Lista de Exercícios: Introdução à Mecânica Ondulatória e Equação de Schrödinger

Fisica Quantica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 5 Tema Introducao a mecanica ondulatoria A equacao de Schrodinger Questoes a O que significa normalizar a fungao de onda e por que devemos fazélo Explique em palavras b Quais sao as condigdes minimas necessdrias para que uma funcao matematica seja ade quada para representar uma funcgéo de onda associada a um elétron Discuta sobre o significado da fungao de onda c Por que as seguintes funcdes de onda nao sao fisicamente possiveis para todos os valores de x Explique i Wx Ae ii a Ax iii wx A tgzx Problemas 1 Escreva a equagao de Schrédinger dependente do tempo e mostre como chegar 4 equagao independente do tempo Em que casos podemos utilizar a equacao independente do tempo 2 Verifique que a fungao Asin4en se 2 a 44 WU a t a a 0 se f oux é uma solugao da equagao de Schrédinger na regiao x 4 para uma particula que se move livremente mas esta confinada nesta regiao Determine a energia associada ao estado cuja a funcao de onda é Wxt acima Encontre a constante de normalizagao A 3 No tempo t 0 uma partícula é representada pela função de onda Ψ x 0 A x a se 0 x a A bx ba se a x b 0 se x 0 ou x b i Normalize Ψ x 0 isto é calcule o fator de normalização A como função de a e b ii Faça um esboço do gráfico de Ψ x 0 iii Qual a probabilidade de encontrar a partícula do lado esquerdo de a iv Calcule o valor médio de x Page 2 Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 5 Tema Introdução a mecânica ondulatória A equação de Schrödinger GABARITO Questões a O que significa normalizar a função de onda e por que devemos fazêlo Explique em palavras Resp A normalização da função de onda consiste em multiplicála por uma constante de forma que a integral de seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço de validade da função de onda seja igual a um Nota Uma das condições de validade de uma função de onda é que a integral do módulo ao quadrado da função resulte em um valor finito ou seja essa condição assegura que essa constante exista e seja finita A vantagem da função de onda normalizada é que a integral do módulo quadrado da função de onda em uma região tornase igual a probabilidade de encontrar a partícula nessa região Para funções de onda não normalizadas essa integral é proporcional a probabilidade mas não igual b Quais são as condições mínimas necessárias para que uma função matemática seja ade quada para representar uma função de onda associada a um elétron Discuta sobre o significado da função de onda Resp Para que uma solução da equação de Schrödinger seja aceitável fisicamente ela deve atender as seguintes condições Ser contínua e finita em todo o seu espaço de validade Possuir uma primeira derivada também contínua e finita em todo o seu espaço de validade O módulo quadrado ΨΨ Ψ2 deve possuir uma integral em todo o espaço finita essa propriedade está associada a condição de normalização Nota1 A função em si não possui significado direto mas propriedades físicas do sistema podem ser obtidas a partir dela Um exemplo estudado nessa matéria é o módulo quadrado que possui significado físico associado à probabilidade de encontrar o elétron em uma dada região Nota 2 É importante ressaltar que os limites da integral de normalização devem ser definidos nos intervalos de validade nos casos em que a função de onda é definida por diferentes funções matemáticas específicas para cada região do espaço veja o problema 3 desta lista Nestes casos a integral do módulo ao quadrado deve ser feito para cada uma das funções em sua região de validade e a condição de normalização deve ser aplicada para a soma de todas as integrais c Por que as seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x Explique i ψx Aex ii ψx Ax2 iii ψx A tgx Resp Para as três funções listadas temos que a função de onda não é limitada para algum valor de x além disso no item iii temos pontos de descontinuidade da função Especificamente em cada caso i limxψx ii limxψx ii limx nπ 2 ψx pela direita ou pela esquerda com n 135 Problemas 1 Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e mostre como chegar à equação independente do tempo Em que casos podemos utilizar a equação independente do tempo Resp A equação de Schrödinger em uma dimensão dependente do tempo é dada por ℏ2 2m 2 x2 Ψx t V x tΨx t iℏ tΨx t Nos casos em que o potencial não depende explicitamente do tempo ou seja V x t V x então podemos escrever a solução Ψx t ψxΦt e substituir na equação acima Φt ℏ2 2m d2 dx2 ψx V xψxΦt iΨxℏ d dtΦt Dividindo dos dois lados por Ψx t obtemos ℏ2 2m 1 ψx d2 dx2 ψx V x i 1 Φtℏ d dtΦt Observe que no lado esquerdo temos dependências apenas na variável x e no direito t Para que tal igualdade seja satisfeita ela deve ser igual uma constante um número no caso a energia total do sistema E e obtemos duas equações diferenciais ℏ2 2m d2 dx2 ψx V x Eψx i1 ℏ d dtΦt EΦt A primeira equação depende do potencial V x específico sendo denominada equação de Schrodinger independente do tempo A segunda nos dá a dependência temporal cuja Page 2 solugao é t eFth que 6 denominada evolucdo natural Portanto para os casos em que o potencial nao depende explicitamente de t as solucdes podem ser escritas como Uart Wrje Note que Psixt psix ou seja a probabilidade de encontrar a particula em uma dada posicgéo nao depende da fungaéo temporal Como mencionado antes tal equacgao sé pode ser utilizada quando o potencial nao depende explicitamente do tempo primeira condigao da resposta 2 Verifique que a fungao Asin2e se 2 a 44 WU a t a 2T2 0 se f oux4 é uma solugao da equagao de Schrodinger na regiao x 4 para uma particula que se move livremente mas esta confinada nesta regiao Determine a energia associada ao estado cuja a funcao de onda é Wxt acima Encontre a constante de normalizagao A Resp Para testar se Ux t é solugao devemos substituila em cada parte da equacao de Schréndiger e comparalas h 0 oO om Daw Ltt VatUat ihe Uat onde 0 epnc ye Vethy oO se 5 OUTS 5 Assim obtemos para o lado esquerdo Eq h An 2 Anx i h 27 Ana i Eqe A sin yee Asin yee 2m a a ma a e para o direito qq iE Ana i Anu i Eqa ih a sin S F ssn S Rh a a Portanto para que a igualdade Eq Eqq seja satisfeita e consequentemente Ux t seja solugao da equagao de Schrédinger é necessdrio que Shen B ma Para determinar a constante de normalizacao impomos a condicao a2 a2 Arr W x tda a sin de 1 a2 a2 a Podemos usar a relacdo trigonométrica sin0 5 4cos20 que nos leva a 2p 8rar 2 a 5 5008 de 1 A a22 2 a a Page 3 3 No tempo t 0 uma particula é representada pela fungao de onda At se 02ra WV x0 Agate se aab 0 se 0 ouazb i Normalize W x0 isto é calcule o fator de normalizagéo A como fungao de a e b ii Faga um esbogo do grafico de W zx 0 iii Qual a probabilidade de encontrar a particula do lado esquerdo de a iv Calcule 0 valor médio de z Resp i A normalizagao é dada pela condigao a 2 b m2 aac ery ay 1 0 a a b a Resolvendo as integrais polinomiais e reorganizando os termos obtemos A V3 ii O esboco da fungao de onda pode ser visto na Figura 1 Y xt 3 wenn ee eee Vv 0 a b x Figura 1 Esboco de Ux t problema 3ii iii A probabilidade de encontrar a particula do lado esquerdo de a é dada pela integral entre os pontos 0 e a que resulta em 327 a P dxr OO a b a2 v b iv O valor médio de x é dado por fo a 0 Pde portanto 323 32b2 2ab d dx ager b boa 4 Page 4