Lista de Exercícios Resolvendo Integrais com Frações Parciais

1 Exercícios Lista 5 Técnica de integração por Frações Parciais Função racional é a função definida como o quociente de duas funções polinomiais 𝑓𝑥 𝑝𝑥 𝑞𝑥 onde 𝑝𝑥 e 𝑞𝑥 são polinômios com 𝑞𝑥 0 Uma forma de resolver de forma sistemática uma integral de qualquer função racional é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples 1º Caso Os fatores de 𝑞𝑥 são lineares e distintos A decomposição da função racional 𝑓𝑥 𝑝𝑥 𝑞𝑥 em frações é dada por 𝑓𝑥 𝐴1 𝑥 𝑎1 𝐴2 𝑥 𝑎2 𝐴𝑛 𝑥 𝑎𝑛 onde 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 são constantes que devem ser determinadas EXEMPLOS QUE SERÃO RESOLVIDOS EM SALA 𝑥 2 𝑥3 3𝑥2 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1𝑥 1𝑥 3 1 4 𝑥 1 3 8 𝑥 1 1 8 𝑥 3 Agora vamos calcular 𝑥2 𝑥33𝑥2𝑥3 𝑑𝑥 2º Caso Os fatores de 𝑞𝑥 são lineares e alguns deles se repetem Ao fator linear 𝑥 𝑎𝑖 de expoente 𝑛 𝜖 𝑞𝑥 corresponderá uma soma de frações parciais dada por 𝑓𝑥 𝐴1 𝑥 𝑎𝑖𝑛 𝐴2 𝑥 𝑎𝑖𝑛1 𝐴𝑛 𝑥 𝑎𝑖 onde 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 são constantes que devem ser determinadas 2 EXEMPLOS QUE SERÃO RESOLVIDOS EM SALA 𝑥3 3𝑥 1 𝑥4 4𝑥2 𝑥3 3𝑥 1 𝑥 2𝑥 2𝑥2 13 16 𝑥 2 15 16 𝑥 2 1 4 𝑥2 3 4 𝑥 Agora vamos calcular 𝑥33𝑥1 𝑥44𝑥2 𝑑𝑥 3º Caso Os fatores de 𝑞𝑥 são lineares e quadráticos irredutíveis e os fatores quadráticos não se repetem A cada fator quadrático de 𝑞𝑥 corresponderá uma fração parcial da seguinte forma 𝐴𝑥 𝐵 𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 onde 𝐴 𝑒 𝐵 são constantes que devem ser determinadas EXEMPLOS QUE SERÃO RESOLVIDOS EM SALA 2𝑥2 5𝑥 4 𝑥3 𝑥2 𝑥 3 2𝑥2 5𝑥 4 𝑥 1𝑥2 2𝑥 3 11 6 𝑥 1 1 6 𝑥 9 6 𝑥2 2𝑥 3 Agora vamos calcular 2𝑥25𝑥4 𝑥3𝑥2𝑥3 𝑑𝑥 3 Nos exercícios 1 a 23 calcular as integrais indefinidas 1 2𝑥3 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 2𝑥 1 2𝑥2 3𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑥 1 𝑥3 𝑥2 4𝑥 4 𝑑𝑥 4 3𝑥2 2𝑥3 𝑥2 2𝑥 1 𝑑𝑥 5 𝑥2 5𝑥 4 𝑥2 2𝑥 1 𝑑𝑥 6 𝑥 1 𝑥 22𝑥 32 𝑑𝑥 7 𝑥2 1 𝑥4 7𝑥3 18𝑥2 20𝑥 8 𝑑𝑥 8 1 𝑥3 4𝑥2 𝑑𝑥 9 𝑥3 2𝑥2 4 2𝑥2 2 𝑑𝑥 10 5 𝑥3 4𝑥 𝑑𝑥 11 3𝑥 1 𝑥2 𝑥 1 𝑑𝑥 12 1 𝑥3 8 𝑑𝑥 13 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 32 𝑑𝑥 14 1 𝑥𝑥2 𝑥 12 𝑑𝑥 15 4𝑥4 𝑥4 𝑥3 6𝑥2 4𝑥 8 𝑑𝑥 16 𝑥2 3𝑥2 1 2 𝑥 1 2 𝑑𝑥 17 1 𝑥3 9𝑥 𝑑𝑥 18 1 𝑥2 1𝑥2 4 𝑑𝑥 19 𝑥3 𝑥2 2𝑥 1 𝑥3 1 𝑑𝑥 20 𝑥3 𝑥2 22 𝑑𝑥 21 1 𝑥4 3𝑥3 3𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 22 𝑥 𝑥 12𝑥 12 𝑑𝑥 23 𝑥2 2𝑥 1 𝑥 12𝑥2 1 𝑑𝑥 4 Respostas Respostas dos exercícios 1 a 23 1 𝑥2 2𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥 1 𝐶 2 2 5 𝑙𝑛 𝑥 1 2 3 5 𝑙𝑛 𝑥 2 𝐶 3 1 12 𝑙𝑛 𝑥 2 2 3 𝑙𝑛 𝑥 1 3 4 𝑙𝑛 𝑥 2 𝐶 4 3 2 𝑙𝑛 𝑥 1 1 2 𝑙𝑛 𝑥 1 1 2 𝑙𝑛 𝑥 1 2 𝐶 5 𝑥 7 𝑙𝑛 𝑥 1 10 𝑥 1 𝐶 6 3 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑥 3 1 𝑥 2 2 𝑥 3 𝐶 7 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑥 1 2 1 𝑥 2 5 2𝑥 22 𝐶 8 1 16 𝑙𝑛 𝑥 4 𝑥 1 4𝑥 𝐶 9 𝑥2 4 𝑥 1 4 𝑙𝑛 𝑥2 1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 𝐶 10 5 4 𝑙𝑛𝑥 1 2 𝑙𝑛𝑥2 4 𝐶 11 3 2 𝑙𝑛 𝑥2 𝑥 1 1 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2𝑥 1 3 𝐶 12 1 12 𝑙𝑛 𝑥 2 1 24 𝑙𝑛 𝑥2 2𝑥 4 1 43 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 1 3 𝐶 13 𝑥 2 2𝑥2 2𝑥 3 1 22 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 1 2 𝐶 14 𝑙𝑛 𝑥 1 2 𝑙𝑛 𝑥2 𝑥 1 53 9 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2𝑥 1 3 𝑥 1 3𝑥2 𝑥 1 𝐶 15 4𝑥 4 9 𝑙𝑛 𝑥 1 4 𝑙𝑛 𝑥 2 68 9 𝑙𝑛 𝑥 2 16 3𝑥 2 𝐶 16 1 3 𝑥 1 10 𝑙𝑛 𝑥 1 2 2 45 𝑙𝑛 𝑥 1 3 𝐶 17 1 9 𝑙𝑛 𝑥 1 2 𝑙𝑛 𝑥2 9 𝐶 18 1 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 1 6 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 2 𝐶 19 𝑥 5 3 𝑙𝑛 𝑥 1 1 3 𝑙𝑛 𝑥2 𝑥 1 𝐶 20 1 2 𝑙𝑛 𝑥2 2 1 𝑥2 2 𝐶 21 𝑙𝑛 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1 1 2𝑥 12 𝐶 22 1 4 1 𝑥 1 1 𝑥 1 𝐶 23 𝑙𝑛 𝑥 1 1 𝑥 1 1 2 𝑙𝑛 𝑥2 1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 𝐶