Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas - Conceitos Básicos de Estatística

Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 1 Manoel Carlos Gonçalves Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas Manoel Carlos Gonçalves 5a Edição Revista Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 2 Manoel Carlos Gonçalves Manoel Carlos Gonçalves Professor Titular da UFGD Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 5a Edição Revista Universidade Federal da Grande Dourados Faculdade de Ciências Agrárias 2016 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 3 Manoel Carlos Gonçalves Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 11 Estatística É a ciência que se ocupa do desenvolvimento e aplicação de princípios métodos e procedimentos para a obtenção análise e interpretação de dados provenientes de pesquisa experimental ou observacional levantamento de dados as quais visam obter informações para a avaliação de hipóteses científicas a respeito de determinada questão ou problema de pesquisa Os dados são obtidos mediante processos que envolvem a observação eou mensuração de itens características Tais itens chamamse variáveis porque originam valores que tendem a apresentar certo grau de variabilidade quando se fazem mensurações sucessivas O processamento dos dados por meio da análise estatística elimina detalhes menores enfatiza os aspectos importantes dos dados e facilita a constatação de comparações e de relações A estatística é reconhecida como uma importante ferramenta de controle de qualidade das atividades de pesquisa em todos os ramos da ciência 12 Ramos da Estatística 121 Probabilidade Pode ser conceituada como a parte da estatística que é utilizada para analisar situações onde a incerteza e o acaso estão presentes Probabilidade pode ser conceituada como a possibilidade numérica de ocorrência de determinado evento 122 Estatística Descritiva Lida com os métodos estatísticos que sumarizam e descrevem as características relevantes de um conjunto de dados amostrais 123 Delineamento Experimental e Delineamento Amostral Lida com o planejamento de experimentos e de amostragens levantamentos com o objetivo de se obter dados informativos 124 Estatística Inferencial É o principal ramo da Estatística porque lida com a análise e interpretação dos dados e estabelece limites para a representatividade da informação fornecida pelos dados O método inferencial fornece uma base de raciocínio para interpretar logicamente os fatos observados e para afirmar o quanto estes fatos suportam ou contradizem o modelo postulado Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 4 Manoel Carlos Gonçalves 13 Variáveis Aleatórias Variável aleatória é uma função ou uma regra que atribui um número para cada resultado possível de um experimento Por exemplo quando uma moeda é lançada três vezes o número de caras que ocorre pode ser considerada uma variável aleatória que pode tomar os valores 0 1 2 ou 3 Cada um dos resultados prováveis ocorrerá por chance ou seja envolve os fenômenos de acaso e incerteza Chance pode ser entendida como a interação de grande número de fatores que influem coletivamente no resultado de um experimento ou amostra Como é virtualmente impossível controlar todos os fatores ou predizer como eles atuarão em conjunto para afetar o resultado não é possível determinar com precisão qual resultado ocorrerá num experimento Isto é que caracteriza a variável aleatória A variável aleatória discreta pode assumir apenas valores determinados e inteiros A variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de valores As variáveis aleatórias contínuas são representadas por dados provenientes de medições enquanto que as discretas são representadas por dados de contagens Essas variáveis são de natureza quantitativa A distinção clara entre variáveis aleatórias discretas e contínuas é importante porque a utilização dos diferentes tipos de distribuições de probabilidades depende do tipo de variável aleatória considerado As variáveis aleatórias nominais e ordinais são chamadas de categóricas e são de natureza qualitativa 14 Distribuições de Probabilidade Quando uma medida de probabilidade é atribuída a cada resultado possível de uma variável aleatória X produzse uma distribuição de probabilidade A distribuição de probabilidade é simplesmente uma lista de probabilidades que são atribuídas a cada valor possível de uma variável aleatória discreta A distribuição de probabilidade para uma variável aleatória contínua é dada pela função densidade de probabilidade 15 Esperança O valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória pode ser admitido como a média de um longo ensaio desta variável Cientificamente podese dizer que é o que se espera que aconteça em média Para uma variável discreta X a esperança é dada por 1 n i i i E X X P X onde i identifica cada um dos possíveis valores de X O valor esperado de uma variável aleatória contínua é X f XdX EX onde fX é a função densidade de probabilidade de X Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 5 Manoel Carlos Gonçalves As propriedades da esperança são as seguintes EY EX Y EX 3 CEX ECX 2 C EC 1 16 Variância A variância de uma variável discreta ou contínua é a esperança do quadrado do desvio da variável em relação à esperança desta variável ou seja EX 2 E X X VAR Além de medir a dispersão de uma distribuição de probabilidade o termo variância pode também ser aplicado em estatística descritiva para uma população ou amostra As propriedades da variância de uma variável são as seguintes 2 1 2 3 2 VAR X C VAR X VAR CX C VAR X VAR X Y VAR X VAR Y E X E X Y E Y 17 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X com uma faixa de possíveis valores de a e com uma esperança x e um desvio padrão x tem uma distribuição de probabilidade normal se e somente se sua função densidade de probabilidade é dada por 2 1 exp 2 x x X f X x Quando plotamos fX contra X obtemos uma figura em forma de sino A curva obtida é simétrica em relação ao valor x e a área sob a curva é igual a 1 Pode ser verificado que x EX e 2x 2 x E X A distribuição normal desempenha papel central para os modelos estatísticos usados em análise de variância e regressão linear múltipla 18 Distribuição Normal Padronizada Consideremos a distribuição normal de uma variável aleatória X com esperança x e desvio padrão x Podemos definir uma nova variável aleatória z Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 6 Manoel Carlos Gonçalves onde x x X z Uma vez que x e x são constantes z também tem uma distribuição normal e para todo valor de X há um valor correspondente de z 0 EX 1 Ez 1 E X Ez E X Ez x x x x x x A variância de z é 1 1 z VAR 1 E X z VAR 0 X E z VAR Ez E z z VAR x 2 x 2 2 x x 2 2 x x 2 A variável aleatória z tem média 0 e desvio padrão 1 e é dita ter uma distribuição normal padronizada Existem tabelas de probabilidades de z que podem ser utilizadas para qualquer variável normalmente distribuída 19 Distribuição Amostral da Média Nas discussões sobre a análise de variância e de regressão fazse uso constante de variáveis aleatórias denominadas de estatísticas Uma estatística é uma variável aleatória cujos valores são calculados a partir de dados amostrais Ela é uma variável aleatória porque o mesmo cálculo para diferentes amostras de uma mesma população pode produzir diferentes valores da variável A variância deste tipo de variável depende do tamanho da população da variância da população e do tamanho da amostra Por exemplo n i 1 X in X é uma estatística chamada de média da amostra Uma estatística sendo uma variável aleatória terá uma distribuição de probabilidade que é chamada de distribuição amostral seu desvio padrão é o erro padrão da estatística A distribuição da média X é descrita por dois teoremas um fornece a esperança e a variância e o outro a forma da distribuição Teorema Se uma população infinitamente grande tem média x e desvio padrão x então x EX e 2xn 2x X VAR Teorema do Limite Central Se uma população infinitamente grande tem média x e desvio padrão x a distribuição da média amostral X aproximase da distribuição normal com média x e desvio padrão x x n à medida que o tamanho da amostral n aumenta Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 7 Manoel Carlos Gonçalves Geralmente uma amostra de tamanho 30 é grande o suficiente para X ter distribuição aproximadamente normal Se a distribuição da população é normal então a distribuição de X é exatamente normal independente do tamanho de n Quando X tem uma distribuição normal x x X z tem uma distribuição normal padronizada e pode ser usada para fornecer probabilidades 110 Distribuição t Considere a distribuição x x X z Suponhamos que x não seja conhecido mas que pode ser estimado a partir do desvio padrão amostral ou seja usamos 12 n 1 i 2 i x 1 n X X S para estimar x Porque Sx e X são variáveis aleatórias usamos um símbolo diferente t para a estatística n S X x x logo x x x x S X n S X t A distribuição t apresentase mais dispersa do que a distribuição z Isto ocorre porque a presença de outra variável aleatória x S acrescenta variabilidade a esta estatística t A quantidade adicional de variabilidade é função de n À medida que o tamanho da amostra aumenta a estimativa x S tornase mais estável Quando n é maior que 30 o x S tornase suficientemente estável próximo a x de tal forma que z e t são praticamente idênticos Tabelas para t não são colocadas em termos de n mas de v com v n 1 uma quantidade que é chamada graus de liberdade para a estatística x x S X As tabelas de t geralmente contém valores de v apenas até v 30 Após este valor a distribuição normal padronizada é utilizada Pode ser notado que a tabela de t é geralmente menos completa do que a tabela normal padronizada porque ela é usada principalmente para estimação e testes de hipóteses Nestas aplicações apenas certos valores de probabilidade são tradicionalmente utilizados 111 Distribuição F Considere a estatística 2x 2y S S que é calculada a partir de dados tomandose uma amostra de tamanho ny da distribuição normal de y e outra de tamanho nx da distribuição normal de x Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 8 Manoel Carlos Gonçalves Se ocorre que 2x 2y S S a estatística 2x 2y S S tem uma distribuição de probabilidades chamada de distribuição F cuja forma é função do tamanho das amostras A estatística F é uma razão entre duas outras estatísticas portanto tem dois valores de graus de liberdade um para o numerador e outro para o denominador 112 Distribuição 2 A variância amostral 1 n X X S n 1 i 2 i 2 é o estimador de 2 que é a variância populacional Para fazer inferências intervalo de confiança teste de hipóteses para variância e desvio padrão deve ser considerada a distribuição amostral de S2 que é representada por uma nova distribuição denominada de 2 quiquadrado cuja forma depende de n1 Definição da Distribuição 2 Seja n 2 1 X X X variáveis com distribuição normal ou seja N Então a distribuição de 2 2 2 n 1 i 2 i 2 1 S n X X é chamada de uma distribuição 2 com n1 graus de liberdade Isto ocorre porque na realidade temos que se n 2 1 z z z são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão então a distribuição de 2k 22 21 2k z z z é chamada de uma distribuição 2 com glk Mas 2 n 1 i X z i i são independentes 10 N logo n 1 i z2i n 1 i 2 i 2 X 1 tem uma distribuição n 2 Analogamente temos que 2 2 1 S n tem distribuição 2 com n1 graus de liberdade A curva densidade de probabilidade de uma distribuição 2 é assimétrica sobre o lado positivo e tem uma longa cauda A forma da curva depende do valor dos graus de liberdade Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 9 Manoel Carlos Gonçalves FIGURA 01 Distribuição 2 O ponto superior 2 indica o valor de 2 tal que a área à sua direita é o ponto inferior 1 2 tem uma área 1 à sua direita Seja a determinação probabilística de um intervalo de confiança 95 para 2 095 1 S n P 20025 2 20975 Como 20025 2 1 S2 n eqüivale 2 1 S2 20025 n e 2 2 20975 1 S n eqüivale 20975 2 2 1 S n temos que 20975 2 2 20025 2 095 1 S n 1 S n Iˆ Para o desvio padrão o intervalo de confiança 1 tornase S 20975 S 20025 95 0 1 n 1 n Iˆ Para um teste da hipótese nula 2 2 0 0 H empregase naturalmente a estatística S2 Se a hipótese alternativa é unilateral 2 2 0 a H então a região de rejeição consistiria de grandes valores S2 ou alternativamente de grandes valores do teste estatístico 2 2 2 0 1 n S Portanto a região de rejeição do teste ao nível de probabilidade é 2 2 2 0 1 R n S com gl n1 Para uma alternativa bilateral 2 2 0 Ha a região de rejeição ao nível de significância é 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 0 1 1 n S n S R ou Deve ser enfatizado que estes procedimentos de inferência para 2 são extremamente sensíveis a afastamentos de população normal 1 2 2 2 P 2 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 10 Manoel Carlos Gonçalves 113 Estimação de Parâmetros As estatísticas descritas anteriormente juntamente com outras que serão estudadas posteriormente são as mais adequadas para os propósitos de estimação de parâmetros populacionais média variância e teste de hipótese acerca destes parâmetros As estatísticas são denominadas de estimadores Julgase a qualidade de um estimador ou estatística pelos critérios de tendência ou viés quadrado médio do erro consistência e máxima verossimilhança a Tendência Um estimador para o parâmetro é dito ser não tendencioso se e somente se E isto é se num longo ensaio a média da variável aleatória é o valor do parâmetro Por exemplo X é um estimador não tendencioso de x a média da população porque E X x Da mesma forma S x 2 é um estimador não tendencioso para 2 x a variância populacional O divisor n1 é utilizado na equação de estimação da variância porque o uso de n poderia resultar em um estimador tendencioso A falta de tendência é uma propriedade desejável em um estimador mas não necessariamente indispensável b Quadrado Médio do Erro O quadrado médio do erro de um estimador é E 2 ou seja é a esperança do quadrado de seu desvio em relação ao parâmetro Para um estimador não tendencioso o quadrado médio do erro é obviamente igual a variância do estimador Um estimador não tendencioso com uma menor variância do que outro estimador não tendencioso é dito ser relativamente mais eficiente ou de menor variância Se 2 x 2 x E Mˆ E X dizse que X é um estimador mais eficiente do que M c Consistência Um estimador é dito ser consistente se e somente se valores de podem ser convergidos para pelo aumento do tamanho da amostra Por exemplo 1n X 2 x à medida que n entretanto 1n X 2 é um estimador tendencioso para x porque x 2 x 2 1n 1n EX d Máxima Verossimilhança Dado um conjunto de observações amostrais qualquer escolhemos como seu estimador de o estimador que maximize a probabilidade ou densidade de probabilidade de obter aquelas observações Por exemplo o estimador X é um estimador de máxima verossimilhança para X entretanto S x 2 não é um estimador de máxima verossimilhança para 2 x mas 1 S n n 2 é O princípio de máxima verossimilhança é um bom método para se buscar estimadores 114 Intervalos de Confiança Sempre que obtemos uma estimativa para um parâmetro nos defrontamos com a questão central de saber quão boa é a estimativa obtida Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 11 Manoel Carlos Gonçalves Podemos avaliar indiretamente cotando as propriedades do estimador tais como não tendenciosidade e consistência mas geralmente a questão é abordada de outra forma Suponhamos um estimador com desvio padrão e esperança E que é usado para obter uma estimativa de Consideremos uma nova estatística na forma de um intervalo ˆ 2 ˆ 2 1 z ˆ z ˆ Iˆ Se 1960 z 2 então 95 dos intervalos englobam Se 1645 z 2 então 90 dos intervalos contém A regra é que se 2 z é um valor de z tal que 2 100 é a porcentagem da área a direita dele então 1 100 dos intervalos contém É mais comum dizer que I1 é o intervalo de ao nível de confiança de 1 100 Freqüentemente não conhecemos o erro padrão do estimador que escolhemos para usar mas podese obter uma estimativa dele a partir de uma amostra Neste caso a distribuição t com os graus de liberdade apropriados é utilizada para estabelecer o intervalo que tornase ˆ 2 ˆ 2 1 S t ˆ S t ˆ Iˆ onde S é um estimador para 115 Teste de Hipóteses Este é um conceito muito importante em estatística Fazemos uma suposição acerca de um parâmetro populacional e então calculamos uma estatística a partir de uma amostra da população Se o valor da estatística é improvável dado a suposição rejeitamos a suposição ou hipótese A hipótese nula sempre é a suposição que está sendo testada e desejamos saber se há argumento estatístico para rejeitála A hipótese alternativa oferece uma alternativa para a hipótese nula A região crítica é definida como o conjunto dos valores da estatística que podem levar à rejeição da hipótese nula Porque a estatística é uma variável aleatória é possível que o valor da estatística caia na região crítica mesmo que a hipótese nula seja verdadeira É também possível que a estatística não caia na região crítica quando na realidade a hipótese nula é falsa Ambos os acontecimentos levamnos a tomar uma decisão errada Estas decisões erradas são chamadas de erros Tipo I e Tipo II respectivamente A probabilidade do erro Tipo I aceitável num teste de hipótese é chamada de probabilidade de significância que tem como símbolo a região crítica é determinada de acordo com o nível de significância escolhido Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 12 Manoel Carlos Gonçalves Não rejeita Ho Rejeita Ho Ho é verdadeira Ho é falsa Decisão correta Erro Tipo II Erro Tipo I Decisão correta 116 População e Amostra Uma população estatística é uma coleção de números que representam a totalidade das medições de alguma característica para o grupo inteiro de unidades que é o alvo de uma pesquisa Uma amostra de uma população é o conjunto de medições que são realmente coletadas no decorrer de uma pesquisa No estudo da produtividade de determinada planta sob uma condição climática específica a população estatística de produtividade é a coleção de todas as medições de produtividade que pudermos apenas imaginar se a planta foi extensivamente cultivada em todas as regiões geográficas com a condição climática particular e este processo foi repetido anos após anos Uma amostra é uma parte desta população infinita ou seja é o conjunto de medições de produtividade realmente anotadas no curso de um experimento que resultaram do cultivo de um certo número destas plantas numas poucas localidades com a dada condição climática Obviamente que os dados amostrais variarão quando o experimento for repetido em diferentes ocasiões enquanto que a população mesmo que não exista na realidade é vista como um corpo de números estáveis infinitamente grande e imensurável O processo de pesquisa experimental pode ser visto como um esforço para se obter o entendimento da população baseandose na informação incompleta adquirida pela amostragem Definese várias estatísticas que são calculadas a partir de uma amostra e utilizadas para descrever um conjunto de dados Correspondendo a estas estatísticas existem os parâmetros da população que são números que descrevem a população As estatísticas da amostra são estimativas dos parâmetros da população De um lado temse a população e do outro a amostra O propósito da inferência estatística é fazer afirmações significantes e apropriadas relacionadas com os parâmetros da população quando tudo que se tem disponível são as estatísticas da amostra onde está sempre presentes a variação e o acaso Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 13 Manoel Carlos Gonçalves Capítulo 2 Conceitos Básicos de Experimentação 21 Experimento O experimento ou ensaio é uma pergunta planejada e executada de propósito com o objetivo de testar determinada hipótese Portanto o experimento é a unidade fundamental da pesquisa experimental e por isso deve ser planejado desenvolvido analisado e interpretado cuidadosamente para a obtenção de informações confiáveis e eficazes 22 Parcela ou Unidade Experimental É a unidade básica porção de material experimental do experimento na qual são aplicadas manipuladas diferentes formas de um determinado fator ou fatores em estudo e para as quais respostas são avaliadas A unidade de observação é a porção da unidade experimental onde são realizadas as observações e medições Em alguns casos a unidade de observação é a própria unidade experimental 23 Fatores São os diferentes tipos de condições procedimento ou meio físico que