Apostila Engenharia Econômica

1. Conceitos de Engenharia Econômica; Elementos de matemática financeira aplicados em engenharia econômica: porcentagem; juros; taxa de Juros; diagrama do fluxo de caixa; juros simples; juros compostos.\n\nEssa aula tem o propósitos de discutir o conceito de engenharia econômica e suas aplicações. Apresenta os elementos básicos utilizados nos estudos de engenharia econômica.\n\nO que é engenharia econômica?\n\nConforme a ABEPRO (Associação Brasileira de Engenharia de Produção), a Engenharia Económica constituiu uma das áreas de conhecimento relacionadas a Engenharia de Produção. Visa a formulação, estimativa e avaliação de resultados econômicos para avaliar alternativas para a tomada de decisão, consistindo em um conjunto de. técnicas matemáticas que simplificam a comparação econômica. (http://www.abepro.org.br/interna.asp?se=362).\n\nAlgumas definições de engenharia econômica:\n\n\"Métodos e técnicas de decisão econômica na escolha entre alternativas de investimento são elementos que várias obras do campo econômico foram expressas em termos dele. (HESS, Geraldo; MARQUISES dos Luiz; PAES, L.C. Rocha; PUCCINI, Abelardo. Rio de Janeiro: Edit. 1978).\n\n\" Engenharia Econômica é a técnica que possibilita quantificar monetariamente e avaliar alternativas econômicas para um administrador a posse do conjunto de recursos necessários à tomada de decisões\". (OLIVEIRA; José Alberto Nascimento).\n\n\"[...] a engenharia econômica envolve formular, estimar, avaliar os resultados econômicos, e um dos primeiros momentos a ser considerados os aspectos econômicos, objetivando o mesmo, em um primeiro momento\".\n\nAplicações do conhecimento de Engenharia Econômica?\n\nO conhecimento de Engenharia Econômica tem aplicação ampla no ambiente das organizações, as quais lidam com a escassez de recursos para investimentos.\n\nA escassez de recursos está relacionada ao fato de que os recursos disponíveis ou que possam ser obtidos por uma empresa serão insuficientes para atender a todas as oportunidades de investimentos existentes. Assim, devido a escassez, caberá aos gestores decidirem racionalmente quanto à alocação mais eficiente dos recursos com o propósito de atingir os objetivos da empresa.\n\nEncontramos em Finanças que o objetivo das empresas privadas é a maximização dos ganhos de seus proprietários em uma perspectiva de longo prazo. Assim, os recursos que possuem ou possam ser obtidos devem ser aplicados em alternativas de investimentos que prometem gerar o maior ganho possível, ao nível de risco apropriado, e, com isso, atender ao objetivo das empresas.\n\nO conjunto de conhecimento se aplica, também, em organizações públicas, sem fins lucrativos etc., bem como, no campo pessoal, quando se está diante de alternativas de investimentos: São exemplos típicos de aplicação do conhecimento de engenharia econômica:\n\na) Efetuar o transporte de mercadorias com frota própria ou terceirizada.\nb) Construir ou alugar um novo prédio para expansão da oficina.\nc) Comprar uma máquina à vista ou a prazo.\n\nAntes de decidir por uma das alternativas possível, deve-se realizar uma análise de viabilidade do mesmo. Em um primeiro momento são considerados os aspectos econômicos, objetivando que os investimentos sejam tentativas e, qual deles oferece o maior retorno.\n\nCertamente, a medida adianta conhecer a rentabilidade dos investimentos se não há disponibilidade de recursos nem há possibilidade de obté-los. Assim, a decisão sobre a implantação de um investimento considera:\n\n• Critérios econômicos: rentabilidade do investimento\n• Critérios financeiros: disponibilidade de recursos\n\nElementos de matemática financeira aplicada em engenharia econômica\n\nOs elementos de matemática financeira são fundamentais para avaliar o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, comparar e avaliar alternativas de investimento.\n\nPORCENTAGEM\n\nA porcentagem ou percentagem significa \"por cento\" ou seja, \"a cada centena\".\n\n• Percentagem representa uma razão com base em 100.\n\n1% significa que um inteiro foi dividido em 100 partes iguais, portanto, é uma parte deste todo, calculado da seguinte maneira:\n\n1 = 0,01\n\n100% significa o todo:\n\n100 = 1,0 JUROS\n\nA mudança de valor do dinheiro ao longo de determinado período é chamada de valor do dinheiro no longo do tempo. Este é o conceito mais importante da engenharia econômica.