Lista de Exercícios 7 - Álgebra Linear

ao a eae re ee Universidade Federal do ABC Lista 7 ALGEBRA LINEAR TurMAs NA2SA NB2SA 1Q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Sistemas lineares Adotamos as seguntes abreviacées c combinacio linear d linearmente dependentes 1i linearmente independentes tl transformacio linear Exercicios ou itens com so mais trabalhosos Algoritmo de eliminagao gaussiana Dados espacos vetoriais reais VV V com dim VV n dim W m beWeumatlTV 3 W seja o sistema linear TX b na forma matricial As bs onde S én CV eSg fh Lees fat CW sao bases e A é a matriz de T em 1 Sy Se x ea xjejeb yi hifi entao Ly by Ay ote An m Xn bn An a Ann isl ou seja 4 A parai 1mj 1 quaisquer Seja Ay Ain by a matriz aumentada do sistema As bs o TomeFFT b Se e lin execute os seguintes passos i Se Ai 0 permute a iésima linha da matriz aumentada A com a iésima linha de A onde é o menor indice para o qual 4irj 0 Se nao houver tal 7 troque j por j 1 e repita o passo i ii Se Ai 0 multiplique a iésima linha de A por de modo a tornar Ai 1 e ij depois some A jxiésima linha de 4 a 7ésima linha de A para cada li i de modo a tornar Ai 0 iii Troque j por j 1 ei pori 1 e repita o passo b c Se ou i nl encerre 0 algoritmo Cada operacio indicada com representa a aplicacao de uma operacdo elementar esquerda dos dois lados do sistema linear Tz b de modo a obter um novo sistema linear equivalente ao anterior ie com as mesmas solucdes pois toda operacao elementar é uma t invertivel E por isso que cada operacio elementar deve ser aplicada 4 matriz aumentada e nao s6 ao lado esquerdo O resultado da eliminagao gaussiana é a matriz aumentada By ts Bin y rT B ioc i fi f Ble Bn oe Brn bn cujo lado esquerdo B possui a seguinte caracteristica existem 0 r me 0 jo jl jo hjp Sn tais que 1 By 0 se j j e 1 1 2 Bij 0 e By O sei i 38 By O sei r 1jne Bj 1 para todo 1 i r Em geral se Bij 0 e Bj 0 para todo j j ou seja Bj a primeira entrada naonula da iésima linha dizemos que B é 0 pivé da iésima linha de A e j a coluna desse piv6 Logo j1 jg j sao as colunas dos pivés de B Uma matriz B com as propriedades 18 é dita escalonada em linhas em inglés row echelon form Ov O By ce ce cee ee Bay OO se 0 Boy ce ce e Ban B O ee eee eee OO By Brn No sistema linear correspondente Bs bs que como apontado acima possui as mesmas solugdes que o sistema original as equagdes que s4o identicamente zero do lado esquerdo correspondendo as linhas nulas de B sao necessariamente as dltimas Além disso as equagdes naotriviais correspondendo as linhas naonulas de B sao Li ie nao é possivel obter uma das equacgées como c das outras O ntimero r de linhas equacées ndonulas de B é igual ao posto de A O caso r 0 86 ocorre se A 0 Algoritmo de eliminacao de GaussJordan Empregamos a mesma notaio usada no algoritmo de eliminaao gaussiana a Aplique eliminacao gaussiana a A de modo a obter a matriz aumentada B com lado esquerdo B escalonado Sejam j j as colunas dos pivés das linhas naonulas de B b Tome li r c Se i 0 execute Os seguintes passos i Somet Bjrxiésima linha 4 iésima linha para cada li il de modo a tornar ss 20 ii Troque i por i 1 e repita o passo c d Se i 0 encerre 0 algoritmo 2 O lado esquerdo C da matriz aumentada C C lds resultante do algoritmo de eliminacao de Gauss Jordan possui as mesmas propriedades resultantes da eliminacdo gaussiana em particular as posicdes dos piv6s