Exercícios Resolvidos de Derivadas - Cálculo A - UDESC

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA Centro de Educação do Planalto Norte Engenharia de Produção Habilitação Mecânica Disciplina Cálculo A Turma 20232 Acadêmicoa Data limite para entrega 26102023 Às 1900 h ATIVIDADE AVALIATIVA COMPLEMENTAR SOBRE DERIVADAS De acordo com o Regimento Geral da Udesc Art 219 e 220 recorrer a meios fraudulentos com propósito de lograr aprovação ou promoção constitui infração sujeita a penalidades disciplinares tais como Advertência Repreensão Suspensão e Expulsão Disponível em httpwww1udescbrarquivosidsubmenu782regimentogeraldaudescpdf Essa ação é uma tentativa de coibir atitudes fraudulentas como cola nas provas e trabalhos O respectivo documento creditase como uma atividade avaliativa complementar à nota da avaliação 02 relacionado ao conteúdo de derivadas O mesmo não é de caráter obrigatório contudo poderá complementar à nota da avaliação em até 02 Dois pontos desde que correto Na correção da atividade serão consideradas somente as questões que apresentarem de forma legível e organizada os cálculos e a resposta da mesma à caneta A interpretação dos problemas é parte constante da avaliação podendo ser desenvolvida à grafite Lista01 Baseado na lista 01 de exercícios disponível no Moodle sobre o tema de derivadas realize a resolução dos exercícios 02 Letras E até H 03 Letras D até F 07 Letras G até J Lista02 Baseado na lista 02 de exercícios disponível no Moodle sobre o tema de derivadas com uso da regra da cadeia realize a resolução dos exercícios 1 3 4 9 12 13 15 22 23 25 28 31 36 43 44 Lista03 Baseado na lista 01 de exercícios disponível no Moodle sobre o tema de Derivadas Sucessivas Derivadas implícitas Derivada na forma paramétrica Regra de LHospital realize a resolução dos exercícios 01 Letras D até J 02 Letras C até G 06 Letras F até J 07 Regras de LHospital problemas 1 6 7 9 1112 141617 20 21 22 24 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Exercícios Lista 3 Derivadas Sucessivas Derivadas implícitas Derivada na forma paramétrica Regra de LHospital Estudo da Função 1 Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada a y 3x⁴ 2x n 5 b y 3 2x² 4x⁵ n 10 c y 3 x² n 2 d y 1x1 n 4 e y e²ˣ ¹ n 3 f y 1eˣ n 4 g y ln 2x n 2 h y sen ax n 7 i y 2 cos x₂ n 5 j y tan x n 3 k y arc tg x n 2 2 Calcular y dydx das seguintes funções definidas implicitamente a x³ y³ a³ b x³ x²y y² 0 c x y a d y³ xyxy e a cos²x y b f tg y xy g ey x y 3 Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro 20 e raio 2 nos pontos de abscissa 1 Pesquisem a solução 4 Calcular a derivada das seguintes funções definidas na forma paramétrica Para quais valores de t y está definida Procurem nas bibliografias as definições a x t² y t³ t 0 b x cos 2t y sen 2t t 0 π2 c x 3 cos t y 4 sen t t π 2π d x cos³ t y sen³ t t π2 0 e x 2t 1 y t³ 5 t f x 8cos³t y 8sen³t t 0 π 5 Calcular a