Propriedades de Subespaços Vetoriais em V

Defina a média de dois vetores mathbfu mathbfv quaisquer num espaço vetorial V como mathbfu bullet mathbfv frac12mathbfu frac12mathbfv Prove que mathbfx bullet mathbfy bullet mathbfz mathbfx bullet mathbfy bullet mathbfz se e somente se mathbfx mathbfz V mathbbR3 exists mathbfx x y z x y z x y z x x y y z z lambdax y z 0 0 0 V mathbbR2 exists mathbfx x y x y x y x x 1 y y 1 lambdax y lambda x lambda y V 1 x in mathbbR2 x in mathbbR 1 y 1 y 1 y y lambda1 y 1 lambda y Determine quais dos seguintes subconjuntos W subset V do espaço vetorial V mathcalM2 imes 2mathbbR das matrizes 2 imes 2 com entradas reais ver Exercício 3 da Lista 1 são subespaços vetoriais de V Determine quais dos seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V Pₗₑ₃ℝ x fx a₀ a₁x a₂x² a₃x³ a₀ a₁ a₂ a₃ ℝ dos polinômios de ordem 3 ver Exercício 11 r da Lista 1 são subespaços vetoriais de V W A beginpmatrix a b c d endpmatrix in V a b c d in mathbbZ Seja W L1 1 1 1 1 1 Encontre λ μ ν ℝ tais que x y z W se e somente se λx μy νz 0 W A beginpmatrix a b c d endpmatrix in V a b c d 0 Seja W V do espaço vetorial V Fℝ ℝ f ℝ ℝ das funções de ℝ em ℝ são subespaços vetoriais de V W A beginpmatrix a b c d endpmatrix in V extdetA ad bc 0 Questão 9 Defina a média entre mathbfu mathbfv e V como overlinemathbfu overlinemathbfv frac12 overlinemathbfu frac12 overlinemathbfv Prove que overlinemathbfx overlinemathbfy overlinemathbfz overlinemathbfx oplus overlinemathbfy overlinemathbfz se e somente se overlinemathbfx overlinemathbfz Prova overlinemathbfx overlinemathbfy overlinemathbfz overlinemathbfx overlinemathbfy overlinemathbfz Leftrightarrow leftfrac12 overlinemathbfx frac12 overlinemathbfyright overlinemathbfz overlinemathbfx oplus leftfrac12 overlinemathbfy frac12 overlinemathbfzright Leftrightarrow frac14 overlinemathbfx frac14 overlinemathbfy frac14 overlinemathbfz frac12 overlinemathbfx frac14 overlinemathbfy frac14 overlinemathbfz Leftrightarrow multiplicando ambos lados por 4 overlinemathbfx overlinemathbfy 2 overlinemathbfz 2 overlinemathbfx overlinemathbfy overlinemathbfz Leftrightarrow pelo lei do corte overlinemathbfz overlinemathbfx W A beginpmatrix a b c d endpmatrix in V c 0 b Sejam V mathbbR3 overlinemathbfx x y z overlinemathbfy x y z e V Considere as operações Soma xyz xyz xxyyzz Multiplicação por ex lambda xyz 000 forall lambda in mathbbR As operações estão bem definidas Pois xyz xyz xxyyzz in V simmathbbR xyz xyz 000 in V simmathbbR V não é um espaço vetorial Dado overlinemathbfx xyz in V temos xyz eq 000 1 cdot overlinemathbfx 000 eq xyz overlinemathbfx Logo 1 cdot overlinemathbfx eq overlinemathbfx g Seja V xx in mathbbRn x in mathbbR com as operações unidas de soma vetorial e multiplicação escalar em mathbbRn As operações estão bem definidas overlinemathbfx xx overlinemathbfy xx e V lambda in mathbbR overlinemathbfx overlinemathbfy xx xx xxxx in V lambda overlinemathbfx lambda xx lambda xlambda x in V 3 Temos que mostrar que 0 V tal que x 0 x x V Basta tomar 0 0 0 Logo x 0 x x 0 0 x 0 x 0 x x x x Logo x 0 x 4 Temos que mostrar x V