Indicações de Solução ao Teste de Hipóteses sobre Pneus

INDICAÇÕES DE SOLUÇÃO AO TESTE 3 IIE 20222 1 Um fabricante de pneus produz dois tipos Para o tipo A σ 2500 milhas e para o tipo B σ 3000 milhas Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 pneus do tipo B obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média dos respectivos tipos Adotandose um risco alfa de 4 testar a hipótese de que a vida média dos dois tipos é a mesma A Não pois como Zcal 338 196 rejeitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus são diferentes B Não pois como Zcal 338 205 rejeitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus são diferentes C Não pois como Zcal 344 205 rejeitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus são diferentes D Sim pois como 338 Zcal 196 338 aceitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus não são diferentes E Sim pois como 344 Zcal 205 344 aceitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus não são diferentes Indicação de Solução 1 H0 1 2 ou 1 2 d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 1 2 ou 1 2 d Os testes unicaudais são permitidos 2 Fixar Escolher a variável normal padrão Z 3 Com o auxílio da tabela da distribuição Normal Padrão determinar RA Região de Aceitação e RC Região Crítica ou de Rejeição 4 Cálculo do valor da variável 𝒁𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒅 𝝈𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝝈𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟐 𝟓𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟐 𝟒𝟎 𝟑 𝟑𝟖 onde 2 1 e x x médias amostrais 2 2 2 1 e variâncias populacionais n1 e n2 tamanho da amostras 5 Conclusão Como Zcal 338 205 rejeitase H0 concluindose com risco de 4 que as vidas médias dos pneus são diferentes 2 A distribuição abaixo representa os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado Antes 80 76 84 72 68 76 64 88 Depois 88 96 100 92 88 92 84 104 Teste ao nível de significância de 5 a probabilidade de o aumento de frequência ocorrer ao acaso em relação à média A Como tcal 461 25096 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes B Como 737 tcal 25096 737 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado não são diferentes C Como tcal 737 21448 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes D Como tcal 461 21448 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes E Como 461 tcal 21448 461 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado não são diferentes Indicação de Solução Momento Amostra Média Desvio padrão Antes 8 76 8 Depois 8 93 6676 1 H0 1 2 ou 1 2 d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 1 2 ou 1 2 d 2 Fixar Escolher a variável do teste será t Student com n1 n2 2 005 e n1 n2 2 14 então ttabelado 21448 3 Cálculo do valor da variável 𝒕𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒅 𝑺𝒄𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟕𝟔 𝟗𝟑 𝟕 𝟑𝟕𝟖 𝟖 𝟖 𝟖 𝟒 𝟔𝟏 onde 2 1 e x x médias amostrais n1 e n2 tamanho da amostras Sc desvio padrão comum é dados por 𝑺𝒄 𝒏𝟏 𝟏𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟐 𝟏𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟖𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟔𝟕𝟔𝟐 𝟖 𝟖 𝟐 𝟕 𝟑𝟕 4 Conclusões Como tcal 461 21448 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes 3 Em relação à variância A Como Fcal 144 379 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes B Como Fcal 144 344 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes C Como Fcal 070 379 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes D Como Fcal 070 344 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes E Como Fcal 344 379 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes Indicação de Solução 1 H0 ou d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 ou d 2 Fixar Escolher a variável F com n1 1 graus de liberdade no numerador e n2 1 graus de liberdade no denominador 005 e 1 n1 1 7 e 2 n2 1 7 então Ftabelado 379 3 Com o auxílio da tabela da distribuição F determinar RA Região de Aceitação e RC Região Crítica ou de Rejeição 4 Cálculo do valor da variável 𝑭𝒄𝒂𝒍 𝑺𝟏 𝟐 𝑺𝟐 𝟐 𝟖𝟐 𝟔 𝟔𝟕𝟔𝟐 𝟏 𝟒𝟒 5 Conclusões Como Fcal 144 379 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado não são diferentes 4 A partir dos resultados obtidos nos itens 2 e 3 o que pode concluir Respostas 1 Como tcal 461 21448 