Prova de Introdução à Probabilidade e Estatística - 2022.2

TESTE 1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E À ESTATÍSTICA 20222 1 Na construção de um intervalo de confiança para a média conhecida a variância considerando o intervalo na forma média ε média ε sendo x o valor do estimador da média e ε a semiamplitude do intervalo de confiança ou como é mais popularmente conhecida a margem de erro do intervalo de confiança Considere que para uma determinada peça automotiva um lote de 100 peças tenha apresentado espessura média de 4561 polegada com desvio padrão de 1125 polegada Um intervalo de confiança de 99 para a média apresenta margem de erro do intervalo de aproximadamente a ε 01125 b ε 02897 c ε 02205 d ε 03436 e ε 04410 Indicação de Solução 𝑷 𝒙 𝒁𝜶 𝟐 𝒏 𝝁 𝒙 𝒕𝒁 𝒏 𝟏 𝑷 𝟒 𝟓𝟔𝟏 𝟐 𝟓𝟕𝟓 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝝁 𝟒 𝟓𝟔𝟏 𝟐 𝟓𝟕𝟓 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟗𝟗 𝑷𝟒 𝟓𝟔𝟏 𝟎 𝟐𝟖𝟗𝟕 𝝁 𝟒 𝟓𝟔𝟏 𝟎 𝟐𝟖𝟗𝟕 𝟎 𝟗𝟗 Portanto ε 02897 2 Uma empresa fornecedora de concreto estuda a influência de um aditivo acelerador de assimilação da resistência à compressão do concreto aos vinte e oito dias dias que decorrem de sua preparação até o momento do ensaio Os resultados dos testes obtidos usando aditivo estão indicados a seguir 28 29 299 29 27 26 285 277 Para construir um intervalo de confiança para a força média com aditivos a partir da descrição do problema é válida a seguinte afirmação a Devese usar a distribuição t de Student b A distribuição normal padrão deve ser usada c A distribuição t de Student ou a distribuição normal padrão podem ser utilizadas indistintamente d A informação disponível não é suficiente e o intervalo não deve ser construído e Nenhuma das afirmações anteriores Indicação de Solução Como o estudo referese à determinação de um intervalo de confiança para a média quando não é conhecida a variância populacional utilizase a distribuição t de Student 3 Uma empresa fornecedora de concreto estuda a influência de um aditivo acelerador de assimilação da resistência à compressão do concreto aos vinte e oito dias dias que decorrem de sua preparação até o momento do ensaio Os resultados dos testes obtidos usando aditivo estão indicados a seguir 28 29 299 29 27 26 285 277 A seguir são apresentadas algumas estatísticas elementares obtidas a partir dos dados 1 Resultado dos testes 8 Média 281375 Variância 154268 desvio padrão 124205 Assumindo que a resistência à compressão com aditivos é normalmente distribuída se um intervalo de confiança de 95 for construído para estimar o verdadeiro valor médio da resistência à compressão a partir dos dados é a 270303 292447 b 270990 291760 b 272461 290289 c 270303 290289 d 292836 310664 Indicação de Solução Graus de liberdade n 1 8 1 7 Média amostral 281375 Desvio padrão amostral 124205 Indicação de Solução 𝑷 𝒙 𝒕𝜶 𝟐 𝑺 𝒏 𝝁 𝒙 𝒕𝜶 𝟐 𝑺 𝒏 𝟏 𝑷 𝟐𝟖 𝟏𝟑𝟕𝟓 𝟐 𝟑𝟔𝟓 𝟏 𝟐𝟒𝟐𝟎𝟓 𝟖 𝝁 𝟐𝟖 𝟏𝟑𝟕𝟓 𝟐 𝟑𝟔𝟓 𝟏 𝟐𝟒𝟐𝟎𝟓 𝟖 𝟎 𝟗𝟓 𝑷𝟐𝟖 𝟏𝟑𝟕𝟓 𝟏 𝟎𝟑𝟖𝟓𝟒𝟓 𝝁 𝟐𝟖 𝟏𝟑𝟕𝟓 𝟏 𝟎𝟑𝟖𝟓𝟒𝟓 𝟎 𝟗𝟓 𝑷𝟐𝟕 𝟎𝟗𝟖𝟗𝟔 𝝁 𝟐𝟗 𝟏𝟕𝟔𝟎𝟒 𝟎 𝟗𝟓 2709896 2917604 4 Uma empresa fornecedora de concreto estuda a influência de um aditivo acelerador de assimilação da resistência à compressão do concreto aos vinte e oito dias dias que decorrem de sua preparação até o momento do ensaio A seguir são apresentadas algumas estatísticas elementares obtidas a partir dos dados sem aditivos 1 Resultado dos testes 8 Média 30175 Variância 131357 desvio padrão 114611 Assumindo que a resistência à compressão sem aditivos é