4 Exercícios

Segundo quadri mestre início de 2021 Prof Noked Kervaki Dez 26 de 2021 1 a Um espectro teóricoexperimental E2 apresenta linhas picos de transição e níveis discretos de energia do sistema Se as energias forem medidas em eV e frequência em THz b Para a partícula do sistema se s energia for E e frequência for v qual será a distribuição de carga para o elétron excitado c Dados os potenciais escreva o sistema um função da partícula d Para um poço de potencial finito faça o gráfico até o nível de energia E para a partícula Explique a relação de estados eletrônicos com os elétrons em nível de energia e Escreva a equação quântica para o estado mecânica quântico e explique o que ela significa 2 As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que se resolve com o diagrama de um bloco Este diagrama é uma solução para um elétron na direção z átomo de carga Z da solução a Considere um elétron confinado na direção z átomo de carga Z da solução escreva a equação de Schrödinger para o elétron nesse sistema confinado A partir desse gráfico faça o gráfico do sistema e a partir dele explique para um elétron de solução estados eletrônicos b Qual a distribuição da carga para o átomo excitado Explique porque o elétron não existe 3 a Um poço de potencial quadrado unidimensional de lado L confina o elétron Se o potencial energia potencial num lado zero limite fora da caixa calcule as autofunções e os possíveis estados de energia para o elétron b Faça o gráfico do sistema Explique estes gráficos para a solução de Schrödinger para o poço de potencial quadrado unidimensional c Solucione usando integração numérica por método de variáveis para isolar os estados anteriores Pode usar se precisar resultados 4 1 Gráfico do sistema O gráfico da função de onda ψx y para a caixa bidimensional mostra como a probabilidade de encontrar o elétron varia dentro do poço de 1 potencial quadrado A função de onda atinge um valor máximo no centro da caixa onde x L2 e y L2 e se anula nas bordas x0 x L y0 yL como era esperado para uma função de onda confinada 2 Poço de potencial bidimensional Vxy O poço de potencial bidimensional é definido por Vxy0se 0 x L e 0 y L fora dessa região Dentro dessa área o potencial é zero permitindo que o elétron exista com uma função de onda associada Fora dessa região o potencial é infinito confinando o elétron dentro da caixa 3 Equação de Schrödinger bidimensional A equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema bidimensional é dada por ℏ22m ²x² ²y²ψxy Eψxy Substituímos a função de onda ψxy e resolvemos a equação usando o método de separação de variáveis o que leva à solução de autofunções da forma ψxy 2L sinnxπxL sinnyπyL No gráfico temos o estado fundamental com nx 1 e ny 1 o que resulta na maior probabilidade de encontrar o elétron no centro da caixa 4 Autovalores As energias quantizadas para o sistema bidimensional são dadas por Enxny ℏ²π²2mL² nx² ny² Para o estado fundamental onde nx 1 e ny 1 a energia é E11 2ℏ²π²2mL² ℏ²π²mL² Esse é o valor de energia correspondente ao estado fundamental do sistema 2 a 1 Distribuição de carga para o estado n 1 No estado fundamental n 1 a função de onda ψ1x descreve a densidade de probabilidade da presença do elétron ao longo da direção x A distribuição de carga é diretamente proporcional ao quadrado da função de onda ψ1x ρ1x eψ1x2 Onde ρ1x é a densidade de carga e e é a carga do elétron A função de onda ψ1x no estado fundamental não muda no tempo então a distribuição de carga permanece fixa e simétrica ao redor do ponto médio do sistema normalmente ao redor de x 0 dependendo dos limites Isso significa que a densidade de carga não varia com o tempo 2 Explicação de por que o elétron não emite um fóton No estado fundamental o elétron não pode perder mais energia pois já está no menor nível de energia possível Como a emissão de fótons ocorre apenas quando há uma transição de um estado de maior energia para um estado de menor energia o elétron no estado n 1 não emite radiação A ausência de uma mudança no estado energético impede a