Mecanica dos Solidos Timoshenko Gere - Livro Engenharia Resistencia Materiais

MECÂNICA DOS SÓLIDOS 1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS TIMOSHENKOGERE 1 Tradução e Coordenação Técnica de JOSÉ RODRIGUES DE CARVALHO Professor da UERJ FTESM e UFF RIO DE JANEIRO SÃO PAULO LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA SA A edição original desta obra foi publicada nos EUA com o título Mechanics of Materials Copyright 1982 Wadsworth International Group Proibida a reprodução parcial ou total por qualquer processo sem a autorização do Autor e da Editora Tradução e revisão Professor José Rodrigues de Carvalho Coordenação da Área de Engenharia Mecânica Professor José Rodrigues de Carvalho Revisão de provas Waldyr dos Santos Dias e Alberto Fernando de Araújo Capa AG Comunicação Visual Assessoria e Projetos Ltda Diagramação e paginação José Mesquita CIPBrasil Catalogaçãonafonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros RJ Timonsheñko Stephen P T482m Mecânica dos sólidos volume I Stephen P Timoshenko et James E Gere tradução e coordenação técnica de José Rodrigues de Carvalho Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 1983 Tradução de Mechanics of materials Apêndice Bibliografia ISBN 1 Mecânica aplicada I Gere James E II Carvalho José Rodrigues de trad III Título 820483 CDD 6201 CDU 62101 ISBN 8521602464 obra completa ISBN 8521602472 vol 1 Direitos reservados por LTC LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA SA Av Venezuela 163 Centro 20220 Rio de Janeiro RJ 1983 PREFÁCIO É possível escrever um livro sobre Mecânica dos Sólidos capaz de preencher as necessidades dos estudantes que se iniciam no assunto e de engenheiros que precisam de uma fonte de referência fidedigna O objetivo dos Autores deste livro é satisfazer ambas as necessidades Para isso apresentam as teorias e os métodos de maneira didática e fácil de entender com descrições amplas e exemplos ilustrativos de maneira que os estudantes possam rapidamente dominar os fundamentos da matéria Entretanto o texto vai freqüentemente além dos estágios elementares assim foi preciso incluir assuntos mais avançados e mais especializados Portanto o engenheiro quer esteja engajado em projetos ou pesquisa quer aperfeiçoando seus estudos por própria iniciativa encontrará muito material adicional de seu interesse Uma vista de olhos no Sumário mostrará os tópicos estudados neste livro São tópicos que incluem a análise de elementos estruturais sujeitos à carga axial torção flexão bem como todos os conceitos básicos da Mecânica dos Sólidos tais como energia de deformação transformações de tensão e deformação comportamento inelástico e assim por diante Assuntos de especial interesse dos engenheiros também são tratados inclusive efeitos térmicos vigas nãoprismáticas grandes deflexões de vigas flecha de vigas assimétricas centro de torção e muitos outros No último capítulo existe uma introdução à Análise Estrutural e aos métodos de energia incluindo o da carga unitária teoremas recíprocos métodos de flexibilidade e rigidez teoremas da energia de deformação teoremas da energia potencial método de RayleighRitz e teoremas da energia complementar Este capítulo serve para o leitor como base para o estudo da moderna teoria estrutural Há certamente mais material neste livro do que um curso de graduação poderia abranger Conseqüentemente cada professor terá a oportunidade de selecionar o material que considere mais importante De grande utilidade são as centenas de novos problemas que o livro apresenta mais de 600 disponíveis para os trabalhos de casa ou para uso em discussões na sala de aula O leitor cedo descobrirá as referências que foram coletadas no final do livro que dão o desenvolvimento histórico e as fontes originais do assunto em pauta Além disso tendo em vista o interesse existente em relação aos pioneiros que desenvolveram o assunto foram incluídas também algumas notas biográficas Este livro é novo no sentido de que é uma apresentação completamente diferente da Mecânica dos Sólidos apresentando assuntos de interesse atual Porém em outro sentido ele é o velho livro que evoluiu da bem conhecida série apresentada em dois volumes intitulada Resistência dos Materiais escrita pelo Prof Timoshenko A última revisão de Resistência dos Materiais foi feita em 1955 e 1956 quando foi publicada uma terceira edição A segunda foi publicada em 1940 e 1941 e a primeira em 1930 Além disso a primeira edição foi baseada de modo geral em algumas edições mais antigas publicadas na Rússia pelos idos de 1908 Uma lista das primeiras edições russas pode ser achada na bibliografia de Timoshenko que aparece na sua autobiografia As I Remember D Van Nostrand Co Inc 1968 Os Autores esperam que este livro e o volume intitulado Advanced Mechanics of Materials tenham contribuído para a atualização desta longa linha de livrostextos Agradecer a todas as pessoas que contribuíram para a publicação desta obra seria impossível porém o maior débito dos Autores é com o Prof D H Young que leu o manuscrito inteiro e deu muitas sugestões valiosas Outro colega Prof William Weaver Jr pelos conselhos que deu a respeito de Análise Estrutural e métodos de energia Aos muitos alunos que estudaram pelas versões mais antigas desta obra e com quem os Autores aprenderam a melhor maneira de escrever um livrotexto eles também agradecem E é lógico nenhum livro poderia ser escrito sem a ajuda das devotadas secretárias Mrs Mark F Nelson Jeanne Mackenzie Mrs Richard E Platt e Susan Bennett A estas pessoas e muitas outras os Autores têm o prazer de expressar sua gratidão S P Timoshenko J E Gere LISTA DE SÍMBOLOS A área ação força ou momento constante a b c dimensões distâncias constantes C constante de integração centróide c distância do eixo neutro à superfície externa da viga D deslocamento incógnita cinemática d diâmetro dimensão distância E módulo de elasticidade ou módulo de Young integral elíptica da segunda espécie Er módulo de elasticidade reduzido e excentricidade dimensão distância espessura F força integral elíptica da primeira espécie coeficiente de flexibilidade f fluxo de cisalhamento fator de forma para flexão plástica fs fator de forma para cisalhamento G módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento g aceleração da gravidade H distância força reação cavalovapor h altura dimensão I momento de inércia ou segundo momento de uma área plana Ix Iy Iz momentos de inércia em relação aos eixos x y e z I1 I2 momentos principais de inércia Ixy produto de inércia de uma área plana em relação aos eixos x e y J momento de inércia polar torção constante K módulo de elasticidade volumétrico fator de comprimento efetivo para uma coluna k símbolo para PIEI L comprimento vão M momento fletor Mp momento plástico para uma viga Me momento de escoamento para uma viga N força axial n coeficiente ou fator de segurança número razão inteiro rotações por minuto O origem das coordenadas P força concentrada carga força axial peso Pcr carga crítica para uma coluna Prup carga de ruptura Plim cargalimite Padm carga de trabalho ou carga admissível Pe carga de escoamento p pressão VIII LISTA DE SÍMBOLOS Q força concentrada primeiro momento ou momento estático de uma área plana q intensidade da carga distribuída carga por unidade de comprimento taxa de carregamento qlim carga de ruptura cargalimite qe carga de escoamento R reação raio r raio distância raio de giração r IA S força módulo de seção de uma viga centro de torção coeficiente de rigidez s distância comprimento de uma linha curva T temperatura momento de torção ou torque Tlim momento de torção ou torque de ruptura ou momento de torção ou torquelimite Te momento de torção ou torque de escoamento espessura U energia de deformação u energia de deformação por unidade de volume módulo de resiliência U energia complementar u energia complementar por unidade de volume V força cortante volume v deflexão velocidade v v etc dvdx d²vdx² etc W peso trabalho W trabalho complementar X redundante estática x y z coordenadas cartesianas distâncias x y z coordenadas do centroide Z módulo de resistência à flexão módulo plástico para uma viga α ângulo coeficiente de dilatação térmica razão αs coeficiente de cisalhamento β ângulo γ ângulo deformação por cisalhamento peso por unidade de volume peso específico γxy γyz γzx deformações de cisalhamento nos planos xy yz e zx γθ deformação de cisalhamento para eixos inclinados δ Δ deflexão deslocamento alongamento ε ε deformação unitária alongamento específico alongamento relativo deformação específica εx εy εz deformações específicas nas direções x y e z ε1 ε2 ε3 deformações principais εe deformação de escoamento εθ deformação para eixos inclinados θ ângulo ângulo de torção por unidade de comprimento ângulo de rotação dos eixos da viga θp ângulo para um plano principal ou um eixo principal θs ângulo para um plano de tensão de cisalhamento máxima κ curvatura κ 1p κe curvatura de escoamento λ distância ρ raio raio de curvatura distância radial em coordenadas polares υ razão relação ou coeficiente de Poisson σ tensão normal σx σy σz tensões normais em planos perpendiculares aos eixos x y e z σθ tensão normal no plano inclinado σ1 σ2 σ3 tensões principais σcr tensão crítica para uma coluna σr tensão residual σlim tensão de ruptura tensãolimite ou tensão máxima σadm tensão de trabalho ou tensão admissível σe tensão de escoamento limite de escoamento τ τ tensão de cisalhamento τxy τyz τzx tensões de cisalhamento em planos perpendiculares aos eixos y z e x e paralelo aos eixos x y e z τθ tensão de cisalhamento em plano inclinado τlim tensão de cisalhamento de ruptura tensão de cisalhamento limite ou tensão de cisalhamento máxima τadm tensão de cisalhamento de trabalho ou tensão de cisalhamento admissível τe tensão de escoamento por cisalhamento ϕ ângulo ângulo de torção ψ fator adimensional ω velocidade angular 7 NOTA DO EDITOR Os enunciados dos problemas e o próprio texto desta obra estão com as unidades no sistema métrico forças em kgf comprimentos em metros múltiplos e submúltiplos pressão em kgfmm² etc Como a transformação das unidades inglesas das tabelas para o sistema métrico encareceria muito o custo da composição gráfica com o correspondente aumento do preço de venda optamos pelo processo mais simples de indicar sempre o fator de transformação Assim as observações a b c d e e no final de cada tabela permitirão a utilização dos valores tabelados tanto no sistema inglês quanto no sistema métrico Influenciou em parte a tomada dessa decisão o fato de se ter na prática inúmeros casos que são tratados nas unidades inglesas como consequência da padronização adotada por parte da própria indústria nacional a isso obrigada pelas máquinas e equipamentos importados Acrescentamos ainda algumas informações sobre o Sistema Internacional SI e uma tabela com fatores usuais para conversão de unidades 8 SUMÁRIO 1 TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 1 11 Introdução 1 12 Tensões e Deformações 2 13 O Teste de Tração 3 14 Elasticidade Linear e Lei de Hooke 6 15 Deformações de Barras Carregadas Axialmente 8 16 Estruturas Estaticamente Indeterminadas 10 17 Tensões Iniciais e Tensões Térmicas 16 18 Comportamento NãoLinear 18 19 Tensões e Deformações no Cisalhamento 21 110 Energia de Deformação 22 Problemas 27 2 ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 34 21 Tensões em Planos Inclinados 34 22 Tensões Biaxiais 37 23 Cisalhamento Puro 40 24 Círculo de Mohr para Tensões Biaxiais 42 25 Tensões Planas 44 26 Círculo de Mohr para Tensões Planas 47 27 Tensões Triaxiais 49 28 Deformações Planas 52 Problemas 56 3 TORÇÃO 60 31 Torção de Barra Circular 60 32 Torção de Barra Circular Vazada 64 33 Energia de Deformação na Torção 66 34 Tubos de Paredes Finas 68 35 Torção Inelástica de Barras Circulares 72 Problemas 75 4 FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 78 41 Tipos de Vigas 78 42 Tensões Resultantes nas Vigas 79 43 Relações entre Carga Força Cortante e Momento Fletor 82 44 Diagramas de Forças Cortantes e Momentos Fletor es 83 Problemas 88 5 TENSÕES EM VIGAS 92 51 Tensões Normais 92 52 Cálculo de Vigas 97 53 Tensões de Cisalhamento 100 54 Tensões de Cisalhamento em Vigas com Seção Transversal Circular 106 55 Vigas Compostas 107 56 Tensões Principais 109 57 Tensões nas Vigas NãoPrismáticas Teoria Aproximada 111 58 Vigas de Dois Materiais Diferentes 117 59 Flexão e Torção Combinadas 122 510 Flexão e Carga Axial Combinadas 123 Problemas 127 6 DEFORMAÇÕES DE VIGAS 135 61 Equação Diferencial da Linha Elástica 135 62 Vigas Simplesmente Apoiadas 138 63 Vigas em Balanço 142 64 Método dos Momentos Estáticos de Áreas 144 65 Método da Superposição 147 66 Vigas NãoPrismáticas 150 67 Método das Diferenças Finitas 153 68 Trabalho de Deformação Elástica na Flexão 156 69 Carga Proporcional à Deformação 159 610 Efeitos Térmicos 162 611 Influência das Deformações Angulares 163 612 Grandes Deformações nas Vigas 169 Problemas 172 7 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 178 71 Vigas Estaticamente Indeterminadas 178 72 Equação Diferencial da Linha Elástica 180 73 Método da Superposição 182 74 Método dos Momentos Estáticos de Área 187 75 Método das Diferenças Finitas 189 76 Vigas Contínuas 190 77 Efeitos Térmicos 194 78 Deslocamento Horizontal das Extremidades da Viga 196 Problemas 198 APÊNDICE A PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS 203 A1 Centrόide de uma Área 203 A2 Centrόide de Área Composta 205 A3 Momento de Inércia de Área 207 A4 Momento de Inércia Polar 209 A5 Teorema do Eixo Paralelo 211 A6 Produto de Inércia 213 A7 Rotação de Eixos 215 A8 Eixos Principais 217 Problemas 218 APÊNDICE B PROPRIEDADES DAS ÁREAS PLANAS 221 APÊNDICE C PROPRIEDADES DE PERFIS ESTRUTURAIS SELECIONADOS 224 APÊNDICE D DEFLEXÕES E INCLINAÇÕES DE VIGAS 230 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS SELECIONADOS 235 REFERÊNCIAS E NOTAS HISTÓRICAS 245 SI SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 250 ÍNDICE DE AUTORES 252 ÍNDICE REMISSIVO 254 1 TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 11 INTRODUÇÃO Mecânica dos Sólidos é um dos ramos da Mecânica Aplicada que estuda o comportamento dos sólidos quando estão sujeitos a diferentes tipos de carregamento É conhecida por diversos nomes incluindose Resistência dos Materiais e Mecânica dos Corpos Deformáveis Os sólidos considerados neste livro são barras carregadas axialmente eixos vigas e colunas bem como as estruturas que possam ser formadas por esses elementos Geralmente o objetivo da análise será a determinação das tensões deformações específicas e deformações totais produzidas pelas cargas se essas quantidades puderem ser determinadas para todos os valores crescentes da carga até o ponto de fratura temse um quadro completo do comportamento do corpo As análises teóricas e os resultados experimentais têm igual importância no estudo da Mecânica dos Sólidos Em vários pontos desta obra serão feitas deduções Iógicas para obter fórmulas e equações que permitam prever o comportamento mecânico do material porém ao mesmo tempo devese reconhecer que tais expressões não poderão ser aplicadas realmente a menos que se conheçam certas propriedades do material propriedades estas que se tornam conhecidas somente depois de experiências