Prova de Introdução à Probabilidade e à Estatística - Teste 2

TESTE 2 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E À ESTATÍSTICA 20222 1 Uma associação de hoteleiros rurais pretende conhecer a idade média dos turistas que optam pelo alojamento rural durante o período de férias Um estudo realizado três anos antes indicou que essa idade era de 39 anos No entanto para planejar a campanha turística deste ano é realizado um novo estudo selecionando uma amostra de 850 indivíduos que pretendem viajar durante as férias resultando que a média de idade dos que pretendem pernoitar em alojamento rural é de 407 anos Sabendo que o desvio padrão desse estudo é de 48 anos com um nível de confiança de 95 o que se pode concluir a Como 2151 1645 o Zcal é maior que o valor crítico 𝑍𝛼 de modo que cai na região de rejeição de H0 portanto concluímos que existem evidências estatisticamente significativas para afirmar com um nível de confiança de 95 que a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado b Como 2151 196 o Zcal é maior que o valor crítico 𝑍𝛼 de modo que cai na região de rejeição de H0 portanto concluímos que não existem evidências estatisticamente significativas para afirmar com um nível de confiança de 95 que a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado c Como 10326 1645 o Zcal é maior que o valor crítico 𝑍𝛼 de modo que cai na região de rejeição de H0 portanto concluímos que existem evidências estatisticamente significativas para afirmar com um nível de confiança de 95 que a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado d Como 10326 196 o Zcal é maior que o valor crítico 𝑍𝛼 de modo que cai na região de rejeição de H0 portanto concluímos que não existem evidências estatisticamente significativas para afirmar com um nível de confiança de 95 que a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado e Como 196 1645 o Zcal é maior que o valor crítico 𝑍𝛼 de modo que cai na região de rejeição de H0 portanto concluímos que existem evidências estatisticamente significativas para afirmar com um nível de confiança de 95 que a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado Indicação de Solução Seja 39 anos n 850 indivíduos 𝑥 407 𝑎𝑛𝑜𝑠 48 anos Assim realizaremos o seguinte teste de hipóteses H0 39 anos H1 39 anos Temos que nesse caso o tcal será 𝑍𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝑛 40739 48 850 17 01646 10326 Considerando um nível de confiança de 95 1 temos que o ttabelado é igual a 1645 buscando na tabela da distribuição Normal Z Dessa maneira como o Zcal é maior que o ttabelado 10326 1645 rejeitamos a hipótese nula Assim a idade média das pessoas que optam pelo alojamento rural aumentou no período considerado 2 Na rede de centros para menores de uma determinada região desejase verificar se para um determinado grupo o número médio de tentativas de fuga por recluso é superior a 3 Vinte menores são selecionados aleatoriamente obtendose que o número médio de tentativas é de 35 com desvio padrão de 27 Para um nível de confiança de 99 o que se pode concluir a Como o tcal 0828 ttabelado 2539 não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1 Portanto não podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas b Como o tcal 0828 ttabelado 2539 não rejeitamos a hipótese nula ao nível de confiança de 1 Portanto não podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas c Como o tcal 0828 ttabelado 2539 não rejeitamos a hipótese nula ao nível de confiança de 1 Portanto podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas d Como tcal 0828 ttabelado 2861 não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1 Portanto não podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas e Como tcal 0828 ttabelado 2861 rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1 Portanto podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas Indicação de Solução Seja 3 tentativas n 20 menores 𝑥 35 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 27 tentativas Graus de liberdade n 1 20 1 19 Assim realizaremos o seguinte teste de hipóteses H0 3 tentativas H1 3 tentativas Temos que nesse caso o tcal será 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝑆 𝑛 353 27 20 05 06037 0828 Considerando um nível de confiança de 99 1 temos que o ttabelado é igual a 2539 buscando na tabela da distribuição TStudent Dessa maneira como o tcal é menor que o ttabelado 0828 2539 não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 1 