derivada das seguintes funções a y ln3x² 4x b y x1eˣ c y sen 5x² 6 6 Calcular a derivada das seguintes funções implícitas a y² 4px b x² y² a² c b²x² a²y² b²a² d y³ 3y 2ax 0 e 1x² 1y² 1a² f x³ y³ a³ g y² 2xy b² 0 h x³ y³ 3axy 0 i y cosx y j cosxy x 7 Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de LHospital 1 lim x2 x² 4x 4x² x 2 2 lim x1 x² 1x² 4x 3 3 lim x0 x² 6x x³ 7x² 5x 4 lim x12 2x² x 1 4x² 4x 1 5 lim x3 6 2x 3x² x³x⁴ 3x³ x 3 6 lim x1 x 12x⁴ 2x³ 3x² 2x 1 7 lim x x² 6x 7x³ 7x 1 8 lim x 5 5x³2 2x³ 9 lim x 7x⁵ 64x² 2x 4 10 lim x 5 x x²2 x 2x² 11 lim x eˣx² 12 lim x x⁹⁹eˣ 13 lim x0 x eˣ cos x 14 lim x x²e¹ˣ 1 15 lim xπ2 cos x x π2² 16 lim x 2ˣ 2ˣ 1 17 lim x2 12x 4 1x 2 18 lim x lnx x 1 19 lim xπ2 xcotg x π2 cos x 20 lim x tgh x 21 lim x0 senh x sen x 22 lim x ln x ³x 23 lim xπ4 sec²x 2tg x1 cos 4x 24 lim x0 cosh x 11 cos x 8 Faça o estudo completo da função ou seja i achar os extremos relativos ii os intervalos de crescimento e decrescimento iii Concavidades iv ponto de inflexão e v esboço do gráfico a fx 3x² 2x 1 b fx 4x³ 3x² 18x c fx 13 x³ x² 3 d fz 4 z⁴ e fx x⁴ 13 x³ 32 x² Exercícios Lista 2 Derivadas com uso da Regra da Cadeia Derive as seguintes funções utilizando a regra da cadeia 1 fx 3x4 x³ 2 fx x⁴ 3x 3 fx 1 x² 8³ 4 fx 3x² 1 2 x 5 fx x² 5x³ 6 fx 3x ³4x 1 7 ft t1 4t² 8 fx 23 x² 9 ft 2t³ ⁴t⁴ 1 10 ft t 2 t 2 11 fx 2 x³⁴ 12 fx 3 x x⁴ 1 13 fx sen³4x 14 ft cos 3t² 1 15 fx cos² x sen² x 16 fx tg² x sec² x 17 fx tg²x 2 18 fx cos²2 5x 19 fx sec 8x 1 20 fx arc cos 3 4x 21 fx arc tg 3x 22 fx arc cosec 2x 23 fx sec h 4x 24 fx cos h x³ 2 25 fx cot g h 1 x³ 26 fx arc cos h 4x 27 fx 2ˣ 28 fx 14³ˣ² 29 fx ln 1 4x³ 30 fx ln x⁴ 5 31 fx e4 3x² 32 fx 34x 5 33 fx ln sen 3x 34 fx ln cos 3x 1² 35 fx ln 1x³ 1x² 36 fx 14x 37 ft ln 2 t 2 t 38 fx log₄ 8x 1 39 fx ln 5x² 1⁴ 40 fx ln 2x 1³ 41 fx ln x⁴ 5x 42 fx ln 4 3x²² 2 x 43 fx ln 5x 4 1 x² 44 fx log ³3x² 1 45 fx ln ⁵1 5x²⁴ Sugestão para estudos Livro Cálculo Leithold 4 motivos para ter o hábito de estudar 1 Paixão pelo o que faz O estudo é uma maneira de realizar um sonho Isso porque é estudando que você consegue adquirir conhecimentos mais específicos sobre aquilo que você quer 2 Meio para buscar sucesso Com o conhecimento você será capaz de evidenciar todo o seu potencial e explorar onde suas habilidades podem ser essenciais naquela área que deseja atuar 3 Crescimento pessoal Estudar também é ganhar um impulso para chegar aonde deseja e você também consegue conhecer mais sobre si mesmo Como consequência fica mais fácil enfrentar desafios 4 Reconhecimento na área É com a pósgraduação que se conquista o título de especialista em determinada área Além disso as empresas buscam cada vez mais profissionais capacitados f fx cos 3x x π6 π2 Desafio g fx 3x⁴ 10x³ 12x² 10x 9 Desafio h fx x⁴ 8x² 9 i fx 2x³ 6x 1 j fx x³ 5x² 3x 4 l fx x⁴ se x 0 x⁴ se x 0 m fx 3x⁵ 5x⁴ n fx 3 cos 2x x π π Respostas 1 a y⁰ 0 b y10 0 c y 3 3 x²3 x² d yiv 24 