são aplicados manipulados nas parcelas Os fatores a serem estudados pesquisados são definidos de acordo com as hipóteses e objetivos do pesquisador com base na sua experiência e ou informações da bibliografia pertinente Por exemplo variedades adubos pesticidas métodos de preparo de solo métodos de irrigação lâminas de água temperatura tempo dentre outros 24 Níveis de Fatores Os diferentes modos de presença de um fator são chamados de níveis do fator A escolha dos níveis e do número dos mesmos é de importância fundamental na consecução dos objetivos do experimento 25 Tratamento Cada combinação específica dos níveis de diferentes fatores é chamada de tratamento o efeito de cada tratamento deve ser medido e comparado com outros tratamentos Quando o experimento é realizado com apenas um fator os níveis do fator constituem os tratamentos 26 Repetições O número de parcelas sobre as quais um determinado tratamento é aplicado é chamado de repetições deste tratamento Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 14 Manoel Carlos Gonçalves 27 Casualizações Consiste em aplicar os tratamentos nas parcelas usando um mecanismo de sorteio 28 Erro Experimental É a variação entre unidades experimentais que receberam o mesmo tratamento Ocorre devido aos efeitos de fatores não controlados controláveis ou não sobre a variável resposta 29 Técnica Experimental A determinação e utilização de uma técnica experimental refinada para a condução do experimento são de responsabilidade de cada pesquisador e afeta diretamente a qualidade dos dados obtidos O que se pretende com a utilização de uma boa técnica de experimentação é o seguinte 1 assegurar uniformidade na aplicação dos tratamentos 2 exercer o máximo controle sobre as influências externas de modo que os tratamentos produzam efeitos comparáveis 3 prover medidas exatas dos efeitos dos tratamentos 4 evitar erros grosseiros e enganos através de cuidadosa supervisão da execução do experimento e de verificação dos dados obtidos Capítulo 3 Princípios Básicos da Experimentação Os princípios da repetição casualização e controle local são geralmente referidos como os três princípios básicos dos delineamentos experimentais e portanto da experimentação A estes podemos acrescentar três outros princípios que se não são básicos são estreitamente associados com os três princípios básicos Estes outros princípios são a sensibilidade a ortogonalidade e o confundimento Desta forma estes seis princípios são fundamentais para entendermos o delineamento de experimentos 31 Repetição É a aplicação de um determinado tratamento a mais de uma unidade experimental Um conjunto completo de tratamentos constitui uma repetição do experimento básico O aumento do número de repetições é um dos procedimentos mais eficientes para se melhorar a exatidão e a precisão de um experimento Porque permite reduzir o erro experimental O princípio da repetição permite a Estimar o erro experimental que é necessário para avaliar a significância das diferenças entre as médias de tratamentos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 15 Manoel Carlos Gonçalves b Aumentar a sensibilidade pela redução do erro padrão da diferença entre médias de tratamentos c Aumentar a abrangência do experimento pela incorporação de uma maior diversidade de material experimental se o controle local apropriado é usado para controlar o erro experimental O número de repetições geralmente é função de a número de tratamentos b tipo de material experimental homogeneidade conhecimento do material c custo do experimento materiais equipamentos procedimentos e métodos d disponibilidade de espaço físico e de mãodeobra e magnitude provável da diferença entre médias de tratamento e f nível de precisão desejada Desta forma é impossível determinar o número exato de repetições necessários para um determinado experimento Uma regra geral prática é prover no mínimo 10 graus de liberdade para o erro experimental de qualquer experimento Repetição e tamanho de parcela não são diretamente relacionados pois uma redução no tamanho da parcela permite um maior número de parcelas numa determinada área de terreno o que tenderá a aumentar a precisão do experimento 32 Casualização Consiste na distribuição dos tratamentos ao acaso nas unidades experimentais Tem a função de assegurar que a estimativa do erro experimental e dos efeitos de tratamentos não tenham tendência ou vício Apresenta as seguintes características a garante que os tratamentos sejam casualmente afetados por fontes desconhecidas de variação quando eles são distribuídos nas diversas unidades experimentais b faz com que os erros desvios se tornem aleatórios c faz com que os erros associados aos tratamentos sejam independentes entre si permitindo assim a aplicação dos testes estatísticos É necessário terse casualizações separadas para cada um dentre vários experimentos Alguns pesquisadores têm usado o mesmo delineamento com a mesma casualização para vários experimentos o que não é recomendável devido a possibilidade de uma leve tendência inerente a qualquer tipo de casualização 33 Controle Local Consiste na estratificação agrupamento das unidades experimentais material ou local em grupos homogêneos denominados de blocos o que permite a medição e o controle mais adequado do erro experimental Em experimentos simples cada bloco contém o mesmo número de unidades experimentais sobre os quais todos os tratamentos que estão sendo comparados são distribuídos de forma aleatória As diferenças entre parcelas de um mesmo tratamento num experimento repetido em blocos são parcialmente devidas ao erro experimental mas também parcialmente devido à diferença média entre os blocos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 16 Manoel Carlos Gonçalves Assim a variação devida a blocos pode ser removida do erro experimental Conseqüentemente a exatidão e a precisão do experimento tornamse maior quando uma quantidade da variabilidade é removida do erro experimental por meio deste procedimento Capítulo 4 Delineamentos Experimentais O objetivo do delineamento é assegurar que os dados apropriados sejam obtidos de forma que permita uma análise objetiva e conduza a inferências válidas com relação ao problema estabelecido A análise de variância do experimento é feita de acordo com o tipo de delineamento experimental utilizado A análise da variância em torno das médias consiste na partição da variação total presente no experimento em componentes Cada componente é atribuído a uma causa identificável ou fonte de variação um dos componentes representa a variação devida a fatores não controlados e erros aleatórios associados com as medidas da resposta Se um conjunto de dados consiste de n medições n 2 1 Y Y Y e sua média é Y a variação total em torno da média está incorporada na soma de quadrados dos desvios 2 n 1 i i Y Y que é chamada de soma de quadrados total A técnica de análise de variância decompõe esta soma de quadrados total em fontes de variação conhecidas além do componente erro O número de fontes de variação que podem ser identificadas e as fórmulas para o cálculo das somas de quadrados dos componentes está intrinsecamente relacionado com o delineamento experimental empregado na coleta dos dados e com o modelo estatístico considerado apropriado para a análise 41 Delineamento Experimental Inteiramente Casualizado DIC É o delineamento experimental mais simples de todos envolve apenas dois princípios básicos da experimentação repetição e casualização O delineamento inteiramente casualizado é análogo a uma amostragem aleatória independente feita a partir de várias populações em que cada população é identificada como a população de respostas sob um determinado tratamento Em geral este delineamento é utilizado quando o material eou as condições experimentais são homogêneas Por exemplo experimentos de laboratório ou com animais bastante uniformes No caso de experimentos com vasos em casasdevegetação se a posição destes for mudada com certa freqüência não se justifica a introdução de blocos As vantagens deste delineamento são a o número de repetições pode ser diferente de um tratamento para outro sem dificultar a análise e b apresenta o maior número de graus de liberdade associado ao resíduo quando comparado com os outros delineamentos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 17 Manoel Carlos Gonçalves As principais desvantagens são a a variância residual pode estar sendo superestimada porque toda a variação com exceção daquela atribuída a tratamento é tomada como variação casual e b se o número de tratamentos é elevado podem ocorrer problemas de heterogeneidade no ambiente Não existe nenhuma restrição imposta quanto à casualização ou seja os tratamentos e suas repetições são aplicados inteiramente ao acaso nas parcelas experimentais através de sorteio ou usando tabelas de números aleatórios O modelo linear aditivo é dado por ij i Yij onde Yij observação individual t 1 2 i e r 1 2 j t número de tratamentos r número de repetições i efeito de tratamento t 1 2 i ij erro experimental A estrutura de dados para este delineamento apresenta a forma de uma matriz contendo os tratamentos nas linhas e as repetições nas colunas como mostrado no quadro a seguir QUADRO 02 Estrutura de dados ij Y num quadro de dupla entrada para o DIC Tratamento s Repetições j Totais Médias i 1 2 3 iY iY 1 Y11 Y12 Y13 2 Y21 Y22 Y23 3 Y31 Y32 Y33 4 Y41 Y42 Y43 Y Y Este delineamento permite dividir a variação total em dois componentes um atribuível à variação entre tratamentos e outro devido à variação das repetições dentro dos tratamentos Desta forma o quadro de Análise de Variância para o DIC é apresentado na forma dada a seguir Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 18 Manoel Carlos Gonçalves QUADRO 03 Análise de Variância do DIC FV SQ GL QM F Tratamento t 1 i i 2 C r Y t1 SQTratt1 QMTrat QMRes Resíduo t 1 i t 1 i 2 i r 1 j 2 ij r Y Y t r1 SQRes tr1 Total t 1 i r 1 j 2 ij C Y r t1 Onde tr Y C 2 t 1 i r 1 j ij Se o F calculado for maior ou igual ao F tabelado com t1 e tr1 graus de liberdade declarase o resultado como sendo significativo ao nível de significância e afirmase que existe pelo menos uma diferença entre médias de tratamentos O coeficiente de variação que avalia a precisão do experimento é dado por 100 Y QMRe s CV Exemplo de Aplicação De certo experimento conduzido em casadevegetação foi obtido os seguintes dados QUADRO 04 Peso da matéria seca em gvaso de 5 variedades de feijão aos 30 dias após a emergência Tratamentos Repetições j i 1 2 3 4 5 6 A 29 35 41 39 30 35 B 30 36 37 38 31 33 C 31 38 42 31 35 32 D 45 44 38 47 41 50 E 65 80 74 70 80 70 Computar a Análise de Variância e o Coeficiente de Variação Apresente a conclusão estatística e a conclusão prática As somas de quadrados utilizados na estimação das variâncias das fontes de variação são Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 19 Manoel Carlos Gonçalves 6691196 C 4390 2050 2090 6 1 C Y r 1 SQTrat 5869763 5 6 70 132 r t Y C 2 2 2 2 i 2 2 5 38174 Re s SQ 6691196 722937 SQTrats SQTotal Re s SQ 722937 C 07 53 92 C Y SQTotal 2 2 2 2 ij Logo a análise de variância fica FV SQ GL QM F Tratamento 6691196 4 1672799 7771 Resíduo 538174 25 021527 Total 7229372 29 O coeficiente de variação é dado por 1050 42 4 0 21527 100 CV O teste F foi altamente significativo p 001 o que leva a rejeitar a hipótese nulidade e concluir que existe pelo menos uma diferença significativa entre duas médias de tratamentos com uma probabilidade superior a 99 A perda de unidades experimentais ou a utilização de número diferente de repetições para os tratamentos não dificulta a análise do DIC 42 Delineamento Experimental Blocos Casualizados DBC Os blocos casualizados constituem o tipo de delineamento experimental mais utilizado na experimentação agrícola Para melhorar a precisão do experimento podemos blocar o material experimental em grupos homogêneos de tamanho K para compararmos K tratamentos Ora se cada tratamento é aplicado a exatamente uma unidade experimental no bloco e se as comparações são feitas apenas entre respostas de tratamentos do mesmo bloco a variabilidade não controlada poderia ser grandemente reduzida Este é o conceito de blocos casualizados Os blocos representam o controle local e cada um deve incluir todos os tratamentos Para que o delineamento seja eficiente cada bloco deve ser o mais uniforme possível mas os blocos podem diferir bastante uns dos outros Nos experimentos fitotécnicos cada bloco deverá ser constituído de uma área de solo bem uniforme Nos experimentos zootécnicos cada bloco deverá ser constituído de animais com características semelhantes Dentro de cada bloco os tratamentos são alocados às parcelas inteiramente ao acaso Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 20 Manoel Carlos Gonçalves A vantagem deste delineamento é que ele extrai da variação total a variação devida a blocos além da variação devida a tratamento As desvantagens são a redução do número de graus de liberdade do resíduo e b se o número de tratamentos é muito grande é difícil conseguir um bom agrupamento das parcelas em blocos homogêneos Os tratamentos são atribuídos às parcelas utilizandose sorteios separadamente para cada bloco Não é indispensável que os blocos estejam contíguos O modelo linear aditivo para o DBC é dado por ij j i Yij onde média geral do experimento i efeito de tratamento com t 1 2 i j efeito de bloco com r 1 2 j t número de tratamentos r número de repetições ij erro experimental A estrutura de dados para o DBC é Tratamento s i Repetições j Totais iY Médias iY B1 B2 Br T1 Y11 Y12 Y1r 1 Y 1 Y T2 Y21 Y22 Y2r 2 Y 2 Y Tt Yt1 Yt2 Ytr t Y t Y Totais Y j 1 Y 2 Y rY Y Y Este delineamento permite fracionar a variação total em três componentes ou seja em variações devidas a blocos a tratamentos e ao erro experimental As somas de quadrados os graus de liberdade os quadrados médios e o F são calculados e apresentados no quadro a seguir Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 21 Manoel Carlos Gonçalves QUADRO 05 Análise de Variância do DBC FV SQ GL QM F Blocos r 1 j j 2 C t Y r1 1 r SQBl Re s QM QMBl Tratamento t 1 i i 2 C r Y t1 1 t SQTrat QMRe s QMTrat Resíduo t 1 i t 1 i 2 i t 1 j 2 j r 1 j ij2 C r Y t Y Y r1t 1 1 1t r Re s SQ Total t 1 i r 1 j 2 ij C Y r t1 Onde tr Y C 2 t 1 i r 1 j ij Exemplo de Aplicação Os dados de o quadro a seguir referemse ao conteúdo de óleo nas sementes de linho quando as plantas foram inoculadas com Septoria linicola em diferentes estádios de desenvolvimentos O delineamento utilizado foi blocos casualizados com seis tratamentos e quatro repetições QUADRO 06 Conteúdo de óleo nas sementes de linho inoculadas com Septoria linicola Tratamentos Blocos j i I II III IV Plântula 44 59 60 41 Início da floração 33 19 49 71 Plena floração 44 40 45 31 Final da floração 68 66 70 64 Maturação 63 49 59 71 Não inoculado 64 73 77 67 Computar a análise de variância Discutir As somas de quadrados utilizadas na estimação das variâncias das fontes de variação são as seguintes Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 22 Manoel Carlos Gonçalves 5450958 C 76 33 4 4 C Y SQTotal 73372042 6 4 7 132 r t Y C 2 2 2 2 ij 2 2 314125 C 34 5 316 6 1 C Y t 1 cos SQBlo 2 2 j 2 65208 31 C 281 204 4 1 C Y r 1 SQTrats 2 2 i 2 1971625 Re s SQ 65208 31 314125 5450958 Re s SQ SQBlo cos SQTrats SQTotal Re s SQ A análise de variância fica FV SQ GL QM F Blocos 314125 3 104708 Tratamentos 3165208 5 633042 482 Resíduo 1971625 15 131442 Total 5450958 23 O coeficiente de variação é dado por 2084 CV 55 131442 100 Y QMRe s 100 CV Como F foi significativo concluise que pelo menos um contraste entre médias de tratamentos deverá ser significativamente diferente de zero ao nível de 1 de probabilidade A precisão do experimento dada pelo coeficiente de variação pode ser considerada boa uma vez que o valor do CV é considerado médio No caso do DBC devese estimar parcela perdida Esta estimação não fornece qualquer informação adicional para o experimento apenas facilita o cálculo da análise de variância O valor que representará a parcela perdida é dado por 1 1t r Y r Y Y t Y j i ij onde t é o número de tratamentos e iY é o total do tratamento com parcela perdida r é o número de blocos e jY é o total do bloco com parcela perdida e Y Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 23 Manoel Carlos Gonçalves é o total das parcelas disponíveis A análise é feita como anteriormente com a única diferença que se perde um grau de liberdade do resíduo para cada parcela estimada 43 Delineamento Experimental Quadrado Latino No delineamento bloco completo casualizados é removido do erro experimental o efeito de um único fator Ocasionalmente é possível remover os efeitos de dois fatores simultaneamente no mesmo experimento usando o quadrado latino Para usar este delineamento é necessário assumir que nenhuma interação existe entre o efeito do tratamento e o efeito do bloco Nos quadrados latinos os blocos são organizados de duas maneiras diferentes uns constituindo as linhas e outros as colunas Este delineamento é utilizado quando a heterogeneidade do material experimental pode ser blocada em duas direções Por exemplo na coleta de amostras foliares para análise de nutrientes temos variações entre plantas e dentro de uma mesma planta no caso de dados sócioeconômicos onde o preço de hortaliças varia com os dias da semana e com os diferentes mercados temos outra aplicação do quadrado latino é também utilizado para isolar a heterogeneidade do solo em duas direções perpendiculares A vantagem do DQL é que ele extrai da variação total a variação devida a tratamentos linhas e colunas As desvantagens são a perdemse graus de liberdade do resíduo sacrificando a precisão do experimento b o número de tratamentos é limitado porque deve ser igual ao número de linhas e de colunas Um determinado tratamento deve aparecer apenas uma vez em cada linha e em cada coluna O modelo linear aditivo para este delineamento é dado por ij k k j i Yijk onde média geral do experimento i efeito de linha com n 1 2 i j efeito de coluna com n 1 2 j k efeito de tratamento n 1 2 k ij k erro experimental Na estrutura de dados as medições são tabuladas em duas tabelas uma para linhas e colunas e outra para totais de tratamentos como mostrado a seguir Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 24 Manoel Carlos Gonçalves QUADRO 07 Tabulação de dados para DQL Colunas Linhas 1 2 3 Yi Trat Yk 1 Y11A Y12B Y13C Y1 A Y1 2 Y21C Y22A Y23B Y2 B Y2 3 Y31B Y32C Y33A Y3 C Y3 Yj Y1 Y2 Y3 Y Este delineamento permite partir a variação total em quatro componentes linhas colunas tratamentos e resíduo O esquema da Análise de Variância é o seguinte QUADRO 08 Análise de Variância para DQL FV SQ GL Linhas n 1 i i 2 C n Y n1 Linhas n 1 j j 2 C n Y n1 Tratamento n 1 k 2 k C n Y n1 Resíduo n 1 i n 1 k 2 k n 1 j 2 j n 1 i 2 i n 1 j 2 ij k 2C n Y n Y n Y Y n1n2 Total n 1 i n 1 j 2 ij k C Y n21 Onde 2 2 n 1 i n 1 j ij k n Y C Exemplo de Aplicação A seguir apresentamos o croqui de campo de um experimento com trigo onde comparadas quatro variedades no delineamento quadrado latino Os resultados são dados em Kgparcela Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 25 Manoel Carlos Gonçalves Linhas Colunas 1 2 3 4 1 C105 D 77 B120 A132 2 B111 A120 C103 D 75 3 D 58 C122 A112 B137 4 A116 B123 D 59 C102 Computar a Análise de Variância Discutir Os totais e médias de variedades são Variedades A B C D Totais 480 491 432 269 Médias 120 123 108 68 As somas de quadrados necessárias para a obtenção das estimativas de variância das fontes de variação são as seguintes 904000 C 10 2 77 10 5 C Y SQTotal 17472400 16 2 167 n Y C 2 2 2 2 k ij 2 2 2 k ij 789250 C 26 9 43 2 491 48 0 4 1 C Y n 1 SQTrats 2 2 2 2 2 k 19550 C 40 0 429 40 9 434 4 1 C L n 1 SQLinhas 2 2 2 2 i2 68000 C 44 6 394 44 2 39 0 4 1 C C n 1 SQColunas 2 2 2 2 j2 27200 Re s SQ 6 8000 19550 789250 904000 Re s SQ SQColunas SQLinhas SQTrats SQTotal Re s SQ O quadro de análise de variância é FV SQ GL QM F Linhas 19550 3 06516 Colunas 68000 3 22667 Tratamentos 789250 3 263083 5804 Resíduo 27200 6 04533 Total 15 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 26 Manoel Carlos Gonçalves Como o teste F foi significativo rejeitase a hipótese H0 e concluise que pelo menos um contraste entre médias de tratamentos deverá ser significativamente diferente de zero ao nível de 1 de probabilidade A estimativa de parcela perdida para o DQL é dada por 2 1t t 2G T C L t Y k j i ij k onde t número de tratamentos iL total da linha que contém a parcela perdida Cj total da coluna que contém a parcela perdida T k total do tratamento que contém a parcela perdida G total geral Y ij k Perdese um grau de liberdade do resíduo para cada parcela perdida Capítulo 5 Delineamentos de Tratamentos Os diferentes tipos de condições meios físicos ou processos que são manipulados nas unidades experimentais são chamados de fatores Os diferentes modos de presença de um fator são chamados de níveis dos fatores Cada combinação específica dos níveis de diferentes fatores é chamada de tratamento Nos capítulos anteriores considerouse unicamente um fator para cada experimento como por exemplo nitrogênio com 0 10 20 e 30 kg por parcela Na realidade comumente trabalhase com mais de um fator por experimento Por exemplo os níveis do fator nitrogênio podem ser testados juntamente com diferentes variedades de feijão com o objetivo de detectar se a resposta ao nitrogênio é ou não semelhante para as diferentes variedades Quando vários fatores são estudados simultaneamente em todas as combinações possíveis dos respectivos níveis temse o que se denomina arranjo esquema fatorial ou simplesmente um fatorial Os experimentos com tratamentos delineados em fatoriais são muito mais informativos e os resultados obtidos são de aplicação mais abrangente O fatorial não é um delineamento experimental O fatorial é um arranjo dos níveis dos vários fatores em estudo Na instalação de um fatorial são usados os delineamentos básicos tais como inteiramente casualizado blocos casualizados e quadrado latino Cada parcela do delineamento experimental recebe uma das combinações dos fatores que constituem os tratamentos Um arranjo alternativo apropriado para muitos fatoriais é o de parcela dividida no qual cada parcela é dividida em subparcelas para alocar os níveis de diferentes fatores Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 27 Manoel Carlos Gonçalves 51 Fatoriais Consiste na formação de todas as combinações possíveis de dois ou mais fatores em todos os seus respectivos níveis para constituírem os tratamentos de um determinado experimento Pela natureza dos tratamentos os fatoriais podem ser a combinação de fatores qualitativos ex variedades x inseticidas b combinação de fatores quantitativos ex níveis de N x níveis de P c combinação mista ex variedades x níveis de P As vantagens dos fatoriais são geralmente são mais eficientes do que os experimentos simples com apenas um fator permitem obter conclusões mais gerais O principal defeito dos experimentos fatoriais é que o número de tratamentos aumenta muito à medida que se aumenta os fatores ou seus níveis o que nos leva a usar blocos incompletos eou o sistema de confundimento o que resulta em maiores complicações no planejamento e análise dos dados Exemplo de Aplicação Consideremos um experimento fatorial 22 Pimentel Gomes em que os fatores eram adubo mineral A e torta de filtros de usinas de açúcar T QUADRO 27 Produção de canadeaçúcar kgparcela Blocos Tratamentos Totais de Blocos 1 A T AT 1 180 206 196 192 774 2 86 210 150 196 642 3 94 186 146 184 610 4 114 206 158 202 680 Totais de Tratamentos 474 808 650 774 2706 Compute a ANOVA completa Obtenção das somas de quadrados pelo método do quadrado auxiliar que relaciona os totais dos níveis dos fatores 4 A0 A1 Totais de Torta T0 474 808 12820 T1 650 774 14240 Totais de Adubo Mineral 1124 15820 27060 Significa que os valores do interior do quadro são totais de quatro parcelas Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 28 Manoel Carlos Gonçalves As somas de quadrados são calculadas a partir de este quadro auxiliar como C 15820 8 11240 1 SQ 2 2 A com 457652250 44 27060 C 2 2 2 2 2 2 2 1 376610 45765225 1311025 8 1 12820 14240 45765225 126025 8 1 474 808 650 774 4 47477900 45765225 A T A T A T A T S Q S Q S Q S Q Efeito Conjunto de A e T S Q C S Q 17126750 1712675 1311025 126025 275625 AT A T A T AT AT S Q S Q S Q S Q S Q S Q A Análise de Variância preliminar é feita da maneira usual 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 774 680 4 cos 378275 1 474 774 4 1712675 180 206 202 2467975 Re cos S Q Blo C S Q Blo S QTrat C S QTrat S QTotal C S QTotal S Q s S QTotal S Q Blo S QTrat 377025 FV SQ GL QM F Blocos 378275 3 126092 943 Tratamentos 1712675 3 570892 1363 Resíduo 377025 9 41892 Total 2467975 15 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 29 Manoel Carlos Gonçalves A Análise de Variância completa que é feita considerando o arranjo fatorial ou seja desdobrando os graus de liberdade de tratamentos de acordo com o fatorial 22 é a seguinte FV SQ GL QM F Adubo Mineral 1311025 1 1311025 3129 Torta T 126025 1 126025 300ns Interação AT 275625 1 275625 658 Tratamentos 1712675 3 570892 Blocos 378275 3 126092 Resíduo 377025 9 41892 Total 2467975 15 A interação significativa indica que o comportamento de um fator depende dos níveis do outro fator Neste caso devese realizar o desdobramento da interação o que pode ser feito da forma seguinte 1º Desdobramento da interação estudando o efeito de torta dentro de cada nível de adubo mineral Então temos que 14450 8 158 2 774 4 80 8 1 Q S 38720 8 1124 65 0 4 474 1 Q S 1025 131 C 15820 8 11240 1 Q S 2 2 2 T d A 2 2 2 T d A 2 2 A 1 O E a Análise de Variância é FV SQ GL QM F Adubo Mineral A 1311025 1 1311025 3129 Torta s A TdA0 387200 1 387200 924 Torta c A TdA1 14450 1 14450 035ns Tratamentos 1712675 3 570892 Blocos 378275 3 126092 Resíduo 377025 9 41892 Total 2467975 15 A conclusão prática é que houve resposta à adubação com torta apenas na ausência de adubo mineral dentro de cada nível de torta Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 30 Manoel Carlos Gonçalves Desdobramento da interação estudando o efeito de adubo mineral dentro de cada nível de torta Então temos que 19220 8 1424 774 4 65 0 1 Q S 139445 8 128 2 80 8 4 474 1 Q S 126025 C 14240 8 12820 1 Q S 2 2 2 A d T 2 2 2 A d T 2 2 T 1 O E a Análise de Variância é FV SQ GL QM F Torta T 126025 1 126025 300ns Adubo s T AdT0 1394450 1 1394450 3329 Adubo c T AdT1 192200 1 192200 459ns Tratamentos 1712675 3 570892 Blocos 378275 3 126092 Resíduo 377025 9 41892 Total 2467975 15 A conclusão prática é que houve resposta à adubação mineral apenas na ausência de torta Portanto devese comparar apenas as médias de adubação mineral na ausência de torta 53 Parcelas Subdivididas É um arranjo fatorial de tratamentos que apresenta as características seguintes a as parcelas que recebem os níveis de um dos fatores são divididas em subparcelas às quais são aplicados os níveis de outro fator b os níveis do fator casualizado nas parcelas são denominados de tratamentos principais ou tratamentos A e os níveis do fator casualizado nas subparcelas de cada parcela são denominados de tratamentos secundários ou tratamentos B c a casualização é feita em dois estágios primeiro casualizamos os níveis do fator A nas parcelas em seguida casualizamos os níveis do fator B nas subparcelas de cada parcela d os fatores têm diferentes erros experimentais ou seja existe o QMResa e o QMResb e os fatores são medidos com diferentes graus de precisão ou seja QMResa QMResb f o tamanho de parcela é diferente para os fatores g em geral o QMRes da subparcela é menor que aquele que seria obtido se todas as combinações de tratamentos fossem arranjadas aleatoriamente dentro do delineamento escolhido como ocorre num fatorial propriamente dito Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 31 Manoel Carlos Gonçalves Os delineamentos de tratamentos em parcelas subdivididas são freqüentemente usados para os experimentos fatoriais onde a natureza do material experimental ou as operações envolvidas tornam difícil o manuseio de todas as combinações dos fatores de uma mesma maneira Desta forma o arranjo parcela dividida pode ser usado principalmente nas situações seguintes a quando os níveis de um dos fatores exigem maior quantidade de material na unidade experimental do que os níveis do outro fator por exemplo métodos de preparo do solo e variedades métodos de irrigação e doses de fertilizantes b quando um fator adicional é incorporado num experimento para ampliar seu objetivo por exemplo variedades e tipos de fungicidas variedades e adubação foliar c quando sabese que maiores diferenças podem ser esperadas entre os níveis de um determinado fator do que entre os níveis do outro fator neste caso os níveis do fator onde maiores diferenças são esperadas devem ser casualizados nas parcelas por exemplo doses de adubo e variedades d quando se deseja maior precisão para as estimativas de um dos fatores neste caso o fator que se deseja maior precisão deve ser casualizado nas subparcelas de cada parcela por exemplo tipos de inseticidas e doses de cada inseticida Exemplo de Aplicação Seja um experimento com parcelas subdivididas em blocos casualizados para um arranjo fatorial de tratamentos de três doses de nitrogênio e duas alturas de planta Os níveis de N foram alocados nas parcelas e os níveis de altura nas subparcelas Altura Nitrogênio Blocos BI BII BIII A1 A2 A1 A2 A1 A2 N1 3 1 4 2 3 1 N2 5 3 5 3 4 1 N3 9 6 6 4 9 2 Para o cálculo das somas de quadrados são requeridas tabulações adicionais quadros auxiliares QUADRO 28 Para o cálculo das estimativas das parcelas Blocos Nitrogênio BI BII BIII Totais de Nitrogênio N1 4 6 4 14 N2 8 8 5 21 N3 15 10 11 36 Totais de Blocos 27 24 20 71 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 32 Manoel Carlos Gonçalves QUADRO 29 Para o cálculo das estimativas das subparcelas Altura Nitrogênio A1 A2 Totais de Nitrogênio N1 10 4 14 N2 14 7 21 N3 24 12 36 Totais de Altura 48 23 71 O procedimento de cálculo das somas de quadrado é o seguinte 3 44 SQ 3472 4211 28006 3 12 4 10 SQ SQ SQ SQ SQ 34720 28006 9 23 48 SQ 7 220 4211 4110 53440 Re s SQ 53440 Então SQ C 2 11 6 4 SQParcela SQ SQBlo cos SQ SQ Re s SQ 4211 28006 6 36 21 14 SQ 411 28006 6 20 24 27 cos SQBlo 28006 3 2 3 71 C NA 2 2 2 NA A N NA NA 2 2 A a NB 2 2 2 NB N NB a 2 2 2 N 2 2 2 2 Neste caso a unidade de cálculo é a subparcela então a SQTotal é dada por 7 34 Re s SQ 3 44 3472 7 22 4211 411 9894 Re s SQ SQ SQ SQRe s SQBlo cos SQ SQTotal Re s SQ 9894 28006 2 5 3 SQTotal b b NA A a N b 2 2 2 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 33 Manoel Carlos Gonçalves A Análise de Variância completa fica então FV SQ GL QM F Blocos 411 2 206 114ns Nitrogênio N 4211 2 2106 1164 Resíduo a 722 4 181 Altura A 3472 1 3472 2846 Interação NA 344 2 172 141ns Resíduo b 734 6 122 Total 9894 17 Temos que calcular dois coeficientes de variação ou seja o coeficiente de variação para parcelas CVa e o coeficiente de variação para subparcelas CVb 2803 94 3 122 100 Y QMRe s 100 CV 3415 94 3 181 100 Y QMRe s 100 CV b b a a Observar que a precisão das comparações dos efeitos médios do fator alocado às subparcelas é maior do que a precisão das comparações dos efeitos médios do fator alocado às parcelas No caso de termos três fatores em estudo o terceiro fator seria adicionado pela divisão da subparcela resultando num arranjo com parcelas sub subdivididas A restrição adicional na casualização torna necessária a inclusão de mais um termo a ser utilizado como erro experimental para testar o efeito geral deste terceiro fator e as interações envolvendo este mesmo fator Este delineamento de tratamentos pode ter alguma vantagem na condução dos experimentos entretanto a necessidade de um terceiro erro pode dificultar os testes de médias A casualização é feita pelo mesmo processo das parcelas divididas com as subparcelas sendo repartidas em subsubparcelas em número igual aos níveis do terceiro fator e sobre os quais alocamos aleatoriamente o terceiro fator Suponhamos um experimento com quatro blocos casualizados onde foram alocadas três parcelas duas subparcelas dentro de cada parcela e três sub subparcelas dentro de cada subparcela O esquema de Análise de Variância para este experimento é o seguinte Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 34 Manoel Carlos Gonçalves Fontes de Variação Graus de Liberdade Blocos r13 Fator A a12 Resíduo a r1a16 Fator B b11 Interação AB a1b12 Resíduo b r1b1a9 Fator C c12 Interação AC a1c14 Interação BC b1c12 Interação ABC a1b1c14 Resíduo c Diferença 36 Total Abcr171 Nos experimentos onde medições sucessivas são feitas numa mesma parcela por um certo período de tempo considerase geralmente este período como um tratamento secundário e o experimento é então analisado como parcelas subdivididas no tempo da maneira usual Entretanto alguns autores sugerem uma modificação na análise usual considerando que épocas ou anos não são casualizados dentro das parcelas A modificação dáse no sentido de isolar do Resíduo b a interação entre tratamentos secundários e blocos Por exemplo para um experimento em parcelas subdivididas com r blocos a variedades e b épocas de corte os autores sugerem o esquema de Análise de Variância seguinte Fontes de Variação Graus de Liberdade Blocos R r1 Variedades A a1 Resíduo a a1r1 Época de corte B b1 Interação AB a1b1 Interação BR b1r1 Resíduo b a1b1r1 Total abr1 Para o cálculo da SQÉpoca de Corte x Blocos BR devemos organizar um quadro auxiliar que relacione Época de Corte e Blocos a partir do qual calculamos a soma de quadrados do efeito conjunto SQÉpoca de Corte Blocos e a soma de quadrados da interação BR que é dada por Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 35 Manoel Carlos Gonçalves SQBlo cos SQ SQ SQ B BR BR O restante da análise é feita da maneira usual 54 Parcelas em Faixas Este tipo de delineamento de tratamentos é utilizado em experimentos bifatoriais em condições de campo quando os níveis de ambos os fatores necessitem de parcelas grandes ou quando se tem interesse de avaliar com exatidão a interação entre os dois fatores Neste caso o interesse na interação é maior do que o interesse nos efeitos principais de cada um dos fatores porque o grau de precisão associado ao efeito da interação é aumentado em detrimento da precisão dos efeitos principais Isto é conseguido com o uso de três tamanhos de parcela a parcelas em faixas verticais para o primeiro fator que é chamado de fator vertical b parcelas em faixas horizontais para o segundo fator que é chamado de fator horizontal e c parcela interseção para a interação entre os dois fatores As parcelas em faixas verticais e as parcelas em faixas horizontais são sempre perpendiculares entre si Entretanto não há nenhuma relação entre seus tamanhos como ocorre no caso das parcelas e subparcelas do delineamento parcelas divididas Evidentemente que a parcela interseção é a menor de todas Desta forma num delineamento em faixas os graus de precisão associados com os efeitos principais de ambos os fatores são sacrificados para melhorar a precisão do efeito de interação Considerando que os números de graus de liberdade para estimar os resíduos para as comparações dos efeitos principais geralmente são pequenos o delineamento não é recomendado a menos que considerações práticas justifiquem seu uso ou que a interação seja o principal objetivo do estudo O procedimento para casualização e arranjo no campo para um delineamento em faixa consiste de dois processos independentes de casualização um para o fator horizontal e outro para o fator vertical O delineamento experimental blocos casualizados é o mais freqüentemente utilizado Seja por exemplo um fator vertical A um fator horizontal B e a3 e n4 seus níveis Suponhamos o delineamento experimental blocos casualizados com r5 Alocamos as parcelas horizontais pela divisão da área experimental em r5 blocos e em seguida dividindo cada um deles em b4 faixas horizontais em seguida fazse a casualização dos b4 níveis nas 4 faixas de cada bloco separada e independentemente A alocação das parcelas e dos fatores verticais é feita de forma análoga Senão vejamos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 36 Manoel Carlos Gonçalves A1 A3 A2 A3 A1 A2 A2 A3 A1 B3 B2 B4 B2 B4 B2 B4 B3 B3 B1 B1 B1 Bloco I Bloco II Bloco V A Análise de Variância de um delineamento em faixas é dividida em três partes a análise do fator vertical a análise do fator horizontal e a análise da interação Para o exemplo anterior o esquema da análise de variância é dado por Fontes de Variação Graus de Liberdade Blocos r14 Fator Vertical A a12 Resíduo a a1r18 Fator Horizontal B b13 Resíduo b b1r112 Interação AB a1b16 Resíduo c a1b1r124 Total abr159 Se o mesmo exemplo fosse analisado como parcela dividida o esquema de análise de variância seria dado por Fontes de Variação Graus de Liberdade Blocos r14 Fator A a12 Resíduo a a1r18 Fator B b13 Interação AB a1b16 Resíduo b ab1r136 Total abr159 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 37 Manoel Carlos Gonçalves Observe que esta análise além de ser mais simples dá maior precisão para as comparações entre os níveis do fator B e para a avaliação da interação ABPara cálculo das somas de quadrados é necessário construir três tabelas de dupla entrada para totais uma para repetição x fator vertical uma para repetição x fator horizontal e uma para fator vertical x fator horizontal Exemplo de Aplicação Suponhamos um experimento bifatorial envolvendo seis variedades de arroz fator horizontal e três doses de nitrogênio fator vertical testadas num delineamento experimental blocos casualizados com três blocos Os dados se referem a produção de grãos kgha Doses de Nitrogênio kgha Produção de Grãos kgha Bloco I Bloco II Bloco III IR 8 V1 0 N1 2373 3958 4384 60 N2 4076 6431 4889 120 N3 7254 6808 8582 IR 12780 V2 0 4007 5795 5001 60 5630 7334 7177 120 7053 8284 6297 IR 305412 V3 0 2620 4508 5621 60 4676 6672 7019 120 7666 7328 8611 IR 40025 V4 0 2726 5630 3821 60 4838 7007 4816 120 6881 7735 6667 IR 66558 V5 0 4447 3276 4582 60 5549 5340 6011 120 6880 5080 6076 Peta V6 0 2572 3724 3326 60 3896 2822 4425 120 1556 2706 3214 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 38 Manoel Carlos Gonçalves Computar a Análise de Variância O primeiro passo é construir três quadros auxiliares de totais QUADRO 1 Quadro de produção total de blocos e variedades Variedades Produção Total BV Totais de Variedades V Bloco I Bloco II Bloco III V1 13703 17197 17855 48755 V2 16690 21413 18475 56578 V3 14962 18508 21251 54721 V4 14445 20372 15304 50121 V5 16876 13696 16669 47241 V6 8024 9252 10965 28241 Totais de Blocos B 84700 100438 100519 285657 G QUADRO 2 Quadro de produção total de blocos e nitrogênio Nitrogênio Produção Total BN Totais de Nitrogênio N Bloco I Bloco II Bloco III N1 18745 26891 26735 72371 N2 28665 35606 34337 98608 N3 37290 37941 39447 114678 QUADRO 3 Quadro de produção total de variedade e nitrogênio Variedade Produção Total VN N1 N2 N3 V1 10715 15396 22644 V2 14803 20141 21634 V3 12749 18367 23605 V4 12177 16661 21283 V5 12305 16900 18036 V6 9622 11143 7476 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 39 Manoel Carlos Gonçalves 167005649 SQTotal 1511109660 3214 2372 SQTotal C Y SQTotal 1511109660 363 285657 rab G C 2 2 2 2 2 As somas de quadrados para a análise horizontal são calculadas como 9220962 cos B SQBlo C 63 100519 100438 84700 cos B SQBlo C ab B cos B SQBlo 2 2 2 2 57100201 e V SQVariedad C 33 28241 48755 e V SQVariedad C rb V e V SQVariedad 2 2 2 14922620 Re síduo a SQ 57100201 9220962 1511109660 3 10965 13702 Re síduo a SQ SQBlo cos SQVariedade C b BV Re síduo a SQ 2 2 2 As somas de quadrados para a análise vertical são calculadas como 50676061 io N SQNitrogên C 36 114678 98608 72371 io N SQNitrogên C ra N io N SQNitrogên 2 2 2 2 2974909 Re síduo b SQ 50676061 9220962 1511109660 6 39447 18745 Re síduo b SQ SQBlo cos SQNitrogên io N C a BN Re síduo b SQ 2 2 2 As somas de quadrados para a análise da interação são calculadas como Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 40 Manoel Carlos Gonçalves 23877980 SQNit VN SQVar 50676061 57100201 1511109660 3 7476 10715 SQNit VN SQVar SQNitrogên io N SQVariedade V C r VN SQNit VN SQVar 2 2 2 8232916 Re síduo c SQ 23877980 2974909 50676061 14922620 57100201 9220962 167005649 Re síduo c SQ Nit SQVar s b SQRe SQNit s a SQRe SQVar SQBlo cos SQTotal Re síduo c SQ Desta forma temos o quadro de Análise de Variância seguinte QUADRO 30 Análise de Variância de um experimento fatorial 3 x 6 no arranjo em faixas FV SQ GL QM F Blocos 9220962 2 4610481 Variedade V 57100201 5 11420040 765 Resíduo a 14922620 10 1492262 Nitrogênio N 50676061 2 25338031 Resíduo b 2974909 4 743727 Interação VN 23877980 10 2387798 580 Resíduo c 8232916 20 411646 Total 16700564 9 53 Observe que o número de graus de liberdade do Resíduo b não é adequado para dar validez ao teste de significância Como a interação é significativa devese ter cuidado na interpretação dos resultados ou