\n\nReceber uma quantia hoje ou no futuro não são a mesma coisa. Uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária amanhã.\n\nPostergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensação, definido pelos juros.\n\nJuros representam a remuneração do capital. São os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia. Juros é a manifestação do valor do dinheiro no tempo. Em termos de cálculo corresponde a diferença entre uma quantia em dinheiro no fim e no início de um período de tempo.\n\nJuros pagos: quando alguém utiliza recursos de terceiros paga juros pelo seu uso.\n\nJuros ganhos: quando alguém que poupou, realiza um investimento e, recebe uma remuneração na forma de juros.\n\nTAXAS DE JUROS:\n\nAs taxas de juros devem ser suficientes para remunerar:\n\n- O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação).\n- A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação.\n- O capital empregado/aplicado.\n\nAs taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo - mês, semestre, ano etc. - e podem ser representadas equivalente de duas maneiras:\n\n• Taxa percentual\n• Taxa unitária\n\nA transformação da taxa percentual em taxa unitária se processa pela divisão da notação percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.\n\ntaxa percentual taxa unitária\n1,5 % = 0,015\n8 % = 0,08\n17% = 0,17\n1.500 % = 15,0\n\nATENÇÃO: Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.\n\nExemplo 1: um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final deste período:\n\nJuros = R$ 1.000,00 x (20 + 100)\nJuros = R$ 1.000,00 x 0,20\nJuros = R$ 200\n\nExemplo 2: Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos. Ao final de 1 ano, reembolsou R$ 10.700,00. Nesta aplicação, os juros ganhos correspondem a:\n\nR$ 10.700,00 - R$ 10.000,00 = R$ 700,00\n\nA taxa de juros percentual é (R$ 700,00 / R$ 10.000,00) x 100% = 7% DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA\nPara facilitar a representação dos operações financeiras, costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa).\n\n• Exemplos de entradas de caixa: Receita de vendas, recebimento de empréstimos, Recebimento pela venda de títulos etc.\n\n• Exemplos de saídas de caixa: Custo de aquisição de ativos, custos operacionais, Imposto de renda etc.\n\n• Fluxo de Caixa Líquido = Recebimento (-) Desembolsos\n\nOs fluxos de caixa normalmente se desenvolvem em intervalos de tempo variáveis dentro de um período de juros. Uma hipótese simplificada é assumida:\n\nConvenção \"fim do período\": presume-se que todos os fluxos de caixa ocorrem no fim de um período de juros. Quando diversos recebimentos e desembolsos estão determinados pelo juros, considera-se que o fluxo de caixa líquido ocorre no fim do período de juros.\n\nEntradas de Caixa (+)\nEscala de tempo\n0 1 2 3 4 5 6\nSaídas de Caixa (-)\n\nA linha horizontal representa a escala de tempo (meses, bimestres, semestres, anos etc). O período é fixado como o momento inicial e os demais, representam os períodos de tempo (datas).\n\nAs setas para cima da linha indicam as entradas (ou aplicações) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.\n\nREGRAS BÁSICAS\nNas equações de matemática financeira, tanto p, prazo da operação como a taxa de juros, devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.\n\n• Exemplo: um fundo de poupança oferece juros de 2% ao mês e os rendimentos creditados mensalmente. Neste caso, a taxa de juros e o período de capitalização são coincidentes – atendem à regra.\n\nSe uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos, devendo-se transformar a taxa de juros anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa.\n\nOs critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuada através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização (simples ou composto). SIMBOLOGIA\nP = valor ou quantidade de dinheiro em um tempo designado como presente ou tempo 0. P também é chamado de capital presente (CP), valor presente (VP), valor presente líquido (VPL), fluxo de caixa descontado (FCD).\n\nF = valor ou quantidade de dinheiro em algum tempo futuro. F também é chamado de valor futuro (VF) e capital futuro (CF).