normalmente distribuída se um intervalo de confiança de 98 for construído para estimar a verdadeira variância da resistência à compressão a partir dos dados é a 05742 54488 b 06537 42432 c 07055 27242 d 04976 74153 e 04976 27242 Indicação de Solução n 8 graus de liberdade n 1 8 1 7 Variância amostral 131357 Indicação de Solução 1 1 1 2 inf 2 2 2 sup 2 S n S n P 𝑷 𝟖 𝟏 𝟏 𝟑𝟏𝟑𝟓𝟕 𝟏𝟖 𝟒𝟖 𝝈𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟑𝟏𝟑𝟓𝟕 𝟏 𝟐𝟒 𝟎 𝟗𝟖 𝑷 𝟗 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟗 𝟏𝟖 𝟒𝟖 𝝈𝟐 𝟗 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟗 𝟏 𝟐𝟒 𝟎 𝟗𝟖 𝑷𝟎𝟒𝟗𝟕𝟔 𝝈𝟐 𝟕 𝟒𝟏𝟓𝟑 𝟎 𝟗𝟖 5 Suponha que um intervalo de confiança de 95 calculado corretamente para a resistência média populacional do concreto sem aditivo seja 3018 096 MPa Podese afirmar que a Em média 95 de cada 100 intervalos construídos nas mesmas condições incluirão a resistência média real do concreto sem aditivo b Se cem amostras do mesmo tamanho foram retiradas de concreto sem aditivo esperase que 95 desses intervalos contenham a verdadeira resistência média da população de concreto sem aditivo c Com confiança de 95 o intervalo 2922 MPa 3114 MPa inclui a resistência média real do concreto feito sem aditivo d Todas as anteriores e Nenhuma das anteriores Indicação de Solução Itens a e b apresentam afirmações corretas referindose a maneiras diferentes de indicar o que o intervalo de confiança indica Item c apresenta o desdobramento da nomenclatura indica em 3018 096 MPa ou seja indicando o mesmo intervalo 2922 MPa 3114 MPa Dessa forma os três itens sendo verdadeiros o item d é a resposta ao item 6 Se o intervalo do item 5 for calculado para um nível de confiança de 99 mantendo as demais condições a A precisão será maior b A confiança será menor c O erro de estimativa diminuirá d Todas as anteriores e Nenhuma das anteriores Indicação de Solução Aumentar a confiança vai aumentar a margem de erro resultando em um intervalo maior Uma margem de erro maior produz um intervalo de confiança maior que tem maior probabilidade de conter o parâmetro de interesse confiança aumentada A vantagem de um nível de confiança menor é que você obtém um intervalo de confiança mais estreito mais preciso A desvantagem é que você tem menos confiança de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro da população em que está interessado 7 No primeiro dia de aula os 45 alunos do curso de Inferência Estatística foram solicitados a preencher um formulário com dados pessoais Após análise das informações verificouse que a amostra foi composta por 31 homens e 11 mulheres Alguns dos dados solicitados foram 1 Tamanho do sapato 2 Idade 3 Altura 4 Número de irmãos 5 Número de disciplinas aprovadas 6 Número de disciplinas estudadas 7 Peso 8 Se você usa ou não óculos graduados 9 Time de futebol favorito 10 Se você fuma ou não 11 O mês de nascimento 12 14 Cor dos olhos A partir da análise descritiva da variável ALTURA na amostra de 42 alunos podese dizer que metade dos alunos tem 174 centímetros ou menos e a outra metade tem 174 centímetros ou mais Em média a estatura dos alunos se afasta da estatura média 97 centímetros A altura dos alunos está distribuída em uma faixa de 38 centímetros observandose que o aluno mais alto mede 190 centímetros A média é 0143 centímetros abaixo da mediana 25 dos alunos têm 182 centímetros ou mais enquanto o intervalo interquartil é de 14 centímetros Assumindo que o tamanho do sapato das alunas tem distribuição