das linhas de C sao as mesmas de B O objetivo é zerar todas as entradas acima de cada pivé de modo a eliminar a necessidade de substituir as varidveis correspondentes as colunas dos pivés que jé foram resolvidas Mais precisamente os passos bd do algoritmo de GaussJordan sao uma maneira mecanica e sistematica de executar essas substituicdes Critério para existéncia de solucGes O sistema original possui solugdes se e somente se ndo houver equacdes com lado esquerdo identicamente nulo correspondentes a linhas de 4 s6 com zeros e lado direito diferente de zero apos eliminacao gaussiana ou de GaussJordan Em particular se o sistema linear Tz b for homogéneo ie b 0 entao ele sempre tem pelo menos uma solucio a saber 0 Critério para unicidade de solugées ie o nimero de equacées apds eliminacio gaussiana é igual ao nimero de varidveis no sistema original a solucdo se existir é vinica ie o numero de equacées apéds eliminagao gaussiana 6 menor que o numero de varidveis no sistema original a solucdo se existir ndo é tinica Obtendo a solucao geral no caso solucdo notinica i Sejam jj j as colunas dos pivds das linhas naonulas da matriz obtida apoés eliminacao gaussiana ou de GaussJordan e j41 jn asm r colunas restantes ie rts 9 Jm 1 FN fis eee Irs oe n 2 ii Se o sistema original possui solucio uma solucio particular o a1 UIE dele é ob tida tomandose para todo j 1 j1j no sistema obtido apés eliminaao gaussiana ou de GaussJordan iii Considere o sistema linear homogéneo AZs 0s associado ao sistema linear original Ais bs Para obter os sistemas resultantes apos eliminaaio gaussiana ou de Gauss Jordan basta zerar o lado direito das matrizes aumentadas correspondentes Como r 7 esse sistema admite solug6es naotriviais 0 iv Paracadak 1nr obtémse uma solucio 2 ea z do sistema linear homo géneo tomandose e se no sistema obtido apés eliminacao gaussiana ou de GaussJordan Por construcio as solugGes 21 Znr S40 1i e portanto pelo Teorema do Nticleo e da Imagem formam uma base do espaco de solugées v Portanto pelo Principio de Superposiio a solucdo geral do sistema homogéneo é dada por 2yrr 2 Z Vp Via Zb Tj Rk 1nr ea solucao geral do sistema original é dada 3 1 Considere as seguintes matrizes aumentadas sobre as quais já foi aplicada eliminação de Gauss Jordan i Escreva o sistema linear correspondente ii Se o número de equações linearmente inde pendentes for igual ao número de variáveis resolva o sistema linear obtido se possível iii Se o número de equações linearmente inde pendentes for menor que o número de variá veis encontre uma solução particular para o sistema se houver e encontre uma base para o espaço de soluções do sistema homogêneo correspondente a 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 7 b 1 0 0 7 8 0 1 0 3 2 0 0 1 1 5 c 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 d 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e 1 3 4 7 0 1 2 2 0 0 1 5 f 1 0 8 5 6 0 1 4 9 3 0 0 1 1 2 g 1 7 2 0 8 3 0 0 1 1 6 5 0 0 0 1 3 9 0 0 0 0 0 0 h 1 3 7 1 0 1 4 0 0 0 0 1 2 Considere os seguintes sistemas lineares não homogêneos Para cada um deles i Escreva a matriz aumentada ii Obtenha a matriz aumentada resultante após eliminação gaussiana e daí o número r de equa ções linearmente independentes do sistema iii Obtenha a matriz aumentada resultante após eliminação de GaussJordan iv Determine quais sistemas tem solução e para quais