emissão de um fóton b 1 Distribuição de carga para o estado n 2 No estado excitado n 2 a função de onda ψ2x descreve a nova 1 densidade de probabilidade do elétron A distribuição de carga será dada por ρ2x eψ2x2 A função de onda ψ2x apresenta mais nós pontos onde a probabili dade de encontrar o elétron é zero o que resulta em uma distribuição de carga que oscila mais ao longo do eixo x em comparação com o estado fundamental n 1 Essa oscilação é uma característica dos es tados excitados onde a densidade de probabilidade muda com o tempo 2 Explicação de por que o elétron emite radiação fóton Quando o elétron está em um estado excitado como o n 2 ele tende a retornar ao estado de menor energia n 1 para estabilizar Durante essa transição o elétron perde energia e essa energia é emitida na forma de um fóton Portanto a mudança de estado de n 2 para n 1 resulta na emissão de radiação eletromagnética 3 Cálculo da frequência do fóton emitido A energia do fóton emitido Efóton corresponde à diferença de energia entre os estados n 2 e n 1 Efóton E2 E1 Sabemos que a energia de um nível n é proporcional ao quadrado de n En n2 λ Assim a diferença de energia é Efóton 4λ λ 3λ A frequência f do fóton emitido pode ser encontrada usando a relação de Planck Efóton hf Onde h é a constante de Planck Portanto a frequência do fóton é f Efóton h 3λ h 2 3 a 1 Autofunção para o estado fundamental Para uma partícula confinada em um poço de potencial quadrado unidimensional com fronteiras em x 0 e x a a equação de Schrödinger independente do tempo para o estado fundamental fornece a seguinte solução para a função de onda ψ1x 2a sinπxa 0 x a Essa é a autofunção para o estado fundamental n1 Fora do poço x 0 e x a a função de onda é zero pois a partícula não pode existir fora das barreiras infinitas do poço de potencial 2 Gráfico da autofunção O gráfico de ψ1x é uma única metade de um ciclo de seno que começa em zero em x 0 atinge um valor máximo em x a2 e retorna a zero em x a b Valor da energia E para o estado fundamental A energia para os níveis quantizados de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito é dada pela fórmula En n2π2ℏ2 2ma2 Para o estado fundamental n 1 a energia é E1 π2ℏ2 2ma2 Aqui ℏ é a constante reduzida de Planck m é a massa da partícula 2 a é a largura do poço de potencial Essa é a menor energia que a partícula pode ter o que corresponde ao estado fundamental c Função de onda para o estado fundamental A função de onda ψ1x para o estado fundamental de uma partícula em um poço de potencial unidimensional infinito é dada por ψ1x2a sinπxa 0xa Aqui ψ1x é a função de onda normalizada Fora do poço de potencial x0 ou xa ψ1x0 pois o poço é considerado de potencial infinito e a partícula não pode existir fora dele Essa função de onda descreve o comportamento quântico da partícula no estado fundamental onde n1 o que corresponde à menor energia permitida d Valor esperado para o momento linear p associado com o estado fundamental Na mecânica quântica o valor esperado do momento p em um estado estacionário é zero para estados simétricos como o estado fundamental em um poço de potencial quadrado infinito Isso ocorre porque para esses estados a densidade de probabilidade ψx² é simétrica e a partícula não tem um sentido preferencial de movimento Formalmente o valor esperado do momento é dado por p0a ψ1xiħ ddxψ1x dx No estado fundamental n1 a função de onda ψ1x é uma função real e simétrica portanto sua derivada em relação a x será uma função ímpar Como o integrando envolve uma função ímpar o valor da integral será zero p 0 Isso significa que no estado fundamental não há momento preferencial ou seja a partícula não tem uma direção definida de movimento 4 Questão 1 a Sabemos que as energias observadas para uma partícula confinada em um poço de potencial seguem o padrão dos estados estacionários da equação de Schrödinger Os níveis de energia para uma partícula em um poço de potencial quadrado infinito são proporcionais ao quadrado do número quântico n Ou seja En n² λ n123 No entanto as energias fornecidas no