Lista 2 Algebra Linear UFABC - Subespaços Vetoriais e Combinacoes Lineares

Universidade Federal do ABC Lista 2 Álgebra Linear Turma NASA 2q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Subespaços Vetoriais Combinações Lineares 1 Determine quais dos seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V R³ são subespaços vetoriais de V a W x a b c V b c 0 b W x a b c V b c 1 c W x a b c V b a c d W x a b c V b a c 1 e W x a b c V a b c f W x a b c V a c ou b c g W x a b c V a² b² 0 h W x a b c V b 2a c 3a 2 Determine quais dos seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V M₂₂R das matrizes 2 2 com entradas reais ver Exercício 3 da Lista 1 são subespaços vetoriais de V a W A a b c d V a b c d ℤ b W A a b c d V a b c d 0 c W A a b c d V detA ad bc 0 d W A a b c d V c 0 3 Mostre que os seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V MₙₙR das matrizes n n com entradas reais ver Exercício 3 da Lista 1 são subespaços vetoriais de V a W A aᵢⱼ V TrA ⁿⱼ₁ aⱼⱼ 0 b W A aᵢⱼ V aⱼᵢ aᵢⱼ i j 1 n c W A aᵢⱼ V AB BA Aqui B bᵢⱼ V é uma matriz fixa e AB denota o produto das matrizes A e B cujo elemento na iésima linha e jésima coluna é dado por ⁿₗ₁ aᵢₗbⱼ analogamente para BA 4 Determine quais dos seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V P3R x fx a₀ a₁x a₂x² a₃x³ a₀ a₁ a₂ a₃ ℝ dos polinômios de ordem 3 ver Exercício 11 r da Lista 1 são subespaços vetoriais de V a W f V a₀ 0 b W f V a₀ a₁ a₂ a₃ 0 c W f V a₀ a₁ a₂ a₃ ℤ d W f V a₂ a₃ 0 5 Determine quais dos seguintes subconjuntos W V do espaço vetorial V Fℝ ℝ f ℝ ℝ das funções de ℝ em ℝ são subespaços vetoriais de V a W f V fx 0 para todo x ℝ b W f V f0 0 c W f V f0 2 d W f V fx constante para todo x ℝ e W f V fx λ₁ λ₂senx λ₁ λ₂ ℝ 6 Determine a Quais dos subconjuntos V do espaço vetorial ℝ² dados pelos itens e f g e i do Exercício 11 da Lista 1 são subespaços vetoriais de ℝ² b Quais dos subconjuntos V do espaço vetorial ℝⁿ dados pelos itens g e q do Exercício 11 da Lista 1 são subespaços vetoriais de ℝⁿ c Quais dos subconjuntos V do espaço vetorial M₂₂R dados pelos itens m n e o do Exercício 11 da Lista 1 são subespaços vetoriais de M₂₂R 7 Dado um subconjunto S V de um espaço vetorial V sobre ℝ denotemos por LS ⁿⱼ₁ λⱼxⱼ xⱼ S λⱼ ℝ n ℕ V o subespaço vetorial gerado por S se S definimos LS 0 Prove as seguintes afirmações a S LS b Se S x₁ xₖ então podemos tomar n k fixo na definição de LS c Seja W V um subespaço vetorial de V Se S W então LS W Em outras palavras LS é o menor subespaço vetorial de V que contém S d S é subespaço vetorial de V se e somente se LS S Dica use a caracterização de subespaços vetoriais vista em aula e Se S T V então LS LT f Se S T V são subconjuntos de V então LS T LS LT g Sejam V ℝ³ S 1 0 1 1 0 1 0 0 0 e T 1 1 0 1 1 0 0 0 0 Mostre que LS T LS LT 8 Seja W L1 1 1 1 1 1 Encontre λ μ ν ℝ tais que x y z W se e somente se λx μy νz 0 9 Exprima os seguintes vetores em V ℝ³ como combinações lineares dos vetores u 0 2 2 e v 1 3 1 se possível a 2 2 2 b 3 1 5 c 0 4 5 d 0 0 0 10 Mostre que a matriz D 4 4 6 16 pode ser escrita como combinação linear das matrizes A 1 2 3 4 B 1 2 3 4 C 1 2 3 4 11 Sejam v₁ v₂ v₃ e w₁ w₂ w₃ os vetores em V ℝ³ dados respectivamente pelas linhas e pelas colunas da matriz A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a Verifique que esses vetores satisfazem as relações v₃ 2v₂ v₁ e w₃ 2w₂ w₁ b Exprima w₁ e w₂ como combinação linear dos vetores v₁ e v₂ e viceversa c Conclua dos dois itens anteriores que Lv₁ v₂ v₃ Lw₁ w₂ w₃ Respostas parciais dos exercícios 1 W definido nos itens a c e e h são subespaços vetoriais 2 W definido nos itens b e d são subespaços vetoriais 4 W definido nos itens a b e d são subespaços vetoriais 5 W definido nos itens b d e e são subespaços vetoriais 6 a Itens e g com n 2 e i b Ambos os itens g e q c Itens n e o 7 a Claramente dado qualquer xS temos que x é uma combinação linear de um único elemento de S com λ11 b Dado xnj1λjxjxLS seja Tx1xnS Como S é finito segue que ST é finito Escrevendo STxn1xk e definindo λj0 para jn1k temos que xnj1λjxjkj1λjxj d Segue do item a que basta mostrar que S é subespaço vetorial de V se e somente se LSS De fato se LSS então S é subespaço vetorial de V Conversamente provase por indução em n que se S é subespaço vetorial de V então LSS g Claramente ST000 e portanto LST000 mas 200 101 101 110 110 LSLT 8 Uma resposta possível é λ0μ1ν1 9 a λ1λ22 b λ14λ23 c Não é possível escrever 045 como combinação linear de u e v d λ1λ20 10 DAB4C 11 b w1113v123v2 w2103v113v2 v113w123w2 v2103w1113w2 Universidade Federal do ABC Lista 1 Álgebra Linear Turma NASA 2q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Espaços Vetoriais 1 Sejam u3210 v4732 e w5281 vetores em R4 Calcule a vw b 2u7v c uv4w d 6u3v e vw f 6vw4uv 2 Dados os vetores v1121 v2212 v3332 e v4151 em R3 calcule a uv13v22v3v4 b vv1v2v3v4 c wv313v243v1 3 O espaço MmnR das matrizes com m linhas n colunas e entradas reais Aa11a1nam1amn aijR i1m j1n é um espaço vetorial real se imbuído das operações vetoriais entrada a entrada se Aa11a1nam1amn Bb11b1nbm1bmn então ABa11b11a1nb1nam1bm1amnbmn αAαa11αa1nαam1αamn Dadas as matrizes 23 ABCM23R A1 1 2 3 2 1 B2 3 0 2 3 1 C4 8 4 12 13 1 a Calcule 3A 2B C b Encontre números reais αβ diferentes de zero tais que αA βB C tenha a primeira coluna só com zeros 4 Encontre os vetores u vR4 tais que as componentes de u sejam todas iguais a última componente de v é igual a 3 e uv1234 5 Dados u123 v320 e w200 encontre números reais αβγ tais que αuβvγw111 6 Mostre que não existem escalares reais αβγ tais que α1010β1021γ20121223 7 Dados os vetores x123 y321 e z327 em R3 obtenha números reais αβ tais que αxβyz Quantas