feitas em laboratório Muitos problemas de importância em Engenharia não podem ser eficientemente tratados por meios teóricos e assim as determinações experimentais tornamse uma necessidade O desenvolvimento histórico da Mecânica dos Sólidos é uma fascinante mistura de teoria e experiência esta mostrando o caminho adequado em alguns casos aquela em outros Homens famosos como Leonardo da Vinci 14521519 e Galileu Galilei 15641642 fizeram experiências para determinar a resistência de fios barras e vigas sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas pelos padrões de hoje para explicar os resultados atingidos Ao contrário o famoso matemático Leonhard Euler 17071783 desenvolveu a teoria matemática das colunas calculando a carga crítica de uma em 1744 muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância de seu achado Os resultados teóricos encontrados por Euler permaneceram sem aplicação por vários anos sendo hoje a base da teoria das colunas A importância da combinação dos desenvolvimentos teóricos com as propriedades dos materiais determinadas experimentalmente tornarseá evidente à medida que se avança no estudo Este capítulo se inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais tais como tensões e deformações para em seguida investigar o comportamento de elementos estruturais simples sujeitos à tração compressão e cisalhamento A história da Mecânica dos Sólidos começando com da Vinci e Galileu aparece nas Refs 11 12 e 13 2 MECÂNICA DOS SÓLIDOS 12 TENSÕES E DEFORMAÇÕES Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados de modo elementar considerandose o alongamento de uma barra prismática ver a Fig 11a Uma barra prismática tem seção constante em todo o comprimento e eixo reto Nesta ilustração supõese a barra carregada nas extremidades por forças axiais P que produzem alongamento uniforme ou tração na barra Fazendo um corte imaginário seção mm na barra normal a seu eixo é possível isolar parte dela como corpo livre Fig 11b A força P é aplicada na extremidade direita aparecendo à esquerda as forças que traduzem a ação da parte removida sobre a que ficou Estas forças estão distribuídas uniformemente sobre toda a seção transversal de modo análogo à distribuição da pressão hidrostática sobre uma superfície imersa A força por unidade de área é denominada tensão sendo comumente designada pela letra grega o Supondo que a tensão seja uniformemente distribuída sobre toda a seção transversal ver a Fig 11b podese ver facilmente que a resultante é dada pelo produto da intensidade de o pela área A da seção transversal da barra Além disso pelo equilíbrio do corpo representado na Fig 11b podese também ver que o resultado deve ser igual em intensidade e oposto em sentido à força P Assim σ PA 11 é a equação para a tensão uniforme numa barra prismática Esta equação mostra que a unidade que mede a tensão é uma força dividida por uma área isto é quilograma força por centímetro quadrado kgfcm2 libra por polegada quadrada lbpol2 ou psi newton por metro quadrado Nm2 ou pascal etc Quando a barra está sendo alongada pela força P como na figura a tensão resultante é uma tensão de tração se as forças tiverem o sentido oposto comprimindo a barra a tensão é de compressão A condição necessária para validar a Eq 11 é que a tensão o seja uniforme sobre toda a seção transversal da barra Esta condição estará preenchida se a força axial P agir no centróide da seção transversal como será demonstrado pela Estática ver o Probl 121 Quando a carga P não atua no centróide aparece flexão na barra o que exige análise mais complicada ver o Art 510 Neste livro a menos que se especifique o contrário admitese a força atuando sempre no centróide e considerase o peso do corpo desprezível salvo indicação diferente tal como se fez ao discutir a barra da Fig 11 NT Se a massa específica do corpo for constante o centróide confundese com o centro de massa Se além disso a gravidade for constante o centro de gravidade o centro de massa e o centróide reduzemse a um único ponto TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 3 O alongamento total de uma barra que suporta uma força axial será designado pela letra g ver a Fig 11a Assim o alongamento por unidade de comprimento ou alongamento específico ou alongamento relativo denominado deformação ε é calculado pela equação ε δL 12 onde L é o comprimento total da barra Notese que a deformação ε é uma quantidade adimensional podendo ser determinada pela Eq 12 caso o alongamento seja uniforme ao longo da barra Se a barra estiver sob tração terseá uma deformação de tração representando um alongamento do material se a barra estiver sob compressão temse uma deformação de compressão o que significa que as seções transversais adjacentes aproximarseão 13 O TESTE DE TRAÇÃO A relação entre as tensões e as deformações para um determinado material é encontrada por meio de um teste de tração Um corpodeprova em geral uma barreta de seção circular é colocado na máquina de testar e sujeito à tração A força atuante e as deformações resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta Obtêmse as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e a deformação específica dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a deformação Deste modo obtémse um diagrama tensãodeformação completo para o material em estudo A forma típica do diagrama tensãodeformação para o aço estrutural aparece na Fig 12a onde as deformações axiais estão representadas no eixo horizontal sendo as tensões correspondentes dadas pelas ordenadas dos pontos da curva OABCDE De O até A as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é linear Além desse ponto a proporcionalidade já não mais existe e o ponto A é chamado limite de proporcionalidade No caso de aços de baixo carbono estruturais este limite está em geral entre 21 kgfmm2 e 252 kgfmm2 porém quando os aços têm alta resistência os valores podem ser muito mais altos Com o aumento da carga as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões até um ponto B onde uma deformação considerável começa a aparecer sem que haja aumento apreciável da força de tração Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento ou ponto de escoamento Na região BC dizse que o material tornouse plástico e a barra pode realmente deformarse plasticamente da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de proporcionalidade No ponto C o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga 4 MECÂNICA DOS SÓLIDOS acarretando acréscimo de tensão para um aumento da deformação atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D Além deste ponto maior deformação é acompanhada por uma redução da carga ocorrendo finalmente a ruptura do corpodeprova no ponto E do diagrama Durante o alongamento da barra há uma contração lateral que resulta na diminuição da área de seção transversal Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensãodeformação até o ponto C porém deste ponto em diante a diminuição da área afeta de maneira apreciável o cálculo da tensão Ocorre estrangulamento estricção na barra Fig 13 que no caso de ser considerado no cálculo de σ tomandose a área real da seção reduzida fará com que a curva do diagrama tensãodeformação verdadeiro siga a linha interrompida CE da Fig 12a A carga total que a barra suporta diminui depois de atingir a tensão máxima linha DE porém tal diminuição decorre da redução da área e não por perda da resistência do material Este resiste realmente a um acréscimo de tensão até o ponto de ruptura Entretanto para fins práticos o diagrama tensãodeformação convencional OABCDE baseado na seção transversal original dá informações satisfatórias para fins de projeto O diagrama da Fig 12a foi traçado para mostrar as características gerais da curva tensãodeformação para o aço porém suas proporções não são reais porque como já se disse as deformações que ocorrem de B a C podem ser quinze 15 vezes maiores do que as da região OA As deformações de C a E são ainda maiores do que as de B a C Um diagrama traçado em proporções adequadas aparece na Fig 12b Nesta figura as deformações O a A são tão pequenas comparadas às de A a E que não podem ser notadas aparecendo a parte linear do diagrama como uma linha vertical A presença de um ponto de escoamento pronunciado seguido de grande deformação plástica é uma das características do aço que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente As ligas de alumínio apresentam uma transição mais gradual entre as regiões linear e nãolinear tal como aparece no diagrama da Fig 14 Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da fratura sendo classificados como dúcteis Por outro lado materiais frágeis ou quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações Fig 15 As cerâmicas o ferro fundido o concreto certas ligas metálicas e o vidro são exemplos desses materiais NT A tensão máxima do teste de tração é conhecida também pelos nomes de tensão de ruptura e tensão de tração Esta última designação deve ser evitada pela confusão que traz com as tensões de tração que atuam nas peças É possível traçar diagramas análogos aos de tração para vários materiais sob compressão estabelecendose tensões características tais como limite de proporcionalidade escoamento e tensão máxima Para o aço verificouse que as tensões do limite de proporcionalidade e do escoamento são aproximadamente as mesmas na tração e na compressão Para muitos materiais quebradiços as tensões características em compressão são muito maiores que as de tração Elasticidade Os diagramas tensãodeformação vistos nas Figs 12 14 e 15 ilustram o comportamento de vários materiais quando carregados por tração Quando um corpodeprova do material é descarregado isto é a carga é gradualmente diminuída até zero a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente Esta propriedade do material pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade Quando a barra volta completamente à forma original é perfeitamente elástica mas se o retorno não for total é parcialmente elástica Neste último caso a deformação que permanece depois de retirada da carga é denominada deformação permanente Ao se fazer um teste de tração em determinado material a carga pode ser levada até um certo valor pequeno e em seguida removida Não havendo deformação permanente isto é se a deformação da barra voltar a zero o material é elástico até aquele valor atingido pela carga Este processo de carregar e descarregar o material pode ser repetido para sucessivos valores cada vez mais altos Em certo momento atingirseá um valor que fará com que a deformação não volte a zero quando se retirar o carregamento da barra Desta maneira podese determinar a tensão que representa o limite superior da região elástica esta tensão é chamada limite elástico Para os aços e alguns outros materiais os limites elástico e de proporcionalidade são aproximadamente coincidentes Materiais semelhantes à borracha entretanto possuem uma propriedade a elasticidade que pode continuar muito além do limite de proporcionalidade Tensão Admissível Ao projetar uma estrutura é necessário assegurarse que nas condições de serviço ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada Do ponto de vista da capacidade de carga a tensão máxima na estrutura é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade porque somente até aí não haverá deformação permanente caso as cargas sejam aplicadas e depois removidas Para permitir sobrecargas acidentais bem como para levar em conta certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura normalmente empregase um coeficiente de segurança escolhendose uma tensão admissível ou tensão de projeto abaixo do limite de proporcionalidade Por exemplo em estruturas de aço uma tensão admissível de 14 kgfmm2 é muitas vezes usada para os aços que têm o ponto de escoamento em 2310 kgfmm2 o que dá um coeficiente de segurança igual a 165 Há outras situações em que a tensão admissível é fixada tomandose um coeficiente de segurança adequado sobre a tensão máxima do material Isto é normal quando se trata de materiais quebradiços tais como o concreto ou a madeira Em geral quando se projeta em função da tensão admissível uma das duas equações seguintes deve ser usada no cálculo da tensão admissível σadm σadm σen1 ou σadm σlimn2 13 onde σe e σlim representam respectivamente a tensão no ponto de escoamento e a tensão máxima do material e n1 e n2 nos coeficientes de segurança A escolha adequada do coeficiente de segurança é assunto complicado porque depende do tipo de material e das condições de serviço Quando as cargas são dinâmicas subitamente aplicadas ou com intensidade variável tais como as que ocorrem nas máquinas aviões pontes etc é necessário usar maiores coeficientes de segurança do que os correspondentes às cargas estáticas dada a possibilidade de falhas por fadiga do material Uma alternativa ao uso da tensão admissível no projeto é calcular a estrutura com um coeficiente de segurança que evite o colapso completo A intensidade da carga ou cargas que causará a ruptura da estrutura deve ser determinada em primeiro lugar para em seguida determinarse a carga admissível ou carga de trabalho dividindose a carga de ruptura por um fator de carga adequado Este método de cálculo é conhecido como projeto por carga de ruptura Verificase que nestes casos as intensidades das tensões reais na Os introdutores do diagrama tensãodeformação foram Jacob Bernoulli 16541705 e J V Poncelet 17881867 ver Ref 14 estrutura não têm participação direta na determinação das cargas de trabalho No cálculo das estruturas metálicas tanto o método da tensão admissível quanto o da carga de ruptura são de uso corrente A determinação das cargas de ruptura para algumas estruturas simples será discutida nos Arts 18 e 95 14 ELASTICIDADE LINEAR E LEI DE HOOKE Os diagramas tensãodeformação da maioria dos materiais estruturais apresentam uma região inicial de comportamento elástico e linear Na Fig 12a a região de O até A é um exemplo outros exemplos são as regiões abaixo dos limites de proporcionalidade das curvas das Figs 14 e 15 Quando um material se comporta elasticamente e apresenta também uma relação linear entre a tensão e a deformação dizse que é linearmente elástico Esta é uma propriedade extremamente importante de muitos materiais sólidos incluindo a maioria dos metais plásticos madeira concreto e cerâmicas A relação linear entre a tensão e a deformação no caso de uma barra em tração pode ser expressa pela equação σ Eε 14 onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do material Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensãodeformação e é diferente para cada material Alguns valores de E aparecem na Tab 11 Notese que as unidades de E são iguais às da tensão Para a maioria dos materiais o módulo de elasticidade sob compressão é igual ao sob tração Nos cálculos as tensões e deformações de tração são em geral consideradas positivas enquanto que as de compressão são negativas O módulo de elasticidade é conhecido também como módulo de Young por referência ao cientista inglês Thomas Young 17731829 que estudou o comportamento elástico das barras Refs 15 e 16 A Eq 14 é conhecida como Lei de Hooke pelos trabalhos de outro cientista inglês Robert Hooke 16351703 que foi o primeiro a estabelecer experimentalmente