seja devese realizar o desdobramento da interação antes de aplicar as comparações de médias apropriadas Neste caso temos que calcular três coeficientes de variação correspondentes aos três quadrados médios do erro Geral 100 Média QMRe s c c CV Geral 100 Média QMRe s b b CV Geral 100 Média QMRe s a a CV Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 41 Manoel Carlos Gonçalves Para o nosso exemplo como os graus de liberdade para o QMRes b é inadequado o CV b não é calculado Os valores de CV para os outros dois resíduos são computados como 121 100 5290 411646 b CV 231 100 5290 1492262 a CV O valor CV a indica o grau de precisão associado com o fator horizontal CV b com o fator vertical e CV c com a interação entre os dois fatores O valor de CV c é esperado ser o menor e a precisão para a medição do efeito da interação é então a mais elevada Para CVa e CVb entretanto não há nenhuma base para esperar que seja um maior ou menor que o outro 6 Testes para Comparações de Médias Os testes de comparações de médias ou testes de comparações múltiplas servem como complemento ao teste F da análise de variância uma vez que possibilitam detectar as reais diferenças entre as médias de tratamentos Os principais procedimentos para comparações múltiplas são 61 Teste t de Student Os requisitos básicos para sua aplicação são os seguintes a os contrastes a serem testados devem ser estabelecidos antes dos dados serem obtidos e b os contrastes a serem testados devem ser ortogonais entre si Este teste serve para comparar duas médias ou grupos de médias através de contrastes Por exemplo a estimativa de contraste de médias 2 2 1 1 C mˆ C mˆ Yˆ Cnmˆ n pode ser testada calculandose a estatística t dada por Yˆ S Yˆ Yˆ Vˆ 0 Yˆ t O valor absoluto da estatística t deve ser comparado com os valores tabelados em função do número de graus de liberdade do resíduo e do número de significância desejado As hipóteses sob consideração são m m ou m 0 Y H e m m ou m 0 Y H n 2 1 a n 2 1 0 A regra de decisão é que se t t gl do resíduo rejeitase H0 caso contrário não se rejeita H0 O intervalo de confiança para um contraste de médias é dado por t SYˆ Yˆ Y t SYˆ Yˆ onde o valor de t é obtido na tabela em função do número de graus de liberdade do resíduo Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 42 Manoel Carlos Gonçalves 62 Teste de Bonferroni É um aperfeiçoamento do teste t Sabese que mesmo que se observem os requisitos básicos do teste t ele não é exato quando aplicado a dois ou mais contrastes de um mesmo experimento Por exemplo quando se adota o nível de significância de 5 para testar cada um dentre três contrastes a probabilidade de que pelo menos um seja significativo por simples acaso passa a ser aproximadamente 15 5 3 De maneira geral se o nível de significância for para cada contraste a probabilidade de que pelo menos um de n contrastes ortogonais seja significativo por acaso é de n Para contornar este problema o teste de Bonferroni indica o uso de um nível de significância n para cada contraste para um conjunto de contrastes temos n Para facilitar a aplicação do teste de Bonferroni existem tabelas t especiais Por exemplo para 3 5 e n contrastes o valor de t de Bonferroni para cada contraste corresponde a um nível de significância 167 5 3 considerando 20 gl para o resíduo o valor de t na tabela de Bonferroni é t 261 Este valor de t é que será usado ao aplicar o teste a 3 contrastes preferencialmente ortogonais A estatística t é calculada como da maneira anterior ou seja Yˆ S Yˆ t e calculada com t n gl resíduo obtido na Tabela de Bonferroni 63 Teste de Tukey Deve ser usado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias de tratamentos não permite comparar grupos de médias entre si O teste é de fácil uso e exato quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos O teste tem por base a diferença mínima significativa calculada como SYˆ q r q S onde q amplitude total estudentizada cujo valor é tabelado em função do número de tratamentos n do número de graus de liberdade do resíduo n e do nível de significância escolhido QMRe s S desvio padrão residual r número de observações usado para calcular as médias comparadas no contraste A regra de decisão é que se Yˆ o contraste é dito ser significativo ao nível de probabilidade testada indicando que as duas médias contrastadas diferem entre si Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 43 Manoel Carlos Gonçalves Se as duas médias comparadas no contraste não possuírem o mesmo número de repetições podemos aplicar o teste de forma aproximada calculando se a diferença mínima significativa como Yˆ Vˆ 2 1 q onde j i mˆ mˆ Yˆ com j i r r e 2 j i S r 1 r 1 Vˆ Yˆ 64 Teste de Duncan É um teste menos rigoroso que o teste de Tukey isto é discrimina mais os resultados entretanto é de aplicação mais trabalhosa Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente de valor e que todas elas possuam o mesmo número de repetições O teste deve ser usado para testar contrastes entre duas médias de tratamentos apenas mas a amplitude do contraste pode abranger um número maior de médias O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Di dada por SYˆ Z r S Z D i i i onde Zi amplitude total estudentizada cujo valor é encontrado em tabelas em função do número de médias abrangidas pelo contraste n do número de graus de liberdade do resíduo n e do nível de significância escolhido QMRe s S desvio padrão residual r número de observações usado para calcular as médias testadas no contraste A regra de decisão é que se Yˆ Di o contraste é não significativo indicando que não podemos rejeitar H0 e concluímos que as médias comparadas não diferem entre si Unimos as médias abrangidas pelo contraste por uma barra e não podemos mais comparar médias que estiverem dentro da mesma barra Se Yˆ Di o contraste é significativo concluímos que as médias contrastadas diferem entre si e passamos a testar contrastes que abranjam um menor número de médias Quando as médias não tiverem sido estimadas como o mesmo número de observações o teste será apenas aproximado e calculase a amplitude total mínima significativa como Yˆ Vˆ 2 1 Z D i i onde 2 j i S r 1 r 1 Vˆ Yˆ e j i r r Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 44 Manoel Carlos Gonçalves 65 Teste de Student Newman Keuls SNK É um teste intermediário entre o teste de Tukey e o teste de Duncan porque também leva em consideração o número de médias abrangidas pelo contraste e é baseado na amplitude total estudentizada q do teste de Tukey Deve ser usado para comparar qualquer contraste entre duas médias É um teste intermediário quanto à exigência quando comparado com os testes de Tukey e Duncan ou seja não é tão exigente quanto o teste de Tukey nem pouco exigente quanto o teste de Duncan especialmente quando se testa grande número de tratamentos Este teste difere do teste de Duncan pelo fato de considerar o nível de significância fixo na construção da tabela de amplitude total estudentizada igual ao teste de Tukey enquanto que o teste de Duncan usa nível de significância variável em função do número de médias abrangidas pelo contraste na construção da tabela de Duncan O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Wi que é dada por SYˆ q r S q W i i i onde iq amplitude total estudentizada que é tabelada em função do número de médias abrangidas pelo contraste ni pelo número de graus de liberdade do resíduo n e pelo nível de significância desejado O valor de qi é retirado da Tabela de Tukey considerandose o número de médias abrangidas pelo contraste no lugar do número de tratamentos Quando a maior média não diferir significativamente da menor não se admitirá diferença significativa pelo mesmo teste entre as médias intermediárias e passamos a testar contrastes que abrangem um menor número de médias Quando as médias forem provenientes de número diferente de repetições o teste será apenas aproximado e dado por Yˆ Vˆ 2 1 q W i i onde 2 j i S r 1 r 1 Vˆ Yˆ e j i r r 66 Teste de Scheffé Este teste pode ser aplicado no teste de todo e qualquer contraste de médias Entretanto é freqüentemente utilizado para testar contrastes que envolvem grupos de médias Para sua aplicação correta exige apenas que o teste F para tratamentos seja significativo A estatística do teste denotada por S é calculada como 1 F Vˆ Yˆ I S onde I número de tratamentos do experimento F valor crítico da tabela ao nível de significância em função dos números de graus de liberdade de tratamentos e de resíduo Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 45 Manoel Carlos Gonçalves A decisão estatística é que se S Yˆ dizemos que o contraste é significativo ao nível de probabilidade o que indica que os grupos de médias do contraste diferem entre si a esse nível de probabilidade A estimativa da variância da estimativa do contraste Vˆ Yˆ é dada por 2 n 2 n 2 2 2 1 2 1 S r C r C r C Vˆ Yˆ ou r S C Yˆ Vˆ 2 n 1 i i2 quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos 67 Teste de Dunnett Este teste é utilizado quando se deseja comparar apenas a testemunha um tratamento padrão com cada um dos demais tratamentos não havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre si Desta forma um experimento com I tratamentos incluindo o padrão P permite a aplicação do teste a 1 I comparações A aplicação do teste é feita da forma seguinte 1º Calcule a estimativa de cada contraste como P 1 I 1 I P 2 2 P 1 1 mˆ mˆ Yˆ mˆ mˆ Yˆ mˆ mˆ Yˆ 2º Calcule a estimativa da variância da estimativa de cada contraste de acordo com i P e I 1 2 i S r 1 r 1 Vˆ Yˆ 2 P i 3º Calcule o erro padrão do contraste como Vˆ Yˆ SYˆ 4º Calcule a estatística do teste d dada por SYˆ t d d onde dt valor obtido na Tabela de Dunnett em função do número de graus de liberdade de tratamentos I 1 e do número de graus de liberdade do resíduo n 1 5º Comparar cada estimativa de contraste em valor absoluto com o valor d A decisão estatística é que se Yˆ d o contraste será significativo indicando que a média da testemunha difere significativamente da média do tratamento com ela comparado 6º Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 46 Manoel Carlos Gonçalves Exemplo de Aplicação Exemplo de aplicação dos testes de comparação de médias Suponhamos um experimento conduzido no delineamento inteiramente casualizado com as médias de tratamentos e análise de variância apresentados a seguir QUADRO 33 Médias de tratamentos Tratamentos Médias A 40 B 50 C 67 D 70 E 47 F 73 QUADRO 34 Análise de Variância ANOVA FV SQ GL QM F Tratamento 2911 5 582 388 Resíduo 1800 12 150 Total 4711 17 Aplicar os principais testes de comparação de médias Discutir Solução 1 Teste t de Student Yˆ S 0 Yˆ t 1 i 2 i2 r S C Vˆ Yˆ Vˆ Yˆ S Yˆ Suponhamos que os contrastes comparações ortogonais planejados foram 01 3 150 1 1 Yˆ Vˆ 35 04 74 2 07 X X 2 X Yˆ 62 37 74 X X Yˆ 30 07 76 X X Yˆ 01 05 04 X X Yˆ 2 2 1 A E D 4 F E 3 D C 2 B A 1 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 47 Manoel Carlos Gonçalves 03 3 150 1 1 2 Yˆ Vˆ 01 Yˆ Vˆ 01 Yˆ Vˆ 2 2 2 4 3 2 13 03 35 t 62 01 62 t 30 01 30 t 01 01 01 t 4 3 2 1 35 Yˆ 3 06 12 t 35 62 Yˆ 218 12 t 62 ns 30 Yˆ 218 12 t 30 ns 01 Yˆ 218 12 t 01 4 01 0 3 05 0 2 05 0 1 05 0 2 Teste de Tukey 3 40 4 75 0 71 3 150 4 75 4 75 6 12 q r S q 05 0 3 40 5 diferença mínima significativa de Tukey ao nível de 5 de probabilidade Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03ns 06ns 23ns 26ns 33ns D 70 03ns 20ns 23ns 30ns C 67 17ns 20ns 27ns B 50 03ns 10ns E 47 07ns A 40 Observe que o teste de Tukey não ocupou nenhum contraste significativo entre duas médias de tratamentos o que demonstra o grande rigor deste teste Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 48 Manoel Carlos Gonçalves 3 Teste de Duncan 0 71 3 50 1 r Re s QM r S r Z S D i i Comparadores de Duncan 005 Médias Abrangidas 2 3 4 5 6 Zi 308 323 333 336 340 Di 219 229 236 239 241 D2 D3 D4 D5 D6 Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03 D2ns 06 D3ns 23 D4ns 26 D5 33 D6 D 70 03 D2ns 20 D3ns 23 D4ns 30 D5 C 67 17 D2ns 20 D3ns 27 D4 B 50 03 D2ns 10 D3ns E 47 07 D2ns A 40 Observe que o teste de Duncan apresentou quatro contrastes significativos o que demonstra a maior facilidade de discriminação deste teste ou seja seu menor rigor Outra forma de expressar a significância é a 33 A F 241 D6 b 03 A D 26 E F 239 D5 c 72 A C 32 E D 32 B F 236 D ns ns 4 d ns ns ns ns 3 01 A B 02 E C 02 B D 60 C F 229 D Ainda outra forma de expressar a significância F 73 F 73 a F 73 a D 70 D 70 a b D 70 a b C 67 C 67 a b C 67 a b B 50 B 50 a b c B 50 a b c E 47 E 47 b c E 47 b c A 40 A 40 c A 40 c Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 49 Manoel Carlos Gonçalves Observe que as médias seguidas de uma mesma letra ou unidas por uma mesma barra não diferem estatisticamente entre si ao nível de 5 de probabilidade pelo teste de Duncan 4 Teste de SNK 71 0 r S r q S W i i Comparadores de SNK 005 Médias Abrangidas 2 3 4 5 6 qi 308 377 420 451 475 Wi 219 268 298 320 337 W2 W3 W4 W5 W6 Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03 W2ns 06 W3ns 23 W4ns 26 W5ns 33 W6ns D 70 03 W2ns 20 W3ns 23 W4ns 30 W5ns C 67 17 W2ns 20 W3ns 27 W4ns B 50 03 W2ns 10 W3ns E 47 07 W2ns A 40 Observe que nenhum contraste é significativo pelo teste de SNK o que demonstra um resultado semelhante ao obtido no teste de Tukey Entretanto normalmente o teste de SNK apresenta um resultado intermediário entre o teste de Tukey e o teste de Duncan 5 Teste de Scheffé 1 F Vˆ Yˆ I S r QMRe s C Yˆ Vˆ n 1 i i2 311 F 05 5 12 0 Suponhamos o teste do contraste 86 1 311 03 6 S 03 3 150 1 1 2 Yˆ Vˆ 1 7 4 2 05 mˆ mˆ 2mˆ Yˆ 2 2 2 D A B Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 50 Manoel Carlos Gonçalves 86 S 005 diferença mínima significativa de Scheffé ao nível de 5 de probabilidade Como S Yˆ o contraste é dito ser não significativo ao nível de 5 de probabilidade pelo teste de Scheffé 6 Teste de Dunnett SYˆ t d d Vˆ Yˆ SYˆ r S C Yˆ Vˆ 2 n 1 i 2 i 3 00 3 00 01 d 01 SYˆ 01 3 150 1 1 Yˆ Vˆ 3 00 0 05 5 12 t 2 2 d 300 d 005 diferença mínima significativa de Dunnett ao nível de 5 de probabilidade Considerando o tratamento A como testemunha temse ns ns 72 A C 01 A B 33 A F 70 A E 03 A D ns Observe que a testemunha diferiu apenas em relação aos tratamentos D e F 68 Teste de ScottKnott Para alguns propósitos é desejável repartir os tratamentos em grupos homogêneos ao invés de fazer comparações múltiplas entre os mesmos Um método de agrupar as médias de tratamentos é a análise de agrupamento que utiliza o teste de ScottKnott para julgar a significância das diferenças entre os grupos resultantes O procedimento para a aplicação do teste de ScottKnott é o seguinte 1º Relacionamse as t médias de tratamentos em ordem crescente 2º Aplicar o teste estatístico para verificar se o conjunto de médias de tratamentos pode ser particionado em dois conjuntos homogêneos A estatística a ser calculada é dada por 14159 3 onde 2 2ˆ B 2 0 0 B0 valor máximo das somas de quadrados entre os grupos tomadas sobre todas as possíveis partições dos t tratamentos em dois grupos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 51 Manoel Carlos Gonçalves v t vS X X 2 X 2 i 2 0 X i média do tratamento de ordem i t número de médias de tratamento a serem separadas 2 SX variância das médias de tratamentos QMResr com v graus de liberdade gl do quadrado médio do resíduo r número de observações para o cálculo de cada média 3º Admitese que a distribuição nula de distribuição de considerando a hipótese nula é aproximada por uma distribuição 2 com v0 gl onde 2 t v0 4º A decisão estatística é que se o calculado é menor que o valor 0 2v tabelado correspondente a um nível de significância escolhido todo o conjunto de médias é considerado como sendo homogêneo e nenhum teste posterior é permitido Conseqüentemente se o valor calculado de excede o valor de 0 2v tabelado correspondente os dois grupos são declarados como significativamente diferentes 5º Em seguida os dois grupos declarados significativamente diferentes são então testados separadamente para partições posteriores e o teste continua como um processo de formação de galhos de uma árvore até que grupos de uma única média ou grupos de médias homogêneas ou ambos são encontrados A vantagem do teste de ScottKnott quando comparado com os teste de comparações de médias é que ele sempre produz a separação de grupos sem sobreposição de médias o que pode ser altamente desejável em algumas situações A desvantagem é que os cálculos são mais complexos do que os métodos de comparação de médias mas isto pode ser superado pelo uso de computadores Desta forma recomendamos a utilização do teste de ScottKnott em situações onde o pesquisador prefere identificar conjuntos de tratamentos homogêneos sem nenhuma sobreposição o que simplifica a interpretação e a apresentação dos resultados Exemplo de Aplicação do Teste ScottKnott Foi conduzido um experimento em seis blocos casualizados com sete variedades de cevada As médias de variedades foram 496 581 610 615 676 712 e 713 A análise de variância fornece um valor F de 461 para 30 graus de liberdade o que sugere fortemente que há diferenças entre as médias Pedese Particionar o conjunto de médias em grupos homogêneos Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 52 Manoel Carlos Gonçalves Resolução Médias Ordenadas Totais de Tratamento 1 496 2976 2 581 3486 3 610 3660 4 615 2690 5 676 4056 6 712 4272 7 713 4278 X 629 Y 80 2641 132697 6 6182 79 r Re s QM r S S 796182 4 61 040 367 F QMTrat Re s QM 367040 6 24 2202 G L Trat SQTrat QMTrat 220224 C 6 427 8 348 6 297 6 SQTrat 16616922 76 26418 C 6 r 7 t r t Y C F QMTrat Re s QM 2 2 X 2 2 2 2 2 A estatística do teste é dada por 2 2 ˆ B 2 0 0 B0 valor máximo das somas de quadrados entre grupos tomadas sobre todas as possíveis partições em dois grupos que é determinado da forma seguinte Partições Possíveis Valores de SQ Em dois Grupos Entre Grupos 1 1 234567 20637 2 12 34567 22933 3 123 4567 23333 4 1234 567 26714 5 12345 67 19522 6 123456 7 8232 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 53 Manoel Carlos Gonçalves 8232 FC 713 712 6 581 49 6 G SQE 19522 FC 713 2 712 67 6 5 615 610 581 49 6 G SQE 26714 FC 713 3 712 67 6 615 4 610 581 49 6 G SQE 23333 FC 713 4 67 6 615 610 3 581 49 6 G SQE 22933 FC 713 5 615 610 2 58 1 49 6 G SQE 20637 FC 713 6 610 581 49 6 G SQE 2769487 713 7 581 49 6 C F 2 2 6 2 2 5 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 Logo temos que B0 26714 2 ˆ 0 estimativa de máxima verossimilhança de 2 que é dada por 2067922 30 30132697 7 36704 ˆ 36704 62 9 713 62 9 581 62 9 49 6 X X lg resíduo nº v v t vS X X ˆ 2 0 2 2 2 2 i 2 X 2 i 2 0 Logo vem que é 16 8 1 5 é 12 6 para 6 613 7 114159 2 t vo 775 17 220679 114159 31415926714 2 2 ˆ B 2 6 2 vo 2 0 0 16 8 1 78 17 2 6 os dois grupos 1234 567 são significativa mente diferentes ao nível de probabilidade de 1 Então temos o seguinte 1234567 1234 1778 567 Em seguida testamos os dois grupos separadamente de forma análoga Senão vejamos Partições Possíveis Valores de SQ Em dois Grupos Entre Grupos 1 1 234 8427 2 12 34 5476 3 123 4 2080 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 54 Manoel Carlos Gonçalves 2080 FC 615 610 3 581 49 6 G SQE 5476 FC 615 2 610 2 58 1 49 6 G SQE 8427 FC 615 3 610 581 49 6 G SQE 1324801 615 4 610 581 49 6 C F 57 6 X 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 Logo temos que B0 8427 7 81 5 3 3 50 4 114159 vo 8 0638 3141598427 2 1438503 114159 1438503 30 4 30132697 02 91 ˆ 02 91 X X 57 6 615 57 6 610 57 6 581 57 6 49 6 X X 2 3 2 vo 2 0 2 i 2 2 2 2 2 i 781 5 06 8 2 3 os dois grupos 1 234 são significativamente diferentes ao nível de probabilidade de 5 Logo temos que 1234567 1 1234 806 1778 234 567 Para o outro grupo temos Partições Possíveis Valores de SQ Em dois Grupos Entre Grupos 1 5 67 888 2 56 7 241 2 41 FC 713 712 2 67 6 G SQE 8 88 FC 713 2 712 67 6 G SQE 14714003 713 3 712 67 6 C F 70 0 X 2 2 2 2 2 1 2 Logo B0 888 0 9907 314159 8 88 2 1233276 114159 1233276 30 3 30132697 8 89 ˆ 8 89 70 0 713 70 0 712 70 0 67 6 X X 2 0 2 2 2 2 i 7 81 5 3 2 63 3 114159 vo 2 3 2 vo Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 55 Manoel Carlos Gonçalves 781 5 99 0 2 3 os dois grupos não são significativamente diferentes ao nível de probabilidade de 5 Finalmente temos a análise de agrupamento com o resultado seguinte 1234567 1 1234 806 1778 234 567 7 Diagnósticos das Pressuposições para a Análise de Variância A análise de variância que pode ser mais apropriadamente denominada de análise de variação em torno da média consiste em particionar a variação total presente num conjunto de dados