soluções admite esse problema 8 Sejam os vetores x11 y12 e z21 em R2 Encontre números reais nãos nulos abcabc satisfazendo aa bb cc e axbyczaxbycz 9 Defina a média de dois vetores u v quaisquer num espaço vetorial V como uv12u12v Prove que xyzxyz se e somente se xz 10 Dados dois espaços vetoriais V1V2 considere o produto Cartesiano VV1V2 de V1 e V2 Mostre que as operações de soma vetorial xyxyxxyy e multiplicação escalar λxyλxλy são operações vetoriais em V 11 São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos no sentido de definirem elementos de V e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial real Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V a V R3 x xyz xyz xyz xx yy zz λxyz λxyz b V R3 x xyz xyz xyz xx yy zz λxyz 000 c V R2 x xy xy xy xx yy λxy 2λx 2λy d V R com as operações usuais de soma e multiplicação em R e V x 0 R2 x R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em R2 f V xy R2 x 0 com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em R2 g V x x Rn x R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em Rn h V R2 x xy xy xy xx1 yy1 λxy λx λy i V 1x R2 x R 1y 1y 1yy λ1y 1 λy j V R2 xy xy xy xy λxy λx λy k V R2 xy xy xx yy λxy λx λy l V R2 xyxy 3x3x 5y5y λxy λx λy m V a 1 1 b M22R ab R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em M22R ver Exercício 3 acima n V a 0 0 b M22R ab R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em M2x2R ver Exercício 3 acima o V a ab ab b M2x2R a b R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em M2x2R ver Exercício 3 acima p V x R x 0 x y xy λx xλ expλ log x q V x1 xn Rn j1n λj xj 0 com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em Rn aqui λ1 λn R r V f R R fx ax2 bx c a b c R a1x2 b1x c1 a2x2 b2x c2 a1 a2x2 b1 b2x c1 c2 λax2 bx c λax2 λbx λc Respostas parciais dos exercícios 1 a 1 9 11 1 b 22 53 19 14 c 13 13 36 2 d 90 114 60 36 e 9 5 5 3 f 27 29 27 9 2 a 0 0 0 b 1 5 2 c 1 0 0 3 a 3A 2B C 5 17 10 25 25 4 b α 2 β 3 4 û 1 1 1 1 v 0 1 2 3 5 α 13 β 16 γ 112 7 A única solução é dada por α 3 β 2 8 Esboço trate a a α b b β e c c γ como variáveis Obtemos daí que α 3β e β γ Uma solução possível dessas equações é dada por α 3 β γ 1 Tomandose a 4 a 1 b 1 b 2 c 1 c 2 verificase a fórmula desejada 10 A prova é igual à do caso em que V1 V2 R 11 a O axioma e λ μ x λx μx falha b O axioma h 1x x falha c O axioma g λ1 λ2 x λ1 λ2 x falha e V é espaço vetorial f O axioma d falha h O axioma f λ x y λx λy falha j Os axiomas a x y y x e b x y z x y z falham k O axioma f λ x y λx λy falha m A soma vetorial de dois elementos de V não pertence a V p V é espaço vetorial q V é espaço vetorial 9 v w 12 v 12 w x y z x y z 12 x 12 y z x 12 y 12 z 1212 x y 12 z 12 x 1212 y z 12 12 x y z 12 x 12 y z 12 x y z x 12 y z 12 x 12 y z x 12 y 12 z 12 x z x 12 z z 12 z x 12 x 12 z 12 x z x x z x y z