Lista 2 - Algebra Linear - Dependencia e Independencia Linear - UFABC

Universidade Federal do ABC Álgebra Linear 20223 Lista 2 Dependência e Independência Linear Bases e Soma Direta 1 Exiba três vetores u v w R³ com as seguintes propriedades nenhum deles é múltiplo do outro nenhuma das coordenadas é igual a zero e R³ não é gerado por eles 2 Mostre que a matriz 4 4 6 16 pode ser escrita como combinação linear das matrizes A 1 2 3 4 B 1 2 3 4 e C 1 2 3 4 3 Assinale V verdadeiro ou F falso e justifique sua resposta a O vetor w 1 1 2 pertence ao subespaço gerado por u 1 2 3 e v 3 2 1 b Se X Y então X Y c Se X Y então X Y 4 Para cada uma das seguintes coleções de vetores determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes a 1 2 3 1 0 1 2 1 0 R³ b x³ 2x² 3x 1 x³ x² 3x x² 1 P₄ c 1 3 5 7 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 R⁴ 5 Para cada uma das seguintes coleções de vetores determine quando os vetores são linearmente independentes a 1 2 3 1 0 1 2 1 0 R³ b 1 2 3 5 1 3 R² c 2 5 3 6 1 0 0 1 4 0 9 6 R⁴ d x² 1 x 1 x² x P₃ e 2x² 3 x² 1 1 P₃ f 2x² 3 x³ 1 x³ x² 1 P₃ 6 Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de R³ ou R⁴ conforme corresponda a x y z R³ x 0 b x y z w R⁴ w x y e z x y c O plano x y z R³ 3x 2y 5z 0 d x₁ x₂ x₃ x₄ R⁴ 3x₁ x₂ x₃ x₄ 0 e 5x₁ x₂ x₃ x₄ 0 7 Seja Pₙ o conjunto dos polinômios reais de grau menor igual que n Para cada um dos itens seguintes seja S o conjunto dos polinômios em Pₖ satisfazendo a condição dada Determine se S é um subespaço de Pₙ Se S for um subespaço calcule a dimensão de S a p0 0 b p0 0 c p0 0 d p0 p0 0 e O conjunto dos polinômios de grau igual ou menor que k com k n 8 Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de M2 2 Em caso afirmativo exiba uma base a V a b c d com a b c d R e b c b V a b c d com a b c d R e b 0 c c V a b c d com a b c d R e a 0 9 Mostre que os polinômios 1 t³ 1 t² 1 t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau menor igual a 3 10 Seja U o subespaço de R³ gerado por 1 0 0 e W o subespaço gerado por 1 1 0 e 0 1 1 Mostre que R³ U W 11 Sejam W₁ x y z t x y 0 e z t 0 e W₂ x y z t x y z t 0 a Determine W₁ W₂ e exiba uma base b Determine W₁ W₂ c W₁ W₂ é soma direta Justifique d W₁ W₂ R⁴ 12 a Dado o subespaço V₁ x y z R³x 2y z 0 ache um subespaço V₂ tal que R³ V₁ V₂ b Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R³ tais que V₁ V₂ R³ A soma é direta 13 Considere os seguintes subespaços de R⁴ U 1 1 0 1 1 2 3 0 2 3 3 1 W 1 2 2 2 2 3 2 3 1 3 4 3 a Ache uma base e a dimensão de U W e U W b Mostre que a relação dimU W dimU dimW dimU W é satisfeita neste caso