a relação linear existente entre tensões e deformações Refs 17 e 18 Tabela 11 Propriedades Mecânicas Típicas de Materiais Material Massa específica gcm3 Módulo de elasticidade E kgfmm2 Módulo de elasticidade transversal G kgfmm2 Tensão de escoamento σe kgfmm2 Tensão máxima de ruptura σlim kgfmm2 Alumínio 269 70 x 102 28 x 102 14 21 Ligas de alumínio 277 a 832 70 x 102 28 x 102 105 a 35 14 a 42 Latão 832 98 x 102 385 x 102 105 a 42 28 a 525 Bronze 832 98 x 102 385 x 102 7 a 385 21 a 42 Concreto compressão 236 14 a 28 x 102 14 a 7 Cobre 888 105 x 102 42 x 102 7 a 315 21 a 42 Ferro fundido 777 105 x 102 42 x 102 42 x 28 112 a 42 Magnésio 178 42 x 102 168 x 102 84 a 126 14 a 21 Aço 785 203 a 210 x 102 77 a 84 x 102 21 a 42 35 a 70 Aço alta resistência 785 203 a 210 x 102 77 a 84 x 102 35 a 112 70 a 196 Tungstênio 1886 350 x 102 140 x 102 420 Madeira estrutural compressão 0277 a 0832 7 a 14 x 102 28 a 7 Nota Algumas dessas propriedades sofrem grande variação devido à composição tratamento térmico trabalho a frio etc Salvo indicação em contrário as propriedades relacionadas referemse à tração Quando uma barra é carregada por tração simples ver a Fig 11a a tensão axial é σ PA e a deformação específica alongamento relativo ε δL como vimos nas Eqs 11 e 12 Combinando estes resultados com a Lei de Hooke temos a seguinte expressão para o alongamento da barra δ PLEA 15 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra A flexibilidade da barra da Fig 11a é definida como a deformação decorrente de uma carga unitária Da Eq 15 vemos que a flexibilidade é LEA De modo análogo a rigidez da barra é definida como a força necessária para produzir uma deformação unitária então a rigidez é igual a EAL que é a recíproca da flexibilidade Esses dois elementos flexibilidade e rigidez têm grande importância na análise de vários tipos de estrutura como se verá mais tarde no Cap 11 Relação de Poisson Quando uma barra é tracionada o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral isto é a largura da barra tornase menor e seu comprimento cresce A relação entre as deformações transversal é longitudinal é constante dentro da região elástica e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson ν assim v j deformação lateral deformação axial 16 Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S D Poisson 17811840 que tentou calcular esta relação por meio de uma teoria molecular dos materiais Ref 19 Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções denominados isotrópicos Poisson achou v 025 Experiências com metais mostraram que v usually cai na faixa de 025 a 035 Conhecendose a relação de Poisson e o módulo de elasticidade do material podese calcular a variação do volume da barra tracionada Tal variação está representada na Fig 16 que mostra um pequeno elemento de material cortado de uma barra sujeita à tração A forma original do elemento é o cubo abcdefgh que se admite ter arestas de comprimento unitário O sentido da força axial está representado pelas tensões σ O alongamento do cubo unitário na direção da força é ε igual a σE e o encurtamento das arestas do cubo na direção transversal é vε Assim a área da seção transversal do cubo diminui na relação 1 vε2 1 e o volume aumenta na relação 1 ε Fig 16 Variação do volume de um cubo unitário sujeito à tração 8 MECÂNICA DOS SÓLIDOS 1 ve² 1 Desenvolvendo o produto e desprezando os termos de ordem superior por serem insignificantes simplificase a relação para 1 ε 2νε 1 A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial ou ε1 2v Esta quantidade é a variação do volume unitário e pode ser expressa do seguinte modo ΔV V ϵ1 2v 17 Nesta equação ΔVV representa a relação entre a variação do volume ΔV e o volume inicial V Tal equação pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra tracionada desde que se conheçam a deformação específica ε e a relação de Poisson v Como não é razoável admitirse que um material diminua de volume quando tracionado podese concluir da Eq 17 que v é sempre menor do que 05 Borracha e parafina são dois materiais que praticamente não sofrem variação de volume quando tracionados e v se aproxima do limite 05 Por outro lado cortiça é um material para o qual v é praticamente zero enquanto o valor para o concreto é aproximadamente 01 A discussão acima pode ser aplicada à compressão observandose que a compressão longitudinal é acompanhada por uma expansão lateral Para fins práticos o valor numérico de v é o mesmo independentemente do material estar sob tração ou compressão 15 DEFORMAÇÕES DE BARRAS CARREGADAS AXIALMENTE Há uma variedade de casos que envolvem barras com carregamento axial em que as deformações podem ser calculadas pela Eq 15 Por exemplo é fácil determinar as deformações de uma barra carregada axialmente não somente pelas extremidades como também por uma ou mais forças axiais intermediárias como se vê na Fig 17 O procedimento para determinação da deformação da barra representada na Fig 17 consiste em se obter a força axial em cada parte da barra isto é nas partes AB BC e CD e em seguida calcular separadamente o alongamento ou encurtamento de cada parte A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total da barra O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes de diferentes seções transversais como ilustra a Fig 18 Assim vemos que em geral a deformação total δ de barras formadas por várias partes sob a ação de forças axiais ou tendo áreas diferentes de seções transversais pode ser obtida pela equação δ Σi1 até n Pi Li Ei Ai 18 na qual o índice i identifica as várias partes da barra sendo n o número total de partes Fig 17 Barra com cargas axiais intermediárias Fig 18 Barra com seções transversais diferentes TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 9 Quando a variação da força axial ou da área da seção transversal for contínua ao longo da barra a Eq 18 não poderá mais ser aplicada A deformação da barra será obtida mediante a consideração de um elemento diferencial obtendose uma expressão para a sua deformação ε em seguida integrandose ao longo de todo o comprimento da barra Esta idéia está ilustrada na Fig 19 onde se admite que a barra Fig 19 Barra com seção transversal e força axial variando continuamente afilada esteja sujeita a uma carga axial distribuída continuamente resultando numa força axial variável na barra Um elemento de comprimento dx pode ser retirado da barra a uma distância x da extremidade esquerda Tanto a força axial Px que atua no elemento quanto a área da seção transversal Ax do elemento devem ser expressas em função de x A equação para o alongamento do elemento transformase então em dδ Px dx EAx sendo o alongamento total da barra δ 0 até L dδ 0 até L Px dx EAx 19 Quando não for fácil determinar a integral da Eq 19 podese usar um método numérico A Eq 19 só dará resultados precisos no caso de barras afiladas quando o ângulo de inclinação dos lados for pequeno Como exemplo específico podese notar que se esse ângulo for de 20 o erro máximo no cálculo da tensão normal σ PA será de somente 3 Para ângulos menores o erro será menor Se o ângulo for grande será necessário usar métodos de análise mais precisos ver a Ref 110 Deflexões nas Treliças As deflexões dos nós de treliças simples podem ser calculadas geometricamente desde que se conheçam as variações nos comprimentos das barras dessa treliça o que pode ser obtido pelos métodos vistos anteriormente Para ilustrar o método geométrico de determinação das deflexões nas treliças calculase o deslocamento do nó B da treliça representada na Fig 110a As forças Fab e Fbc nas duas barras da treliça são Fab P cotg θ Fbc P cosec θ onde Fab é uma força de tração e Fbc de compressão As variações nos comprimentos das barras são δab PLab cotg θ E Aab δbc PLbc cosec θ E Abc Para calcular o deslocamento do nó B começase admitindo que a barra AB se alonga de um valor δab ver a Fig 110b ficando sua extremidade no ponto B₁ Traçase um arco com centro em A e raio AB₁ Como o deslocamento de B é muito pequeno o arco pode ser substituído por uma reta que passa por B₁ normal ao eixo da barra AB Analogamente supõese que a barra BC diminua de um valor δbc ficando sua extremidade no ponto B₂ Traçase outro arco com centro C e raio CB₂ que é substituído por uma reta 10 MECÂNICA DOS SÓLIDOS que passa por B₂ perpendicular à BC As duas perpendiculares cortamse no ponto B que é a localização final do nó B Então o vetor de B a B representa o deslocamento δb do nó B da treliça O diagrama do deslocamento visto na Fig 110b aparece na Fig 110c em escala maior para facilitar os cálculos Nesta figura vemos que a componente horizontal de δb é δab e que sua componente vertical é composta de duas partes B B₂ e B₂ B A distância B₂ B que é igual a distância BB₁ é igual a δbc sen θ A distância B₂ B pode ser encontrada pelo triângulo B₂ B₃ B que tem o lado B₂ B₃ igual a δbc cos θ δab Procedendo desse modo encontrase a componente vertical de δb B₁ B δbc sen θ δbc cos θ δab cotg θ δbc cosec θ δab cotg θ Determinadas as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó B podese calcular sem dificuldade o deslocamento resultante δb Diagramas de deslocamento do tipo visto na Fig 110c constituem auxílio importante na determinação das deflexões das treliças Tais diagramas são conhecidos como diagramas de Williot porque foram inicialmente apresentados pelo engenheiro francês J V Williot em 1877 Ref 111 Existem métodos analíticos de determinação das deflexões das treliças um de grande utilidade denominado método da carga unitária será descrito no Art 113 Fig 110 Deflexões de uma treliça pelo diagrama de Williot 16 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Até esse ponto foi admitido sempre que as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pela Estática Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas Há casos porém em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações das barras Para esses casos estruturas estaticamente indeterminadas as forças e as reações das barras só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada aparece na Fig 111 A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com uma força P em um ponto intermediário C As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pela Estática A única equação fornecida pelo equilíbrio estático é Ra Rb P a que contém ambas as reações desconhecidas sendo portanto insuficiente para seu cálculo Há necessidade de uma segunda equação considerandose as deformações da barra Para distinguir as reações das forças atuantes aquelas serão normalmente representadas por uma seta cortada como se vê na Fig 111a Há dois métodos gerais que permitem obter as equações adicionais para solução de estruturas estaticamente indeterminadas Ambos serão ilustrados na barra representada na Fig 111a Pelo primeiro método selecionase uma das reações como incógnita Seja Ra neste exemplo Se esta quantidade for conhecida a equação de Estática fornecerá a outra ver a Eq a A incógnita Ra é chamada uma redundante estática porque se for removida Fig 111b a estrutura permanecerá estável e estaticamente determinada Assim do ponto de vista da construção de estruturas capazes de suportar cargas a reação em A não é necessária isto é é redundante A estrutura que ficou após a retirada da redundante é denominada estrutura livre ou estrutura primária Fig 111 Barra estaticamente indeterminada análise pelo método da força Considerese agora o efeito da carga P no deslocamento do ponto A na estrutura livre Fig 111b Este deslocamento para baixo é dado por δp PbEA Em seguida analisese o efeito da redundante Ra no deslocamento do ponto A Fig 111c Notese que Ra aparece agora como ação na estrutura livre O deslocamento para cima é dado por δR RaLEA O deslocamento final δ do ponto A resultante da ação simultânea das forças P e Ra é obtido pela combinação de δp e δR Assim considerando positivo o deslocamento para baixo vem δ δp δR Entretanto como o deslocamento real do ponto A é nulo temse δR δp b ou RaLEA PbEA c e daí Ra PbL d Ambas as reações são agora conhecidas porque pela Eq a dada pela Estática vem Rb PaL O método pode ser então resumido do seguinte modo uma das reações desconhecidas é escolhida como redundante e destacada da estrutura pelo corte da barra e remoção do suporte a estrutura livre estável e estaticamente determinada é então carregada com a carga real P e pela própria redundante as deformações causadas por estas duas cargas são calculadas e combinadas em uma equação de compatibilidade de deslocamento Eq b esta equação de compatibilidade exprime a condição de possibilidade do deslocamento que no caso em estudo é δ igual a zero substituindo na equação de compatibilidade as expressões dos deslocamentos em função das forças Eq c calculase a força desconhecida Eq d por último determinase a força desconhecida restante pela Estática Este método de análise que emprega forças como incógnitas é muitas vezes chamado método das forças É conhecido também como método da flexibilidade porque na equação de compatibilidade Eq c o coeficiente LEA da incógnita Ra é a flexibilidade O método é muito mais geral do que o aqui ilustrado podendo ser usado em estruturas com várias redundantes como se verá mais adiante Neste artigo porém somente serão considerados sistemas estaticamente indeterminados muito simples com uma única redundante Será aplicado agora ao mesmo exemplo o segundo método geral de análise ver a Fig 112a Para usar esse método tomase o deslocamento δc do ponto C junção das duas partes da barra como incógnitas Fig 112 Barra estaticamente indeterminada análise pelo método do deslocamento As forças Ra e Rb das extremidades da barra podem ser expressas em função de δc Ra EAa δc Rb EAb δc e Ao escrever essas equações admitese que δc seja positivo para baixo produzindo tração na parte superior da barra e compressão na inferior O passo seguinte é isolar o ponto C da barra como um corpo livre Fig 112b e estudar o seu equilíbrio No corpo livre aparecem as forças P para baixo Ra de tração na parte superior e Rb de compressão na parte inferior Da Estática vem Ra Rb P f ou EAa δc EAb δc P g o que dá δc PabEAL h Conhecendo δc determinase Ra e Rb pelas Eqs e Ra PbL Rb PaL Estes resultados naturalmente são iguais aos obtidos anteriormente Em resumo este método começa pela escolha de um deslocamento adequado como incógnita Este deslocamento deve ser escolhido de modo a permitir que se expressem as forças das diferentes partes da estrutura em função dele Em seguida as forças são combinadas numa equação de equilíbrio Eq f Colocando as expressões dessas forças em função do deslocamento Eq g calculase a incógnita Eq h Por último com essa incógnita determinada calculamse as forças Este método de análise é denominado método do deslocamento ou método da rigidez O primeiro nome decorre do fato de se usar deslocamentos como incógnitas enquanto o segundo resulta do fato de ser a rigidez os coeficientes EAa e EAb na equação de equilíbrio Eq g O método é também geral podendo ser usado na análise de diferentes tipos de estruturas No caso de grandes estruturas a escolha entre os dois métodos dependerá de vários fatores tais como a geometria da estrutura e o número de nós Neste artigo porém somente problemas em que qualquer dos métodos dê resultados satisfatórios são