normal e que uma média igual a 374545 e desvio padrão 169491 foi obtida da amostra de 11 alunas a Para um nível de confiança de 90 o intervalo de confiança para o tamanho do sapato da população de estudantes do sexo feminino é dado por 365285 383805 b Para um nível de confiança de 95 o intervalo de confiança para o tamanho do sapato da população de estudantes do sexo feminino é dado por 363159 385931 c Com os dados amostrais se for calculado um intervalo de confiança para o tamanho do sapato da população de mulheres com nível de confiança de 99 a precisão será menor d Todas as anteriores e Nenhuma das anteriores Indicação de Solução Média amostral 374545 Desvio padrão amostral 169491 Indicação de Solução 𝑷 𝒙 𝒕𝜶 𝟐 𝑺 𝒏 𝝁 𝒙 𝒕𝜶 𝟐 𝑺 𝒏 𝟏 𝑷 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟖𝟏𝟐 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟖𝟏𝟐 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝟎 𝟗𝟎 𝑷𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟎 𝟗𝟐𝟔 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟎 𝟗𝟐𝟔 𝟎 𝟗𝟎 𝑷𝟑𝟔𝟓𝟐𝟖𝟓 𝝁 𝟑𝟖 𝟑𝟖𝟎𝟓 𝟎 𝟗𝟓 𝑷 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟖 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟖 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝟎 𝟗𝟓 𝑷𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟏𝟑𝟖𝟔 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟏𝟑𝟖𝟔 𝟎 𝟗𝟓 𝑷𝟑𝟔𝟑𝟏𝟓𝟗 𝝁 𝟑𝟖 𝟓𝟗𝟑𝟏 𝟎 𝟗𝟓 𝑷 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟑 𝟏𝟔𝟗 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟑 𝟏𝟔𝟗 𝟏 𝟔𝟗𝟒𝟗𝟏 𝟏𝟏 𝟎 𝟗𝟗 𝑷𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟔𝟏𝟗𝟓 𝝁 𝟑𝟕 𝟒𝟓𝟒𝟓 𝟏 𝟔𝟏𝟗𝟓 𝟎 𝟗𝟗 𝑷𝟑𝟓 𝟖𝟑𝟓 𝝁 𝟑𝟗 𝟎𝟕𝟒 𝟎 𝟗𝟗 portanto a vantagem de um nível de confiança menor é que você obtém um intervalo de confiança mais estreito mais preciso A desvantagem é que você tem menos confiança de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro da população em que está interessado 8 Uma amostra aleatória simples de 600 famílias é selecionada e perguntada se possuem computador em casa resultando em 240 que responderam sim O intervalo de confiança ao nível de 95 para estimar a proporção real de famílias que possuem um computador é a ICp 03608 04392 b ICp 03671 04329 c ICp 03608 04329 d ICp 03992 04008 e ICp 03993 04007 Indicação de Solução 𝑷 𝒇 𝒁𝜶 𝟐 𝒇𝒇𝟏 𝒏 𝒑 𝒇 𝒁𝜶 𝟐 𝒇𝒇𝟏 𝒏 1 𝑷 𝟎 𝟒 𝟏 𝟗𝟔 𝟎𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟎𝟎 𝒑 𝟎 𝟒 𝟏 𝟗𝟔 𝟎𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟎𝟎 095 𝑷𝟎 𝟒 𝟎 𝟎𝟑𝟗𝟐 𝒑 𝟎 𝟒 𝟎 𝟎𝟑𝟗𝟐 095 𝑷𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟖 𝒑 𝟎 𝟒𝟑𝟗𝟐 𝟎 𝟗𝟓 9 A respeito dos intervalos de confiança julgue os próximos itens I No cálculo de um intervalo de confiança para a média devese utilizar a distribuição t em lugar da distribuição normal quando a variância populacional é desconhecida e o número de observações é inferior a 30 II Um intervalo de confiança tem mais valor do que uma estimativa pontual única pois uma estimativa pontual não fornece nenhuma informação sobre o grau de precisão da estimativa III Um intervalo de confiança poderá ser reduzido se o nível de confiança for menor e o valor da variância populacional for maior Assinale a opção correta a Apenas o item I está incorreto b Apenas o item II está incorreto c Apenas o item III está incorreto d Apenas os itens I e II estão incorretos e Apenas os itens II e III estão incorretos Indicação de Solução Item I CORRETO Quando o tamanho da amostra é pequeno n 30 não há bons métodos gerais para encontrar