em componentes Cada componente é atribuído a uma causa identificável ou fonte de variação dentre estes um componente representa a variação devido a fatores não controlados e erros aleatórios associados com as medições das respostas Por exemplo se um conjunto de dados consiste de n medições Y1 Y2 Yn e sua média é representada por Y a variação total em torno da média está contida na soma de quadrados dos desvios n 1 i 2 i Y Y que é chamada de soma de quadrados total A técnica de análise de variância decompõe esta soma de quadrados total em componentes como mostrado a seguir para o caso de duas fontes de variação além do componente erro ou resíduo O número de fontes de variação identificáveis e as fórmulas para os cálculos das somas de quadrados dos componentes estão intrinsecamente relacionados com o delineamento experimental empregado na coleta de dados e com o modelo estatístico considerado para a análise Por exemplo para o delineamento inteiramente casualizado o modelo linear aditivo pressuposto é o seguinte onde r 1 2 j e t 1 2 i Y ij i ij média geral i efeito do tratamento de ordem i com i 0 ij são erros todos aleatórios e independentemente distribuídos como N 0 2 Soma de Quadrados devido a Fonte 1 Soma de Quadrados devido a Fonte 2 Soma de Quadrados devido ao Erro Soma de Quadrados Total em torno da média m 2 i Y Y Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 56 Manoel Carlos Gonçalves Para o delineamento blocos casualizados o modelo linear aditivo é o seguinte r 1 2 j e t 1 2 i Y ij j i ij onde os parâmetros satisfazem a relação r 1 j j t 1 i i 0 0 e os ij são erros aleatórios e independentemente distribuídos como N 0 2 Observase que a análise de variância pressupõe os conceitos de aditividade normalidade homogeneidade de variância e independência dos erros experimentais Para ser válida a aplicação dos testes de significância como complementação da análise de variância também requer que os erros experimentais sejam independentes e normalmente distribuídos com média zero e variância comum 2 Portanto as pressuposições condições necessárias para a validade da análise de variância e dos testes de significância são as seguintes 71 Homogeneidade de Variâncias A hipótese é que os erros ij devidos ao efeito de fatores aleatórios que não controlados possuem uma variância comum 2 Isto quer dizer que a variação das repetições de um determinado tratamento deve ser semelhante a de todos os outros tratamentos do experimento 2 2 t 2 2 2 1 72 Normalidade A hipótese é que os erros ij possuem uma distribuição normal de probabilidade neste caso é necessário que os dados experimentais tenham uma distribuição normal esta pressuposição é denotada por N 0 2 ij 73 Aditividade No modelo matemático dos delineamentos os efeitos dos fatores devem ser aditivos Existem três causas principais de nãoaditividade 1 os verdadeiros efeitos podem ser multiplicativos 2 existirem efeitos de interações que não foram incluídos no modelo assumido e 3 presença de observações discrepantes 74 Independência A hipótese é que os erros ij são independentes A conseqüência disto é que os efeitos de tratamentos não apresentam correlação entre si ou seja são independentes Pela utilização da casualização o pesquisador pode fazer com que os erros sejam não correlacionados Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 57 Manoel Carlos Gonçalves Entretanto na prática uma ou mais dessas condições nem sempre são satisfeitas o que nos leva a procurar uma aproximação através da transformação dos dados antes de se proceder à análise de variância Um dos tipos mais freqüentes de afastamentos em relação às pressuposições da análise de variância e dos testes de significância é a não homogeneidade dos erros que pode ser de dois tipos a heterogeneidade de erros irregular que ocorre quando alguns tratamentos apresentam maior variabilidade que outros b heterogeneidade de erros regular que ocorre devido à falta de normalidade dos dados experimentais neste caso freqüentemente as médias dos tratamentos e as respectivas variâncias estão relacionadas 8 Transformação de Dados para Análise de Variância Afastamentos não adequação em relação a qualquer uma das pressuposições da análise de variância irão alterar de alguma forma as suas propriedades padrões O que ocorre na realidade é que nem sempre todas as pressuposições são satisfeitas e nesse caso a técnica estatística utilizada é apenas aproximada Geralmente os fatores que causam mais distúrbios na análise de variância são assimetria extrema presença de erros grosseiros comportamento anormal de certos tratamentos ou de parte do experimento nãoaditividade e variâncias residuais como funções das médias Os métodos utilizados para controlar estes distúrbios são omissão de determinada parte do experimento subdivisão da variância residual e transformação dos dados para uma outra escala antes da análise de variância Uma transformação adequada dos dados seria aquela em que a a variância da variável transformada não fosse afetada por mudanças do valor médio b a variável transformada fosse normalmente distribuída c a escala de transformação fosse tal que a média aritmética estimasse imparcialmente a média verdadeira d a escala de transformação fosse tal que os efeitos reais fossem lineares Entretanto se a variação entre a análise com dados transformados e não transformados for muito pequena a utilidade da transformação é duvidosa Quando se tem dúvida quanto a transformação ser adequada ou não devese transformar os dados e depois verificar se as pressuposições foram satisfeitas Quando realizamos a transformação dos dados todas as estimativas e inferências devem ser feitas na nova escala sendo que as médias podem ser retransformadas para a escala original Os tipos de transformações mais comuns são as seguintes 81 Transformação Raiz Quadrada Y É utilizada quando os dados são provenientes de contagens que geralmente seguem a distribuição de Poisson na qual a média é igual a variância na prática observase que a variância tende a ser proporcional à média Quando entre os dados ocorrem valores pequenos inferiores a 10 e principalmente zeros as transformações Y 05 Y 01 ou 1 Y Y estabilizam a variância mais efetivamente que Y sendo Y o valor observado Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 58 Manoel Carlos Gonçalves 82 Transformação Angular Arcsen Y 100 Recomendável para dados de proporção YN ou percentagens YN x 100 especialmente quando as percentagens cobrem uma grande amplitude de valores Este tipo de dado geralmente segue uma distribuição binomial existem tabelas apropriadas para essa transformação Neste caso a variância é ao redor de 50 e diminui quando a média cai para zero ou sobe para 100 Se as percentagens estiverem na faixa de 30 a 70 tornase desnecessária a transformação e analisamos os dados originais Além disso o valor zero deve ser corrigido para 14N e o valor 100 para 100 114N antes da transformação onde N é o número total sobre o qual a percentagem foi calculada Esta é uma correção empírica sugerida por BARTLETT para melhorar a igualdade de variâncias A transformação é também desnecessária quando as percentagens são resultantes da divisão dos valores observados nas parcelas por um valor constante ou quando são representativas de concentração 83 Transformação Logarítmica log Y Quando temos dados onde os desvios padrões dos tratamentos são aproximadamente proporcionais às médias a transformação mais eficiente é a logarítmica Esse tipo de relação entre média e desvio padrão é encontrado geralmente quando os efeitos são multiplicativos em lugar de aditivos Nesta situação a transformação logarítmica além de estabilizar a variância produz aditividade nos efeitos e tende a normalizar a distribuição dos erros Se ocorrem zeros entre os dados recomendase a adição de 1 a todos os dados antes da transformação Para dados menores que 1 recomendase multiplicar todos os valores por uma constante para evitarmos logaritmos negativos 84 Transformação Recíproca 1 Y Aplicável quando o desvio padrão é proporcional ao quadrado da média Exemplo de Aplicação 1 Os dados a seguir referemse a notas médias de seis frutos atribuídas à podridão mole da manga sob diferentes tratamentos térmicos O experimento foi realizado no delineamento inteiramente casualizado Tratamentos Repetições Totais de Tratamentos I II III IV T1 16 17 13 14 60 T2 12 16 15 11 54 T3 18 14 12 14 58 T4 21 20 18 15 74 T5 14 17 18 17 66 T6 26 22 15 21 84 T7 18 25 23 16 82 478 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 59 Manoel Carlos Gonçalves Pedese 1 Utilizar os dados originais para 11 Fazer análise de variância 12 Obter o coeficiente de variação 13 Aplicar os testes de Tukey e Duncan a 5 de probabilidade 14 Verificar a homogeneidade de variâncias 2 Repetir os cálculos do item 1 para os dados transformados em Y 3 Comparar os resultados obtidos em 1 e 2 Resolução 11 Análise de variância feita da forma usual apresentou o resultado seguinte FV SQ GL QM F Tratamentos 21286 6 03547 390 Resíduo 19099 21 00909 Total 40385 27 12 Coeficiente de variação 1766 7071 1 0 0909 100 Y QMRe s 100 CV 13 Teste de Tukey 21não tem diretament e na tabela n 7 n q r QMRe s q 5 Devemos fazer uma interpolação harmônica 0 02 21 0 086 6 1 21 08 0 2024 4 2021 0 08 1 x x 2021 1 0 08 2024 4 x 21 1 20 1 0 08 4 54 4 62 24 1 20 1 4 54 q 24 n 7 n q 4 62 q 20 n 7 n q 5 5 5 5 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 60 Manoel Carlos Gonçalves Então 460 002 462 q 5 logo temos que 0 69 4 0 0909 4 60 Os possíveis contrastes entre as médias de tratamentos são 21 2 7 2 7 C x n x n n x C 2 7 x n contrastes Quadro de contrastes 150 mˆ 1 135 mˆ 2 145 mˆ 3 185 mˆ 4 165 mˆ 5 210 mˆ 6 2 05 mˆ 7 mˆ 1 150 015 005 035 015 060 055 mˆ 2 135 010 050 030 075 070 mˆ 3 145 040 020 065 060 mˆ 4 185 020 025 020 mˆ 5 165 045 040 mˆ 6 210 005 mˆ 7 205 dms de Tukey 69 Teste de Duncan número de graus de liberdade do resíduo n número de médias abrangidas pelo contraste n Zi Médias de tratamentos em ordem decrescente 135 mˆ 145 mˆ 150 mˆ 165 mˆ 185 mˆ 205 mˆ 210 mˆ 2 3 1 5 4 7 6 a Contraste abrangendo 7 médias Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 61 Manoel Carlos Gonçalves 0 75 135 210 mˆ mˆ 0 50 4 0 0909 3 33 3 33 e D 0 01 3 34 Z logo 0 01 220 1 1 420 0 02 x x 420 1 21 1 20 1 0 02 3 32 3 34 220 1 22 1 20 1 3 32 22 n 7 n Z 5 3 34 20 n 7 n Z 5 21 n 7 n 5 Z 2 6 7 7 7 7 7 b Contrastes abrangendo 6 médias Através de interpolação harmônica obtêmse 0 70 135 205 mˆ mˆ 0 65 145 210 mˆ mˆ 0 49 D e 3 295 Z 5 21 n 6 n 5 Z 2 7 3 6 6 6 6 c Contrastes abrangendo 5 médias Por interpolação harmônica obtêmse 0 50 135 185 mˆ mˆ 0 60 145 205 mˆ mˆ 0 60 150 210 mˆ mˆ 0 48 D e 3 245 Z 5 21 n 5 n 5 Z 2 4 3 7 1 6 5 5 5 d Contrastes abrangendo 4 médias Por interpolação harmônica obtêmse ns 2 5 ns 3 4 1 7 ns 5 6 4 4 4 0 30 135 165 mˆ mˆ 0 40 145 185 mˆ mˆ 0 55 150 205 mˆ mˆ 0 45 165 210 mˆ mˆ 0 47 D e 3175 Z 5 21 n 4 n 5 Z e Contrastes abrangendo 3 médias Por interpolação harmônica obtêmse Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 62 Manoel Carlos Gonçalves ns 2 1 ns 3 5 ns 1 4 ns 5 7 ns 4 6 3 3 3 0 25 135 150 mˆ mˆ 0 20 145 165 mˆ mˆ 0 35 150 185 mˆ mˆ 0 40 165 2 05 mˆ mˆ 0 25 185 210 mˆ mˆ 0 46 D e 3 09 Z 5 21 n 3 n 5 Z f Contrastes abrangendo 2 médias Não precisam ser testadas porque não houve nenhum contraste significativo envolvendo 3 médias 14 Teste de homogeneidade de variâncias Vamos utilizar o teste da razão máxima de Hartley que é dado por mín 2 máx 2 c S H S que é comparado com os valores críticos 1 H rg Para tal devemos calcular as variâncias dentro de cada tratamento quadrados médios independentes como 1 n n X X S 2 2 2 Logo temos 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 2 5 5 2 6 910 60 4 00333 var 3 746 7290 00566 var 3 860 841 00633 var 3 1390 13690 00700 var 3 10980 10890 00300 var 3 18260 17 S iância de T S iância de T S iância de T S iância de T S iância de T S 6 2 7 7 2 2 1 640 02066 var 3 17340 16810 01766 var 3 06364 00909 Re 7 02066 68866 00300 g i i Media ns c iância de T S iância de T S S QM s g H Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 63 Manoel Carlos Gonçalves 216 H e 72 9 H 1 r g H 1 5 onde g número de grupos de quadrados médios independentes 7 r 1 número de gl de cada grupo ou número de gl de cada quadrado médio 3 216 001 H 689 H 73 c não podemos rejeitar a hipótese nula e concluímos que existe homogeneidade de variâncias ou seja o papel do acaso é igual para todos os tratamentos nesse caso não seria necessário transformar os dados 2 Cálculos do ítem 1 para os dados transformados para a escala Y Transformamos cada dado e calculamos a análise de variância FV SQ GL QM F Tratamentos 03021 6 00503 396 Resíduo 02627 21 00127 Total 05693 27 CV 870 Teste de Hartley para homogeneidade de variância 0 0218 S 00262 S 00048 S 0 0095 S 0 0108 S 00108 S 00053 S 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 ns c 2 Média 5 45 0 0048 0 0262 H QMRe s 0 0127 0 0892 7 S c 37 c H 216 001 H 5 45 H não significativo não rejeitase Ho e concluise que as variâncias residuais dos tratamentos são homogêneas Teste de Tukey 0 26 4 0 0127 60 4 4 60 q 21 n 7 n q 5 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 64 Manoel Carlos Gonçalves Quadro de contrastes possíveis 1 mˆ mˆ 2 mˆ 3 mˆ 4 mˆ 5 mˆ 6 mˆ 7 1 mˆ 007 003 013 006 021 020 mˆ 2 004 020 013 028 027 mˆ 3 016 009 024 023 mˆ 4 007 008 007 mˆ 5 015 014 mˆ 6 001 mˆ 7 Teste de Duncan a Contrastes abrangendo 7 médias 0 28 115 143 mˆ mˆ 019 4 0 0127 3 33 D 2 6 7 b Contrastes abrangendo 6 médias 0 27 115 142 mˆ mˆ 0 24 119 143 mˆ mˆ 018 4 0 0127 3 295 D 2 7 3 6 6 b Contrastes abrangendo 5 médias 0 20 115 135 mˆ mˆ 0 23 119 142 mˆ mˆ 0 21 122 143 mˆ mˆ 018 3 245 0 056 D 2 4 3 7 1 6 5 d Contrastes abrangendo 4 médias 015 128 143 mˆ mˆ 018 3175 0056 D 5 6 4 013 115 128 mˆ mˆ 016 119 135 mˆ mˆ 0 20 122 142 mˆ mˆ 2 5 3 4 1 7 e Contrastes abrangendo 3 médias Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 65 Manoel Carlos Gonçalves ns 2 1 ns 3 5 ns 1 4 ns 5 7 ns 4 6 3 0 07 115 122 mˆ mˆ 0 09 119 128 mˆ mˆ 013 122 135 mˆ mˆ 014 128 142 mˆ mˆ 0 08 135 143 mˆ mˆ 017 3 09 0 056 D f Contrastes abrangendo 2 médias Não precisam ser testadas porque não houve nenhum contraste significativo abrangendo 3 médias 3 Comparação dos resultados obtidos nos ítens 1 e 2 Comparandose os resultados obtidos com os dados originais e com os dados transformados observamos que a Tanto para os dados originais quanto para os dados transformados o valor de F foi significativo ao nível de 1 de probabilidade O teste de Hartley demonstrou a homogeneidade das variâncias dos tratamentos Desta forma a transformação dos dados seria dispensável b Em relação às estatísticas calculadas observase que O valor de F calculado é maior para os dados transformados 396 F do que para os dados originais 390 F O valor de Hc é menor para os dados transformados 5 45 H c do que para os dados originais 688 H c Concluise portanto que a transformação dos dados coloca os valores de F e Hc em condições que favorecem a detecção de diferenças entre tratamentos no caso de F e a homogeneidade das variâncias de tratamentos no caso de Hc c O coeficiente de variação foi diminuído de 1766 nos dados originais para 870 nos dados transformados d Tanto para os dados originais quanto para os dados transformados os testes de comparação de médias de Tukey e Duncan apresentaram significância ao nível de 5 de probabilidade para os seguintes contrastes 1 7 2 4 3 7 1 6 3 6 2 7 2 6 mˆ e mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ Portanto os testes apresentaram o mesmo desempenho para os dados originais e para os dados transformados 2 Num ensaio com bananeiras realizado pelo Dr Jairo Ribeiro de Matos da ESA Luiz de Queiroz em Piracicaba SP foram obtidos os seguintes pesos médios em Kg de cacho Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 66 Manoel Carlos Gonçalves 139 189 211 222 234 177 194 213 227 238 179 198 217 228 244 183 202 219 232 244 185 206 220 233 249 Fonte Campos 1983 Perguntase Seria razoável estudar os dados através de uma distribuição normal de média mˆ 20 0 e variância 2 5 25 Solução Vamos aplicar o teste de Lilliefors para normalidade o que é feito da maneira seguinte 2 624 S 6 8856 1 n n X X S 13 21 25 3 528 n X mˆ 2 2 2 Temos que n 1 2 i S mˆ X Z i i logo 624 2 13 21 X Z i i Os valores FZ i são obtidos na Tabela de Distribuição Normal Padronizada e 25 K n K SZ i e K número de valores obtidos Zi Organizamos então o quadro seguinte com os dados em ordem crescente X Zi FZi SZi FZi SZi 139 276 0003 0040 0037 177 131 0095 0080 0015 179 123 0109 0120 0011 183 108 0140 0160 0020 185 100 0159 0200 0041 189 085 0198 0240 0042 194 066 0255 0280 0025 198 051 0305 0320 0015 202 035 0363 0360 0003 206 020 0421 0400 0021 211 000 0500 0440 0060 213 006 0524 0480 0044 217 022 0587 0520 0067 219 029 0614 0560 0054 220 033 0629 0600 0029 222 041 0659 0640 0019 Continua Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 67 Manoel Carlos Gonçalves Continuação X Zi FZi SZi FZi SZi 227 060 0726 0680 0046 228 064 0739 0720 0019 231 079 0785 0760 0025 231 083 0797 0800 0003 231 086 0805 0840 0035 231 102 0846 0880 0034 244 125 0894 0960 0066 249 144 0925 1000 0075 O valor da estatística D é calculado como D Sup F Z S Z i i Zi ou seja D é igual ao maior valor F Z S Z i i O valor de D é comparado com d n em que é a probabilidade de significância desejada e n é o número de observações O valor de d n é obtido na Tabela de Lilliefors sob as hipóteses H0 Os dados têm distribuição normal Há Os dados não têm distribuição normal Se D d n então não se rejeita a hipótese H0 Logo temos que 0 200 d 0173 d 25 d n 0075 D 1 5 5 0075 25 0173 005 D d p não rejeitamos a hipótese nulidade e concluímos que é razoável estudar os dados com base na distribuição normal 9 Fundamentos de Regressão e Correlação 91 Regressão Linear Simples Suponhamos que um técnico florestal deseje julgar o crescimento de plantas de pinho com base no volume de copa O que ele deve fazer é expressar uma relação entre o crescimento da árvore e o volume da copa por meio de uma equação utilizando a técnica de análise de regressão Dado certo volume de copa ele pode predizer qual seria o crescimento da árvore usando a equação de regressão Os dados a seguir referemse ao volume de copa em 100 péscúbicos X e ao crescimento de área basal em pésquadrados Y Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 68 Manoel Carlos Gonçalves Volume de Copa X Crescimento Y Volume de Copa X Crescimento Y 22 036 53 047 6 009 70 055 93 067 5 007 62 044 90 069 84 072 46 042 14 024 36 039 52 033 14 009 69 061 60 054 104 066 103 074 100 080 43 064 41 047 22 050 85 060 75 039 90 051 29 030 27 014 76 061 51 041 18 032 Continua Continuação Volume de Copa X Crescimento Y Volume de Copa X Crescimento Y 75 066 48 021 6 018 37 054 20 021 67 070 36 029 56 067 50 056 31 042 9 013 17 039 2 010 7 025 21 018 2 006 17 017 20 029 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 69 Manoel Carlos Gonçalves 87 063 29 038 97 066 50 053 33 018 59 058 20 006 70 062 81 066 14 014 93 069 96 058 99 071 61 042 Volume de Copa X Crescimento Y Totais 3050 2662 Médias n62 491935 042935 Geralmente o primeiro passo consiste em representar os dados reais em papel quadriculado diagrama de dispersão Isto é feito para se ter alguma representação gráfica da possível relação entre as duas variáveis O tipo de configuração apresentada neste diagrama influirá na escolha do modelo de regressão linha reta curva parabólica curva exponencial etc a ser ajustado Neste caso em particular exemplo anterior suporemos uma reta Depois de escolher o modelo de regressão a ser ajustado o passo seguinte consiste nos cálculos das somas de quadrados e de produtos corrigidos Nas equações a seguir as letras maiúsculas indicam valores das variáveis sem correção e as minúsculas são empregadas para valores que forem submetidos a correção y Y Y Assim temos Soma de quadrados corrigida para Y 2 2 2662 2 2 2 2 2 036 009 042 27826 62 Y y Y n Soma de quadrados corrigida para X 2 2 3050 2 2 2 2 2 22 6 61 593976775 62 X x X n Soma de produtos corrigida para XY X Y xy XY n 30502662 22036 6009 61042 3541477 62 xy A forma geral de uma equação para uma linha reta é Y a bX onde a e b são a constante e o coeficiente de regressão respectivamente que devem ser estimados De acordo com o princípio dos quadrados mínimos os melhores estimadores para estes valores são Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 70 Manoel Carlos Gonçalves 3541477 0005962 2 593976775 042935 0005963491935 