Portanto não podemos dizer que o número médio de tentativas de fuga por menor na rede de centros para menores daquela cidade seja maior que 3 tentativas 3 Em uma pesquisa realizada em dezembro de 2014 observouse que a proporção de pessoas que leem semanalmente ou diariamente é de 454 proporção inferior à indicada em 2012 pela Federação de Grêmios Editores 472 Sabendo que a pesquisa foi respondida por 2477 indivíduos essa diminuição na proporção de leitores regulares pode ser considerada significativa para um nível de significância de 001 a Como Zcal 18 é menor do que Zα 233 para um nível de confiança de 99 concluímos que há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 b Como Zcal 18 é maior do que Zα 233 para um nível de confiança de 99 concluímos que não há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 c Como Zcal 18 é menor do que Zα 2545 para um nível de confiança de 99 concluímos que há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 d Como Zcal 18 é maior do que Zα 2545 para um nível de confiança de 99 concluímos que há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 e Como Zcal 233 é menor do que Zα 2544 para um nível de confiança de 99 concluímos que há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 Indicação de Solução Hipóteses H0 p0 0472 e H1 p0 0472 Determinação da Estatística Teste e da região crítica n 2477 indivíduos 001 ztab 233 Região Crítica RCz 233 Seja f 0454 𝑍𝑐𝑎𝑙 𝑓𝑝0 𝑝01𝑝0 𝑛 𝟎𝟒𝟓𝟒𝟎𝟒𝟕𝟐 𝟎𝟒𝟓𝟒𝟏𝟎𝟒𝟓𝟒 𝟐𝟒𝟕𝟕 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟖 Como Zcal 18 é maior do que Zα 233 para um nível de confiança de 99 concluímos que não há evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula H0 4 De acordo com uma pesquisa sobre o uso de drogas realizada em 2015 91 da população de determinado país já usou cocaína em algum momento de suas vidas Em estudo realizado em 2013 essa proporção foi de 103 Assumindo que a pesquisa foi realizada em 2200 indivíduos desejase para um nível de confiança de 95 se a diminuição no uso de cocaína é significativa a Como 185 1645 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 b Como 185 196 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 c Como 185 1645 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 d Como 196 1645 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 e Como 196 1645 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 Indicação de Solução Hipóteses H0 p0 0103 e H1 p0 0103 Determinação da Estatística Teste e da região crítica n 2200 indivíduos 005 ztab 1645 Região Crítica RCz 1645 Seja f 0091 𝑍𝑐𝑎𝑙 𝑓𝑝0 𝑝01𝑝0 𝑛 00910103 010310103 2200 0012 000648 185 Como 185 1645 Zcal cai na região de rejeição de H0 podemos dizer com um nível de confiança de 95 que o número de pessoas que usaram cocaína em 2015 diminuiu em relação a 2013 5 Em um processo de fabricação de parafuso a máquina de corte das peças metálicas para sua fabricação apresenta em condições normais uma variação variância do comprimento dos cortes de 015 centímetros Para verificar se a máquina está funcionando em condições normais é retirada uma amostra de 10 peças de metal cortadas por aquela máquina na fábrica e medidos seus comprimentos em centímetros obtendose os seguintes resultados 152 155 142 156 148 152 151 141 147 146 Ao realizar o teste de hipótese apropriado verifique se a máquina está funcionando em condições normais Use um nível de significância de 005 a Sendo o valor de 2calc 11 inserido na região de aceitação com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes não é diferente de 015 centímetros portanto a máquina está funcionando em condições normais b Sendo o valor de 2calc 140 inserido na região de aceitação com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes não é diferente de 015 centímetros portanto a máquina está funcionando em condições normais c Sendo o valor de 2calc 156 inserido na região de aceitação com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes não é diferente de 015 centímetros portanto a máquina está funcionando em condições normais d Sendo o valor de 2calc 290 inserido na região de rejeição com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes é diferente de 015 centímetros portanto a máquina não está funcionando em condições normais e Sendo o valor de 2calc 306 inserido na região de rejeição com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes é diferente de 015 centímetros portanto a máquina não está funcionando em condições normais