Condições para Subespaços Vetoriais e Média de Vetores

Defina a média de dois vetores mathbfu mathbfv quaisquer num espaço vetorial V como mathbfu oplus mathbfv frac12mathbfu frac12mathbfv Prove que mathbfx oplus mathbfy oplus mathbfz mathbfx oplus mathbfy oplus mathbfz se e somente se mathbfx mathbfz V mathbbR2 exists mathbfx x y x y x y x x 1 y y 1 lambda x y lambda x lambda y V 1 x in mathbbR2 x in mathbbR 1 y 1 y 1 yy lambda1 y 1 lambda y Determine quais dos seguintes subconjuntos W subset V do espaço vetorial V mathcalM2 imes 2mathbbR das matrizes 2 imes 2 com entradas reais ver Exercício 3 da Lista 1 são subespaços vetoriais de V W V do espaço vetorial V Pₗₑ₃ℝ x fx a₀ a₁x a₂x² a₃x³ a₀ a₁ a₂ a₃ ℝ dos polinômios de ordem 3 ver Exercício 11 r da Lista 1 são subespaços vetoriais de V a W f V a₀ 0 b W f V a₀ a₁ a₂ a₃ 0 c W f V a₀ a₁ a₂ a₃ ℤ d W f V a₂ a₃ 0 W V do espaço vetorial V Fℝ ℝ f ℝ ℝ das funções de ℝ em ℝ são subespaços vetoriais de V a W f V fx 0 para todo x ℝ b W f V f0 0 c W f V f0 2 d W f V fx constante para todo x ℝ e W f V fx λ₁ λ₂senx λ₁ λ₂ ℝ W L1 1 1 1 1 1 Encontre λ μ ν ℝ tais que x y z W se e somente se λx μy νz 0 c W x a b c V b a c d W x a b c V b a c 1