intervalos de confiança nem para médias nem para proporções No entanto quando a população é aproximadamente normal a distribuição t de Student pode ser usada para calcular os intervalos de confiança para uma média populacional Item II CORRETO Para uma amostra observada os estimadores pontuais fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro Consequente os estimadores pontuais são variáveis aleatórias e portanto possuem uma distribuição de probabilidade em geral denominada distribuição amostral Item III INCORRETO A vantagem de um nível de confiança menor é que você obtém um intervalo de confiança mais estreito mais preciso A desvantagem é que você tem menos confiança de que o intervalo de confiança contenha o parâmetro da população em que está interessado Por isso você só deve reduzir o intervalo de confiança se na sua situação a vantagem de se ter maior precisão é maior do que a desvantagem de menor confiança Por exemplo se for muito caro aumentar o tamanho amostral em seu estudo baixar o nível de confiança irá encurtar o comprimento do intervalo à custa da perda de alguma confiança Dessa forma a primeira parte do enunciado do item II está correto No entanto há a possibilidade de utilizar a variância amostral caso não tenha conhecimento da variância populacional Além disso o valor da variância populacional teria que ser menor e não maior para reduzir o intervalo de confiança Quanto menos seus dados variarem maior será a precisão que você poderá aplicar à estimativa de um parâmetro populacional Isso é porque a redução da variabilidade dos dados diminui o desvio padrão e assim a margem de erro para a estimativa Embora possa ser difícil reduzir a variabilidade em seus dados às vezes você pode fazêlo ajustando a forma como coleta os dados Por exemplo você pode usar um experimento pareado para comparar dois grupos Da mesma forma pode ser capaz de reduzir a variabilidade melhorando o processo de modo que ele fique mais consistente ou medindo com maior precisão 10 Considere hipoteticamente que um candidato a governador pretendendo saber qual o percentual p de eleitores do estado que pretendem votar nele encomendou uma pesquisa de opinião pública Foram entrevistados eleitores escolhidos aleatoriamente apresentando o intervalo 535 605 que é um intervalo de 95 de confiança para a percentagem de eleitores que no momento da pesquisa pensam em votar no referido candidato Sendo a situação acima julgue os próximos itens I A probabilidade de o verdadeiro valor de p estar contido naquele intervalo fornecido pela empresa é de 95 II Existe uma probabilidade de 95 de esse intervalo conter a verdadeira percentagem p de eleitores que pensam em votar nele III Mantida a mesma dimensão da amostra intervalos de 99 de confiança fornecerão intervalos com maior amplitude o que significa uma menor precisão IV O intervalo contém necessariamente a percentagem de eleitores da população que pensam em votar no candidato V Um intervalo de 95 de confiança tem uma margem de erro menor do que outro intervalo de 99 de confiança com o mesmo tamanho amostral Com base nas informações apresentadas assinale a alternativa correta a Apenas os itens I e III estão corretos b Apenas os itens I e V estão corretos c Apenas os itens II e III estão corretos d Apenas os itens II e IV estão corretos e Apenas os itens III e V estão corretos Indicação de Solução Partindo de um intervalo de confiança para a proporção veja os itens 5 6 e 9