x 1⁵ e y 8e2x 1 f yiv 1 ex g y 1 x² h yviii a⁷ cos ax i y⁰ 116 sen x2 j y 2sec⁴ x 4 sec² x tg² x k y 2x 1 x²² 2 a x² y² b 3x² 2xy x² 2xy c yx d 2y 3y² x y² 2x e 1 f y sec² y x g 1 ey1 3 reta tangente x 3y 2 0 e x 3y 2 0 retas normais 3x y 23 0 e 3x y 23 0 4 a 32 t t 0 b cotg 2t t 0 π2 c 43 cotg t t π 2π d tg t t π2 0 e 32 t² t IR f tg t t 0 π2 U π2 π 5 a 6x 4 3x² 4x dx b x ex dx c 10x cos 5x² 6 dx 6 a y 2p y b y x y c y b²x a²y d y 2a 31 y² e y yx f y ³yx g y y y x h y ay x² y² ax m y senx y 1 senx y j y 1 y sen xy x sen xy 7 1 0 7 0 13 1 19 1 2 1 8 52 14 20 1 3 65 9 15 21 1 4 10 12 16 1 22 0 5 1126 11 17 23 ½ 6 16 12 0 18 0 24 1 8 Respostas no livro Leithold página 253 e 259 Engenharia de Produção Respostas 1 24 15x3 24 x3 2 4x3 3 2x4 3x 3 6x x2 84 4 12 2 x 3x2 1 3x2 12x 1 2 x2 5 6x 15 x2 5x 2 6 3 ³4x 1 4x ³4x 14 7 1 8t2 1 4t2 8 2x 3 x2 9 6t2 ⁴t4 1 2t6 ⁴t4 15 10 4 t 22 11 12x2 2 x33 12 1 x4 1 6x3 2x4 x4 13 13 12sen24x cos4x 14 6tsen3t2 1 15 0 16 0 17 2tgx 2 sec2x 2 18 10cos2 5x sen2 5x 19 8sec8x 1 tg8x 1 20 4 16x2 24x 8 21 3 1 9x2 22 2 2x4x2 1 23 4 sec h4x tg h4x 24 3x2 sen hx3 2 25 3x2 cossec2 h1 x3 26 4 16x2 1 27 2xx1 ln 2x 28 3 143x 2 ln14 29 12x2 1 4x3 30 4x3 x4 5 31 6xe43x2 32 34x 5 4ln3 33 3cos 3x sen 3x 34 6sen3x 1 cos3x 1 35 3 2x x1 x 36 14x 1 2x ln14 37 2 4 t2 38 8 8x 1 log4 e 39 40x 5x2 1 40 6ln2x 12 2x 1 41 4x3 5 x4 5x 42 6x2 24x 8 3x3 6x2 4x 8 43 5x2 8x 5 5x3 4x2 5x 4 44 2x 3x2 1 log e 45 8x 1 5x2 46 Dada a função fx 1 cos x mostrar que fx é par e fx é impar Usando uma ferramenta gráfica esboçar o gráfico de fx e fx observando as simetrias Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 29 47 Dada fx sen 2x cos 3x mostrar que fx é impar e fx é par Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 29 48 Dada fx 12 sen 2x calcular fx e verificar que f e f são periódicas de mesmo período Usando uma ferramenta gráfica esboçar o gráfico de fx e fx comprovando os resultados Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 29 49 Mostrar que a função y xex satisfaz a equação xy 1 xy 50 Mostrar que a função y xex22 satisfaz a equação xy 1 x2y 51 Mostrar que a função y 1 1 x ln x satisfaz a equação xy yy ln x 1 52 Provar que se y cotg x então y cosec 2x Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 149 53 Provar que se y sec x então y sec x tg x Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 149 54 Provar que se y arc cotg x então y 1 1 x2 Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 152 55 Provar que se y cosh x então y senh x Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 155 56 Dada a função fx x2 6x 5 definidas para x 3 desenvolver os seguintes itens Livro Cálculo A Autor Diva Flemming pág 143 a Determinar a função inversa f1x e identificar o seu domínio R y 3 x 4 x 4 b Encontrar a reta tangente à curva fx no ponto de abscissa 5 R y 4x 20 c Encontrar a reta tangente à curva f1x no ponto de abscissa 0 R y 14x 5 d