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes 2 Como Fcal 144 379 rejeitase H0 concluindose com risco de 5 que os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes Dessa forma há indícios de que há diferença tanto em relação à média quanto da variabilidade dos dados em relação à média com risco de 5 ou seja os batimentos cardíacos de oito estudantes escolhidos ao acaso antes e após esforço físico programado são diferentes não são diferentes 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 5 Um experimento hipotético sobre o efeito do álcool na habilidade perceptual motora é conduzido 10 indivíduos são testado duas vezes uma depois de ter tomado dois drinks e uma depois de tomado dois copos de água Os dois testes foram realizados em dois dias diferentes para evitar influência do efeito do álcool Metade dos indivíduos tomou a bebida alcoólica primeiro e a outra metade água Os escores dos 10 indivíduos são mostrados abaixo Escores mais altos refletem uma melhor performance Desejase testar se a bebida alcoólica teve um efeito significante Use um nível de significância de 1 para a comparação das médias Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Água 16 15 11 20 19 14 13 15 14 16 Álcool 13 13 12 16 16 11 10 15 9 16 51 Em relação à média A Como tcal 264 31966 rejeitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica teve um efeito significante B Como 31966 tcal 264 31966 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante C Como 31966 tcal 186 31966 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante D Como 28784 tcal 264 28784 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante E Como 28784 tcal 186 28784 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante Indicação de Solução Indivíduo Amostra Média Desvio padrão Água 10 153 26687 Álcool 10 131 26013 1 H0 1 2 ou 1 2 d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 1 2 ou 1 2 d 2 Fixar Escolher a variável do teste será t Student com n1 n2 2 001 e n1 n2 2 18 então ttabelado 28784 3 Cálculo do valor da variável 𝒕𝒄𝒂𝒍 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒅 𝑺𝒄𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟏𝟓 𝟑 𝟏𝟑 𝟏 𝟐 𝟔𝟒𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟖𝟔 onde 2 1 e x x médias amostrais n1 e n2 tamanho da amostras Sc desvio padrão comum é dados por 𝑺𝒄 𝒏𝟏 𝟏𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟐 𝟏𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟔𝟔𝟖𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟔𝟎𝟏𝟑𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 4 Conclusões Como 28784 tcal 186 28784 aceitase H0 concluindose com risco de 5 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante 52 Em relação à variância A Como Fcal 095 318 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante B Como Fcal 095 535 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante C Como Fcal 105 535 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante D Como Fcal 105 318 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante E Como Fcal 318 535 rejeitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica teve um efeito significante Indicação de Solução 1 H0 ou d onde d é uma diferença admitida entre as médias H1 ou d 2 Fixar Escolher a variável F com n1 1 graus de liberdade no numerador e n2 1 graus de liberdade no denominador 001 e 1 n1 1 9 e 2 n2 1 9 então Ftabelado 535 3 Com o auxílio da tabela da distribuição F determinar RA Região de Aceitação e RC Região Crítica ou de Rejeição 4 Cálculo do valor da variável 𝑭𝒄𝒂𝒍 𝑺𝟏 𝟐 𝑺𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟔𝟖𝟕𝟐 𝟐 𝟔𝟎𝟏𝟑𝟐 𝟏 𝟎𝟓 DICA PRÁTICA se o maior valor ficar no numerador ou seja F1 os testes unicaudais serão à direita e para os TESTES BICAUDAIS BASTA ENCONTRAR O VALOR CRÍTICO À DIREITA 5 Conclusões Como Fcal 105 535 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante 6 A partir dos resultados obtidos nos itens 51 e 52 o que pode concluir Os resultados indicam que 1 Como 28784 tcal 186 28784 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante 2 Como Fcal 105 318 aceitase H0 concluindose com risco de 1 que a bebida alcoólica não teve um efeito significante Dessa forma há indícios de que não há diferença tanto em relação à média quanto da variabilidade dos dados em relação à média com risco de 1 ou seja que a