considerados sendo a escolha portanto arbitrária Mais tarde nos Caps 7 e 11 voltase a tratar da análise de estruturas estaticamente indeterminadas Exemplo 1 O primeiro exemplo será analisar a estrutura plana vista na Fig 113a pelo método da força Admitindo a simetria vêse que as forças de tração nas barras externas são iguais Do equilíbrio das forças na direção vertical vem 2F1 cos β F2 P i equação que contém duas forças desconhecidas necessitandose assim de uma equação adicional Selecionando a força F2 como redundante cortase a barra BD na extremidade inferior Fig 113b para remover essa força A barra poderia ser cortada em qualquer ponto desejado Quando a força P atuar na estrutura livre Fig 113b ocasionará um deslocamento do nó D para baixo calculado como foi visto no artigo anterior igual a δp PL2EA cos3 β j Do ponto de vista histórico Euler em 1774 foi o primeiro a analisar um sistema hiperestático estudando o problema de uma mesa rígida com quatro pernas suportadas por uma fundação elástica Ref 112 O passo seguinte foi dado por Navier que em 1825 mostrou que as reações estaticamente indeterminadas poderiam ser calculadas levandose em conta a elasticidade da estrutura Ref 14 Navier resolveu uma treliça semelhante à que aparece na Fig 114 14 MECÂNICA DOS SÓLIDOS onde L é o comprimento da barra vertical e onde se supôs que todas as barras tivessem a mesma rigidez EA Quando a força redundante F2 agir na estrutura livre Fig 113c a barra cortada BD será tracionada aparecendo simultaneamente uma força igual e oposta F2 atuando sobre o nó D Esta última força originará um deslocamento do nó D para cima igual a comparar com a Eq j DD1 DD2 δ cos β e portanto as forças respectivas F1 EA cos β Lδ cos β EAδ cos2 β L l 16 MECÂNICA DOS SÓLIDOS que permite o cálculo de δ δ PL EsAs EcAc TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 17 será αLAT e o deslocamento para baixo decorrente da ação da força R será RLEA Fig 117c Igualando esses dois deslocamentos vem R EAaAT 111 Depois de obter R podese calcular a tensão de compressão e a deformação relativa da barra pelas expressões σ RA EaαΔT ε σE ଅΔT 112 Deste exemplo podese concluir que a variação de temperatura produz tensões em sistemas estaticamente indeterminados ainda que forças externas não ajam sobre ele Situação semelhante existe quando um elemento de uma estrutura não tem o comprimento correto ou quando recebe tensão dada por forças iniciais que depois são removidas Em ambos os casos existirão deformações iniciais que produzem uma condição de prétensionamento mesmo que não existam cargas externas atuando na estrutura Suponhase por exemplo que na montagem vista na Fig 118a a barra vertical tenha um comprimento livre L AL ao invés de L As barras só poderão ser montadas depois de comprimir a barra vertical e alongar as barras inclinadas Seja F a força de compressão na barra vertical Fig 118b O deslocamento do nó D para baixo devido a F ଌ é δF FL2EA cos³ β Fig 118 Estrutura com deformação inicial ΔL na barra vertical como se pode ver da Eq j do artigo precedente A condição de compatibilidade do nó D mostra que o deslocamento δF é igual ao aumento inicial do comprimento ΔL da barra vertical menos o encurtamento da mesma barra devido à força F Portanto a equação de compatibilidade é 18 MECÂNICA DOS SÓLIDOS FL2EA cos³β ΔL FLEA resultando F EAΔLL 2 cos³ β 1 2 cos³ β a Conhecida a força de compressão F as forças nas barras inclinadas podem ser calculadas pela Estática Os dois exemplos precedentes mostram que os métodos de análise de uma estrutura estaticamente indeterminada quando há variação de temperatura ou deformações iniciais são os mesmos usados para análise da estrutura sob a ação de cargas Como exemplo final considerese novamente a treliça da Fig 118a supondose que a barra vertical seja aquecida de modo que a sua temperatura sofra um acréscimo ΔT As forças que se originam na barra são idênticas àquelas que surgiriam se a barra vertical tivesse um alongamento inicial ΔL desde que ΔL fosse a dilatação térmica que a barra teria se estivesse livre para se expandir Assim na Eq a basta substituir ΔL por αLAT para obter a força F na barra vertical decorrente da variação de temperatura 18 COMPORTAMENTO NÃOLINEAR Nas discussões anteriores admitiuse sempre que o material seguia a Lei de Hooke Agora será estudado o comportamento da estrutura na tração e na compressão quando as tensões excedem o limite de proporcionalidade Admitase conhecido o diagrama tensãodeformação do material Em estruturas estaticamente determinadas as forças axiais são calculadas pela Estática sem considerar as propriedades do material Conhecendose as forças as tensões podem ser calculadas em qualquer ponto da estrutura Finalmente usando o diagrama tensãodeformação obtémse a deformação em todos os pontos e conseqüentemente as variações do comprimento de cada elemento e os deslocamentos resultantes Este processo para análise de um sistema estaticamente determinado é bastante lógico e está ilustrado nos Probls 181 a 185 no final do capítulo Em sistemas estaticamente indeterminados a análise é muito mais complicada porque as forças não podem ser encontradas sem que antes sejam calculados os deslocamentos os quais por sua vez dependem das forças e da relação tensãodeformação Nesses sistemas usase um processo por tentativas ou de aproximações sucessivas Para ilustrar um dos métodos de análise considerese novamente a estrutura simétrica de três barras vista na Fig 119 acrescentando agora o conhecimento do diagrama tensãodeformação visto na Fig 119b Podese iniciar a análise admitindo uma deformação δ do nó D Pelo diagrama de Williot é possível obter no nó D os alongamentos correspondentes nas três barras Este cálculo assegura que a condição de compatibilidade no nó seja satisfeita Em seguida verificase o equilíbrio das forças no nó As deformações relativas podem ser achadas pelos alongamentos e então calculamse as tensões por Fig 119 Estrutura estaticamente indeterminada com diagrama tensãodeformação nãolinear TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 19 meio do diagrama tensãodeformação Conhecendo as tensões nas barras é possível calcular as forças e verificar o equilíbrio do nó D Se o valor de δ inicialmente suposto for correto o equilíbrio das forças no nó D será satisfeito Caso contrário as forças não estarão em equilíbrio e portanto um novo δ deverá ser arbitrado e o processo repetido até que se encontre um δ para o qual a compatibilidade e o equilíbrio se verifiquem no nó D Então as forças das barras estarão corretas Um procedimento alternativo consiste em dar inicialmente um valor arbitrário à força F2 na barra vertical Em seguida usando o equilíbrio das forças no nó D é possível calcular as forças nas barras inclinadas e daí as tensões as deformações específicas pelo diagrama tensãodeformação e os alongamentos Finalmente com o diagrama de Williot no nó D verificase se os alongamentos das três barras são compatíveis Em caso afirmativo o valor de F2 arbitrado no início está correto em caso negativo escolhese um novo valor F2 e o processo é repetido até que as condições de equilíbrio e de compatibilidade estejam satisfeitas Analisando a estrutura representada na Fig 119a da maneira descrita acima podese obter as deformações e as forças que atuam nas barras para qualquer valor de P É portanto possível obter um quadro completo do comportamento da estrutura à medida que a carga vai crescendo de zero até seu valor máximo Análise Plástica Alguns materiais notadamente os aços têm uma zona elástica linear seguida de outra de considerável escoamento O diagrama tensãodeformação de tais materiais pode ser suposto com boa precisão formado por duas retas como se vê na Fig 119c Supõese que o material obedeça à Lei de Hooke até o ponto de escoamento depois do qual escoa com tensão constante A tensão e a deformação específica no ponto de escoamento são designadas por σe e e respectivamente Um material que escoe sem aumento de tensão é dito perfeitamente plástico Naturalmente o diagrama tensãodeformação do aço eventualmente ultrapassa a tensão de escoamento como explicado no Art 13 porém no momento em que isso ocorre a deformação tornase tão grande que a estrutura perde sua utilidade Assim tornouse prática comum analisar as estruturas de aço na zona plástica com base no diagrama visto na Fig 119c Para o aço podese usar o mesmo diagrama tanto na tração quanto na compressão Um material com um diagrama semelhante ao da Fig 119c isto é um material com uma zona elástica linear seguida por outra perfeitamente plástica é denominado elásticoplástico A análise feita dentro dessa hipótese é chamada análise plástica ou análiselimite da estrutura A técnica da análise plástica pode ser ilustrada considerandose novamente a estrutura da Fig 119a supondose que as três barras tenham sido feitas com material elásticoplástico Fig 119c À medida que a carga P cresce as forças nas barras também aumentam e enquanto as tensões se mantiverem abaixo da tensão de escoamento σe tais forças podem ser determinadas por uma análise elástica ver o Ex 1 Art 16 Eventualmente a barra do meio que tem a maior força caso as seções transversais das barras sejam iguais alcança a tensão de escoamento σe Isto ocorre quando a força F2 se torna igual a σeA onde A é a área da seção transversal da barra Com acréscimo da carga P as forças das barras inclinadas também aumentam porém F2 permanece constante porque a barra central tornase plástica Finalmente as barras externas também se tornam plásticas e a estrutura não pode suportar carga adicional Todas as barras continuam a se alongar sob um valor constante e máximo da carga P Esta carga é denominada cargalimite Plim O fenômeno descrito no parágrafo anterior está retratado na Fig 120 por meio do diagrama cargadeformação da Fig 119 As cargas P são as ordenadas e as deformações δ do nó D as abscissas Do ponto O origem até o ponto A as três barras são elásticas e as forças que nelas atuam ver o Ex 1 Art 16 são F1 P cos² β1 2 cos³ β F2 P1 2 cos³ β O escoamento da barra central começa no ponto A é a carga correspondente chamada carga de escoamento Pe é obtida fazendose F2 igual a σeA na equação acima Pe σeA1 2 cos³ β Fig 120 Diagrama cargadeformação para a estrutura da Fig 119a De A até B a força na barra central permanece igual a σₑA e as forças nas barras inclinadas podem ser achadas pelo equilíbrio do nó D ver a Eq 1 Art 16 F₁ P σₑA 2 cos β No ponto B as barras inclinadas também escoam portanto F₁ σₑA e pelo equilíbrio do nó D obtémse para cargalimite Plim o valor Plim σₑA1 2 cos β De B até C a estrutura continua a se deformar sob carga constante Plim Tal como se disse anteriormente pode ocorrer o endurecimento do material fazendo com que a estrutura possa aceitar uma carga adicional porém para fins práticos a presença de grandes deformações significa que a estrutura falhou Assim o cálculo da cargalimite Plim é de grande interesse para os projetistas Exemplo Calcular as cargas de escoamento Pe e limite Plim da estrutura vista na Fig 121 admitindo que a barra horizontal seja rígida e os dois fios verticais de material elásticoplástico Calcular também a carga admissível Padm para um coeficiente de segurança igual a 185 Admiti que as seções transversais dos fios tenham a mesma área A Tomando os momentos das forças F₁ e F₂ dos fios e da carga P em relação ao ponto A temse 3P F₁ 2F₂ a Essa equação é válida para qualquer valor de P de zero até Plim A figura mostra também que o alongamento do fio da direita é sempre o dobro do da esquerda Portanto nas condições elásticas F₂ 2F₁ ε com o aumento gradual de P a força F₂ atinge primeiro o valor de escoamento σₑA Nesse instante a força F₁ é igual a σₑA2 e o valor correspondente de P igual a Pe é pela Eq a Pe 5σₑA6 Quando a cargalimite Plim for alcançada tanto F₁ quanto F₂ serão iguais a σₑA Assim da Eq a vem Plim σₑAₑ A carga admissível Padm pode ser encontrada dividindose Plim pelo coeficiente de segurança tal como se disse no Art 13 Padm Plim Coeficiente de segurança σₑA 185 Este exemplo mostra que a determinação da cargalimite Plim de uma estrutura estaticamente indeterminada pode ser muito mais fácil do que a análise elástica TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 21 19 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO CISALHAMENTO Como exemplo de uma situação prática em que aparecem tensões de cisalhamento considerese a conexão vista na Fig 122a composta por uma barra A um garfo C e um parafuso B que atravessa a barra e o garfo Sob a ação da carga P a barra e o garfo atuam sobre o parafuso exercendo pressões de contato denominadas compressão superficial Fig 122b Esta figura mostra também a tendência do parafuso ao cisalhamento nas seções mn e pq Traçandose um diagrama de corpo livre da porção mnpq do parafuso Fig 122c fica evidenciado que as forças cortantes V devem atuar ao longo das seções de corte Neste exemplo cada força V é igual a P2 As forças cortantes produzem tensões de cisalhamento τ distribuídas sobre toda a área da seção transversal do parafuso A distribuição exata dessas tensões de cisalhamento não é facilmente determinada podendose entretanto obter o valor médio dividindose a força cortante total V pela área sobre a qual ela atua τₘéd V A 113 Fig 122 Ilustração de cisalhamento No exemplo da Fig 122 a área A a ser usada na Eq 113 é a da seção transversal do parafuso No projeto de parafusos pinos rebites chavetas e outras peças sujeitas a cisalhamento direto constitui prática comum o uso da Eq 113 e o dimensionamento das peças com base na tensão média admissível τadm que usualmente é da ordem de 05σadm a 06σadm onde σadm é a tensão admissível à tração para o mesmo material Como será visto mais tarde as tensões de cisalhamento podem surgir indiretamente quando as peças sofrem esforços de tração e flexão Nos artigos anteriores deste capítulo tratouse de tensões de tração e compressão atuando normalmente sobre as seções e por isso frequentemente chamadas tensões normais Por outro lado as tensões de cisalhamento sempre agem tangencialmente às superfícies sendo por isso chamadas tensões tangenciais Em ambos os casos as tensões representam uma força por unidade de área verificase assim que a distinção inicial entre tensões normais e de cisalhamento é a direção A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento considerese um cubo elementar do material Fig 123a supondose que ele esteja sujeito à tensão de cisalhamento τ distribuída sobre a face superior Não havendo tensões normais agindo sobre o elemento seu equilíbrio na direção horizontal só é possível se na face inferior existir tensão de cisalhamento igual e em sentido contrário à da face superior Além disso as tensões nas duas faces citadas produzem um momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que atuam nas faces verticais Estas tensões de cisalhamento devem ser também iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio estático Vêse então que de um modo geral a as tensões de cisalhamento que agem em um elemento do material ocorrem aos pares iguais e opostos e b as tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos tais que ou se aproximam ou se afastam da linha de interseção dos planos Um elemento sujeito somente às tensões de cisalhamento como na