Fazer uma representação gráfica dos resultados 57 A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação x 3t2 t3 em que x vem expresso em metros e t em segundos a Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos b Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos c Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos 58 Um corpo cai livremente partindo do repouso Calcule sua posição e sua velocidade depois de decorridos 1 e 2 segundos Da Física use a equação y vot 12gt2 para determinar a posição y do corpo onde vo é a velocidade inicial e g 98 ms2 Sugestão para leitura estudos e exercícios Livro Cálculo Vol 1 Autor Leithold Qual a importância de um grupo de estudos Um grupo de estudos é um ótimo meio para driblar a procrastinação e o tédio de estudar sozinho A iniciativa de reunir os colegas de sala para dar um reforço no aprendizado em horários extras é uma maneira mais dinâmica de ficar em dia com o conteúdo das aulas Além disso o grupo de estudos é o canal ideal para compartilhar dúvidas opiniões e debater os temas vistos em sala Toda essa troca permite maior absorção e compreensão dos conteúdos Outro ponto positivo de formar uma turma para estudar fora do contexto acadêmico é a motivação ou seja o compromisso assumido com outras pessoas é um incentivo a mais para manter a disciplina Sem falar é claro na interatividade A troca de conhecimentos transforma o aprendizado em algo mais divertido Quem é autodidata pode até preferir estudar sozinho mas a verdade é que sempre temos algo a aprender no contato com outras pessoas Não se trata apenas de esclarecer as suas próprias dúvidas mas de crescer com as dúvidas de seus colegas A gente não faz amigos reconheceos Vinicius de Moraes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Exercícios Lista 1 Introdução a Derivadas 1 Ache a inclinação da reta tangente no ponto x1 y1 por definição de limites Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento de reta tangente em cada ponto colocado no gráfico a y 9 x² 33 b y 2x² 4x 13 c y x³ 1 22 2 Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado com uso da tabela a y x² 4x 5 27 b y x² x 2 24 c y 18 x³ 48 d y x² 2x 1 14 e y 6x 32 f y 2x x3 24 g y x⁴ 4x 00 h y 8x 4 4 3 Determine à derivada aplicando a definição fx lim Δx0 fxΔx fxΔx a fx 7x 3 b fx 8 5x c fx 4 d fx 3x² 4 e fx 4 2x² f fx 3x² 2x 1 4 Determine a derivada indicada com uso a tabela Engenharia de Produção 1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN a ddx 8 x³ b ddx x³ c ddx x d Dₓ 1x1 e ddx 2x33x2 f Dₓ 3x 5 g Dₓ 1x² x h ddx 31 x² 5 Determine dydx y a y 4x² 3x b y 42x 5 c y 2 7x d y 1x 1 e y ³x f y 1³x x 6 Se fx lim Δx0 fxΔx fxΔx ache fx se fx ax² bx 7 Faça o seguinte i trace um esboço do gráfico da função ii determine se f é contínua em x1 iii calcule fx₁ e fx₁ se existirem iv determine se f é derivável em x₁ a fx x 2 se x 4 x 6 se 4 x x₁ 4 b fx 3 2x se x 2 3x 7 se 2 x x₁ 2 c