Indicações de Solução ao Teste 4 IIE 2022

INDICAÇÕES DE SOLUÇÃO AO TESTE 4 IIE 20222 1 Um designer de produto está interessado em reduzir o tempo de secagem de uma tinta de base Duas fórmulas de tinta são testadas A Fórmula 1 tem o conteúdo químico padrão e a Fórmula 2 tem um novo ingrediente de secagem que deve reduzir o tempo de secagem Por experiência sabese que o desvio padrão do tempo de secagem é de 8 minutos e essa variabilidade não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente Dez amostras são pintadas com a fórmula 1 e 15 com a fórmula 2 Os tempos de secagem média das amostras foram 121 minutos e 112 minutos respectivamente A quais conclusões o designer do produto deve chegar sobre a eficácia do novo ingrediente usando α 005 A Como Zcal 779 1645 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base B Como Zcal 779 196 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base C Como Zcal 196 1645 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base D Como Zcal 276 1645 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base E Como Zcal 276 196 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base Indicação de Solução H0 1 2 ou 1 2 0 H1 1 2 ou 1 2 0 Cálculo do valor da estatística teste 𝒁𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟎 𝝈𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝝈𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟏𝟐 𝟎 𝟖𝟐 𝟏𝟎 𝟖𝟐 𝟏𝟓 𝟗 𝟑 𝟐𝟔𝟔 𝟐 𝟕𝟔 Seja 005 Assim o Ztabelado 196 Como Zcal 276 196 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que o novo ingrediente de secagem reduz o tempo médio de secagem da tinta base 2 Desejase saber se 2 máquinas de empacotar café estão fornecendo o mesmo peso médio em kg Extraemse duas amostras uma de cada máquina supondo que os pesos das amostras sigam uma distribuição normal Máquina Nova 31 amostras média 081 kg variância 000020 kg2 Máquina Velha 41 amostras média 078 kg variância 000135 kg2 Qual é a sua conclusão em relação à sua variação a 5 de significância A Como Fcal 015 174 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que não há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg B Como Fcal 675 174 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que de que há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg C Como Fcal 015 184 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que não há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg D Como Fcal 675 184 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que de que há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg E Como Fcal 675 015 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que de que há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg Indicação de Solução 1 H0 ou d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 ou d 2 Fixar Escolher a variável F com n1 1 graus de liberdade no numerador e n2 1 graus de liberdade no denominador 005 e 1 n1 1 31 1 30 e 2 n2 1 41 1 40 então podemos indicar um valor aproximado de Ftabelado 174 3 Com o auxílio da tabela da distribuição F determinar RA Região de Aceitação e RC Região Crítica ou de Rejeição 4 Cálculo do valor da variável 𝑭𝒄𝒂𝒍 𝑺𝟐 𝟐 𝑺𝟏 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟎 𝟔 𝟕𝟓 5 Conclusões DICA PRÁTICA se o maior valor ficar no numerador ou seja F1 os testes unicaudais serão à direita e para os TESTES BICAUDAIS BASTA ENCONTRAR O VALOR CRÍTICO À DIREITA Como Fcal 675 174 há indicação de que há diferença entre a variabilidade dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg 3 Desejase saber se 2 máquinas de empacotar café estão fornecendo o mesmo peso médio em kg Extraemse duas amostras uma de cada máquina supondo que os pesos das amostras sigam uma distribuição normal Máquina Nova 31 amostras média 081 kg variância 000020 kg2 Máquina Velha 41 amostras média 078 kg variância 000135 kg2 Considerando a média da população qual é a sua conclusão a 5 de significância A Como 16706 tcal 0 12 16707 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que não há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg B Como 478 tcal 0 12 478 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que não há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg C Como tcal 478 16707 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg D Como tcal 3415 16707 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg E Como tcal 3415 478 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 Indicação de Solução 1 H0 1 2 ou 1 2 d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 1 2 ou 1 2 d 2 Fixar Escolher a variável do teste será t Student com n1 n2 2 005 e n1 n2 2 70 então é aproximadamente ttabelado 16707 3 Cálculo do valor da variável Como as variâncias são diferentes heterogêneas obtida no item 2 deste teste então utilizase a fórmula 𝒕𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟎 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟎 𝟖𝟏 𝟎 𝟕𝟖 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟎 𝟑𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓 𝟒𝟏 𝟎 𝟎𝟑 𝟑 𝟐𝟔𝟔 𝟒 𝟕𝟖 4 Conclusões Como tcal 478 16707 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que há diferença entre a