\n\n• n = série de momentos consecutivos, iguais e em fim de período. A também é chamado de valor anual (VA) e valor anual uniforme (VAUE).\n\n• n = número de períodos de juros: anos, meses, dias.\n\n• i = taxa de juros ou taxa de retorno no período (percentagem anual, mensal, diário).\n\n- CRITÉRIOS (OU REGIMES) DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS\nOs critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo.\n\nSão dois os regimes de capitalização:\n\n- SIMPLES\n- COMPOSTO\n\nA distinção básica entre juros simples e juros compostos e relativa ao \"valor base\" sobre o qual incide a taxa de juros. Salientamos que a aplicação de juros simples é bastante restrita no mundo dos negócios, concentrando-se, basicamente, em operações de curto prazo, ao passo que a aplicação de juros compostos é bastante generalizada, principalmente, em operações de médio e longo prazos.\n\nAssim, uma aplicação de R$ 1.000,00 hoje à taxa de juros de 1,0% ao mês, para ser resgatado daqui a 6 meses, terá proporcionado R$ 60,00 de juros e atingirá o montante de R$ 1.060,00.\n\nMÊS BASE DE CÁLCULO JUROS MONTANTE\n0 1.000,00 0,00 1.000,00\n1 1.000,00 10,00 1.010,00\n2 1.000,00 10,00 1.020,00\n3 1.000,00 10,00 1.030,00\n4 1.000,00 10,00 1.040,00\n5 1.000,00 10,00 1.050,00\n6 1.000,00 10,00 1.060,00\n\nO valor dos juros é calculado a partir da seguinte equação:\n\nJ = P × i × n\n\nOnde\nJ = valor dos juros expresso em unidades monetárias\nP = valor do capital inicial\ni = taxa de juros por período\nn = prazo O valor do montante é calculado a partir da seguinte equação:\n\nVF = P × (1 + i × n)\n\nOnde\nVF = Valor futuro ou montante ou valor capitalizado\n\nA partir destas equações podemos obter a taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital inicial.\n\n• Capital inicial: conhecendo os juros do período, a taxa de juros e o prazo da aplicação, temos:\nP = J / (i × n)\n\n• Taxa de juros: conhecendo os juros do período, o capital inicial e o prazo da aplicação, temos:\ni = (J / P × n) × 100\n\n• Prazo da aplicação: conhecendo os juros do período, o prazo da aplicação e a taxa de juros, temos:\nn = P / i\n\nEm juros compostos considera-se que os juros calculados em cada período são acrescidos ao capital, formando, assim, o montante (capital + juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante, assim por diante.\n\nAssim, uma aplicação de R$ 1.000,00 hoje à taxa de juros de 1,0% ao mês, para ser resgatado daqui a 6 meses, terá proporcionado R$ 61,52 de juros e atingirá o montante de R$ 1.061,52.\n\nMÊS BASE DE CÁLCULO JUROS MONTANTE\n0 1.000,00 0,00 1.000,00\n1 1.000,00 10,00 1.010,00\n2 1.000,00 10,10 1.020,10\n3 1.020,10 10,20 1.030,30\n4 1.036,30 10,30 1.040,60\n5 1.040,60 10,41 1.051,01\n6 1.051,01 10,51 1.061,52\n\nO valor dos juros é calculado a partir da seguinte equação:\n\nJ = VP × [(1 + i)^n - 1]\n\nOnde\nJ = valor dos juros expresso em unidades monetárias\nVP = valor do capital no início do período\ni = taxa de juros por período\nn = prazo Com os dados do exemplo, temos:\nJ = 1.000 x {(1 + 0,01) 6 - 1}\nJ = 1.000 x 0,06152\nJ = 61,52\n\nO valor do montante é calculado a partir da seguinte equação:\nVF = VP x (1 + i) n\nOnde\nVF = Valor futuro ou montante ou valor capitalizado\n\nCom os dados do exemplo, temos:\nVF = 1.000,00 x (1 + 0,01) 6\nVF = 1.000,00 x 1,06152\nVF = 1.061,52\n\nA partir destas equações podemos obter a taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital inicial.\n\n* Capital inicial: conhecendo valor futuro da aplicação, a taxa de juros e o prazo da aplicação, temos:\nVP = VF x [1 / (1 + i) n]\n\nCom os dados do exemplo, temos:\nVP = 1.061,52 x [1 / (1 + 0,01) 6]\nVP = 1.061,52 x 0,942045\nVP = 1.000,00\n\n* Taxa de juros: conhecendo o capital inicial, o valor futuro da aplicação, temos:\n\ni = [ (VF / VP) n - 1 ] x 100 Com os dados do exemplo, temos:\ni = [ 1.061,52 / 1.000,00 ] 6 - 1 x 100\ni = 0,01 x 100\ni = 1,0%\n\n* Prazo da aplicação: conhecendo o capital inicial, o valor futuro e a taxa de juros, temos;\nVF = VP x (1 + i) n\n\nCom os dados do exemplo, temos:\n1.061,52 = 1.000,00 x (1 + 0,01) n\n\nCom o emprego de logaritmos, tem-se:\nlog 0,025928 = n x log 0,043214\nn = 0,0259282\n0,0043214\nn = 6\n\n* Juros\nO valor monetário dos juros (J) corresponde a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente. Pode ser obtido pela seguinte equação:\nJ = VF - VP\nJ = VP x (1 + i) n - VP\nJ = VP x [ (1 + i) n - 1 ] Regras básicas:\n1. Nas equações, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. No exemplo, a taxa de juros é mensal e o\n\nprazo da aplicação é de 6 meses. Nesse caso, a taxa de juros e o período de capitalização são coincidentes – atendem à regra.