x y x 12 x 12 y x 12 12 x 12 y 12 x 14 x 14 y 12 x 12 x 14 y 14 x 12 x 12 12 y 12 x x 12 y 12 x x y x x z x y z 11 b sejam x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ ℝ³ Relembrando ab ℝ a b ℝ x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ x₂ ℝ x₁ x₂ ℝ y₁ y₂ ℝ y₁ y₂ ℝ z₁ z₂ ℝ z₁ z₂ ℝ x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ ℝ³ x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ ℝ³ sejam xyz ℝ³ λ ℝ λ xyz 000 ℝ³ Logo as operações estão bem definidas 2 Veja que EV8 1 x x x V não é respeitado EV8 1 x 000 x x ℝ³ 000 Logo V não é espaço vetorial g sejam x y V xy ℝ tais que x x₁x y y₁y x y x₁x y₁y x yx y V sejam x V λ ℝ x ℝ tal que x x₁x λ x λ x₁x λ x λ x V Logo as operações estão bem definidas EV1 sejam xx yy V xx yy x yx y y xy x yy xx 3 EV2 sejam x₁x y₁y z₁z V xx yy zz xx y zy z x y zx y z x y z x y z x yx y zz EV3 seja que 00 V Seja xx V 00 xx 0 x0 x xx EV4 seja xx V Veja que x x V xx x x x xx x 00 EV5 sejam xx V λ μ ℝ λ μ xx λ μ xμ x λ μ x λ μ x λ μ xλ μ x λ μ xx EV6 sejam x x V λ μ ℝ λ μ x₁x λ μ x λ μ x λ x μ x λ x μ x λ x λ x μ x μ x λ xx μ xx 4 EV7 Sejam x₁x y₁y V λ ℝ λx₁x y₁y λxyxy λxy λxy λx λy λx λy λx₁ λx λy₁ λy λx₁x λy₁y EV8 1 ℝ Seja x₁x V 1x₁ x 1x₁ 1x x x Logo V é espaço vetorial h Sejam x₁y₁ x₂y₂ ℝ² x₁y₁ x₂y₂ x₁ x₂ 1 y₁ y₂ 1 ℝ² O produto por escalar é o usual Logo as operações estão bem definidas EV7 Sejamos que λv v λv λv v ℝ λ ℝ não é respeitada λx₁y₁ x₂y₂ λx₁ x₂ 1 y₁ y₂ 1 λx₁ λx₂ λ λy₁ λy₂ λ λx₁y₁ λx₂y₂ λx₁ λy₁ λx₂ λy₂ λx₁ λx₂ 1 λy₁ λy₂ 1 Logo V₁ não é espaço vetorial real 5 1 abc ℝ abc ab ac ℝ Sejam x₁y₁ x₂y₂ ℝ² x₁y₁ x₂y₂ 3x₁ 3x₂ 5y₁ 5y₂ 3 x₁ x₂ ℝ 3x₁ 3x₂ ℝ 5 y₁ y₂ ℝ 5y₁ 5y₂ ℝ x₁y₁ x₂y₂ ℝ² O produto por escalar real é o usual Logo as operações estão bem definidas A operação soma não é associativa EV2 Sejam x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ ℝ² x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ x₁y₁ 3x₂ 3x₃ 5y₂ 5y₃ 3x₁ 9x₂ 9x₃ 5y₁ 25y₂ 25y₃ x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ 3x₁ 3x₂ 5y₁ 5y₂ x₃y₃ 9x₁ 9x₂ 3x₃ 25y₁ 25y₂ 5y₃ Em geral x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ Logo V não é espaço vetorial 1 c W x abc ℝ³ b a c aacc ac ℝ SV1 0 0 0 000 W Em que 000 0v ou seja v V 0v v v SV2 Sejam x₁ x₁ z₁ z₁ x₂ x₂ z₂ z₂ W x₁ x₁ z₁ z₁ x₂ x₂ z₂ z₂ x₁ x₂ x₁ z₁ x₂ z₂ z₁ z₂ 7 x1 x2 x1 x2 z1 z2 z1 z2 x1 x2 x1 x2 z1 z2 z1 z2 W λ R SV3 sejam x1 x z z W λ R λ x1 x z z λ x1 λ x z λ z λ x1 λ x λ z λ z W Logo W é subespaço vetorial de R3 d SV1 0 0 0 1 0V 000 W Logo W não é subespaço vetorial de R3 2 d SV3 sejam u z z1 z2 W 12 R 12 u z z1 z2 112 122 212 222 W já que 112 122 212 222 Z Logo W não é subespaço vetorial de M2R b SV1 0 0 0 0 W já que 0 0 0 0 0 SV2 sejam 11 12 21 22 b11 b12 b21 b22 W 11 12 21 22 0 b11 b12 b21 b22 0 11 12 21 22 b11 b12 b21 b22 11 b11 12 b12 21 b21 22 b22 11 b11 12 b12 21 