Fig 123a é dito em cisalhamento puro e será estudado mais detalhadamente no Art 23 A deformação de um elemento de material em cisalhamento puro está representada na Fig 123b que mostra a face frontal abcd do cubo elementar Como não há tensões normais agindo no elemento os 22 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Fig 123 Tensão e deformação de cisalhamento comprimentos das arestas ab cd ac e bd não variam As tensões de cisalhamento porém causarão distorção no quadrado abcd transformandoo num paralelogramo como mostra a figura em linha tracejada O ângulo no vértice c que media π2 antes da deformação fica reduzido a π2 γ sendo γ o pequeno ângulo visto na figura Ao mesmo tempo o ângulo no vértice a ficará aumentado para π2 γ O ângulo γ é a medida da distorção do elemento como conseqüência do cisalhamento e é denominado deformação de cisalhamento Vemos pela figura que a deformação de cisalhamento γ é igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior dividido pela distância entre essas duas arestas altura do elemento Fazendo o teste de um material em cisalhamento puro e medindo as deformações de cisalhamento em função das tensões obtémse o diagrama tensãodeformação de cisalhamento do material cujo aspecto é muito semelhante ao diagrama do teste de tração do mesmo material Com ele podese determinar o limite de proporcionalidade o ponto de escoamento e a tensão máxima em cisalhamento Experimentalmente verificouse que para os metais dúcteis incluindo o aço a tensão de escoamento τₑ em cisalhamento é 05 à 06 de σₑ Se o material tiver uma zona elástica linear o diagrama tensãodeformação de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às deformações de cisalhamento Assim a equação da Lei de Hooke para o cisalhamento é τ Gγ 114 onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Valores típicos de G aparecem na Tab 11 para diferentes materiais O modo mais simples de se produzir cisalhamento puro é pela torção de um tubo de seção circular como será visto mais tarde no capítulo de torção ver Cap 3 Geralmente os valores de G são obtidos em testes de torção Notese ainda que os valores dos módulos de elasticidade à tração e ao cisalhamento E e G não são independentes pois há uma relação perfeitamente definida entre eles como se verá adiante no Art 23 110 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Quando uma barra em tração simples é carregada estaticamente isto é muito lentamente por uma força P a barra se alonga Fig 124a e se o material seguir a Lei de Hooke o diagrama cargadeformação será uma reta Fig 124b Durante o carregamento a força P executa trabalho que é transformado em energia potencial ou energia de deformação que é armazenada na barra Se a carga P for lentamente removida a barra retorna ao seu comprimento original Durante este processo de descarregamento a energia de deformação armazenada na barra pode ser recuperada em forma de trabalho Assim a barra trabalha como mola podendo armazenar e fornecer energia quando a carga é aplicada ou retirada NT O módulo de elasticidade ao cisalhamento é conhecido também como módulo de elasticidade transversal TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 23 Fig 124 Diagrama cargadeformação de barra tracionada A energia de deformação armazenada durante o carregamento pode ser obtida pelo diagrama cargadeformação Suponhase que P₁ seja um valor intermediário da carga e que δ₁ seja o alongamento correspondente Um incremento dP₁ na carga produzirá um incremento dδ₁ no alongamento O trabalho executado por P₁ durante o acréscimo do alongamento é P₁ dδ₁ representado na figura pela área hachurada O trabalho total do processo de carregamento é dado pelo somatório das áreas elementares e é igual à área do diagrama cargadeformação Assim o trabalho total executado pela força P que é igual à energia de deformação armazenada U na barra é U P δ2 115 Esta equação só é válida se o material obedecer à Lei de Hooke caso em que P e δ estão relacionados pela equação σ PLEA Entrando com esta relação na Eq 115 podese exprimir a energia de deformação em uma das seguintes formas U P²L2EA ou U EAδ²2L 116ab a primeira dando a energia de deformação como função da carga P e a segunda em função da deformação δ Algumas vezes é útil conhecer a energia de deformação u por unidade de volume Para uma barra uniformemente tracionada obtémse u dividindose U pelo volume da barra Assim u UAL e portanto u σ²2E ou u Eε²2 117ab onde σ PA é a tensão de tração e ε δL é a deformação específica ou deformação unitária O maior valor da energia de deformação por unidade de volume que pode ser armazenada numa barra sem exceder o limite de proporcionalidade é denominado módulo de resiliência que é achado substituindose na Eq 117a o pela tensãolimite de proporcionalidade Como exemplo o módulo de resiliência de um aço cujo limite de proporcionalidade seja igual a 21 kgfmm² e E 21 000 kgfmm² é u₀ 00105 A discussão precedente sobre energia de deformação em barras tracionadas aplicase também a barras sob compressão Como a energia de deformação é igual ao trabalho efetuado pela força P durante o carregamento seguese que a energia de deformação é sempre uma quantidade positiva Exemplo 1 Comparar os valores da energia de deformação armazenada nas três barras vistas na Fig 125 Notese que as barras têm os mesmos comprimentos e a mesma carga P A primeira barra tem seção uniforme de diâmetro d porém nas outras duas há variação do diâmetro em certa parte do seu comprimento 24 MECÂNICA DOS SOLIDOS onde A nd²4 Para a segunda barra supondose que a distribuição da tensão seja uniforme em cada seção transversal a energia de deformação será U₂ P²L42EA P²3L42E4A 7P²L162EA 7U₁16 Para a terceira barra U₃ P²L82EA P²7L82E9A 2U₁9 A comparação destes resultados mostra que a energia de deformação diminui à proporção que o volume aumenta Assim é necessário apenas um pequeno trabalho para ocasionar altas tensões de tração numa barra com forte ranhura Quando as cargas são dinâmicas e a capacidade de absorver energia é importante a presença de ranhuras é muito danosa como se verá a seguir Naturalmente no caso de projetos com cargas estáticas as tensões são muito mais importantes do que a capacidade de absorver energia Cargas de Impacto sobre Barras O conceito de energia de deformação é útil quando se trata com cargas dinâmicas Tais cargas possuem uma certa quantidade de energia que deve ser transformada em energia de deformação ou utilizada em deformações plásticas na barra Como exemplo de carga de impacto considerese a montagem da Fig 126 Um peso P inicialmente em repouso cai de uma altura h sobre um batente na Fig 126 Carga de impacto em uma barra extremidade inferior de uma barra de comprimento L Desejase calcular a deformação e a tensão de tração máximas sofridas pela barra É possível obter uma solução aproximada desprezandose a energia perdida durante o choque e supondose que todo o trabalho efetuado pelo peso ao cair seja transformado em energia de deformação na barra Esta hipótese é aceitável porque realmente uma parte da energia será dissipada e o alongamento verdadeiro da barra será menor do que aquela que será calculada a seguir Depois de se chocar com o batente o peso P continua a se mover para baixo causando o alongamento da barra Como esta oferece resistência o peso é desacelerado até entrar em repouso sendo δ nesse momento a deformação sofrida pela barra Nesta situação o alongamento e a tensão têm os valores máximos A barra então começa imediatamente a diminuir acarretando vibração no conjunto Podese entretanto calcular o alongamento máximo δ da barra igualando o trabalho efetuado pelo peso ao cair Ph δ à energia de deformação da barra Ph δ EAδ²2L a TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 25 Chamando a deformação estática da barra devida ao peso P de δest isto é δest PLEA resolvendo a Eq a encontrase δ δest δ²est 2hδest¹² 118a δest δ²est v²δestg¹² 118b onde v 2gh é a velocidade do peso no instante em que se choca com o batente Estas equações mostram que o alongamento cresce quando P e L crescem ou quando a velocidade no impacto diminui mostram também que o alongamento diminuirá se a rigidez axial EA aumentar A equação poderá ser simplificada se a altura de queda h for muito maior do que o δest reduzindose a δ 2hδest¹² v²δestg¹² 119 Admitindo a distribuição de tensão uniforme na barra no instante da deformação máxima obtémse a seguinte expressão para o cálculo aproximado da tensão de tração σ EδL EL v²δestg¹² P v²2g¹² 2EAL¹² Vêse assim que um aumento na energia cinética do peso que cai ou do módulo E causará aumento da tensão enquanto o aumento do volume AL da barra prismática diminuirá a tensão Esta situação é bastante diferente da tensão estática que independe do comprimento L e do módulo de elasticidade E Carga Subitamente Aplicada Considerese agora um caso particular de impacto quando h é igual a zero isto é o peso P é subitamente colocado no batente da extremidade B da barra Fig 126 sem velocidade inicial Apesar de não haver energia cinética no instante em que a barra começa a se deformar o problema é bem diferente daquele ocasionado pelo carregamento estático da barra Quando o carregamento é estático supõese aplicação gradual da carga conseqüentemente há sempre equilíbrio entre a ação da força e a reação da barra Nestas condições a questão da energia cinética não aparece no problema No caso da carga ser subitamente aplicada o alongamento e a tensão da barra são nulos no início e então subitamente a carga aplicada começa a cair sob a ação do seu próprio peso Durante este movimento a força de resistência da barra cresce gradualmente até igualar P quando o deslocamento vertical de P for δest Porém neste momento a carga tem uma certa energia cinética adquirida durante o deslocamento δest continuando a moverse para baixo até que sua velocidade se anule pela resistência da barra O alongamento máximo agora é obtido da Eq 118a fazendose h 0 δ 2δest 120 Concluise que uma carga subitamente aplicada por sua condição dinâmica produz deformação igual ao dobro da que seria obtida se a carga fosse estática A discussão precedente baseiase na suposição de que a tensão da barra permaneça dentro do limite de proporcionalidade Além deste limite o problema se complica porque a deformação da barra não é mais proporcional à força Admitindose que o diagrama do teste de tração não dependa da taxa em que a barra se deforma o alongamento além do limite elástico durante o impacto pode ser determinado por um diagrama carga estáticadeformação semelhante ao da Fig 127 Para qualquer alongamento δ₁ a área correspondente OABE dá o trabalho necessário para produzir tal deformação este trabalho deve ser igual ao trabalho P h δ produzido pelo peso P Quando P h δ for maior ou igual à área total OABCD do diagrama do teste Este resultado foi obtido por Poncelet Ref 115 26 MECÂNICA DOS SÓLIDOS de tração o corpo que cai quebrará a barra Em alguns materiais incluindo o aço dúctil o ponto de escoamento cresce quando a taxa de deformação da barra é muito grande e em conseqüência o trabalho necessário para quebrar a barra é um pouco maior do que em um teste estático Concluise assim que qualquer mudança na forma da barra capaz de acarretar diminuição da área total OABCD do diagrama cargadeformação causará também diminuição da resistência da barra ao impacto Nas barras da Fig 125b e c por exemplo o fluxo plástico do material concentrase nas partes reduzidas e o alongamento total e o trabalho necessário para quebrar a barra são muito menores do que os da barra cilíndrica vistas na mesma figura As barras com ranhuras são muito fracas para cargas dinâmicas Um pequeno choque pode produzir fratura não obstante ser o material dúctil Elementos com furos de rebites ou qualquer variação brusca na seção transversal do mesmo modo são muito fracos para resistirem a choques Desta discussão verificase porque um material dúctil oferece muito maior resistência a cargas dinâmicas do que um material frágil A área sob a curva cargadeformação de materiais frágeis é muito menor do que a de materiais dúcteis mesmo que a resistência máxima do material seja a mesma nos dois tipos Exemplo 2 Um peso P está preso à extremidade inferior de um cabo vertical de aço que se move para baixo com velocidade constante v Qual a tensão máxima que aparece no cabo quando a extremidade superior parar subitamente Desprezar o peso do cabo Observase primeiro que a Eq 118 deduzida para o sistema da Fig 126 não pode ser aplicada neste exemplo porque a barra do exemplo anterior não tinha nenhuma tensão antes do impacto enquanto neste caso o cabo está sujeito a uma força de tração P antes de sofrer o impacto Admitase que não há perda de energia durante o impacto de modo que toda a energia do sistema cinética mais potencial antes do impacto seja igual à que existe depois dele quando o alongamento máximo do cabo é δ Antes do impacto a energia cinética do peso em movimento é Pv²2g e sua energia potencial na posição mais baixa é Pδ δest onde δest é o alongamento estático do cabo devido ao peso P Notese que δest PLEA onde L é o comprimento do cabo e EA a sua rigidez axial A energia de deformação do cabo antes do choque é EAδest²2L Depois do choque no instante em que o cabo está com a deformação máxima é EAδ²2L Igualando as energias antes e depois do impacto vem Pv²2g Pδ δest EAδest²2L EAδ²2L Combinando com a relação P EAδestL temse Pv²2g EA2L δ δest² Finalmente a solução para o alongamento total é δ δest Pv²LgEA e para a tensão máxima no cabo σ EδL PA 1 v²EAgPL b O último termo desta expressão que depende das características do cabo e da velocidade inicial v pode tornarse muito maior do que a unidade fazendo com que a tensão dinâmica no cabo tornese muito maior do que a estática PA A discussão precedente sobre impacto elástico despreza a massa da barra ou do cabo em comparação com a do corpo que cai e supõe também que a tensão em qualquer momento é uniforme em toda a barra Uma solução mais correta levaria em conta o efeito das massas e as ondas longitudinais de propagação da tensão ver as Refs 116 e 117 NT Nos pontos de descontinuidade furos mudanças bruscas da seção transversal rasgos de chavetas etc surge o fenômeno conhecido como concentração de tensões que eleva muito a tensão sobre o material Fig 127 Diagrama cargadeformação de barra sob tração TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 27 Energia de Deformação no Cisalhamento Puro A energia de deformação armazenada em um cubo de material sujeito à forças de cisalhamento V nas quatro faces Fig 128 pode ser calculada pelo método usado na tração simples Durante a deformação do material a face superior ab movese horizontalmente deslocandose de δ em relação à face inferior cd enquanto a força cortante cresce gradualmente de zero até o valor final V Supondose que o material siga a Lei de Hooke a deformação por cisalhamento γ δL é proporcional à tensão τ VA onde A é a área da face superior do cubo O diagrama cargadeformação V versus δ é então análogo ao diagrama visto na Fig 124b para uma barra tracionada O trabalho executado pela força V e armazenado sob a forma de energia de deformação elástica é U Vδ2 121 Fig 128 Energia de deformação no cisalhamento puro Recordando que γ δL e que τ YA e usando a Lei de