\n\n2. Se uma aplicação é efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos, devendo-se transformar a taxa de juros anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa.\n\nOs critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuada através das regras de juros simples (taxa proporcional) e de juros compostos (taxa equivalente).\n\n* Taxa proporcional:\nDuas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre seus períodos de tempo. Ex.: 2% - 24% = 1 mês – 12 meses.\n- Assim, a taxa de 2% em meses é proporcional à taxa de 24% ao ano.\n- Para o inverso, taxa anual em meses, dividimos por 12.\n\n* Taxas equivalentes:\nDizemos que duas taxas são equivalentes quando são aplicadas sobre um mesmo capital para um mesmo intervalo de tempo e produzem o mesmo montante. A seguinte equação se aplica para determinar a taxa equivalente:\n\ni = [ (1 + i1) - 1 ] x 100\n\nonde:\ni1 = taxa para o prazo que quero\nq = prazo que quero\nt = prazo que tenho\n\nPor exemplo, qual seria a taxa equivalente mensal (i mensal) de uma aplicação cuja taxa anual é de 12%?\n\nim = [ (1 + 0,12) 1/12 - 1 ] x 100\nim = 0,95%\n\nExercícios:\n1. Na última década a população da cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil e, a população da cidade B passou de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades teve um aumento populacional maior?\n2. João tem um salário de R$ 2.000,00. Irá receber um aumento de 15%. Qual o novo salário do João? 3. Pedro recebeu um aumento de 15% de modo que seu salário é de R$ 4.600,00. Qual era o salário de Pedro?\n4. Calcule o valor a ser resgatado (juros simples) de uma aplicação de R$ 85.000,00 por:\n a. 7 meses à taxa de 2,5% ao mês\n b. 9 meses à taxa de 11,6% ao semestre\n c. 1 ano e 5 meses à taxa de 21% ao ano\n5. Determinar os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa de 42% ao ano (juros simples)\n6. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:\n a. 14,4% ao ano\n b. 6,8% ao quadrimestre\n c. 11,4% ao semestre\n d. 110,4% ao ano\n e. 54,72% ao bimestre\n7. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:\n a. 120% ao ano\n b. 3,2% ao quadrimestre\n c. 1,5% ao mês\n8. Qual a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 9% ao ano?\n9. Quais os juros que R$ 200,00, aplicados a juros simples, produzem durante 3 meses à taxa de 11% ao mês?\n10. Quais os juros produzidos por um capital de R$ 1.200,00, aplicados à taxa de 18% ao semestre durante 6 meses? (juros simples)\n11. Durante quantos meses o capital de R$ 2.000,00, aplicados à taxa de 33,5% ao semestre, produz juros de R$ 446,407,00? (juros simples)\n12. A uma taxa de juros simples anual o capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado para que produzam R$ 1.500,00?\n13. Uma TV é vendida nas seguintes condições:\n - preço à vista: R$ 1.800,00;\n - condições a prazo: 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias\n Qual a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo?\n14. Aplicou-se R$ 800,00 em um banco durante quatro meses à taxa de 8% ao mês. Qual o montante final? (juros compostos)\n15. Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 200,00 a juros compostos, por um ano, a qual remunera o capital a 1,8% ao mês. Qual o montante final? (juros compostos)\n16. Um investidor aplica R$ 2.000,00 por seis meses. Ao final do período, resgata o montante de R$ 2.740,00. Qual a taxa de juros mensal utilizada? (juros compostos)\n17. Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 8.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 5,5% ao mês e n = 2 anos; b) i = 9% ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses; c) i = 12% a.a. e n = 18 meses (juros compostos)\n18. Quais juros são produzidos por R$ 1.000,00 durante cinco meses, aplicados à taxa de 3,38% ao mês? (juros compostos)