b21 22 b22 11 12 21 22 b11 b12 b21 b22 0 0 Logo 11 12 21 22 b11 b12 b21 b22 W SV3 sejam 11 12 21 22 W λ R 11 12 21 22 0 λ 11 12 21 22 0 λ 11 λ 12 λ 21 λ 22 0 λ 11 12 21 22 λ 11 λ 12 λ 21 λ 22 W W é subespaço vetorial de M2R 9 c SV1 det0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W SV2 1 2 1 2 1 1 3 3 W det1 2 1 2 det1 1 3 3 det2 3 4 5 10 12 2 0 aí seja W não é fechado pela soma Em outras palavras nem sempre A B W A B W Logo W não é subespaço vetorial de M2R d SV1 0 0 0 0 W SV2 sejam 11 12 0 22 b11 b12 0 b22 W 11 12 0 22 b11 b12 0 b22 11 b11 12 b12 0 22 b22 W sv3 sejam a11 a12 0 a22 W λ R λa11 a12 0 a22 λa11 λa12 0 λa22 W logo W é subespaço vetorial de M2R 4 a sv1 0x 00x0x²0x³ 0 W sv2 sejam a1xa2x²a3x³ b1xb2x²b3x³ W a1xa2x²a3x³ b1xb2x²b3x³ a1b1xa2b2x²a3b3x³ W sv3 sejam a1xa2x²a3x³ W λ R λa1xa2x²a3x³ λa1x λa2x² λa3x³ W logo W é subespaço vetorial de P 3 R b W px V a0a1a2a30 sv1 Como 00000 0x 00x0x²0x³ W sv2 sejam px qx W px a0 a1x a2x² a3x³ qx b0 b1x b2x² b3x³ em que a0 a1 a2 a3 0 b0 b1 b2 b3 a0 b0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a0 a1 a2 a3 b0 b1 b2 b3 0 0 0 px qx a0 a1x a2x² a3x³ b0 b1x b2x² b3x³ a0 b0 a1 b1x a2 b2x² a3 b3x³ W sv3 sejam px a0 a1x a2x² a3x³ W λ R λa0 λa1 λa2 λa3 λ a0 a1 a2 a3 λ 0 0 λ px λ a0 a1x a2x² a3x³ λ a0 λ a1x λ a2x² λ a3x³ W logo W é subespaço vetorial de P 3 R c Seja px W Nem sempre λ px W λ R sv3 seja px a0 a1x a2x² a3x³ W a0 a1 a2 a3 Z 2 px 2 a0 a1x a2x² a3x³ a02 a12 x a22 x² a32 x³ a02 a12 a22 a32 Z W não é subespaço vetorial de P 3 R d W px V a2 a3 0 sv1 0x 0 0x 0x² 0x³ W sv2 sejam px qx W px a0 a1x qx b0 b1x px qx a0 a1x b0 b1x a0 b0 a1 b1x 0x² 0x³ W sv3 sejam px a0 a1x W λ R λ px λ a0 a1x λ a0 λ a1x 0x² 0x³ W logo W é subespaço vetorial de P 3 R 5 a W f V fx 0 x R Nem sempre λ f W λ R f V sv3 seja f W tal que fx 0 x R 1 fx fx 0 1 f W logo W não é subespaço vetorial de FR R b W f V f0 0 SV1 0 FR R tal que 0x 0 x R 00 0 0 W SV2 Sejam f g W f0 g0 0 f g0 f0 g0 0 0 0 f g W SV3 Sejam λ R f W f0 0 λf0 λf0 λ0 0 λf W Logo W é subespaço vetorial de FR R c SV1 0 FR R 0x 0 x R 00 0 2 0 W Logo W não é subespaço vetorial de FR R d W f V λ R x R fx λ f SV1 0x 0 x R 0 W SV2 Sejam f g W λ μ R fx λ x R gx μ x R f gx fx gx λ μ constante f g W SV3 Sejam λ R f W μ R fx μ x R λfx λ fx λ μ constante λf W Logo W é subespaço vetorial de FR R e W f V fx λ1 λ2 senx λ1 λ2 R SV1 0x 0 0 senx 0 x R 0 W SV2 Sejam f g W λ1 λ2 μ1 μ2 R tais que fx λ1 λ2 senx gx μ1 μ2 senx f gx fx gx λ1 λ2 senx μ1 μ2 senx λ1 μ1 λ2 μ2 senx f g W SV3 Sejam λ R f W μ1 μ2 R tais que fx μ1 μ2 senx λ fx λ fx λ μ1 μ2 senx λ μ1 λ μ2 senx λ f W Logo W é subespaço vetorial de FR R 8 W 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b R x y y x y R x y z W λ x μ y ν z 0 λ x μ y ν y 0 Sejam λ 0 μ 1 ν 1 x y z W x y z x y y 0 x 1 y 1 z y y 0 0 x 1 y 1 z 0 y z 0 z y x y z x y y W