Hooke para o cisalhamento τ Gγ vêse que δ VLGA Combinando esse resultado com a Eq 121 obtémse as duas equações para a energia de deformação U V²L2GA ou U GAδ²2L 122a b Dividindo estas equações pelo volume AL do cubo obtémse duas equações para a energia de deformação por cisalhamento u τ² 2G ou u Gy²2 123a b Essas expressões serão usadas mais tarde no Cap 3 no cálculo da energia de deformação de uma barra sob tração PROBLEMAS 121 Mostrar pela Estática que a força resultante sobre a seção transversal de uma barra prismática sob tração Fig 11a terá sua linha de ação passando pelo centróide da seção caso a tensão seja uniformemente distribuída sobre a seção considerada Sugestão Supor que a barra tenha uma seção transversal de forma arbitrária Escolher um conjunto de eixos no plano da seção e obter as expressões das coordenadas do ponto de aplicação da força resultante 122 Uma barra prismática com seção retangular 25 mm x 50 mm e comprimento L 360 m está sujeita a uma força axial de tração 10 tf O alongamento da barra é de 12 mm Calcular a tensão de tração e a deformação unitária da barra 131 Um fio longo está pendurado verticalmente e sujeito à ação do seu próprio peso Calcular o maior compri 28 MECÂNICA DOS SÓLIDOS mento que poderá ter sem causar rompimento se for de a aço e sendo a tensão de ruptura igual a 240 kgfmm² e b alumínio tendo tensão de ruptura de 40 kgfmm² Nota O peso específico do aço é 8 gfcm³ e o do alumínio 27 gfcm³ aproximadamente 132 Um tubo de aço σe28 kgfmm² deve suportar uma carga de compressão de 125 tf com um coeficiente de segurança contra o escoamento de 18 Sabendo que a espessura da parede do tubo é um oitavo 18 do diâmetro externo calcular o diâmetro externo mínimo necessário 133 Uma barra de seção transversal circular d 40 mm tem um furo radial conforme mostra a figura com diâmetro igual a d4 Supondo que a tensão admissível seja σadm 7 kgmm² calcular a carga provável P que a barra pode suportar sob tração Probl 133 134 Duas barras AB e BC ver a figura suportam uma carga vertical P As barras são feitas do mesmo material e o comprimento L da horizontal BC é constante Entretanto o ângulo θ pode variar pelo movimento vertical do ponto A alterandose o comprimento de AB para corresponder às novas posições Supondo que as tensões admissíveis à tração e à compressão sejam iguais e que as barras sejam carregadas até esse valor determinar o ângulo θ que dê à estrutura o peso mínimo Probls 134 e 1514 135 Um peso P é suportado por um braço de comprimento L que gira sobre um plano horizontal sem atrito em torno de um eixo vertical ver a figura A velocidade angular do peso e do braço é constante ω Desprezando o peso do braço estabelecer a fórmula para o cálculo da área da seção transversal do braço considerando uma tensão admissível σadm Probls 135 136 e 157 136 Resolver o problema anterior agora considerando o peso do braço Supor que o material do braço tenha o peso específico γ 141 Um parafuso de aço E21 000 kgfmm² com 50 mm de diâmetro deve suportar uma carga de tração de 30 000 kgf Sabendo que o comprimento inicial da parte carregada é 550 mm calcular o comprimento final 142 Uma barra redonda de aço E21 000 kgf mm² com 6 m de comprimento deve suportar uma carga de tração de 1 000 kgf Sabendo que a tensão admissível é de 12 kgfmm² e que a deformação permitida no comprimento é de 25 mm calcular o diâmetro mínimo da barra 143 O diâmetro externo de um tubo de aço E 21 000 kgfmm² ν 030 mede 10 cm e a área da seção transversal é igual a 1 400 mm² O tubo está sujeito a uma carga de tração Calcular a carga que causará diminuição no diâmetro de 0002 mm 144 Uma barra circular com d 55 mm é compri mida por uma carga inicial de 20 000 kgf a Achar o acréscimo Δd no diâmetro da barra supondo E 8 750 kgfmm² e ν 030 b Calcular o acréscimo de volume da barra sendo o seu comprimento 380 mm 151 Uma barra carregada como a da Fig 17 tem a seção transversal uniforme A e o módulo de elasticidade E Obter uma fórmula para a deflexão δ da extremidade inferior A barra alongará ou encurtará 152 O pedestal visto na Fig 18 está sujeito às cargas P₁ 60 tf e P₂ 70 tf O comprimento da parte superior é igual a 500 mm e a seção transversal é quadrada com 75 mm de lado A parte inferior tem b 750 mm e seção quadrada cujo lado é igual a 125 mm Sabendo que E 20 000 kgfmm² achar a a deflexão do topo do pedestal e b a relação entre as deformações axiais unitárias das partes superior e inferior 153 Uma barra de aço com 3 m de comprimento tem seção transversal circular com d₁ 20 mm em metade do seu comprimento e d₂ 15 mm na outra metade a Quanto se alongará sob uma carga de tração P 2 500 kgf b Se o mesmovolume de material for usado numa barra de 3 m de comprimento e diâmetro d constante qual será a deformação desta barra sujeita à mesma carga anterior Fazer E 21 000 kgfmm² 154 Estabelecer uma fórmula para o cálculo do alongamento total de uma barra prismática de comprimento L e seção transversal com área A pendurada verticalmente por uma extremidade e sujeita à ação de seu próprio peso Supor P o peso total da barra ajustado para qualquer valor variando o comprimento do tirante e a posição vertical do suporte A O comprimento L não varia Calcular δ de modo que a deflexão vertical do nó B seja a mínima quanto atuar a carga P 171 Um tubo de alumínio a 20ºC mede 35 m Um tubo de aço adjacente na mesma temperatura é 5 mm mais longo Em que temperatura a diferença dos comprimentos dos dois tubos será de 10 mm Supor α 117 x 10⁶ºC para o aço e α 216 x 10⁶ºC para o alumínio 216 x 106 C e diagonais em fios de aço Ea 21 000 kgfmm2 e αa 117 x 106C As áreas das seções transversais das barras de alumínio e dos fios de aço estão na relação 201 Achar as tensões nos fios de aço se a temperatura do quadro aumentar de 45C 181 tanto para a tração quanto para a compressão que as áreas das seções transversais das barras AB e BC sejam 900 mm2 e 2 100 mm2 e que os comprimentos sejam 10 m e 15 m respectivamente calcular as componentes horizontal e vertical da deflexão do nó B da estrutura 184 Achar o alongamento δ de uma barra sujeita ao próprio peso suspensa verticalmente por uma das extremidades sabendo que o diagrama tensãodeformação do material é dado pela equação σn Be onde B e n são constantes Exprimir δ em função do comprimento L da barra do peso específico γ do material de B e de n Probl 1712 185 Uma barra longa está suspensa verticalmente por uma de suas extremidades e suporta uma carga P na outra O diagrama tensãodeformação do material da barra é o dado no Probl 181 Achar o alongamento da barra decorrente da ação combinada do próprio peso e da carga P sabendo que γ 6 gfcm3 A 900 mm2 L 350 m e P 6 tf 181 Duas barras idênticas AB e BC ver a figura suportam uma carga P O diagrama tensãodeformação do material das barras pode ser representado aproximadamente por duas retas e está colocado na parte superior da figura A área da seção transversal de cada barra é A 1 200 mm2 e o comprimento das barras L 3 750 mm O ângulo θ é igual a 30C Calcular a deflexão vertical δ b do nó B para os seguintes valores da carga P 4 tf 8 tf 12 tf 16 tf 20 tf Partindo dos resultados traçar um gráfico mostrando a relação entre P e δ b Probl 186 186 Quatro fios dispostos simetricamente como se vê na figura suportam um bloco rígido que está carregado com a carga P Cada fio tem a área da seção transversal igual a A e é feito de um material elásticoplástico Achar a carga limite Plim A 60 60 P Probl 181 187 Achar a carga limite Plim da estrutura representada na Fig 119a sabendo que o material é elásticoplástico e que a área da seção transversal do fio vertical é o dobro da dos fios inclinados Fazer σe 25 kgfmm2 β 60 e a área do fio vertical A 1 100 mm2 182 Supondo que a estrutura ABC vista na figura do problema anterior seja de um material para o qual o diagrama tensãodeformação é dado pela equação σn Be onde B e n são constantes estabelecer uma equação para a deflexão δ b do nó B em função dos parâmetros P A L θ B e n 188 Supondo que a estrutura vista na Fig 110a tenha sido montada para suportar uma carga limite Plim 10 tf achar a área mínima da seção transversal dos membros AB e BC sabendo que o material é elásticoplástico com o escoamento de 23 kgfmm2 Fazer θ 30 Probl 181 183 Uma estrutura simples ABC ver a Fig 110a suporta uma carga P 12 tf Supondo que o material das barras tenha o diagrama tensãodeformação dado no Probl 189 A barra rígida AB representada na figura está simplesmente apoiada em C e carrega uma carga P na extremidade B Três fios idênticos de material elásticoplástico suportam a barra Calcular a carga de escoamento Pe e a carga limite Plim sabendo que a área da seção transversal dos fios é A 191 Três peças de madeira são coladas na disposição vista na figura Todas têm a mesma seção transversal ver a figura e têm 200 mm de comprimento na direção perpendicular ao plano da figura Para P 10 tf qual a tensão de cisalhamento nas juntas coladas Probl 191 192 Achar o diâmetro do parafuso na conexão representada na Fig 112a sendo P 3 500 kgf e a tensão admissível ao cisalhamento τadm 9 kgfmm2 193 Uma punção com diâmetro de 20 mm abre furos numa chapa de aço de 5 mm de espessura exercendo uma força de 12 tf Calcular a tensão média de cisalhamento da chapa e a tensão média de compressão na punção 194 Dois eixos diâmetro de 25 mm são colineares e ligados por uma luva montada nas extremidades que se encontram A luva é presa a cada eixo por um pino com 5 mm de diâmetro que a atravessa radialmente e também ao eixo O torque transmitido pelos eixos é de 300 kgfcm Calcular a tensão de cisalhamento nos pinos 195 Uma barra de alumínio de seção circular com diâmetro de 44 mm ajustase no interior de um tubo de cobre de igual comprimento O diâmetro externo do tubo é de 50 mm e o interno 45 mm Em cada extremidade um pino metálico com 5 mm de diâmetro atravessa a montagem radialmente Calcular a tensão média de cisalhamento do pino quando a temperatura aumentar de 20C Para o alumínio E 7 000 kgfmm2 α 216 x 106 C Para o cobre E 10 500 kgfmm2 α 1674 x 106 C TRAÇÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 33 1101 Uma barra prismática com 25 cm de comprimento é comprimida por uma força P 3 000 kgf Sendo E 21 000 kgfmm2 calcular a quantidade de energia de deformação armazenada na barra considerando a área A 2 500 mm2 e também A 1 250 mm2 1102 Calcular a energia de deformação na barra vista na Fig 17 sendo A a área da seção transversal e E o módulo de elasticidade 1103 Calcular a energia de deformação numa barra prismática vertical suspensa por uma extremidade e sujeita à ação do próprio peso sendo L o comprimento A a área da seção transversal E o módulo de elasticidade e γ o peso específico da barra Probl 189 1104 Calcular a energia de deformação na barra do problema anterior se em adição ao próprio peso receber uma carga P na extremidade inferior 1105 Calcular a energia de deformação armazenada na barra giratória descrita no Probl 157 se P 0 1106 Resolver o Probl 158 igualando a energia de deformação U armazenada na barra ao trabalho Pδ2 efetuada pela carga P 1107 Um peso P está preso à extremidade de um fio flexível de comprimento L e área A A outra extremidade está presa a um suporte fixo O peso cai livremente da altura do suporte percorrendo todo o comprimento do fio Estabelecer a fórmula para a tensão máxima σ no fio supondo que o fio se alongue elasticamente quando o peso pára e que o seu comprimento é grande comparado com a deformação 1108 Um peso P 500 kgf cai de uma altura h 10 m sobre um poste de 60 m de comprimento e 30 cm de diâmetro que se admite fixado pela extremidade inferior Calcular a tensão de compressão máxima σ no poste sendo E 1 050 kgfmm2 Desprezar o peso do poste e a energia perdida durante o choque supor também que θest é pequeno comparado com h 1109 Para o sistema visto na Fig 126 calcular a altura h de queda do peso P de modo a produzir uma tensão máxima σ 21 kgfmm2 na barra Fazer P 10 kgf L 20 mA 350 mm2 e E 21 000 kgfmm2 11010 Supondo que no Ex 2 do Art 110 tenha sido instalada uma mola com constante elástica k força por unidade de comprimento entre a extremidade do cabo e o peso P estabelecer a fórmula para a tensão máxima σ no cabo nestas novas condições e comparar com a Eq 6 Com a instalação da mola a tensão aumentou ou diminuiu 2 ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 21 TENSÕES EM PLANOS INCLINADOS Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples Fig 21a as tensões numa seção transversal mn normal ao seu eixo são uniformemente distribuídas e iguais a PA tal como foi descrito no Art 12 Consideremse agora as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com a seção transversal mn Como todas as fibras longitudinais têm a mesma deformação axial as forças que representam a ação do lado direito sobre o lado esquerdo da barra devem ser uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq A parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da carga externa P Fig 21b Assim a Fig 21 Tensões em planos inclinados em barra tracionada resultante R das forças distribuídas sobre a seção inclinada é P A força R pode ser decomposta em duas componentes N e V que são normal e tangente respectivamente ao plano inclinado Fig 21c Estas componentes são N P cos θ V P sen θ Como a área A da seção inclinada é Acos θ as tensões correspondentes a N e V são respectivamente σθ NA PA cos2 θ σx cos2 θ 21a τθ VA PA sen θ cos θ σx sen θ cos θ 21b onde σx PA é a tensão na seção transversal normal ao eixo da barra tensão na direção x As tensões σθ e τθ que são respectivamente normal e de cisalhamento no plano pq ver a Fig 21d são uniformemente distribuídas sobre esta seção Notese que a orientação do plano inclinado é definida pelo ângulo θ contando do eixo x até a normal ao plano A Eq 21a mostra como a tensão normal σθ varia em função do ângulo Quando θ 0 o plano pq coincide com mm acarretando σθ σx Se o ângulo θ aumentar a tensão σθ diminuirá até que em θ π2 anulase indicando que não há tensões normais entre as fibras longitudinais da barra Assim verificase que o valor máximo da tensão normal ocorre quando θ 0 e é σmáx σx 22 A Eq21b mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando θ 0 e θ π2 atingindo o valor máximo quando θ π4 Este máximo é τmáx σx2 23 Mesmo quando a tensão de cisalhamento máxima é a metade da tensão normal máxima muitas vezes é ela que deve ser controlada em barras carregadas axialmente se o material for muito mais fraco ao cisalhamento do que à tração Por exemplo durante um teste de tração numa barra chata de aço de baixo carbono com superfícies polidas aparecem linhas de deslizamento visíveis nas faces da barra aproximadamente a 45 com o eixo Fig 22a o que indica que o material está falhando por cisalhamento segundo os planos em que a tensão de cisalhamento é máxima Estas linhas foram observadas pela primeira vez por G Piobert em 1842 e W Lüders em 1860 ver as Refs 21 a 24 hoje são chamadas linhas de Lüders ou linhas de Piobert Começam a aparecer quando a tensão na barra atinge o escoamento ponto B na Fig 12a Outro exemplo de falha por cisalhamento é mostrado na Fig 22b num bloco curto de madeira comprimido axialmente e que falhou por cisalhamento ao longo de um plano a 45 As Eqs 21 deduzidas para uma barra sob tração