 Solução escolher valores de 𝑥 de 0 a 6 por exemplo Modelagem Matemática 15 Caso 3 Modelagem em Excel Modelando a função de Custo na primeira célula da série Modelagem Matemática 16 Caso 3 Modelagem em Excel É preciso formatar a escala do eixo horizontal para que se possa ver em detalhes o comportamento dos gráficos Modelagem Matemática 17 Caso 3 Modelagem em Excel Já é possível perceber o ponto de equilíbrio em valores aproximados Modelagem Matemática 18 Caso 3 Modelagem em Excel Antes de usar a ferramenta Atingir Meta é preciso modelar a função Lucro