013606 xy b x a Y bX Substituindo estas estimativas na equação geral temos ˆ 013606 0005963 Y X Com esta equação podemos estimar o crescimento da área basal a partir das medições do volume da copa Devido ao fato de Y ser calculado a partir de valores conhecidos de X Y é denominada de variável dependente e X de variável independente A linha de regressão pode ser considerada como uma média móvel Ela fornece um valor médio de Y associado a um determinado valor de X Desta forma alguns valores de Y estão acima da linha de regressão e outros estão abaixo da mesma maneira que alguns valores de Y se localizam acima ou abaixo da média geral de Y A soma de quadrados corrigida para Y ou seja y2 estima a quantidade de variação dos valores individuais de Y em relação ao valor médio de Y A equação de regressão é uma indicação de que parte da variação observada em Y estimada por y2 está associada com a relação entre Y e X A quantidade de variação em Y que está associada com a sua regressão sobre X é conhecida como a soma de quadrados da redução ou a soma de quadrados de regressão sendo calculada por 2 2 3541477 Re Re 21115 2 593976775 xy S Q dução S Q gressao x Observe que a variação total em Y é estimada por y2 2 7826 A porção de variação total em Y que não está associada com a regressão é conhecida como soma de quadrados residual sendo calculada por 2 Re Re 27826 21115 06711 S Q sidual y S Q gressao Em análise de variância utilizamos a variação residual não explicada como padrão para testar a quantidade de variação atribuível a tratamentos por meio do teste F Em análise de regressão podemos fazer o mesmo Então temos FV GL SQ QM F Regressão 1 21115 21115 18886 Residual 60 06711 001118 Total 61 27826 Como o F calculado é muito maior que o F 0 01 1 60 g l a regressão é aceita como altamente significativa Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 71 Manoel Carlos Gonçalves Antes de termos ajustado a linha de regressão aos dados Y tinha certa quantidade de variação em relação a sua média Y O ajuste da regressão foi portanto uma tentativa de explicar parte desta variação linear de Y com X Entretanto mesmo depois da linha ter sido ajustada se observou alguma variação sem explicação aquela de Y em relação à linha de regressão Quando aceitamos a linha de regressão anterior simplesmente admitimos que a variação em Y explicada pela linha ajustada é significativamente maior que a variação não explicada O teste não mostra que a linha que ajustamos é a melhor descrição possível dos dados uma linha curva poderia ser melhor Também não quer dizer que encontramos a verdadeira relação matemática entre as variáveis Pode ser observado que a soma de quadrados residual é igual a soma de quadrados dos desvios dos valores observados de Y em relação à linha de regressão Ou seja S Q sidual Re 2 2 ˆ Y Y Y a bX O princípio dos quadrados mínimos nos diz que os melhores estimadores de a e b são aqueles que minimizam esta soma de quadrados Como uma medida de quão bem ajustada está uma regressão podemos calcular a proporção da variação total em Y que corresponde à regressão Esta razão é denominada de coeficiente de determinação que é dado por Re 21115 2 0758823 27826 S Q gressão R S Q Total Isto significa que 76 da variação em Y encontrase associada com a variação em X O coeficiente de determinação é igual ao quadrado do coeficiente de correlação Ou seja 2 2 2 Re 2 2 2 2 2 S Q gressão xy x xy R r S Q Total y x y Ocasionalmente a quantidade 1 R2 é conhecida como coeficiente de não determinação e 2 1 R tem sido denominado de índice de alienação Uma equação de regressão está sujeita à erros de amostragem porque ela é construída com base em dados amostrais Portanto podemse obter intervalos de confiança sobre a linha de regressão através da especificação de valores sobre a faixa de variação de X Ou seja Limites de Confiança 2 0 2 1 ˆ Re X X Y t Q M s n x onde 0 X valor selecionado de X e t gl valor de t tabelado com o número de graus de liberdade do QM Residual Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 72 Manoel Carlos Gonçalves No exemplo temos 013606 0005962 Re 001118 60 2 62 491935 593976775 Y X Q M sidual com g l n X x Desta forma se escolhermos 28 X0 temos Y 0303 e limites de 95 de confiança iguais a 2 1 28 491935 0303 2000 001118 0270 0336 62 593976775 L C a Para outros valores de X 0 obteríamos X 0 Y Limites de 95 8 0184 0139 0229 491935 0402 0402 0456 70 0521 0521 0585 90 0673 0629 0717 Observe que estes são os limites dentro dos quais se encontrará a média de Y para determinado valor de X Estes limites não são aplicáveis a um único valor predito de Y Os limites dentro dos quais se pode encontrar um Y individual é dado por 2 0 2 1 ˆ Re 1 X X Y t Q M s n x 92 Correlação Simples A análise de regressão é apropriada para quando uma variável aleatória Y depende de uma variável causal X que frequentemente é controlada pelo pesquisador e a análise é conduzida para determinar o efeito de X sobre Y ou a capacidade de X para predizer Y Por outro lado o objetivo principal do pesquisador pode ser estudar o grau de relacionamento entre duas variáveis aleatórias nenhuma das quais podendo ser considerada como causa da outra Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 73 Manoel Carlos Gonçalves Um conjunto de dados constituído de medições de X e Y feitas sobre uma amostra de n materiais experimentais pode ser vista como uma amostra aleatória bivariada X1 Y1 X2 Y2 Xn Yn onde os diferentes pares são independentes A partir desta perspectiva um estudo da relação entre essas variáveis é efetuado através da análise de correlação O primeiro passo no estudo de uma relação consiste em colocar as observações sobre um gráfico O diagrama de dispersão fornece uma boa ajuda no discernimento da natureza da relação Coeficiente de Correlação Amostral Um tipo simples de associação entre as variáveis X e Y produz pares de valores ou graficamente pontos que se distribuem em torno de uma linha reta Uma pequena dispersão em torno da linha indica forte associação uma grande dispersão é uma manifestação de associação fraca Uma medida numérica desta relação é chamada de coeficiente de correlação da amostra ou às vezes de coeficiente de correlação momentoproduto de Pearson Este coeficiente é dado por 1 2 2 1 1 n X X Y Y i i i r n n X X Y Y i i i i onde X1 Y1 Xn Yn são n pares de observações cada par tendo a mesma distribuição bivariada O coeficiente de correlação da população para uma distribuição bivariada é definido por COV X Y Corr X Y xy X Y A estatística r é um análogo amostral de como se pode ver substituindo os parâmetros da população pelos seus análogos da amostra Isto é substituise COV X Y por X X Y Y n X i i 1 2 por 1 X X Y Y n i i e 2Y por 2 1 Y Y n i Portanto o coeficiente de correlação da amostra r pode ser considerado um estimador da correlação populacional Outra fórmula de r útil em cálculos manuais é 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n X Y X Y n i i i i xy i i i r x y n n n n X X n Y Y n i i i i i i i i Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 74 Manoel Carlos Gonçalves O r pode assumir valores entre 1 e 1 A proporção de variabilidade nos valores de Y que pode ser explicada por uma relação linear com X é precisamente r2 Assim para r 090 temse que 81 da variabilidade nos valores de Y é explicada por uma relação linear com X Figura 4 Correspondência entre os valores de r e a quantidade de dispersão As principais propriedades de r são 1 r deve estar entre 1 e 1 2 o valor numérico de r mede a intensidade da relação linear e o sinal de r indica a direção da relação 3 r2 é a proporção da variabilidade nos valores de Y que é explicada por uma linha reta ajustada pelo método dos quadrados mínimos 4 r não varia se os valores de X são modificados para aXb e os de Y para cYd onde a e c são constantes que têm o mesmo sinal O coeficiente de correlação amostral r mede a intensidade da relação linear de duas variáveis Pode haver o caso em que X e Y são fortemente relacionados mas que a relação é curvilínea Às vezes a curva pode ser tal que r é aproximadamente zero o que indica uma falta de relação linear mas não afirma que não existe qualquer relação Nenhuma medida de relação é apropriada quando o diagrama de dispersão dividese em dois ou mais aglomerados de pontos As figuras a seguir ilustram esses casos Figura 5 O coeficiente de correlação linear r 09 r 05 r 00 r 09 r 05 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 75 Manoel Carlos Gonçalves A Uma forte relação ao longo de uma curva para a qual r é quase zero B Relação não linear C Amostras provenientes de duas populações Uma alta correlação amostral não significa necessariamente qualquer relação causal entre duas variáveis A observação de que duas variáveis tendem a variar simultaneamente numa certa direção não implica na presença de uma relação direta de causa e efeito entre elas Pode acontecer que uma terceira variável é que realmente está causando a correlação observada entre as duas variáveis A falsa correlação que é produzida é chamada de correlação sem sentido Quando se usa o coeficiente de correlação como uma medida de relação devese ter o cuidado de evitar que uma variável emboscada possa afetar qualquer das variáveis que estão sendo estudadas Numa amostra bivariada uma importante questão a ser considerada é se as duas variáveis aleatórias são ou não correlacionadas Quando a população é modelada como uma população bivariada normal existe um teste simples para a hipótese nulidade H00 Neste tipo de modelo 0 é equivalente à independência das duas variáveis A estatística apropriada para testar a independência num modelo normal bivariado é 2 2 1 n r t r que tem distribuição t de Student com graus de liberdade igual a n2 Dada uma alternativa bilateral para o teste a hipótese nula é rejeitada se o valor observado deste teste de significância for maior que t2 ou menor que t2 Em outras palavras para testar H0 0 versus H1 0 com base em n pares de observações obtidos a partir de uma população normal bivariada temse que Rejeitase H0 se 2 2 2 1 n r t r com gl n2 para t Esse teste pode ser obtido também por meio da seguinte expressão 2 2 2 1 n r F r que é comparado com F1 n2 Observase que a estatística F é o quadrado da estatística t ou seja F t2 Uma forma simples de obter o intervalo de confiança para é a que utiliza a estatística Z de Fisher que é dada por 1 1 2 log 1 r Z e r Demonstrase que a estatística Z tem distribuição aproximadamente normal A média da distribuição de Z é aproximadamente Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 76 Manoel Carlos Gonçalves 1 1 2 log 1 E Z Z e e sua variância é aproximadamente 1 3 VARz n Portanto Z é 1 3 ND Z n Bibliografia BANZATTO D A KRONKA S do N Experimentação agrícola Jaboticabal FUNEP 1989 247 p BARBIN D Planejamento e análise estatística de experimentos agronômicos Arapongas Editora Midas 2003 208 p BEIGUELMAN B Curso prático de bioestatística 2ª ed Ribeirão Preto Revista Brasileira de Genética 1991 224 p BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 5a edição São Paulo Editora Saraiva 2002 526 p CAMPOS H de Estatística experimental nãoparamétrica 4ª ed Piracicaba ESALQUSP 1983 349 p CASTAÑEDA P R Diseño de experimentos aplicados 2a edición Mexico Editoria Trillas 1981 344 p COCHRAN W G COX G M Diseños experimentales México Trillas 1981 661 p CHEW V Comparing treatment means a compendium HortScience 11 4 348357 1976 DEMÉTRIO C G B Transformação de dados efeito sobre análise de variância Piracicaba ESALQUSP 1978 113 p Tese de Mestrado FERREIRA D F Estatística básica Lavras Editora UFLA 2005 664 p FINNEY D J Problems data and inference J R Statist Soc A 137 122 1974 FINNEY D J Numbers and data Biometrics v 31 p 375386 1975 FONSECA J S da MARTINS G de A Curso de estatística 4ª ed São Paulo Atlas 1993 317 p GATES C E BILBRO J D Illustration of a cluster analysis method for mean separation Agronomy Journal 70 462465 1978 GILMOUR S G Advanced modeling from designed experiments In Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica 100 Anais Lavras 711 de julho de 2003 Lavras DEXUFLA 2003 CDROM Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 77 Manoel Carlos Gonçalves GOMES F P A estatística moderna na pesquisa agropecuária Piracicaba Potafos 1984 160 p GOMES F P Curso de estatística experimental São Paulo Nobel 1987 467 p GOMEZ K A GOMEZ A A Statistical procedures for agricultural research New York Sec Ed John Wiley Sons 1984 680 p GUIMARÃES R C CABRAL J A S Estatística Edição Revista Lisboa McGrawHill 1999 621 p HAMMER P A Controlling variability HortScience v 16 n 5 628630 1981 HOEL P G Estatística matemática 4a edição Rio de Janeiro Editora Guanabara Dois 1980 373 p KEMPTHORNE O The design and analysis of experiments Malabar Robert E Kriger Publishing Company 1983 631 p LECLERG E L LEONARD W H CLARK A G Field plot technique Minneapolis Sec Ed Burgess 1962 373 p LITTLE T M HILLS F J Agricultural experimentation design and analysis New York John Wiley Sons 1978 350 p LITTLE T M Interpretation and presentation of results HorScience v 16 n 5 p 637 640 1981 MCINTOSHI M S Analysis of combined experiments Agronomy Journal v 75 p 153 155 1983 MEAD R CURNOW R N Statistical methods in agriculture and experimental biology London Chapman Hall 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estatístico Brasília Editora UnB 2004 248 p SCOTT A J KNOTT M A Cluster analysis method for grouping means in the analysis of variance Biometrics 303 507512 1974 SNEDECOR G W COCHRAN W G Statistical methods Eight Edition Ames Iowa State University Press 1996 503 p SOKAL R R ROHLF F J Biometry the principles and practice of statistics in biological research Third Edition New York W H Freeman and Company 1995 887 p SPATA A V Métodos de pesquisa ciências do comportamento e diversidade humana Rio de Janeiro Editora LTC 2005 247 p STEEL R G D TORRIE J H Principles and procedures of statistics New York Sec Ed McGrawHill 1980 633 p STORCK L GARCIA D C LOPES S J ESTEFANEL V Experimentação vegetal Santa Maria Editora UFSM 2000 198 p SWALLOW W H Statistical approaches to studies involving perennial crops HortScience v 16 n 5 p 634636 1981 URQUHART N S The anatomy of a study HortScience v 16 n 5 p 621627 1981 ZAR J H Biostatistical analysis New Jersey Prentice Hall 1999 663 p ZIMMERMANN F J P Estatística aplicada à pesquisa agrícola Santo Antônio de Goiás Embrapa Arroz e Feijão 2004 402 p Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 79 Manoel Carlos Gonçalves Tabelas Estatísticas TABELA 01 Distribuição normal padrão z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02703 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 22 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 23 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 24 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 Continua Continuação Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 80 Manoel Carlos Gonçalves z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 25 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 26 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 27 04965 04966 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04974 28 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 29 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04985 04986 04986 30 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 TABELA 02 Distribuição de 2 0995 0990 0975 0950 0900 0750 0500 0250 0100 0050 0025 0010 0005 gl 1 00000 00002 00010 00039 00158 0102 0455 132 271 384 502 663 788 2 00100 00001 00506 0103 0211 0575 139 277 461 599 738 921 106 3 00717 0115 0216 0352 0584 1021 237 411 625 781 925 113 128 4 0207 0297 0484 0711 106 192 336 539 778 949 111 133 149 5 0412 0554 0831 115 161 267 435 663 924 111 128 151 167 6 0676 0872 124 164 220 345 535 784 106 126 144 168 185 7 0989 124 169 217 283 425 635 904 120 141 160 185 203 8 134 165 218 273 349 507 734 102 134 155 175 201 220 9 173 209 270 333 417 590 834 114 147 169 190 217 236 10 216 256 325 394 487 674 934 125 160 183 205 232 252 11 260 305 382 457 558 758 103 137 173 197 219 247 268 12 307 357 440 523 630 844 113 148 185 210 233 262 283 13 357 411 501 589 704 930 123 160 198 224 247 277 298 14 407 466 563 657 779 102 133 171 211 237 261 291 313 15 460 523 623 726 855 110 143 182 223 250 275 306 238 16 514 580 691 796 831 119 153 194 235 263 284 320 343 17 570 641 756 867 101 128 163 205 248 276 302 534 357 18 626 701 823 939 109 137 173 216 260 289 315 348 372 19 684 763 891 101 117 146 183 227 272 301 329 362 386 20 743 826 959 109 124 155 193 238 284 314 342 376 400 21 803 890 103 116 132 163 203 249 296 327 355 389 414 Continua Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 81 Manoel Carlos Gonçalves Continuação 0995 0990 0975 0950 0900 0750 0500 0250 0100 0050 0025 0010 0005 gl 22 864 954 110 123 140 172 213 260 308 339 368 405 428 23 926 102 117 131 148 181 223 271 320 352 381 416 442 24 989 109 124 138 157 190 233 282 331 364 394 430 456 25 105 115 131 146 165 199 243 293 344 377 406 443 469 26 112 122 138 154 173 208 253 304 356 389 419 456 483 27 118 129 146 162 181 217 263 315 367 401 432 470 496 28 125 136 153 169 189 227 273 326 379 413 445 483 510 29 131 143 160 177 198 236 283 337 391 426 457 496 525 30 138 150 168 185 206 245 293 348 403 438 470 509 537 TABELA 03 Distribuição t de Student 050 025 010 005 0025 001 0005 gl 1 100000 24142 63138 12706 25542 63657 12732 2 081650 16036 29200 43127 62053 99248 14089 3 076489 14226 23534 31825 41765 58409 74533 4 074070 13444 21318 27764 34954 46041 55976 5 072669 13009 20150 25706 31634 40321 47733 6 071756 12733 19432 24469 29687 37074 43168 7 071114 12543 18946 23646 28412 34995 40293 8 070639 12403 18595 23060 27515 33554 38325 9 070272 12297 18331 22622 26850 32498 36897 10 069981 12213 18125 22281 26338 31693 35814 11 069745 12145 17959 22010 25931 31058 34966 12 069548 12089 17823 21788 25600 39545 34284 13 069384 12041 17709 21604 25326 30123 33725 14 0692 12001 17613 21448 25096 29768 33257 15 069120 11967 17530 21315 24899 29467 32860 16 069013 11937 17459 21199 24729 29208 32520 17 068919 11910 17396 21098 24581 28982 32225 18 068837 11887 17341 21009 24450 28784 31966 19 068763 11866 17291 20930 24334 28609 31737 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 82 Manoel Carlos Gonçalves Continua Continuação 050 025 010 005 0025 001 0005 gl 20 068696 11848 17247 20860 24231 28453 31534 21 068635 11831 17207 20796 24138 28314 31352 22 068580 11816 17171 20739 24055 28188 31188 23 068531 11802 17139 20687 23979 28073 31040 24 068485 11789 17109 20639 23910 27969 30905 25 068443 11777 17081 20595 23846 27874 30782 26 068405 11766 17056 20555 23788 27787 30669 27 068370 11757 17033 20518 23734 27707 30565 28 068335 11748 17011 20484 23685 27633 30469 29 068304 11739 16991 20452 23638 27564 30380 30 068276 11731 16973 20423 23596 27500 30298 40 068066 11673 16839 20211 23289 27045 29712 60 067862 11616 16707 20003 22991 26603 29146 120 067656 11559 16577 19799 22699 26174 28599 067449 11503 16449 19600 22414 25758 28070 TABELA 04 Valores de F para o nível de significância de 1 Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 2 985 990 992 992 993 993 994 994 994 3 341 308 295 287 282 279 277 275 273 4 212 180 167 160 155 152 150 148 147 5 163 133 121 114 110 107 105 103 102 6 137 109 978 915 875 847 826 810 798 7 122 955 845 785 746 719 699 684 672 8 113 865 759 701 663 637 618 603 591 9 106 802 699 642 606 580 561 547 535 10 100 756 655 599 564 539 520 506 494 11 965 721 622 567 532 507 489 474 463 12 933 693 595 541 506 482 464 450 439 13 907 670 574 521 486 462 444 430 419 14 886 651 556 504 469 446 428 414 403 Continua Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 83 Manoel Carlos Gonçalves Continuação Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 868 636 542 489 456 432 414 400 389 16 853 623 529 477 444 420 403 389 378 17 840 611 518 467 434 410 393 379 368 18 829 601 509 458 425 401 384 371 360 19 818 593 501 450 417 394 377 363 352 20 810 585 494 443 410 387 370 356 346 21 802 578 487 437 404 381 364 351 340 22 795 572 482 431 399 376 359 345 335 23 788 566 476 426 394 371 354 341 330 24 782 561 472 422 390 367 350 336 326 25 777 557 468 418 385 363 346 332 322 26 772 553 464 414 382 359 342 329 318 27 768 549 460 411 378 356 339 326 315 28 764 545 457 407 375 353 336 323 312 29 760 542 454 404 373 350 333 320 309 30 756 539 451 402 370 347 330 317 307 40 731 518 431 383 351 329 312 299 289 60 708 498 413 365 334 312 295 282 272 120 685 479 395 