fx x 3 x₁ 3 d fx 1 x 2 x₁ 2 e fx 1 se x 0 x 1 se 0 x x₁ 0 f fx x se x 0 x² se 0 x x₁ 0 g fx x² se x 0 x² se 0 x x₁ 0 h fx x² 4 se x 2 x 2 se 2 x x₁ 2 Engenharia de Produção 2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN i fx 1 x se x 1 1 x² se 1 x x₁ 1 j fx x² se x 1 1 2x se 1 x x₁ 1 8 Dada fx x 4 i Prove que f é continua à direita de 4 ii Prove que f4 não existe iii Faça um esboço do gráfico de f 9 Dada fx 4 x² i Prove que f é contínua no intervalo fechado 22 ii Prove que nem f2 nem f2 existem iii Faça um esboço do gráfico de f 10 Derive a função dada a fx 7x 5 b gx 8 3x c gx 1 2x x² d fx 4x² x 1 e fx x³ 3x² 5x 2 f fx 3x⁴ 5x² 1 g fx 18 x⁸ x⁴ h gx x⁷ 2x⁵ 5x³ 7x i Ft 14 t⁴ 12 t² j Hx 13 x³ x 2 k vr 43 πr³ l Gy y¹⁰ 7y⁵ y³ 1 m Fx x² 3x 1x² n fx x³3 3x³ o gx 4x⁴ 14x⁴ p fx x⁴ 5 x² 4x⁴ q gx 3x² 5x⁴ r Hx 56x⁵ s fs 3s³ s² t gx 2x² 54x 1 Engenharia de Produção 3 RESPOSTAS Consulte o Geogebra 2D para conferir os esboços dos gráficos 1a fx 2x 1b fx 4x 4 1c fx 3x² 2 a 8xy90 b y3x20 c 6xy160 d y4x e 2x3y120 f y10x160 g 4xy0 h 2yx120 3 a 7 b 5 c0 d6x e 4x f 6x2 4 a 3x² b 3x² c 12x d 1x1² e 133x2² f 323x5 g 2x³ 1 h 6x1x²² 5 a 8x³ 3 b 82x5² c 7227x d 12x1³ e 13x²3 f 13³x⁴ 1 6 2a 7 a sim 1 e 1 não b c sim 1 1 não d e sim 01 não f g sim 00 sim h i sim não existe0 não j 8 9 10 a7 b 3 c 22x d8x1 e 3x² 6x 5 f 12x³ 10x g x⁷ 4x³ h 7x⁶ 10x⁴15x²7 i t³ t j x² 1 k 4πr² l10y⁹35y⁴3y² m 2x 3 2x³ n x² 9x⁴ o 16x³ 1x⁵ p 4x³2x³16x⁵ q 6x³ 20x⁵ r 256x⁶ s 33s² 23s t 24x²4x20 11 a 10x⁴ 24x³ 12x² 2x 3 b 6x3² c 1x1² d 53y4² e 4x1x3³ f 24xx²x2² g 512t²12t²² h 4x² 15x 4x⁵ i 48y²y³8² j 4sa²s²a²² k 6x²10x1x5² l 3x⁶16x⁴9x²6x²8x6x²3² 12 12x y 20 13 14 x 20y 96 0 15 16 a fx 3 cos x b fx sec²x cosec² x c ft 2cos t tsen t d fx xcos x e fx 4 cos 2x f fx x²sen x g 3x² x²sen x h fx 3 sec x 2tg²x 1 i fx cosec x 2 cotg²x 1 j fz 2z 1sen z 2 cos zz 1² 1 fx 1cos x 1 m ft 1 4 sec t sen²tcos t cos t 4² n fx 2 cos x1 sen x² habilidades são derivadas de uma dedicacação integral excedem os limites viram diferencial Sugestão para leitura estudos e exercícios Livro Cálculo Vol 1 Autor Leithold 11 Calcule a derivada indicada a Dxx² 3x 22x³ 1 b Dx2xx 3 c Dxxx1 d Dy2y 13y 4 e ddxx² 2x 1x² 2x 1 f ddx4 3x x²x 2 g ddt5t1 2t² h ddxx⁴ 2x² 5x 1x⁴ i ddyy³ 8y³ 8 j ddss² a²s² a² k Dx2x 1x 5 3x 1 l Dxx³ 1x² 3x² 2x¹ 1 12 Encontre a equação da reta tangente à curva y x³ 4 no ponto 2 4 13 Encontre a equação da reta normal à curva y 4x² 8x no ponto 1 4 Procurem nas bibliografias a definição de reta normal 14 Encontre a equação da reta normal à curva y 1014 x² no ponto 4 5 15 Encontre a equação da reta tangente à curva y 8x²4 no ponto 2 1 16 Calcule a derivada das seguintes funções a fx 3 sen x b fx tg x cotg x c ft 2t cos t d fx x sen x cos x e fx 4 sen x cos x f fx x² cos x 2x sen x 2 cos x g fx x³ x² cos x 2x sen x 2 cos x h fx 3 sec x tg x i fx cotg x cosec x j fz 2 cos zz 1 l fx sen x1 cos x m ft tg tcos t 4 n fx 1 sen x1 sen x