podem também ser usadas para compressão axial dandose a σx o sinal negativo São obtidos então valores negativos para σθ e τθ para qualquer valor de θ entre 0 e π2 O sinal negativo em σθ indica que a tensão normal é de compressão enquanto que o sinal negativo em τθ indica que essa tensão age em sentido oposto ao que foi representado na Fig 21d A Fig 23 indica a convenção de sinais para ambas as tensões Uma tensão normal positiva σθ é aquela que age afastandose da superfície do material independentemente da orientação desta uma tensão normal negativa age em direção à superfície As tensões de cisalhamento τθ são positivas quando agem no sentido dos ponteiros do relógio em relação à superfície do material e negativas quando agem em sentido contrário Uma representação conveniente das tensões num ponto da barra é feita pelo isolamento de uma parte elementar do material como diagrama de corpo livre com as tensões indicadas em todos os lados do elemento Por exemplo dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada aparecem na Fig 24 O P P P P a b Fig 22 a Linhas de deslisamento ou linhas de Lüders em barra de aço tracionada axialmente b Falha por compressão de um bloco de madeira a b c Fig 23 Convenções de sinais para tensões normais σθ e tensões de cisalhamento τθ Fig 24 Tensões que atuam nos elementos A e B cortados de um barra tracionada elemento A está orientado de modo que θ 0 e assim a única tensão que age sobre ele é σx PA O segundo elemento sofreu um giro definido por θ e portanto as tensões nos lados bd são σθ e τθ calculadas pelas Eqs 21 A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo θ π2 em relação ao eixo x sendo portanto possível achar as tensões nesse plano substituindo θ por θ π2 nas Eqs 21 o que dá σθ σx cos2θ π2 σx sen2 θ 24a τθ σx senθ π2cosθ π2 σx sen θ cos θ 24b ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 37 Como neste exemplo σx é positivo vêse que a tensão normal σθ é também positiva como é mostrado na Fig 24c A tensão de cisalhamento τθ no lado ab do elemento é negativa indicando que age em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio em relação à superfície do elemento como também é mostrado na figura Duas relações interessantes entre as tensões em planos ortogonais podem ser obtidas pela comparação das Eqs 21 e 24 Vêse que σθ σθ σx 25 τθ τθ 26 A primeira das relações mostra que para uma barra tracionada a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é constante e igual a σx a segunda mostra que as tensões de cisalhamento em planos ortogonais são iguais em valor absoluto porém têm sinais opostos Esta última conclusão foi tirada anteriormente no Art 19 Continuando a análise podese obter as tensões nos dois lados restantes ac e cd do elemento representado na Fig 24c Para o lado ac o ângulo da normal é θ π e para o cd o ângulo é θ 3π2 Vêse assim que as tensões normal e de cisalhamento no lado ac são as mesmas que atuam no lado bd e que as tensões no lado cd são idênticas às do lado ab Para calcular as tensões em lados como cd é muitas vezes conveniente tomar o ângulo θ que localiza o plano no sentido negativo isto é no sentido dos ponteiros do relógio partindose do eixo dos x em lugar de se considerar um ângulo positivo entre 270 e 360 Por exemplo se o ângulo θ na Fig 24c for igual a 30 o ângulo que define o plano cd tanto poderá ser 30 270 300 como também 60 quando se empregam as Eqs 21 22 TENSÕES BIAXIAIS Considerese agora um estado de tensões mais geral em que as tensões normais em um elemento agem nas direções x e y Fig 25a Tal situação é conhecida como tensões biaxiais para distinguila da tensão em uma direção o uniaxial considerada no artigo precedente As tensões biaxiais aparecem na análise dos vasos de pressão vigas eixos e muitos outros componentes estruturais alguns dos quais serão estudados mais tarde Por enquanto o interesse é determinar as tensões normal e de cisalhamento que agem em um plano inclinado pq cuja normal faz um ângulo θ com o eixo x Fig 25a As tensões normal σ e de cisalhamento τθ atuam no plano inclinado como a Fig 25b mostra Estas bem como as tensões σx e σy podem ser consideradas atuantes sobre os lados de um triângulo elementar retirado do elemento retangular original Para determinar as tensões σθ e τθ considerese o equilíbrio do triângulo elementar Chamando de A a área da face x isto é a face sobre a qual σx atua a área da face y será A tg θ e a área da face inclinada será Fig 25 Elementos com tensões biaxiais 38 MECÂNICA DOS SÓLIDOS A sec θ As forças nas faces x e y serão respectivamente σxA e σyA tg θ Cada uma destas forças pode ser decomposta em duas componentes ortogonais uma agindo na direção da normal ao plano inclinado e a outra em direção paralela ao plano Então é possível somar as forças nessas direções e obter duas equações para o equilíbrio do triângulo elementar A primeira equação obtida pela soma das forças na direção σθ é σθA sec θ σxA cos θ σyA tg θ sen θ da qual vem σθ σx cos2 θ σy sen2 θ 27a Analogamente podese somar as forças na direção da tensão de cisalhamento τθ τθA sec θ σxA sen θ σyA tg θ cos θ ou τθ σx σy sen θ cos θ 27b As Eqs 27 dão os valores algébricos das tensões normal e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em função das tensões normais σx e σy que agem nas direções x e y respectivamente Usando as seguintes relações trigonométricas cos2 θ ½ 1 cos 2θ sen2 θ ½ 1 cos 2θ sen θ cos θ ½ sen 2θ pôdese escrever as equações de outra forma σθ ½σx σy ½σx σycos 2θ 28a τθ ½σx σysen 2θ 28b Notese qua a convenção de sinais usada para σθ e τα nas Eqs 27 e 28 é a mesma usada no artigo precedente ver a Fig 23 Substituindo θ por θ π2 nas Eqs 28 são obtidas as expressões das tensões σθ e τθ que atuam no plano normal ao inclinado em que agem as tensões σθ e τα Fig 25c As equações são σθ ½σx σy ½σx σycos 2θ 29a τθ ½σx σysen 2θ 29b Combinando a primeira destas equações com a Eq 28a vêse que σθ σθ σx σy 210 o que mostra novamente que a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares quaisquer é uma constante Comparando também as Eqs 28b e 29b vêse outra vez que as tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são iguais em intensidade porém têm sinais opostos ver a Eq 26 ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 39 Quando o elemento da Fig 25c é girado de θ 0 a θ π2 a tensão normal σθ varia de σx a σy ver a Eq 28a Assim uma dessas tensões é o maior valor de σθ e a outra o menor Tais valores máximo e mínimo da tensão normal são chamados tensões principais e os dois planos perpendiculares em que elas atuam são chamados planos principais A Fig 25a mostra que não há tensões de cisalhamento nos planos principais A tensão de cisalhamento τθ é nula quando θ 0 e atinge o valor máximo quando θ π4 A tensão máxima de cisalhamento é τmáx σx σy2 211 isto é a tensão máxima de cisalhamento é igual à semidiferença das tensões principais Se as tensões σx e σy forem iguais não haverá tensões de cisalhamento em nenhum plano inclinado A discussão precedente sobre tensões máximas de cisalhamento referese somente aos planos inclinados paralelos ao eixo z tal como o plano pq na Fig 25a Não se deve esquecer que de fato o elemento da Fig 25a é tridimensional e que a tensão σz na direção do eixo z é nula Podese cortar o elemento por planos paralelos aos eixos x ou y sendo possível que em um ou mais desses planos existam tensões de cisalhamento maiores do que a dada pela Eq 211 A determinação da tensão máxima de cisalhamento no caso tridimensional será estudada mais tarde no artigo que trata de tensões triaxiais Art 27 Todas as equações precedentes são válidas quando σx e σy são tensões de tração ou compressão Para empregar as equações é necessário somente considerar as tensões como quantidades algébricas de acordo com a convenção de sinais estabelecida O leitor deverá notar que as equações das tensões biaxiais reduzemse à do caso uniaxial fazendose σy igual a zero Deformações nas Tensões Biaxiais As deformações na direção x de um elemento com tensão biaxial dependem não somente de tensão σx como também de σy por causa do efeito de Poisson descrito no Art 14 Supondo que o material obedeça à Lei de Hooke vêse que a deformação unitária na direção x devido a σx é σxE e decorrente de σy é νσyE Então se ambas as tensões agirem simultaneamente a deformação unitária na direção x será εx 1E σx νσy 212a Analogamente para a direção y εy 1E σy νσx 212b Para a direção z terseia também εz νE σx σy 212c Das Eqs 212a e b pôdese obter as tensões σx e σy como funções das deformações εx e εy σx εx νεyE1 ν2 σy εy νεxE1 ν2 213ab 40 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Estas equações podem ser usadas para o cálculo de σx e σy nos casos em que se conhecem as deformações εx e εy como por exemplo com os calibradores A dilatação cúbica específica de um material elástico sujeito a tensões biaxiais pode ser achada observandose que as dimensões do elemento nas direções x y e z aumentam nas razões de 1 εx1 1 εy1 e 1 εz1 respectivamente Portanto o volume da barra aumenta na relação 1 εx1 εy1 εz1 ou desprezando os infinitésimos de ordem superior 1 εx εy εz1 Vêse por meio desta expressão que a dilatação cúbica específica δ ΔVV εx εy εz 214 Combinando com as Eqs 212 obtémse a seguinte expressão para a dilatação cúbica específica em tensões biaxiais ΔVV σx σy1 2νE 215 Se σy 0 esta equação reduzse à Eq 17 que dá a dilatação cúbica específica 23 CISALHAMENTO PURO Considerese agora o caso particular da tensão biaxial em que σx é de tração e σy de compressão porém iguais em valor absoluto de modo que σx σy σ0 216 como a Fig 26a mostra A tensão máxima de cisalhamento ocorre no plano definido por θ 45 como já se viu anteriormente e é igual a ver a Eq 211 τmáx σx σy2 σ0 217 Essa tensão de cisalhamento está representada na Fig 26b Nas Eqs 28a e 29a entrando com θ 45 encontramse as tensões normais que atuam nos lados do elemento σq σq 0 Verificase assim que o elemento representado na Fig 26b está sujeito apenas a tensões de cisalhamento e portanto está em estado de cisalhamento puro ver o Art 19 Vêse também que o cisalhamento puro é equivalente ao estado de tensões produzido por uma tensão de tração em uma direção e outra de compressão na direção ortogonal É claro que em um elemento em ângulo diferente de 45 haverá tensões normais e de cisalhamento em seus lados que poderão ser encontradas com o emprego das Eqs 28 e 29 ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 41 A distorção do elemento em cisalhamento puro está representada na Fig 26c Os comprimentos dos lados não variam porque não há tensões normais na direção a 45 porém a diagonal horizontal sofre alongamento enquanto a vertical sofre encurtamento A deformação específica de cisalhamento γ igual a τ máxG aparece na Fig 26b como sendo o decréscimo dos ângulos retos das extremidades da diagonal horizontal ou como acréscimo dos ângulos nas extremidades da diagonal vertical O ângulo formado por qualquer lado nas situações inicial e final é igual a γ2 As variações dos comprimentos das diagonais do elemento visto na Fig 26c são calculadas pelas deformações εx e εy que podem ser determinadas pelas Eqs 212 do artigo precedente Vêse também na figura que essas variações de comprimento estão relacionadas geometricamente com a deformação γ Podese portanto concluir que o módulo de elasticidade transversal G está relacionado com o módulo de elasticidade longitudinal E e com o coeficiente de Poisson ν Para estabelecer esta importante relação começase observando que o acréscimo Δd da diagonal horizontal é Δd εx d a onde d é o comprimento inicial da diagonal Supondo que o elemento seja quadrado vêse na Fig 26c que o acréscimo da diagonal é igual a Δd γ d 2 b isto é Δd é igual ao acréscimo γ do ângulo reto do topo ou da base do elemento multiplicado pela metade do comprimento da diagonal vertical Então das Eqs a e b obtémse εx γ 2 c para o elemento em cisalhamento puro Das Eqs 212a e 216 obtémse para εx a seguinte expressão εx σ0 E 1v Entrando com este resultado na Eq c e substituindo γ por τmáx G que é igual a σ0 G vem σ0 E 1v σ0 2G ou G E 21 v 218 42 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Esta relação mostra que G E e v não são propriedades independentes No caso do aço por exemplo admitindo v 030 e E 21 000 kgfmm² a Eq 218 dá G 8 077 kgfmm² 24 CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES BIAXIAIS As equações das tensões σθ e τθ que agem em planos inclinados quando o material está sujeito a tensões biaxiais podem ser representadas graficamente de modo muito conveniente A fim de mostrar a construção gráfica começase introduzindo a notação σméd σx σy 2 219 τmáx σx σy 2 220 sendo σméd a média das tensões normais que atuam nos lados do elemento e τmáx a tensão máxima do cisalhamento Com esta notação as Eqs 28 para σθ e τθ tomam os seguintes aspectos σθ σméd τmáx cos 2θ τθ τmáx sen 2θ Estas são as equações paramétricas de um círculo tendo como parâmetro o ângulo 2θ Elevando ao quadrado e somando membro a membro eliminase o parâmetro o que dá σθ σméd² τθ² τmáx² 221 que é a equação de um círculo em que as variáveis independentes são σθ e τθ e o raio é τmáx Este círculo está representado na Fig 27 com σθ como abcissa e τθ como ordenada As coordenadas de centro C do círculo são σθ σméd e τθ 0 como se pode ver na Eq 221 Esta construção gráfica foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr em 1882 Ref 26 e é chamada círculo de Mohr Fig 27 Círculo de Mohr para tensões biaxiais A Eq 218 foi estabelecida por Poisson que usou v 025 Ref 25 N T O valor calculado de G é aproximado É comum utilizarse nos cálculos o valor G 8 050 kgfmm² N T Conhecido também como círculo das tensões ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 43 Observese inicialmente que o ponto A tem as coordenadas σθ σméd τmáx σx e τθ 0 que são as tensões na face x do elemento θ 0 Analogamente o ponto B do círculo é definido por σθ σy e τθ 0 que são as tensões na face y do elemento θ 90 Considerese agora um ponto D qualquer do círculo definido pelo ângulo 2θ medido a partir de A para o qual θ 0 As coordenadas σθ e τθ do ponto D podem ser obtidas geometricamente como segue σθ OC CD cos 2θ ½ σx σy ½ σx σy cos 2θ τθ CD sen 2θ ½ σx σy sen 2θ Comparando estas expressões com as Eqs 28 notase que as coordenadas do ponto D representam as tensões σθ e τθ no plano inclinado definido pelo ângulo θ na Fig 25 Notese entretanto que no círculo de Mohr o ponto D é definido pelo ângulo duplo 2θ Quando o ângulo θ varia de 0 a π2 o ponto D movese sobre a circunferência de A para B de modo que a metade superior do círculo representa as tensões σθ e τθ para qualquer orientação do elemento Fig 25c entre θ 0 e θ π2 Por exemplo se θ π4 então 2θ π2 e o ponto D estará no topo do círculo ponto E onde σθ σx σy 2 τθ σx σy 2 Assim o ponto E representa o plano de máxima tensão de cisalhamento positiva o que já era esperado uma vez que o raio do círculo é τmáx Se fizermos θ maior do que π2 o ponto correspondente do círculo de Mohr estará na metade inferior Por exemplo o ponto D é diametralmente oposto ao ponto D e portanto definido pelo ângulo 2θ π significando que as tensões representadas por D estão em um plano normal àquele em que agem σθ e τθ O exame da Fig 27 mostra que as coordenadas do ponto D são iguais