média dos pesos das amostras das duas máquinas de café em relação ao peso médio em Kg 4 Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais Para verificar o efeito dos tratamentos foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo Processo Amostra Média Desvio padrão A 15 48 10 B 12 52 15 Teste ao nível de significância de 1 de existir ou não diferença entre os dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais em relação à variância A Como Fcal 044 429 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais B Como Fcal 044 386 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais C Como Fcal 225 386 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais D Como Fcal 225 429 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais E Como Fcal 386 429 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais Indicação de Solução 1 H0 ou d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 ou d 2 Fixar Escolher a variável F com n1 1 graus de liberdade no numerador e n2 1 graus de liberdade no denominador 001 e 1 n1 1 14 e 2 n2 1 11 então Ftabelado 429 3 Com o auxílio da tabela da distribuição F determinar RA Região de Aceitação e RC Região Crítica ou de Rejeição 4 Cálculo do valor da variável 𝑭𝒄𝒂𝒍 𝑺𝑩 𝟐 𝑺𝑨 𝟐 𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟐𝟓 DICA PRÁTICA se o maior valor ficar no numerador ou seja F1 os testes unicaudais serão à direita e para os TESTES BICAUDAIS BASTA ENCONTRAR O VALOR CRÍTICO À DIREITA 5 Conclusões Como Fcal 225 429 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a variação dos dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 5 Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais Para verificar o efeito dos tratamentos foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo Método Amostra Média Desvio padrão A 15 48 10 B 12 52 15 Teste ao nível de significância de 1 de existir ou não diferença entre os dois processos no tratamento de corrosão de latas especiais em relação à média A Como 27874 tcal 079 27874 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de latas especiais B Como 27874 tcal 083 27874 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de latas especiais C Como 29467 tcal 079 29467 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de latas especiais D Como 39545 tcal 083 39545 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de latas especiais E Como tcal 079 083 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de latas especiais Indicação de Solução Método Amostra Média Desvio padrão A 15 48 10 B 12 52 15 1 H0 1 2 ou 1 2 d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 1 2 ou 1 2 d 4 Fixar Escolher a variável do teste será t Student com n1 n2 2 001 e n1 n2 2 25 então ttabelado 27874 3 Cálculo do valor da variável 𝒕𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒅 𝑺𝒄𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟒𝟖 𝟓𝟐 𝟏𝟐 𝟒𝟓𝟏𝟓 𝟏𝟐 𝟏𝟓 𝟏𝟐 𝟎 𝟖𝟑 onde 2 1 e x x médias amostrais n1 e n2 tamanho da amostras Sc desvio padrão comum é dados por 𝑺𝒄 𝒏𝟏 𝟏𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟐 𝟏𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟓 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒𝟓 4 Conclusões Como 27874 tcal 083 27874 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que não há diferença entre a correção média dos dois processos no tratamento de de latas especiais 6 Em uma amostra de 100 lotes de um produto químico adquirido do Distribuidor A 70 atendem a uma especificação de pureza Em uma amostra de 70 lotes adquiridos do distribuidor B 61 atenderam à especificação Posso concluir que uma proporção maior dos lotes do Distribuidor B atende à especificação com 001 A Não Como 196 Zcal 017 196 não devese rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 não há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença B Sim Como Zcal 259 196 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença C Sim Como Zcal 259 233 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença D Sim Como Zcal 259 2575 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença E Não Como 233 Zcal 017 233 não devese rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 não há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença Indicação de Solução 1 Estabelecer as hipóteses do teste Hipótese nula Proporção de lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza não apresenta diferença Hipótese alternativa Proporção de lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresenta diferença 2 Dados obtidos Distribuidor A p1 70100 07 ou 70 Distribuidor B p2 6170 087 ou 87 2 Fixemos o nível de significância 001 3 Como 001 temos que Z2 2575 e Z2 2575 5 Proporção conjunta 6 Assim temos sob a hipótese nula que 𝒁𝒄𝒂𝒍 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒅 𝒑 𝟏 𝒑 𝟏 𝒏𝟏 𝟏 𝒏𝟐 𝟎 𝟕 𝟎 𝟖𝟕 𝟎 𝟎 𝟕𝟕𝟏 𝟎 𝟕𝟕 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟕𝟎 𝟐 𝟓𝟗 7 Conclusão Como Zcal 259 2575 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que a proporção lotes de produto químico adquirido pelo Distribuidor A e pelo Distribuidor B que atendem a uma especificação de pureza apresentam diferença 𝑝 𝑥1 𝑥2 𝑛1 𝑛2 70 61 100 70 077