348 317 296 279 266 256 663 461 378 332 302 280 264 251 241 TABELA 04 Continuação Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366 2 994 994 994 994 995 995 995 995 995 995 3 272 271 269 267 266 265 264 263 262 261 4 145 144 142 140 139 138 137 137 136 135 5 101 989 972 955 947 938 929 920 911 902 6 787 772 756 740 731 723 714 706 697 688 7 662 647 631 616 607 599 591 582 574 565 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 84 Manoel Carlos Gonçalves 8 581 567 552 536 528 520 512 503 495 486 9 526 511 496 481 473 465 457 448 440 431 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 10 12 15 20 24 30 40 60 120 10 485 471 456 441 433 425 417 408 400 391 11 454 440 425 410 402 394 386 378 369 360 12 430 416 401 386 378 370 362 354 345 336 13 410 396 382 366 359 351 343 334 325 317 14 394 380 366 351 343 335 327 318 309 300 15 380 367 352 337 329 321 313 305 296 287 16 369 355 341 326 318 310 302 293 284 275 17 359 346 331 316 308 300 292 283 275 265 18 351 337 323 308 300 292 284 275 266 257 19 343 330 315 300 292 284 276 267 258 249 20 337 323 309 294 286 278 269 261 252 242 21 331 317 303 288 280 272 264 255 246 236 22 326 312 298 283 275 267 258 250 240 231 23 321 307 293 278 270 262 254 245 235 226 24 317 303 289 274 266 258 249 240 231 221 25 313 299 285 270 262 254 245 236 227 217 26 309 296 281 266 258 250 242 233 223 213 27 306 293 278 263 255 247 238 229 220 210 28 303 290 275 260 252 244 235 226 217 206 29 300 287 273 257 249 241 233 223 214 203 30 298 284 270 255 247 239 230 221 211 201 40 280 266 252 237 229 220 211 202 192 180 60 263 250 235 220 212 203 194 184 173 160 120 247 234 219 203 195 186 176 166 153 138 232 218 204 188 179 170 159 147 132 100 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 85 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 05 Valores de F para o nível de significância de 5 Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 2 185 1900 192 192 193 193 194 194 194 3 101 955 928 912 901 894 889 885 881 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 13 467 381 341 318 303 292 283 277 271 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 16 449 363 324 301 285 274 266 259 254 17 445 359 320 296 281 270 261 255 249 18 441 355 316 293 277 266 258 251 246 19 438 352 313 290 274 263 254 248 242 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 21 432 347 307 284 268 257 249 242 237 22 430 344 305 282 266 255 246 240 234 23 428 342 303 280 264 253 244 237 232 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 25 424 339 299 276 260 249 240 234 228 26 423 337 298 274 259 247 239 232 227 27 421 335 296 273 257 246 237 231 225 28 420 334 295 271 256 245 236 229 224 29 418 333 293 270 255 243 235 228 222 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 120 392 307 268 245 229 217 209 202 196 384 300 260 237 221 210 201 194 188 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 86 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 05 Continuação Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 242 244 246 248 249 250 251 252 253 254 2 194 194 194 194 195 195 195 195 195 195 3 879 874 870 866 864 862 859 857 855 853 4 596 591 586 580 577 575 572 569 566 563 5 474 468 462 456 453 450 446 443 440 436 6 406 400 394 387 384 381 377 374 370 367 7 364 357 351 344 341 338 334 330 327 323 8 335 328 322 315 312 308 304 301 297 293 9 314 307 301 294 290 286 283 279 275 271 10 298 291 285 277 274 270 266 262 258 254 11 285 279 272 265 261 257 253 249 245 240 12 275 269 262 254 251 247 243 238 234 230 13 267 260 253 246 242 238 234 230 225 221 14 260 253 246 239 235 231 227 222 218 213 15 254 248 240 233 229 225 220 216 211 207 16 249 242 235 228 224 219 215 211 206 201 17 245 238 231 223 219 215 210 206 201 196 18 241 234 227 219 215 211 206 202 197 192 19 238 231 223 216 211 207 203 198 193 188 20 235 228 220 212 208 204 199 195 190 184 21 232 225 218 210 205 201 196 192 187 181 22 230 223 215 207 203 198 194 189 184 178 23 227 220 213 205 201 196 191 186 181 176 24 225 218 211 203 198 194 189 184 179 173 25 224 216 209 201 196 192 187 182 177 171 26 222 215 207 199 195 190 185 180 175 169 27 220 213 206 197 193 188 184 179 173 167 28 219 212 204 196 191 187 182 177 171 165 29 218 210 203 194 190 185 181 175 170 164 30 216 209 201 193 189 184 179 174 168 162 40 208 200 192 184 179 174 169 164 158 151 60 199 192 184 175 170 165 159 153 147 139 120 191 183 175 166 161 155 150 143 135 125 183 175 167 157 152 146 139 132 122 100 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 87 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 06 Valores de F para o nível de significância de 10 Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 399 495 536 558 572 582 589 594 599 2 853 900 916 924 929 933 935 937 938 3 554 546 539 534 531 528 527 525 524 4 454 432 419 411 405 401 398 395 394 5 406 378 362 352 345 340 337 334 332 6 378 346 329 318 311 305 301 298 296 7 359 326 307 296 288 283 278 275 272 8 346 311 292 281 273 267 262 259 256 9 336 301 281 269 261 255 251 247 244 10 329 292 273 261 252 246 241 238 235 11 323 286 266 254 245 239 234 230 227 12 318 281 261 248 239 233 228 224 221 13 314 276 256 243 235 228 223 220 216 14 310 273 252 239 231 224 219 215 212 15 307 270 249 236 227 221 216 212 209 16 305 267 246 233 224 218 213 209 206 17 303 264 244 231 222 215 210 206 203 18 301 262 242 229 220 213 208 204 200 19 299 261 240 227 218 211 206 202 198 20 297 259 238 225 216 209 204 200 196 21 296 257 236 223 214 208 202 198 195 22 295 256 235 222 213 206 201 197 193 23 294 255 234 221 211 205 199 195 192 24 293 254 233 219 210 204 198 194 191 25 292 253 232 218 209 202 197 193 189 26 291 252 231 217 208 201 196 192 188 27 290 251 230 217 207 200 195 191 187 28 289 250 229 216 206 200 194 190 187 29 289 250 228 215 206 199 193 189 186 30 288 249 228 214 205 198 193 188 185 40 284 244 223 209 200 193 187 183 179 60 279 239 218 204 195 187 182 177 174 120 275 235 213 199 190 182 177 172 168 271 230 208 194 185 177 172 167 163 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 88 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 06 Continuação Nº de graus de liberdade do deno minador Número de graus de liberdade do numerador 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 602 607 612 617 620 623 625 628 631 633 2 939 941 942 944 945 946 947 947 948 949 3 523 522 520 518 518 517 516 515 514 513 4 392 390 387 384 383 382 380 379 378 376 5 330 327 324 321 319 317 316 314 312 310 6 294 290 287 284 282 280 278 276 274 272 7 270 267 263 259 258 256 254 251 249 247 8 254 250 246 242 240 238 236 234 232 229 9 242 238 234 230 228 225 223 221 218 216 10 232 228 224 220 218 216 213 211 208 206 11 225 221 217 212 210 208 205 203 200 197 12 219 215 210 206 204 201 199 196 193 190 13 214 210 205 201 198 196 193 190 188 185 14 210 205 201 196 194 191 189 186 183 180 15 206 202 197 192 190 187 185 182 179 176 16 203 199 194 189 187 184 181 178 175 172 17 200 196 191 186 184 181 178 175 172 169 18 198 193 189 184 181 178 175 172 169 166 19 196 191 186 181 179 176 173 170 167 163 20 194 189 184 179 177 174 171 168 164 161 21 192 188 183 178 175 172 169 166 162 159 22 190 186 181 176 173 170 167 164 160 157 23 189 184 180 174 172 169 166 162 159 155 24 188 183 178 173 170 167 164 161 157 153 25 187 182 177 172 169 166 163 159 156 152 26 186 181 176 171 168 165 161 158 154 150 27 185 180 175 170 167 164 160 157 153 149 28 184 179 174 169 166 163 159 156 152 148 29 183 178 173 168 165 162 158 155 151 147 30 182 177 172 167 164 161 157 154 150 146 40 176 171 166 161 157 154 151 147 142 138 60 171 166 160 154 151 148 144 140 135 129 120 165 160 155 148 145 141 137 132 126 119 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 89 Manoel Carlos Gonçalves 160 155 149 142 138 134 130 124 117 100 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 TABELA 07 Valores de q para o nível de significância de 1 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 900 135 164 186 202 216 227 237 246 2 140 190 223 247 266 282 295 307 317 3 826 106 122 133 142 150 156 162 167 4 651 812 917 996 106 111 115 119 123 5 570 697 780 842 891 932 967 997 102 6 524 633 703 756 797 832 861 887 910 7 495 592 654 701 737 768 794 817 837 8 474 563 620 663 696 724 747 768 787 9 460 543 596 635 666 691 713 732 749 10 448 527 577 614 643 667 687 705 721 11 439 514 562 597 625 648 667 684 699 12 432 504 550 584 610 632 651 667 681 13 426 496 540 573 598 619 637 653 667 14 421 489 532 563 588 608 626 641 654 15 417 483 525 556 580 599 616 631 644 16 413 478 519 549 572 592 608 622 635 17 410 474 514 543 566 585 601 615 627 18 407 470 509 538 560 579 594 608 620 19 405 467 505 533 555 573 589 602 614 20 402 464 502 529 551 569 584 597 609 24 396 454 491 517 537 554 569 581 592 30 389 445 480 505 524 540 554 565 576 40 382 437 470 493 511 527 539 550 560 60 376 428 460 482 499 513 525 536 545 120 370 420 450 471 487 501 512 521 530 364 412 440 460 476 488 499 508 516 TABELA 07 Continuação Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 90 Manoel Carlos Gonçalves Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 253 260 266 272 277 282 286 290 294 298 2 326 334 341 348 354 3600 365 370 375 379 3 171 175 179 182 185 188 191 193 195 198 4 126 128 131 133 135 137 139 141 142 144 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 105 107 109 111 112 114 116 117 118 119 6 930 949 965 981 995 101 102 103 104 105 7 855 871 886 900 912 924 935 946 955 965 8 803 818 831 844 855 866 876 885 894 903 9 765 778 791 803 813 823 832 841 849 857 10 736 748 760 771 781 791 799 807 815 822 11 713 725 736 746 756 765 773 781 788 795 12 694 706 717 726 736 744 752 759 766 773 13 679 690 701 710 719 727 734 742 748 755 14 666 677 687 696 705 712 720 727 733 739 15 655 666 676 684 693 700 707 714 720 726 16 646 656 666 674 682 690 697 703 709 715 17 638 648 657 666 673 680 687 694 700 705 18 631 641 650 658 665 672 679 685 691 696 19 625 634 643 651 658 665 672 678 684 689 20 619 629 637 645 652 659 665 671 676 682 24 602 611 619 626 633 639 645 651 656 661 30 585 593 601 608 614 620 626 631 636 641 40 569 577 584 590 596 602 607 612 617 621 60 553 560 567 573 579 584 589 593 598 602 120 538 544 551 556 561 566 571 575 579 583 523 529 535 540 545 549 554 557 561 565 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 91 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 08 Valores de q para o nível de significância de 5 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 180 270 328 371 404 431 454 474 491 2 608 833 980 109 117 124 130 135 140 3 450 591 682 750 804 848 885 918 946 4 393 504 576 629 671 705 735 760 783 5 364 460 522 567 603 633 658 680 699 6 346 434 490 530 563 590 612 632 649 7 334 416 468 506 536 561 582 600 616 8 326 404 453 489 517 540 560 577 592 9 320 395 441 476 502 524 543 559 574 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 315 388 433 465 491 512 530 546 560 11 311 382 426 457 482 503 520 535 549 12 308 377 420 451 475 495 512 527 539 13 306 373 415 445 469 488 505 519 532 14 303 370 411 441 464 483 499 513 525 15 301 367 408 437 459 478 494 508 520 16 300 365 405 433 456 474 490 503 515 17 298 363 402 430 452 470 486 499 511 18 297 361 400 428 449 467 482 496 507 19 296 359 398 425 447 465 479 492 504 20 295 358 396 423 445 462 477 490 501 24 292 353 390 417 437 454 468 481 492 30 289 349 385 410 430 446 460 472 482 40 286 344 379 404 423 439 452 463 473 60 283 340 374 398 416 431 444 455 465 120 280 336 368 392 410 424 436 447 456 277 331 363 386 403 417 429 439 447 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 92 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 08 Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 506 520 532 543 554 563 572 580 588 596 2 144 147 151 154 157 159 161 164 166 168 3 972 995 102 103 105 107 108 110 111 112 4 803 821 837 852 866 879 891 903 913 923 5 717 732 747 760 772 783 793 803 812 821 6 665 679 692 703 714 724 734 743 751 759 7 630 643 655 666 676 685 694 702 710 717 8 605 618 629 639 648 657 665 673 680 687 9 587 598 609 619 628 636 644 651 658 664 10 572 583 593 603 611 619 627 634 640 647 11 561 571 581 590 598 606 613 620 627 633 12 551 561 571 580 588 595 602 609 615 621 13 543 553 563 571 579 586 593 599 605 611 14 536 546 555 564 571 579 585 591 597 603 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 531 540 549 557 565 572 578 585 590 596 16 526 535 544 552 559 566 573 579 584 590 17 521 531 539 547 554 561 567 573 579 584 18 517 527 535 543 550 557 563 569 574 579 19 514 523 531 539 546 553 559 565 570 575 20 511 520 528 536 543 549 555 561 566 571 24 501 510 518 525 532 538 544 549 555 559 30 492 500 508 515 521 527 533 538 543 547 40 482 490 498 504 511 516 522 527 531 536 60 473 481 488 494 500 506 511 515 520 524 120 464 471 478 484 490 495 500 504 509 513 455 462 468 474 480 485 489 493 497 501 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 93 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 09 Valores de q para o nível de significância de 10 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 893 134 164 185 202 215 226 236 245 2 413 573 677 754 814 863 905 941 972 3 333 447 520 574 616 651 681 706 729 4 301 398 459 503 539 568 593 614 633 5 285 372 426 466 498 524 546 565 582 6 275 356 407 444 473 497 517 534 550 7 268 345 393 428 455 478 497 514 528 8 263 337 383 417 443 465 483 499 513 9 259 332 376 408 434 454 472 487 501 10 256 327 370 402 426 447 464 478 491 11 254 323 366 396 420 440 457 471 484 12 252 320 362 392 416 435 451 465 478 13 250 318 359 388 412 430 446 460 472 14 249 316 356 385 408 427 442 456 468 15 248 314 354 383 405 423 439 452 464 16 247 312 352 380 403 421 436 449 461 17 246 311 350 378 400 418 433 446 458 18 245 310 349 377 398 416 431 444 455 19 245 309 347 375 397 414 429 442 453 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 244 308 346 374 395 412 427 440 451 24 242 305 342 369 390 407 421 434 444 30 240 302 339 365 385 402 416 428 438 40 238 299 335 360 380 396 410 421 432 60 236 296 331 356 375 391 404 416 425 120 234 293 328 352 371 386 399 410 419 233 290 324 348 366 381 393 404 413 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 94 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 09 Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de tratamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 252 259 265 271 276 281 285 290 293 297 2 100 103 105 107 109 111 112 114 115 117 3 749 767 783 798 812 825 837 848 858 868 4 649 665 678 691 702 713 723 733 741 750 5 597 610 622 634 644 654 663 671 679 686 6 564 576 587 598 607 616 625 632 640 647 7 541 553 564 574 583 591 599 606 613 619 8 525 536 546 556 564 572 580 587 593 600 9 513 523 533 542 551 558 566 572 579 585 10 503 513 523 532 540 547 554 561 567 573 11 495 505 515 523 531 538 545 551 557 563 12 489 499 508 516 524 531 537 544 549 555 13 483 493 502 510 518 525 531 537 543 548 14 479 488 497 505 512 519 526 532 537 543 15 475 484 493 501 508 515 521 527 532 538 16 471 481 489 497 504 511 517 523 528 533 17 468 477 486 493 501 507 513 519 524 530 18 465 475 483 490 498 504 510 516 521 526 19 463 472 480 488 495 501 507 513 518 523 20 461 470 478 485 492 499 505 510 516 520 24 454 463 471 478 485 491 497 502 507 512 30 447 456 464 471 477 483 489 494 499 503 40 441 449 456 463 469 475 481 486 490 495 60 434 442 449 456 462 467 473 478 482 486 120 428 435 442 448 454 460 465 469 474 478 421 428 435 441 447 452 457 461 465 469 Fonte Scheffé H The analysis of variance New York Wiley 1959 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 95 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 10 Valores de z para o nível de significância de 1 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 2 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 3 8261 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 4 6512 6677 6740 6756 6756 6756 6756 6756 6756 5 5702 5893 5989 6040 6065 6074 6074 6074 6074 6 5243 5439 5549 5614 5655 5680 5694 5701 5703 7 4949 5145 5260 5334 5383 5416 5439 5454 5464 8 4746 4939 5057 5135 5189 5227 5256 5276 5291 9 4596 4787 4906 4986 5043 5086 5118 5142 5160 10 4482 4671 4790 4871 4931 4975 5010 5037 5058 11 4392 4579 4697 4780 4841 4887 4924 4952 4975 12 4320 4504 4622 4706 4767 4815 4852 4883 4907 13 4260 4442 4560 4644 4706 4755 4793 4824 4850 14 4210 4391 4508 4591 4654 4704 4743 4775 4802 15 4168 4347 4463 4547 4610 4660 4700 4733 4760 16 4131 4309 4425 4509 4572 4622 4663 4696 4724 17 4099 4275 4391 4475 4539 4589 4630 4664 4693 18 4071 4246 4362 4445 4509 4560 4601 4635 4664 19 4046 4220 4335 4419 4483 4534 4575 4610 4639 20 4024 4197 4312 4395 4459 4510 4552 4587 4617 24 3956 4126 4239 4322 4386 4437 4480 4516 4546 30 3889 4056 4168 4250 4314 4366 4409 4445 4477 40 3825 3988 4098 4180 4244 4296 4339 4376 4408 60 3762 3922 4031 4111 4174 4226 4270 4307 4340 120 3702 3858 3965 4044 4107 4158 4202 4239 4272 3643 3796 3900 3978 4040 4091 4135 4172 4205 TABELA 10 Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 9003 2 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 1404 3 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 4 6756 6756 6756 6756 6756 6756 6756 6756 6756 6756 5 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 96 Manoel Carlos Gonçalves 7 5470 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 5302 5309 5314 5316 5317 5317 5317 5317 5317 5317 9 5174 5185 5193 5199 5203 5205 5206 5206 5206 5206 10 5074 5088 5098 5106 5112 5117 5120 5122 5124 5124 11 4994 5009 5021 5031 5039 5045 5050 5054 5057 5059 12 4927 4944 4958 4969 4978 4986 4993 4998 5002 5006 13 4872 4889 4904 4917 4928 4937 4944 4950 4956 4960 14 4824 4843 4859 4872 4884 4894 4902 4910 4916 4921 15 4783 4803 4820 4834 4846 4857 4866 4874 4881 4887 16 4748 4768 4786 4800 4813 4825 4835 4844 4851 4858 17 4717 4738 4756 4771 4785 4797 4807 4816 4824 4832 18 4689 4711 4729 4745 4759 4772 4783 4792 4801 4808 19 4665 4686 4705 4722 4736 4749 4761 4771 4780 4788 20 4642 4664 4684 4701 4716 4729 4741 4751 4761 4769 24 4573 4596 4616 4634 4651 4665 4678 4690 4700 4710 30 4504 4528 4550 4569 4586 4601 4615 4628 4640 4650 40 4436 4461 4483 4503 4521 4537 4553 4566 4579 4591 60 4368 4394 4417 4438 4456 4474 4490 4504 4518 4530 120 4301 4327 4351 4372 4392 4410 4426 4442 4456 4469 4235 4261 4285 4307 4327 4345 4363 4379 4394 4408 Fonte Harter H L Critical values for Duncans new multiple range test Biometrics 16 67185 1960 TABELA 11 Valores de z para o nível de significância de 5 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 2 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 3 4501 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4 3927 4013 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 5 3635 3749 3797 3814 3814 3814 3814 3814 3814 6 3461 3587 3649 3680 3694 3697 3697 3697 3697 7 3344 3477 3548 3588 3611 3622 3626 3626 3626 8 3261 3399 3475 3521 3549 3566 3575 3579 3579 9 3199 3339 3420 3470 3502 3523 3536 3544 3547 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 97 Manoel Carlos Gonçalves 10 3151 3293 3376 3430 3465 3489 3505 3516 3522 11 3113 3256 3342 3397 3435 3462 3480 3493 3501 12 3082 3225 3313 3370 3410 3439 3459 3474 3484 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 3055 3200 3289 3348 3389 3419 3442 3458 3470 14 3033 3178 3268 3329 3372 3403 3426 3444 3457 15 3014 3160 3250 3312 3356 3389 3413 3432 3446 16 2998 3144 3235 3298 3343 3376 3402 3422 3437 17 2984 3130 3222 3285 3331 3366 3392 3412 3429 18 2971 3118 3210 3274 3321 3356 3383 3405 3421 19 2960 3107 3199 3264 3311 3347 3375 3397 3415 20 2950 3097 3190 3255 3303 3339 3368 3391 3409 24 2919 3066 3160 3226 3276 3315 3345 3370 3390 30 2888 3035 3131 3199 3250 3290 3322 3349 3371 40 2858 3006 3102 3171 3224 3266 3300 3328 3352 60 2829 2976 3073 3143 3198 3241 3277 3307 3333 120 2800 2947 3045 3116 3172 3217 3254 3287 3314 2772 2918 3017 3089 3146 3193 3232 3265 3294 TABELA 11 Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 1797 2 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 3 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 5 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 6 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 7 3626 3626 3626 3626 3626 3626 3626 3626 3626 3626 8 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 9 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 10 3525 3526 3526 3526 3526 3526 3526 3526 3526 3526 11 3506 3509 3510 3510 3510 3510 3510 3510 3510 3510 12 3491 3496 3498 3499 3499 3499 3499 3499 3499 3499 13 3478 3484 3488 3490 3490 3490 3490 