Indicação de Solução Para fazermos uma afirmação sobre a variância de uma população vamos realizar um teste de hipóteses para a variância populacional O teste descrito no enunciado equivale a H0 σ2 015 centímetros H1 σ2 015 centímetros Note que o teste é bilateral por conta da pergunta diferente de 015 Para esse tipo de teste usamos a distribuição quiquadrado e a estatística teste Além disso devemos calcular o valor da variância amostral que é S2 026 para uma amostra igual a 10 medidas de comprimento Portanto a estatística teste é 𝜒𝑐𝑎𝑙 2 𝑛1𝑆2 𝜎02 101026 015 156 Vamos começar olhando para a tabela da distribuição quiquadrado e procurar nossa estatística tabelada com o nível de significância α dado de 5 Consideramos também os graus de liberdade gl No caso do teste de uma variância nossos graus de liberdade são gl n1 10 1 9 Como o teste é bicaudal considerando α2 0025 podese identificar na tabela de quiquadrado os valores de 2inf 27 e 2sup 1902 Assim a região de aceitação é 27 2calc 1902 A região crítica é 2calc 27 e 2calc 1902 Assim sendo o valor de 2calc 156 inserido na região de aceitação com 95 de confiança a variância do comprimento dos cortes não é diferente de 015 centímetros portanto a máquina está funcionando em condições normais 6 Qual das seguintes hipóteses não pode ser caracterizada como uma hipótese nula a H0 µ1 µ2 b H0 p 07 c H0 x 3 d H0 µ 10 e H0 𝒙 15 61 Por quê É a letra e pois as hipóteses testadas são sempre populacionais e nunca amostral 7 O candidato A a Presidente afirma que vai ser eleito com 51 dos votos válidos no primeiro turno O outro candidato B concorrente de A deseja contestar esta afirmação e decidiu para isso efetuar uma pesquisa com 250 eleitores onde obteve 205 votos favoráveis à sua candidatura Qual das seguintes hipóteses elegeria como hipótese nula a H0 pA 051 b H0 pA 051 c H0 pA 082 onde 205 250 082 d H0 pA 082 onde 205 250 082 e H0 pA 082 onde 205 250 082 71 Por quê A hipótese nula é sempre de igualdade Dessa forma poderia ser a letra a ou c No entanto segundo o enunciado a informação que é desejada testar é a afirmação feita pelo candidato A ou seja de que será eleito com 51 dos votos válidos ainda no primeiro turno 8 Desejase resolver o teste H0 µ 0 usando uma estatística que segue uma distribuição normal reduzida 01 Considerando que o resultado do teste oferece a estatística teste z 2 então concluímos escolha uma a Que a média da população é 0 b Que a média populacional seja maior que 0 com margem de erro de 5 c Que a média populacional seja inferior a 0 com margem de erro de 5 d Existe uma probabilidade de 95 de que a média populacional seja 0 e Nada se opõe a aceitar o H0 de que a média seja igual ou inferior a 0 Indicação de Solução Como Z 2 é menor do que Z 196 há indicação de que podemos rejeitar H0 ou seja Z 2 está à esquerda de 196 então H0 é aceito Portanto a resposta e está correta pois é um teste unilateral cujo H0 inclui o valor 0 zero e todos os valores negativos Como a estatística está situada em H0 a única conclusão possível em um teste de significância é nada impede a aceitação de H0 9 Em um teste de significância escolha uma a Queremos saber o valor de um determinado parâmetro b Uma hipótese sugerida pelos dados é construída c Procurando por evidências provas em favor da hipótese H que você quer provar que é verdadeira d Nenhuma das alternativas está correta Indicação de Solução O item a está incorreto pois conhecer o valor do parâmetro é o objetivo da estimação por intervalo de confiança não do teste de hipóteses A questão b não está correta pois no teste de significância a hipótese faz parte do enunciado do problema e deve sempre ser independente dos dados obtidos o que geralmente é garantido especificandoos previamente O item c não está correto pois estamos procurando evidências contra H que queremos rejeitar Portanto a resposta correta é o item d 10 Você deseja fornecer evidências de que um novo tratamento é melhor do que um clássico Escreva a hipótese nula H0 a H0 o novo tratamento não é melhor que o clássico b H0 o novo tratamento é melhor que o clássico c H0 o desempenho do novo tratamento supera o clássico d Nenhuma das alternativas está correta Indicação de Solução A resposta correta é o item a pois o que você quer rejeitar deve ser colocado em H0 para provar seu complemento Os itens b e c são referentes a hipóteses alternativas pois não consideram aspectos de igualdade Como há um item correto o item d também é incorreto