bebida alcoólica não teve um efeito significante 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 7 Uma empresa que presta serviços de assessoria econômica a outras empresas está interessada em comparar a taxa de reclamações sobre os seus serviços em dois dos seus escritórios em duas cidades diferentes Suponha que a empresa tenha selecionado aleatoriamente 100 serviços realizados pelo escritório da cidade e foi constatado que em 12 deles houve algum tipo de reclamação Já do escritório da cidade B foram selecionados também 100 serviços e 18 receberam algum tipo de reclamação A empresa deseja saber se estes resultados são suficientes para se concluir que os dois escritórios apresentam diferença significativa entre suas taxas de aprovação ao nível de significância de 1 A Não Como 2575 Zcal 1188 2575 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais B Não Como 233 Zcal 1188 233 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais C Sim Como Zcal 198 233 aceitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 não há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais D Sim Como Zcal 198 2575 aceitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 não há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais E Não Como 2575 Zcal 233 2575 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais Indicação de Solução Primeiramente vejamos que as proporções amostrais de aprovação sobre os serviços dos escritórios das cidades e são respectivamente f1 088 e f2 082 1 Queremos testar as seguintes hipóteses ou seja 2 Fixemos o nível de significância 001 3 Como 001 temos que Z2 2575 e Z2 2575 4 Como n1 100 n2 100 p1 088 e p2 082 temos que 𝑝 𝑛1𝑓1𝑛2𝑓2 𝑛1𝑛2 100088100082 100100 170 200 085 5 Assim temos sob a hipótese nula que 𝑍𝑐𝑎𝑙 𝑓1 𝑓2 𝑑 𝑝 1 𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 088 082 0 0851 085 1 100 1 100 006 00505 1188 6 Conclusão como 2575 Zcal 1188 2575 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 1 há evidências de que as taxas de aprovação sobre os serviços prestados pelos escritórios da empresa nas cidades A e B são iguais 8 Pesquisadores decidiram avaliar se a proporção de cães machos é idêntica em cães domiciliados e nãodomiciliados Fizeram um levantamento em um determinado município e observaram que dos 510 cães domiciliados amostrados 301 eram machos e dentre os 230 nãodomiciliados recolhidos 97 eram machos Perguntase há diferença estatística entre as duas proporções ao nível de significância de 2 A Sim Como Zcal 429 205 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 há evidências de que a proporção de cães machos não é idêntica com a proporção dos cães domiciliados e nãodomiciliados B Sim Como Zcal 429 233 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 há evidências de que a proporção de cães machos não é idêntica com a proporção dos cães domiciliados e não domiciliados C Não Como 429 Zcal 233 429 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 não há evidências de que a proporção de cães machos difira da proporção dos cães domiciliados e não domiciliados D Não Como 429 Zcal 205 429 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 não há evidências de que a proporção de cães machos difira da proporção dos cães domiciliados e não domiciliados E Não Como 233 Zcal 205 233 não se deve rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 não há evidências de que a proporção de cães machos difira da proporção dos cães domiciliados e não domiciliados Indicação de Solução 1 Estabelecer as hipóteses do teste Hipótese nula Proporção de machos é igual em cães domiciliados e nãodomiciliados Hipótese alternativa Proporção de machos é diferente nos dois grupos 2 Dados obtidos Domiciliados p1 301510 059 ou 59 Nãodomiciliados p2 97230 042 ou 42 2 Fixemos o nível de significância 002 3 Como 002 temos que Z2 233 e Z2 233 4 Proporção conjunta 5 Assim temos sob a hipótese nula que 𝑍𝑐𝑎𝑙 𝑓1 𝑓2 𝑑 𝑝 1 𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 059 042 0 05381 0538 1 510 1 230 017 00695 429 6 Conclusão Como Zcal 429 233 rejeitase a hipótese nula de igualdade entre as proporções com base nos dados amostrais obtidos Assim ao nível de significância de 2 há evidências de que a proporção de cães machos não é idêntica com a proporção dos cães domiciliados e não domiciliados 𝑝 𝑥1 𝑥2 𝑛1 𝑛2 301 97 510 230 0538