3490 3490 3490 14 3467 3474 3479 3482 3484 3484 3485 3485 3485 3485 15 3457 3465 3471 3476 3478 3480 3481 3481 3481 3481 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 98 Manoel Carlos Gonçalves 16 3449 3458 3465 3470 3473 3477 3478 3478 3478 3478 17 3441 3451 3459 3465 3469 3473 3475 3476 3476 3476 18 3435 3445 3454 3460 3465 3470 3472 3474 3474 3474 19 3429 3440 3449 3456 3462 3467 3470 3472 3473 3474 20 3424 3436 3445 3453 3459 3464 3467 3470 3472 3473 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 3406 3420 3432 3441 3449 3456 3461 3465 3469 3471 30 3389 3405 3418 3430 3439 3447 3454 3460 3466 3470 40 3373 3390 3405 3418 3429 3439 3448 3456 3463 3469 60 3355 3374 3391 3406 3419 3431 3442 3451 3460 3467 120 3337 3359 3377 3394 3409 3423 3435 3446 3457 3466 3320 3343 3363 3382 3399 3414 3428 3442 3454 3466 Fonte Harter H L Critical values for Duncans new multiple range test Biometrics 16 67185 1960 TABELA 12 Valores de z para o nível de significância de 10 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 2 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 3 3328 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 4 3015 3074 3081 3081 3081 3081 3081 3081 3081 5 2850 2934 2964 2970 2970 2970 2970 2970 2970 6 2748 2846 2890 2908 2911 2911 2911 2911 2911 7 2680 2785 2838 2864 2876 2878 2878 2878 2878 8 2630 2742 2800 2832 2849 2857 2858 2858 2858 9 2592 2708 2771 2808 2829 2840 2845 2847 2847 10 2563 2682 2748 2788 2813 2827 2835 2839 2839 11 2540 2660 2730 2772 2799 2817 2827 2833 2835 12 2521 2643 2714 2759 2789 2808 2821 2828 2832 13 2505 2628 2701 2748 2779 2800 2815 2824 2829 14 2491 2616 2690 2739 2771 2794 2810 2820 2827 15 2479 2605 2681 2731 2765 2789 2805 2817 2825 16 2469 2596 2673 2723 2759 2784 2802 2815 2824 17 2460 2588 2665 2717 2753 2780 2798 2812 2822 18 2452 2580 2659 2712 2749 2776 2796 2810 2821 19 2445 2574 2653 2707 2745 2773 2793 2808 2820 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 99 Manoel Carlos Gonçalves 20 2439 2568 2648 2702 2741 2770 2791 2807 2819 24 2420 2550 2632 2688 2729 2760 2783 2801 2816 30 2400 2532 2615 2674 2717 2750 2776 2796 2813 40 2381 2514 2600 2660 2705 2741 2769 2791 2810 60 2363 2497 2584 2646 2694 2731 2761 2786 2807 120 2344 2479 2568 2632 2682 2722 2754 2781 2804 2326 2462 2552 2619 2670 2712 2746 2776 2801 TABELA 12 Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de médias abrangidas pelo contraste 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 8929 2 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 4130 3 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 3330 4 3081 3081 3081 3081 3081 3081 3081 3081 3081 3081 5 2970 2970 2970 2970 2970 2970 2970 2970 2970 2970 6 2911 2911 2911 2911 2911 2911 2911 2911 2911 2911 7 2878 2878 2878 2878 2878 2878 2878 2878 2878 2878 8 2858 2858 2858 2858 2858 2858 2858 2858 2858 2858 9 2847 2847 2847 2847 2847 2847 2847 2847 2847 2847 10 2839 2839 2839 2839 2839 2839 2839 2839 2839 2839 11 2835 2835 2835 2835 2835 2835 2835 2835 2835 2835 12 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 13 2832 2832 2832 2832 2832 2832 2832 2832 2832 2832 14 2831 2832 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 2833 15 2830 2833 2834 2834 2834 2834 2834 2834 2834 2834 16 2829 2833 2835 2836 2836 2836 2836 2836 2836 2836 17 2829 2834 2836 2838 2838 2838 2838 2838 2838 2838 18 2828 2834 2838 2840 2840 2840 2840 2840 2840 2840 19 2828 2834 2839 2841 2842 2843 2843 2843 2843 2843 20 2828 2834 2839 2843 2845 2845 2845 2845 2845 2845 24 2827 2835 2842 2848 2851 2854 2856 2857 2857 2857 30 2826 2837 2846 2853 2859 2863 2867 2869 2871 2873 40 2825 2838 2849 2858 2866 2873 2878 2883 2887 2890 60 2825 2839 2853 2864 2874 2883 2890 2897 2903 2908 120 2824 2842 2857 2871 2883 2893 2903 2912 2920 2928 2824 2844 2861 2877 2892 2905 2918 2929 2939 2949 Fonte Harter H L Critical values for Duncans new multiple range test Biometrics 16 67185 1960 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 100 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 13 Valores de dt para o nível de significância de 1 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de graus de liberdade de tratamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 5 403 469 498 522 541 556 568 580 580 598 605 612 630 652 6 371 421 451 471 487 500 510 520 528 535 541 547 562 581 7 350 395 421 439 483 464 474 482 489 495 501 506 519 536 8 336 377 400 417 429 440 448 456 462 468 473 478 490 505 9 325 363 385 401 412 422 430 437 443 448 453 457 468 482 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de graus de liberdade de tratamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 10 317 353 374 388 399 408 416 422 428 433 437 442 452 465 11 311 345 365 379 389 398 405 411 416 421 425 429 439 452 12 305 339 358 371 381 389 396 402 407 412 416 419 429 441 13 301 333 352 365 374 382 389 394 399 404 408 411 420 432 14 298 329 347 359 369 376 383 388 393 397 401 405 413 424 15 295 325 343 355 364 371 378 383 388 392 395 399 407 418 16 292 322 339 351 360 367 373 378 383 387 391 394 402 413 17 290 319 336 347 356 363 369 374 379 383 386 390 398 408 18 288 317 333 344 353 360 366 371 375 379 383 386 394 404 19 286 315 331 342 350 357 363 368 372 376 379 383 390 400 20 285 313 329 340 348 355 360 365 369 373 377 380 387 397 24 280 307 322 332 340 347 352 357 361 364 368 370 378 387 30 275 301 315 325 333 339 344 349 352 356 359 362 369 378 40 270 295 309 319 326 332 337 341 344 348 351 353 360 368 60 266 290 303 312 319 325 329 333 337 340 342 345 351 359 120 262 285 297 306 312 318 322 326 329 332 335 337 343 351 258 279 292 300 306 311 315 319 322 325 327 329 335 342 Fonte Dunnett C W New tables for multiple comparisons with a control Biometrics 20 1964 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 101 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 14 Valores de dt para o nível de significância de 5 Nº de graus de liberdade do resíduo Número de graus de liberdade de tratamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 5 257 303 329 348 362 373 382 390 397 403 409 414 426 442 6 245 286 310 326 339 349 357 364 371 376 381 386 397 411 7 236 275 297 312 324 333 341 347 353 358 363 367 378 391 8 231 267 288 302 313 322 329 335 341 346 350 354 364 376 9 226 261 281 295 305 314 320 326 332 336 340 344 353 365 10 223 257 276 289 299 307 314 319 324 329 333 336 345 357 11 220 253 272 284 294 302 308 314 319 323 327 330 339 350 12 218 250 268 281 290 298 304 309 314 318 322 325 334 345 13 216 248 265 278 287 294 300 306 310 314 318 321 329 340 14 214 246 263 275 284 291 297 302 307 311 314 318 326 336 Continua Continuação Nº de graus de liberdade do resíduo Número de graus de liberdade de tratamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 15 213 244 261 273 282 289 295 300 304 308 312 315 323 333 16 212 242 259 271 280 287 292 297 302 306 309 312 320 330 17 211 241 258 269 278 285 290 295 300 303 307 310 318 327 18 210 240 256 268 276 283 289 294 298 301 305 308 316 325 19 209 239 255 266 275 281 287 292 296 300 303 306 314 323 20 209 238 254 265 273 280 286 290 295 298 302 305 312 322 24 206 235 251 261 270 276 281 286 290 294 297 300 307 316 30 204 232 247 258 266 272 277 282 286 289 292 295 302 311 40 202 229 244 254 262 268 273 277 281 285 287 290 297 306 60 200 227 241 251 258 264 269 273 277 280 283 286 292 300 120 198 224 238 247 255 260 265 269 273 276 279 281 287 295 196 221 235 244 251 257 261 265 269 272 272 277 283 291 Fonte Dunnett C W New tables for multiple comparisons with a control Biometrics 20 1964 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 102 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 15 Valores de t bilaterais para aplicação no Teste de Bonferroni n número de contrastes n2 número de graus de liberdade do resíduo 005 n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n 5 317 354 381 404 422 438 453 466 7 284 313 334 350 364 376 386 395 10 264 287 304 317 328 337 345 352 12 256 278 294 306 315 324 331 337 15 249 269 284 295 304 311 318 324 20 242 261 275 285 293 300 306 311 24 239 258 270 280 288 294 300 305 30 236 254 266 275 283 289 294 299 40 233 250 262 271 278 284 289 293 60 230 247 258 266 273 279 284 288 120 227 243 254 262 268 274 279 283 224 239 250 258 264 269 274 277 001 5 478 525 560 589 615 636 656 670 7 403 436 459 478 495 509 521 531 10 358 383 401 415 427 437 445 453 12 343 365 380 393 404 413 420 426 15 329 348 362 374 382 390 397 402 Continua Continuação n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n 20 316 333 346 355 363 370 376 380 24 309 326 338 347 354 361 366 370 30 303 319 330 339 346 352 357 361 40 297 312 323 331 338 343 348 351 60 292 306 316 324 330 334 339 342 120 286 299 309 316 322 327 331 334 281 294 302 309 315 319 323 326 TABELA 15 Continuação 005 n 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 n 5 478 525 560 589 615 636 656 670 686 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 103 Manoel Carlos Gonçalves 7 403 436 459 478 495 509 521 531 540 10 358 383 401 415 427 437 445 453 459 12 343 365 380 393 404 413 420 426 432 15 329 348 362 374 382 390 397 402 407 20 316 333 346 355 363 370 376 380 385 24 309 326 338 347 354 361 366 370 374 30 303 319 330 339 346 352 357 361 365 40 297 312 323 331 338 343 348 351 355 60 292 306 316 324 330 334 339 342 346 120 286 299 309 316 322 327 331 334 337 281 294 302 309 315 319 323 326 329 001 5 686 751 800 837 868 895 919 941 968 7 540 579 608 630 649 667 683 693 706 10 459 486 506 520 533 544 552 560 570 12 432 456 473 486 495 504 512 520 527 15 407 429 442 453 461 471 478 484 490 20 385 403 415 425 433 439 446 452 456 24 374 391 404 41 42 43 43 43 44 30 365 380 390 398 413 426 41 42 42 40 355 370 379 388 393 397 401 41 41 60 346 359 369 376 381 384 389 393 397 120 337 350 358 364 369 373 377 380 383 329 340 348 354 359 363 366 369 372 Esta tabela foi adaptada de dados de V Chew Comparisons Among Treatment Mens in an Analysis of Variance USDA Washington 1977 TABELA 16 Valores críticos da estatística 2 mín 2 máx s H s aos níveis de 5 e 1 de probabilidade g número de grupos r 1 número de graus de liberdade de cada grupo 5 g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 r 2 3900 8750 14200 20200 26600 33300 40300 47500 55000 62600 70400 3 1540 2780 3920 5070 6200 7290 8350 9390 10400 11400 12400 4 960 1550 2060 2520 2950 3360 3750 4110 4460 4800 5140 5 715 1080 1370 1630 1870 2080 2290 2470 2650 2820 2990 6 582 838 1040 1210 1370 1500 1630 1750 1860 1970 2070 7 499 694 844 970 1080 1180 1270 1350 1430 1510 1580 8 443 600 718 812 903 978 1050 1110 1170 1220 1270 9 403 534 631 711 780 841 895 945 991 1030 1070 10 372 485 567 634 692 742 787 828 866 901 934 12 328 416 479 530 572 609 642 672 700 725 748 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 104 Manoel Carlos Gonçalves 15 286 354 401 437 468 495 519 540 559 577 593 20 246 295 329 354 376 394 410 424 437 449 459 30 207 240 261 278 291 302 312 321 329 336 339 60 167 185 196 204 211 217 222 226 230 233 236 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1 g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 r 2 19900 4480 7290 10360 13620 17050 20630 24320 28130 32040 36050 3 4750 850 1200 1510 1840 2160 2490 2810 3100 3370 3610 4 2320 370 490 590 690 790 890 970 1060 1130 1200 5 1490 220 280 330 380 420 460 500 540 570 600 6 1110 155 191 220 250 270 300 320 340 360 370 7 889 121 145 165 184 200 220 230 240 260 270 8 750 99 117 132 145 158 169 179 189 198 210 9 654 85 99 111 121 131 139 147 153 160 166 10 585 74 86 96 104 111 118 124 129 134 139 12 491 61 69 76 82 87 91 95 99 102 106 15 407 49 55 60 64 67 71 73 75 78 80 20 332 38 43 46 49 51 53 55 56 58 59 30 263 30 33 34 36 37 38 39 40 41 42 60 196 22 23 24 24 25 25 26 26 27 27 100 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 TABELA 17 Limites superiores para o teste de Lilliefors n 020 015 010 005 001 4 0300 0319 0352 0381 0417 5 0285 0299 0315 0337 0405 6 0265 0277 0294 0319 0364 7 0247 0258 0276 0300 0348 8 0233 0244 0261 0285 0331 9 0223 0233 0249 0271 0311 10 0215 0224 0239 0258 0294 11 0208 0217 0230 0249 0284 12 0199 0212 0223 0242 0275 13 0190 0202 0214 0234 0268 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 105 Manoel Carlos Gonçalves 14 0183 0194 0207 0227 0261 15 0177 0187 0201 0220 0257 16 0173 0182 0195 0213 0250 17 0169 0177 0189 0206 0245 18 0166 0173 0184 0200 0239 19 0183 0169 0179 0195 0235 20 0160 0166 0174 0190 0231 25 0142 0147 0158 0173 0200 30 0131 0136 0144 0161 0187 30 n 0 736 n 0 768 n 0 805 n 0 886 n 1031 Tabela adaptada de CONOVER W J 1971 Practical Nonparametric Statistics Nova York John Wiley Sons Inc TABELA 18 Valores dos coeficientes ai n para o teste de ShapiroWilk i n11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i 5601 3315 2260 1429 0695 n21 5475 3325 2347 1586 0922 0303 22 5359 3325 2412 1707 1099 0539 23 5251 3318 2460 1802 1240 0727 0240 24 5150 3306 2495 1878 1353 0880 0433 25 5056 3290 2521 1939 1447 1005 0593 0196 26 4968 3273 2540 1988 1524 1109 0725 0359 27 4886 3253 2553 2027 1587 1197 0837 0496 0163 28 4808 3232 2561 2059 1641 1271 0932 0612 0303 29 4734 3211 2565 2085 1686 1334 1013 0711 0422 0140 30 1 2 3 4 5 6 4643 3185 2578 2119 1736 1399 4590 3156 2571 2131 1764 1443 4542 3126 2563 2139 1787 1480 4493 3098 2554 2145 1807 1512 4450 3069 2543 2148 1822 1539 4407 3043 2533 2151 1836 1563 4366 3018 2522 2152 1848 1584 4328 2992 2510 2151 1857 1601 4291 2968 2499 2150 1864 1616 4254 2944 2487 2148 1870 1630 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 106 Manoel Carlos Gonçalves 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1092 0804 0530 0263 1150 0878 0618 0368 0122 1201 0941 0696 0459 0228 1245 0997 0764 0539 0321 0107 1283 1046 0823 0610 0403 0200 1316 1089 0876 0672 0476 0284 0094 1346 1128 0923 0728 0540 0358 0178 1372 1162 0965 0778 0598 0424 0253 0084 1395 1192 1002 0822 0650 0483 0320 0159 1415 1219 1036 0862 0697 0537 0381 0227 0076 Continua TABELA 18 Continuação i n31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4220 2921 2475 2145 1874 1641 1433 1243 1066 0899 0739 0585 0435 0298 0144 4188 2898 2463 2141 1878 1651 1449 1265 1093 0931 0777 0629 0485 0344 0206 0068 4156 2876 2451 2137 1880 1660 1463 1284 1118 0961 0812 0669 0530 0395 0262 0131 4127 2854 2439 2132 1882 1667 1475 1301 1140 0988 0844 0706 0572 0441 0314 0187 0062 4096 2834 2427 2127 1883 1673 1487 1317 1160 1013 0873 0739 0610 0484 0361 0239 0119 4068 2813 2415 2121 1883 1678 1496 1331 1179 1036 0900 0770 0645 0523 0404 0287 0172 0057 4040 2794 2403 2116 1813 1683 1505 1344 1196 1056 0924 0798 0677 0559 0444 0331 0220 0110 4015 2774 2391 2110 1881 1686 1513 1356 1211 1075 0947 0824 0706 0592 0481 0372 0264 0158 0053 3989 2755 2380 2104 1880 1689 1520 1366 1225 1092 0967 0848 0733 0622 0515 0409 0305 0203 0101 3966 2737 2368 2098 1878 1691 1526 1376 1237 1108 0986 0870 0759 0651 0546 0444 0343 0244 0146 0049 Continua Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 107 Manoel Carlos Gonçalves TEBELA 18 Continuação i n41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3940 2719 2357 2091 1876 1693 1531 1384 1249 1123 1004 0891 0782 0677 0575 0476 0379 0283 0188 0094 3917 2701 2345 2085 1874 1694 1535 1392 1259 1136 1020 0909 0804 0701 0602 0506 0411 0318 0227 0136 0045 3894 2684 2334 2078 1871 1695 1539 1398 1269 1149 1035 0927 0824 0724 0628 0534 0442 0352 0263 0175 0087 3872 2667 2323 2072 1868 1695 1542 1405 1278 1160 1049 0943 0842 0745 0651 0560 0471 0383 0296 0211 0126 0042 3850 2651 2313 2065 1865 1695 1545 1410 1286 1170 1062 0959 0860 0765 0673 0584 0497 0412 0328 0245 0163 0081 3830 2635 2302 2058 1862 1695 1548 1415 1293 1180 1073 0972 0876 0783 0694 0607 0522 0439 0357 0277 0197 0118 0039 3808 2620 2291 2052 1859 1695 1550 1420 1300 1189 1085 0986 0892 0801 0713 0628 0546 0465 0385 0307 0229 0153 0076 3789 2604 2281 2045 1855 1693 1551 1423 1306 1197 1095 0998 0906 0817 0731 0648 0568 0489 0411 0335 0259 0185 0111 0037 3770 2589 2271 2038 1851 1692 1553 1427 1312 1205 1105 1010 0919 0832 0748 0667 0588 0511 0436 0361 0288 0215 0143 0071 3751 2574 2260 2032 1847 1691 1554 1430 1317 1212 1113 1020 0932 0846 0764 0685 0608 0532 0459 0386 0314 0244 0174 0104 0035 Adaptada de Gill 1978 n tamanho da amostra ou número de parcelas Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 108 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 19 Valores críticos para o teste de ShapiroWilk n 09 05 010 005 002 001 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 973 973 974 975 975 976 977 978 978 979 980 980 981 981 981 982 982 982 982 983 983 983 983 983 984 984 984 984 984 985 985 985 985 985 985 985 985 985 985 985 940 943 945 947 950 952 954 956 957 959 960 961 962 963 964 965 965 966 966 967 967 968 968 969 969 970 970 971 971 972 972 972 973 973 973 974 974 974 974 974 876 883 889 895 901 906 910 914 917 920 923 926 928 930 931 933 935 936 937 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 951 952 953 953 954 954 955 955 850 859 866 874 881 887 892 897 901 905 908 911 914 916 918 920 923 924 926 927 929 930 931 933 934 935 936 938 939 940 941 942 943 944 945 945 946 947 947 947 817 828 837 846 855 863 869 874 879 884 888 892 895 898 901 904 906 908 910 912 914 915 917 919 920 922 924 925 927 928 929 930 932 933 934 935 936 937 937 938 792 805 814 825 835 844 851 858 863 868 873 878 881 884 888 891 894 896 898 900 902 904 906 908 910 912 914 916 917 919 920 922 923 924 926 927 928 929 929 930 Adaptado de Gill 1978 n número de parcelas significância adotada Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 109 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 06 Coeficientes de correlação N Probabilidade 010 005 002 001 0001 1 09877 099692 099951 099988 09999 2 09000 09500 09800 09900 09990 3 0805 0878 09343 09587 09911 4 0729 0811 0882 09172 09741 5 0669 0754 0833 0875 09509 6 0621 0707 0789 0834 09249 7 0582 0666 0750 0798 0898 8 0549 0632 0715 0765 0872 9 0521 0602 0685 0735 0847 10 0497 0576 0658 0708 0823 11 0476 0553 0634 0684 0801 12 0457 0532 0612 0661 0780 13 0441 0514 0592 0641 0760 14 0426 0497 0574 0623 0742 15 0412 0482 0558 0606 0725 16 0400 0468 0543 0590 0708 17 0389 0456 0529 0575 0693 18 0378 0444 0516 0561 0679 19 0369 0433 0503 0549 0665 20 0360 0423 0492 0537 0652 25 0323 0381 0445 0487 0597 30 0296 0349 0409 0449 0554 35 0275 0325 0381 0418 0519 40 0257 0304 0358 0393 0490 45 0243 0288 0338 0372 0465 50 0231 0273 0322 0354 0443 60 0211 0250 0295 0325 0408 70 0195 0232 0274 0302 0380 80 0183 0217 0257 0283 0357 90 0173 0205 0242 0267 0338 100 0164 0195 0230 0254 0321 Extraída de Tabelas Estatísticas para Pesquisa em Biologia Agricultura e Medicina por R A Fisher e F Yates com a gentil permissão dos autores e editores Oliver e Boyd Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 110 Manoel Carlos Gonçalves TABELA 07 Coeficientes para ajustamento de polinômios ortogonais n3 níveis n4 níveis n5 níveis 1º Grau 2º Grau 1º Grau 2º Grau 3º Grau 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 1 1 3 1 1 2 2 1 1 0 2 1 1 3 1 1 2 4 1 1 1 1 3 0 2 0 6 3 1 1 1 1 2 4 2 2 1 1 K 2 6 20 4 20 10 14 10 70 M 1 3 2 1 103 1 1 56 3512 n6 níveis n7 níveis 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 5 5 5 1 1 3 5 1 3 1 3 1 7 3 5 2 0 1 7 4 1 4 4 2 1 0 1 3 1 1 5 1 4 4 2 1 0 0 4 0 6 0 3 1 7 3 5 1 3 1 1 5 5 5 5 1 1 2 0 1 7 4 3 5 1 3 1 K 70 84 180 28 252 28 84 6 154 84 M 2 32 53 712 2110 1 1 16 712 720 n8 níveis n9 níveis 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 7 7 7 7 7 4 2 8 1 4 1 4 4 5 1 5 1 3 2 3 3 7 7 2 1 1 1 3 3 7 3 1 7 2 8 1 3 1 1 4 1 5 3 9 1 5 1 1 7 9 9 9 1 5 3 9 1 5 0 2 0 0 1 8 0 3 3 7 3 1 7 1 1 7 9 9 9 5 1 5 1 3 2 3 2 8 1 3 1 1 4 7 7 7 7 7 3 7 7 2 1 1 1 4 2 8 1 4 1 4 1 4 Planejamento e Análise de Experimentos Agrícolas 111 Manoel Carlos Gonçalves K 168 168 264 616 2184 60 2772 990 2002 468 M 2 1 23 712 710 1 3 56 712 320 TABELA 07 Continuação n10 níveis n11 níveis 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 1º Grau 2º Grau 3º Grau 4º Grau 5º Grau 9 6 4 2 1 8 6 5 1 5 3 0 6 3 7 2 1 4 2 2 1 4 4 6 6 6 6 5 1 3 5 1 7 1 3 1 2 2 6 1 3 3 3 1 3 1 1 2 6 2 3 1 4 1 4 1 2 1 8 6 1 9 1 4 4 4 1 4 1 2 1 8 6 0 1 0 0 6 0 3 3 3 1 3 1 1 1 9 1 4 4 4 5 1 3 5 1 7 1 2 6 2 3 1 4 7 2 1 4 2 2 1 4 3 1 2 2 6 1 9 6 4 2 1 8 6 4 6 6 6 6 5 1 5 3 0 6 3 K 330 132 8580 2860 780 110 858 4290 286 156 M 2 12 53 512 110 1 1 56 112 140 Polinômios ortogonais 2 2 3 1 9 2 2 2 1 3 7 3 13 2 3 4 2 1 2 3 4 12 20 14 560 n n n n n P x P x P x x P x x 2 5 7 4 2 15 230 407 5 3 5 18 1008 n n n P x x em que X X x q