problema são E12λE23λE34λ Isso indica que o potencial que confina o sistema não é o típico poço de potencial quadrado infinito onde as energias são proporcionais a n² mas sim algo que gera uma relação linear entre os níveis de energia Dado que os valores de energia seguem uma progressão linear 2λ3λ4λ podemos inferir que o potencial responsável por essa configuração é um poço de potencial triangular pois para esse tipo de potencial as energias são proporcionalmente lineares com n ao invés de n² Logo o potencial que confina o sistema é um poço de potencial triangular b 1 Função de Probabilidade Quântica Px para n10 Para uma partícula em um poço de potencial infinito a função de onda ψx nos estados estacionários é dada por ψnx 2L sinnπxL 0xL Onde n é o número quântico aqui n10 L é o comprimento do poço A densidade de probabilidade Px que representa a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto x é o quadrado da função de onda Pnx ψnx² 2L sin²nπxL Portanto para n10 temos P10x 2L sin²10πxL Essa função terá 10 máximos e mínimos ao longo do comprimento do poço L com os nós pontos onde Px0 em x0 L10 2L10 L 2 Curva de Probabilidade Clássica Na mecânica clássica a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado ponto do poço de potencial infinito é uniforme já que a partícula pode estar em qualquer posição com a mesma probabilidade Ou seja a função de probabilidade clássica Pclassicax é constante Pclassicax 1L 0xL 3 Relação entre as Curvas Quântica A função de probabilidade quântica apresenta uma dis tribuição oscilatória com máximos e mínimos zonas de alta e baixa probabilidade devido à natureza ondulatória da partícula Clássica A curva clássica é uma linha reta constante refletindo a ideia de que a partícula pode estar em qualquer ponto com igual pro babilidade já que a energia não limita a posição de forma ondulatória A diferença entre as curvas reflete a diferença fundamental entre a me cânica quântica e a clássica a primeira considera a natureza de onda da partícula enquanto a segunda trata a partícula como uma entidade com comportamento previsível em qualquer ponto do poço c Um poço de potencial infinito é definido entre x a e x b com a b O valor esperado x para o estado fundamental em um poço de potencial infinito assimétrico é o ponto médio do intervalo já que a densidade de probabilidade é simétrica em torno do centro do poço 3 O valor esperado é dado por x a b 2 Portanto o valor esperado x é x a b 2 d Para o caso assimétrico o estado fundamental ainda será o de menor energia possível com n 1 A forma da função de onda continua sendo similar à do poço simétrico mas adaptada ao novo domínio do poço O valor esperado x no entanto será diferente devido à assimetria dos limites do poço No caso assimétrico o valor esperado x será mais próximo do lado maior do poço Como o poço é maior à direita b a a partícula passa mais tempo em regiões mais próximas de b o que desloca o valor esperado para esse lado Este comportamento pode ser calculado formalmente mas a intuição física é que o valor esperado x estará mais próximo de b do que do centro O estado fundamental ainda é o n 1 porque independentemente da forma exata do poço o estado de menor energia corresponde sempre à menor quantidade de nós na função de onda apenas um nó nas extremidades do poço e A equação de autovalores mais importante da mecânica quântica é a Equa ção de Schrödinger Independente do Tempo ˆHψx Eψx Onde ˆH é o operador Hamiltoniano representa a energia total do sistema incluindo a energia cinética e potencial ψx é a função de onda associada ao sistema 4 E é o autovalor que representa a energia do sistema Essa equação descreve como o estado quântico de um sistema represen tado pela função de onda ψx evolui no espaço e o autovalor E associado à função de onda nos dá a energia permitida do sistema Em termos simples ao resolver essa equação para sistemas específicos como uma partícula em um poço de potencial obtemos os níveis de ener gia quantizados e as funções de onda correspondentes para cada estado de energia 5