x V tal que x x 0 Basta tomar x x x x x x x x x x x x x 0 0 0 Logo x x 0 5 λ₁λ₂ x λ₁λ₂x₁ x λ₁λ₂x₁ λ₂x λ₁λ₂x₁ x λ₁λ₂ x Logo λ₁λ₂ x λ₁λ₂ x 6 λ₁ λ₂ x λ₁ λ₂x₁ x λ₁ λ₂x₁ x λ₁1x₁ 1x λ₁ x λ₂ x Logo λ₁ λ₂ x λ₁ x λ₂ x 7 λ₁ x y λ₁x x x x λ₁x x x x λ₁x x λ₁x x λ₁x x λ₁x x λ₁ x λ₁ y Logo λ₁ x λ₁ y 8 λ₁ x λ₁x x 1λ₁x 1λ₁x x x x Logo λ₁ x x Vejamos que V é um espaço vetorial Sejam x x₁ x₁ y x x z x x V λ₁ λ₂ ℝ 1 x y x x x x x x x x x x x x x y x Logo x y y x 2 x y z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y z Logo x y z x y z h seja V ℝ² munido com as seguintes operações i seja V 11x x ℝ T munido com os seguintes operações x 1y 3z 6 lambda1 mathbfx mathbfy lambda1 mathbfx mathbfy mathbfy mathbfy lambda1 mathbf1 mathbfy mathbfy lambda1 mathbf1 mathbfy lambda1 mathbf1 mathbfy lambda1 mathbfx lambda1 mathbfy extquestão 2 A B left beginarraycc b c d b c d endarray right left beginarraycc b c d b c d endarray right c Seja W A ω b V detA 0 W não é um subespaço vetorial Considere A 1 0 B 0 0 temos detA 0 e detB 0 logo A B W Mas A B 1 0 0 0 1 0 W detA B 1 logo A B W d Seja W A ω b V c 0 A ω b ω b d ℝ Vejamos se W é um subespaço vetorial Sejam A ω b B ω b W λ ℝ 0 W então ω b d 0 então 0 0 W A B ω b ω b ω ω b b W λA λ ω b λω λb W Portanto W é um subespaço vetorial Questão 1 Seja W ω i W ω0 Sejam f g W com fx ω1x ω2x² ω3x³ qx b1x b2x² b3x³ λ ℝ temos 0 W Então ω1 ω2 ω3 0 então 0 0x W fx gx ω1x ω2x² ω3x³ b1x b2x² b3x³ ω1 b1x ω2 b2x² ω3 b3x³ W λfx λω1x ω2x² ω3x³ λω1x λω2x² λω3x³ W Portanto W é um subespaço vetorial b1 b2 b3 W x V ω1 ω2 ω3 R Sejam fi q W com fix ω1ω2ω3 ω1x ω2x² ω3x³ e qfx b1b2b3 b1x b2x² b3x³ e λ R temos 0 W Tomando ω1 ω2 ω3 0 temos 0 0x W Logo fix qx W λfix λω1ω2ω3 ω1x ω2x² ω3x³ λω1 λω2 λω3 λω1x λω2x² λω3x³ W Portanto W é um subespaço vetorial c Considere W f V ω1 ω2 ω3 R W não é um subespaço vetorial Seja fix 1 x 2x² 3x³ λ W e tal que λ 0 logo λfix 0 a seja λfx W b Considere W f V ω1 ω2 ω3 0 Sejam fi q W e λ R então 0 W Pois 00 0 W fi q0 fi0 q0 0 0 0 λfi0 λ0 0 Portanto W é um subespaço vetorial Questão 5 a Considere W f V fix 0 x R W não é um subespaço vetorial Sejam λ R tal que 1 0 logo λfix 0 a seja 1fix W b Considere W f V fi0 0 Sejam fi q W e λ R então 0 W Pois 00 0 W fi q0 fi0 q0 0 0 0 λfi0 λ0 0 Portanto W é um subespaço vetorial Reescrevendo xyz W 1111 1111 se e somente se xyz xz1111 xz1111 Se e somente se xYZ xzz se a dizente e Considere W fV f1 2 Sejam fg W temos f0 g0 f0 g0 2 2 4 W 0 W Pois 01 0 W fg1 f1 g1 c c W constante hfx λfx λc W Portanto W é um subespaço vetorial Questão 8 Seja W 1111 1111 Encontre λ μ e r em ℝ tais que xyz W se e somente se λx μy r z 0 Solução Seja xyz W então existem ω b ℝ tais que xyz ω1111 b1111 ou seja ω b x ω x 2y z 4 ω b y b x y z 2 0 y z Logo o sistema só é possível se y z 0 ou seja y z Assim W xyz x y Logo λx μy r z 0 λx zμ r 0 λ 0 μ 1 r 1 se 2λx μg rζ 0 com λ 0 μ 1 r 1 c Seja W ω b c V b ωcI ω ωc c ω c ℝ O conjunto W é um subespaço vetorial de V De fato 0 W Tomando ω c 0 temos 0 0 0 0 W Dado ẋ ω ωc c ẋ ω ωc c W Logo ẋ ẋ ω ωc c ω ωc c ω ω ωc ωc c c W Dado ẋ ω ωc c W e λ ℝ temos λẋ λω ωc c λω λωc λc λω λωλc λc W