a σθ e τθ ver a Fig 25c e Eqs 29 Assim fazendo θ variar de 0 a 360 no círculo de Mohr obtémse as tensões em todos os lados do elemento da Fig 25c de θ 0 até θ 180 Nas faces restantes θ de 180 a 360 é claro as tensões são iguais às das faces opostas O processo usual de traçar o círculo de Mohr consiste em posicionar os pontos A e B em escala adequada no eixo σθ e traçar o círculo passando por esses dois pontos Podese encontrar as tensões em qualquer plano de inclinação θ marcando o ponto D definido por 2θ As tensões procuradas σθ e τθ são as coordenadas desse ponto que podem ser lidas diretamente na escala usada ou encontradas por cálculo trigonométrico Se uma das tensões ou ambas for de compressão seguese o mesmo procedimento exceto que parte do círculo ou todo ele estará à esquerda da origem Devese também ter sempre presente que o ângulo é medido no sentido antihorário com a origem em A que representa as tensões no plano x mesmo que A esteja na extremidade esquerda do diâmetro horizontal o que ocorrerá sempre que σx for algebricamente menor que σy ver o exemplo seguinte O círculo de Mohr pode ser usado de maneira inversa caso se deseje isto é conhecendose as tensões σθ τθ σθ e τθ de um elemento inclinado com tensões biaxiais Fig 25c podese determinar com o círculo as tensões σx e σy O processo é localizar os pontos D e D com as tensões conhecidas e traçar o círculo tendo DD como diâmetro Os pontos A e B são os de interseção com o eixo σθ determinandose assim não somente as tensões σx e σy como também o ângulo θ que define a rotação dada ao elemento Exemplo Traçar o círculo de Mohr para o caso de tensão biaxial Fig 28a em que σx 12 kgfmm² e σy 4 kgfmm² Determinar as tensões σθ τθ σθ e τθ nos lados de um elemento para o qual θ 20 4 kgfmm2 12 kgfmm2 a b c Fig 28 Exemplo numérico Começase posicionando os pontos A e B que representam as tensões nos planos θ 0 e θ 90 respectivamente Fig 28b O centro C do círculo está em σmed 4 kgfmm2 e o raio é 8 kgfmm2 Partindo de A no sentido trigonométrico com o ângulo 2θ 40 posicionase D As coordenadas de D são calculadas ou lidas na escala σθ 1013 kgfmm2 e τθ 514 kgfmm2 tensões que estão representadas no elemento da Fig 28c O ponto D dá as tensões num plano para o qual 2θ 220 ou θ 110 Essas tensões são σθ 213 kgfmm2 e τθ 514 kgfmm2 que também aparecem na Fig 28c Vêse assim que é possível por meio do círculo de Mohr determinar todas as tensões que sofre um elemento inclinado qualquer 25 TENSÕES PLANAS As tensões uniaxiais e biaxiais são casos particulares de condição mais geral conhecida como tensões planas Um elemento com tensões planas pode ter tensões normais e de cisalhamento nas faces x e y como se vê na Fig 29a porém não pode ter tensão nenhuma na face z A tensão de cisalhamento na face x será indicada por τyx o primeiro índice indicando a direção da tensão e o segundo a face em que ela atua Com esta notação é costume considerar positiva a tensão que age no sentido positivo do eixo y Assim τyx é positiva no sentido visto na figura Analogamente a tensão de cisalhamento na face superior do elemento vista anteriormente Em consequência no plano em que θ 0 a face x do elemento temse τθ τyx e no plano θ 90 τθ τxy Da igualdade das tensões de cisalhamento em planos perpendiculares resulta obviamente que τyx τxy Considerese agora uma seção cuja normal faça um ângulo θ com o eixo x Fig 29b As condições de equilíbrio do elemento triangular permitem determinar as tensões normal σθ e de cisalhamento τθ que nele atuam Devese notar ao estabelecer as equações de equilíbrio que as áreas das faces do elemento não são as mesmas devendo cada tensão ser multiplicada pela área correspondente para se obter a força Este mesmo processo foi utilizado quando as Eqs 27 foram deduzidas para a tensão biaxial O equilíbrio das forças na direção σθ Fig 29b dá σθ σx cos2 θ σy sen2 θ 2τyx sen θ cos θ e na direção τθ τθ σx σy sen θ cos θ τyxsen2 θ cos2 θ Com as relações trigonométricas apropriadas é possível escrever as Eqs 223 do seguinte modo σθ ½σx σy ½σx σy cos 2θ τyx sen 2θ τθ ½σx σy sen 2θ τyx cos 2θ Estas equações dão as tensões normal e de cisalhamento em função das tensões σx σy e τyx num plano inclinado qualquer Notese que quando θ 0 as equações dão σθ σx e τθ τyx quando θ π2 vem σθ e τθ τyx Observese também que quando τyx 0 as Eqs 223 e 224 reduzemse às Eqs 27 e 28 respectivamente para a tensão biaxial Ao se usar as equações estudadas para σθ e τθ as convenções de sinais para as tensões devem ser cuidadosamente observadas a todas as tensões normais de tração são positivas b a tensão de cisalhamento τyx é positiva no sentido positivo do eixo y Fig 29a e c a tensão de cisalhamento τθ é positiva quando atua no sentido horário Fig 29b A razão para a escolha dessa convenção para τθ é que no círculo de Mohr o ângulo 2θ positivo é medido no sentido trigonométrico que é o mesmo usado para medir θ quando positivo As tensões σθ e τθ num plano em ângulo θ π2 com o eixo x podem ser determinadas substituindose θ por θ π2 nas Eqs 224 o que dá σθ σθ σx σy e τθ τθ Como já havia sido visto para as tensões biaxiais Vêse assim novamente que a soma das tensões normais em planos perpendiculares é uma constante e que as tensões de cisalhamento têm a mesma intensidade e sinais contrários Tensões Principais Quando o ângulo θ visto na Fig 29b varia de 0 a 360 as tensões σθ e τθ também variam e os valores máximo e mínimo de σθ são as tensões principais Os planos principais em que essas tensões ocorrem podem ser determinados derivandose dσθdθ igualando a zero e resolvendo para θ Assim da Eq 224a vem dσθdθ σx σy sen 2θ 2τyx cos 2θ 0 ou tg 2θp 2τyx σx σy onde θp substituiu θ para indicar os ângulos que definem os planos principais Há dois valores de 2θp com uma diferença de 180 dados pela Eq 225 o primeiro entre 0 e 180 e o segundo entre 180 e 360 Assim temse dois valores de θp um entre 0 e 90 e outro entre 90 e 180 Um desses valores acarreta σθ máximo o outro dá σθ mínimo Estas duas tensões principais ocorrem em planos perpendiculares Entrando com os valores de θp da Eq 225 na Eq 224a encontramse os valores das duas tensões principais para qualquer caso particular Procedendo algebricamente é possível obter fórmulas gerais para as tensões principais Observese que da Eq 225 vêm cos 2θp σx σys sen 2θp 2τyx s onde s σx σy2 4τxy2 Substituindo essas expressões na Eq 224a temse σ12 σx σy2 σx σy2 2 τyx2 onde σ1 e σ2 indicam respectivamente as tensões principais máxima e mínima Na Eq 226 notase como era esperado que σ1 σ2 σx σy Da Eq 224b podese fazer uma observação importante relacionada aos planos principais Fazendose τθ 0 e resolvendose para 2θ obtémse novamente a Eq 225 Este resultado mostra que nos planos principais não há tensões de cisalhamento Tensões Máximas de Cisalhamento Seja agora determinar as tensões máximas de cisalhamento e os planos em que atuam Tomando a derivada dτθ dθ ver a Eq 224b e igualandoa a zero vem cotg 2θs 2τyx σx σy onde θs indica o ângulo correspondente ao plano de tensão máxima de cisalhamento Comparando a expressão acima com a 225 vêse que cotg 2θs tg 2θp donde se conclui que 2θs e 2θp devem diferir de 90 Assim os planos de tensão máxima de cisalhamento estão a 45 com os planos principais como já se havia notado para as tensões biaxiais ver o Art 22 Substituindo o valor de 2θs dado pela Eq 227 na Eq 224b temse τmáx σx σy22 τyx2 As tensões principais foram apresentadas por A L Cauchy Ref 29 e as equações para a passagem de um conjunto de eixos para outro foram deduzidas por W J M Rankine e Barré de SaintVenant Ref 210 τmáx σ1 σ2 2 228b Nos planos de tensões máximas de cisalhamento as tensões normais são σθ σθ σx σy 2 229 Exemplo Um elemento está sujeito às seguintes tensões planas σx 16 000 kgfcm² σy 6 000 kgfcm² e τyx 4 000 kgfcm² como se vê na Fig 210a Calcular a as tensões e os planos principais b as tensões que sofre um elemento a 45 e c as tensões máximas de cisalhamento Mostrar cada resultado em um diagrama a Para definir os planos principais usase a Eq 225 que dá tg 2θp 08 Daí 2θp 3840 e 21840 θp 1920 e 10920 Substituindo 2θp 3840 na Eq 224a vem σθ 17 400 kgfcm² e entrando com 2θp 21840 na mesma equação encontrase σθ 4 600 kgfcm² Então a tensão principal máxima é σ1 17 400 kgfcm² e a tensão principal mínima é σ2 4 600 kgfcm² Estas tensões estão representadas na Fig 210b Como verificação as tensões principais podem ser determinadas pela Eq 226 Fig 210 Exemplo numérico b As tensões em um elemento a 45 podem ser calculadas pelas Eqs 224 Entrando com θ 45 naquelas equações temse σθ 15 000 kgfcm² e τθ 5 000 kgfcm² Essas tensões são mostradas na Fig 210c No plano θ 135 as tensões normal e de cisalhamento das Eqs 224 são σθ 7 000 kgfcm² e τθ 5 000 kgfcm² c O ângulo do plano de tensão máxima de cisalhamento é achado pela Eq 227 como segue cotg 2θs 08 2θs 12840 e 30840 0s 6420 e 15420 Entrando nas Eqs 224 com 2θ 12840 dá σθ 11 000 kgfcm² e τθ 6 400 kgfcm² Analogamente para 2θ 30840 encontrase σθ 11 000 kgfcm² e τθ 6 400 kgfcm² Essas tensões estão representadas na Fig 210d Como verificação tais tensões podem ser calculadas pelas Eqs 228 e 229 26 CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES PLANAS As equações de σθ e τθ no caso geral das tensões planas ver as Eqs 224 também podem ser representadas graficamente por meio do círculo de Mohr Procedendo de modo análogo ao que foi visto para as tensões biaxiais ver o Art 24 podese combinar as Eqs 224 em uma única σθ σméd² τθ² σx σy 2² τyx² 230 onde σméd 12 σx σy Chegase novamente à equação de um círculo com centro em σθ σméd e τθ 0 O raio do círculo é igual à raiz quadrada do segundo membro da Eq 230 que é expressão mais complicada do que a encontrada no Art 24 para as tensões biaxiais Notese porém que para τyx 0 a Eq 230 reduzse à Eq 221 como um caso particular A construção do círculo de Mohr está ilustrada na Fig 211 Começase marcando o centro C do círculo no ponto de coordenadas σθ σméd e τθ 0 Em seguida marcase o ponto A do círculo representando as tensões no plano x do elemento θ 0 Para este ponto temse σθ σx e τ τyx recordar a convenção de sinais para τθ e τyx mostrada na Fig 29 As tensões no plano y ver a Fig 29a são σθ σy e τθ τyx representadas pelo ponto B do círculo de Mohr Notese que os pontos A e B representando tensões em planos ortogonais estão nas extremidades de um diâmetro isto é no círculo de Mohr estão a 180 um do outro Fig 211 Círculo de Mohr para tensões planas Tendo traçado o círculo de Mohr com centro em C e passando pelos pontos A e B podese agora determinar as tensões em um plano qualquer com inclinação de θ com o eixo x Basta para isso traçar o ângulo 2θ a partir de A no sentido trigonométrico marcando o ponto D cujas coordenadas σθ e τθ são as tensões no plano correspondente A demonstração de que as coordenadas do ponto D são dadas pelas Eqs 224 fica como exercício ver o Probl 268 As coordenadas do ponto D diametralmente oposto a D representam as tensões em um plano a 90 com o representado por D O ponto E no alto do círculo representa as tensões no plano de tensão máxima positiva de cisalhamento enquanto o ponto E oposto dá o plano da tensão máxima negativa de cisalhamento Nesses planos as tensões normais são iguais à tensão média como foi visto no Art 25 Uma importante aplicação do círculo de Mohr é a determinação das tensões principais Essas que são as tensões normais máximas e mínimas são representadas pelos pontos P1 e P2 do círculo Fig 211 A tensão principal σ1 de maior valor algébrico representada pelo ponto P1 é igual à tensão média ponto C mais o raio do círculo enquanto a tensão principal σ2 ponto P2 de menor valor algébrico é igual à tensão média menos o raio do círculo Estas observações estão de acordo com a Eq 226 previamente estabelecida para o cálculo das tensões principais O ângulo 2θp que determina o primeiro plano principal ver a figura tem tangente igual a τyx dividido pela distância horizontal entre os pontos C e A que é igual a σx σx σy2 ou σx σy2 Assim vêse que tg 2θp 2τyx σx σy o que concorda com a Eq 225 O segundo plano principal ponto P2 é definido pela mesma equação porque como foi visto no Art 25 a Eq 225 dá dois valores para 2θp diferindo de 180 Concluise desta discussão que o círculo de Mohr pode ser usado para encontrar graficamente as tensões num plano inclinado qualquer bem como para determinar as tensões principais e as máximas de cisalhamento Exemplo Um elemento está sujeito às seguintes tensões planas σx 16 000 kgfcm² σy 6 000 kgfcm² e τyx 4000 kgfcm² como se vê na Fig 212 Usando o círculo de Mohr determinar a as tensões e os planos principais b as tensões de um elemento a 45 c as tensões máximas de cisalhamento Este mesmo problema foi resolvido anteriormente no Art 25 O centro C do círculo está sobre o eixo σθ no ponto em que σθ σméd 11 000 kgfcm² Em seguida temse o ponto A de coordenadas σθ 16 000 kgfcm² e τθ 4 000 kgf Traçase agora o círculo com raio igual a 6 400 kgfcm² O ponto B é diametralmente oposto a A e tem as coordenadas σθ 6 000 kgfcm² e τθ 4 000 kgfcm² a A tensão principal σ1 algebricamente maior é igual a 11 000 6 400 17 400 kgfcm² obtida da geometria do círculo e o plano principal correspondente tem um ângulo 20p igual a 38 40 Então o ângulo entre o eixo x e o plano principal é 19 20 A outra tensão principal σ2 ponto P2 é igual a 11 000 6 400 4 600 kgfcm² e atua no plano em que θ 19 20 90 109 20 Assim as tensões e os planos principais foram determinados pelo círculo de Mohr e podem ser representados num elemento como foi feito anteriormente na Fig 210b b As tensões num plano a 45 serão representadas no círculo de Mohr por um ponto D para o qual 2θ 90 e θ 45 O ângulo entre a linha CD e o eixo σθ é 90 menos 38 40 ou 51 20 O coseno deste ângulo é 0625 e assim a tensão normal representada pelo ponto D é σθ 11 000 6 400 0625 15 000 kgfcm² A tensão de cisalhamento é τθ 6 400 sen 51 20 5 000 kgfcm² As tensões representadas pelo ponto D podem ser determinadas de modo semelhante e os resultados representados num elemento a 45 ver a Fig 210c c As tensões máximas de cisalhamento e seus planos são representados pelos pontos E e E no círculo de Mohr O leitor pode prontamente verificar que as tensões σθ e τθ dadas por esses dois pontos concordam com aquelas vistas na Fig 210d Fig 212 Exemplo numérico 27 TENSÕES TRIAXIAIS Dizse que um elemento está em estado de tensões triaxiais quando se encontra sujeito às tensões σx σy e σz em três direções ortogonais Fig 213a Se um plano inclinado paralelo ao eixo z cortar o elemento Fig 213b as únicas tensões na face inclinada são σθ e τθ já analisadas anteriormente para o caso das tensões biaxiais Essas tensões são independentes de σz porque são determinadas estaticamente pelas equações de equilíbrio no plano xy Podese então empregar as equações das tensões biaxiais bem como o círculo de Mohr para calcular σθ e τθ Chegase à mesma conclusão para os planos inclinados paralelos aos eixos x e y Da discussão anterior concluise que as tensões σx σy e σz são as principais no elemento Ainda mais as tensões máximas de cisalhamento estarão num plano a 45 paralelo a um dos eixos coordenados dependendo do valor relativo de σx σy e σz Por exemplo considerandose somente planos paralelos ao eixo z Fig 213b a tensão máxima de cisalhamento é τmáxz σx σy 2 231a