a solução é única v Resolva os sistemas que possuem uma única solução de duas formas diferentes a primeira usando o sistema obtido após eliminação gaus siana e a segunda usando o sistema obtido após eliminação de GaussJordan a x1 x2 2x3 8 x1 2x2 3x3 1 3x1 7x2 4x310 b 2x1 2x2 2x3 0 2x1 5x2 2x3 1 8x1 x2 4x31 c x y 2z w1 2x y 2z 2w2 x 2y 4z w 1 3x 3w3 d 2b 3c 1 3a 6b 3c2 6a 6b 3c 5 e 2x1 3x22 2x1 x2 1 3x1 2x2 1 f 3x1 2x2 x315 5x1 3x2 2x3 0 3x1 x2 3x3 11 6x1 4x2 2x3 30 g 4x1 8x212 3x1 6x2 9 2x1 4x26 4 10y 42 w 1 Qa Ay 4z0 a 4y zg w 2 w y 82z0 h 38x By zx Qw 5 c 2w 384 y 2x0 2r 8y Qz Qw4 2w x 8y 2z0 x 6y 82 9r y 820 5x Qxq Oxg0 d x Qy 82z0 i 27 aw S8ag1 r y 4z0 ay x zw Aayl v 8w 27r0 j ayo 8219 7x3 Qay2 2u v 4w 320 ty 19 Iles 16x45 ou 80 Ow 20 w We yed 4u 38v Sw 42x0 k xr y3 ry 829 2x40 w 8x 7 ay Aro Qzxzg 0 Qu 4u w 7x 7 f Qxq Lag awy0 221 4x9 Xr x40 XL 2x9 Xr x40 3 Por simples inspeio isto é sem resolver o sis tema determine quais dos sistemas lineares homo géneos abaixo possuem solucées naotriviais isto 6 5 Resolva os sistemas lineares niohomogéneos diferentes de zero dando a razao para tal abaixo a b c sao constantes fixas por eliminacio 22 8x9 423 ax40 gaussiana a Fa 29 8x3 Yaxy0 2x ya 22 84g wg x40 a 3 6yb ry 3xrg xg0 Xt XQ xXgZa b ty 8x30 b 4 2x1 Qxrgb 4x30 8x9 8xgC QxX AyQrXQ a132x30 agX aAggrtg a93x30 4 37 Qro0 Para quais valores de A os sistemas lineares 6x 4ao0 abaixo possuem i Uma tinica solugao 4 Resolva os sistemas lineares homogéneos abaixo ii Nenhuma solugao por eliminacao gaussiana Se o sistema admitir uma iii Mais de uma solucao solucdo naotrivial encontre uma base do espaco de solucées c dy dz 4 a 38a oy 5bz oD sx 20 tg dag0 dc y A214za 2 a ry 2x9 0 xg 2x30 b y0 a A8y0 b x49 x3 x40 5a x9 2x3 240 5 7 Resolva o sistema linear 9 Sejam os conjuntos S 1 9 de n ve Qn 29 lx tores em R dados abaixo Determine por simples 9x 2 wgedry inspecio dos vetores em S um subconjunto de S que 9r Qo xgdug seja uma base do subespaco vetorial LS gerado por S e determine as componentes dos vetores restantes por eliminagao gaussiana nos casos i 2 1 e ii em S nessa base a aS fh 101052 838713 1389394 8 Sejamas transformacées linearesT V R 5 35 1 W R dadas nas respectivas bases can6nicas pelas b S 7 1208 matrizes A MmxnR listadas abaixo 24063 1120 iAplique eliminagao de GaussJordan a 4 0 1 2 3 iiUse o item anterior para determinar o posto RT de T dim TV nimero de linhas 10 Sejam os conjuntos S Yn den ve naonulas de A apoés eliminacdo gaussiana ou tores em R dados abaixo de GaussJordan e a nulidade NT de T dim ker T ntimero de colunas de A iDetermine o sistema linear homogéneo com n posto de T varidveis 21 A dado por ea Aj Oe escreva a matriz aumentada correspondente iiiEncontre uma base para ker 7 nos casos em oo que dim ker T 0 lembrando que esse su iiAplique climinaao de GaussJordan a0 sis bespaco vetorial de V é 0 espaco das solugées tema linear homogéneo obtido no item i do sistema linear homogéneo TZ 6 iii Determine a dimensio k do espaco de solugées l1 3 do sistema linear homogéneo obtido no item a A 54 4 i e encontre uma base de solugées para esse 7 6 9 sistema se k 0 90 1 ivSeja o sistema reduzido apos eliminagao de b 414 0 2 GaussJordan ie retirando as linhas s6 com 00 0 zeros Nos casos em que k OQ obtenha as solucdes dos n k sistemas lineares nio 1452 homogéneos obtidos tomandose 21 ce d 2 13 01 A 0 no sistema reduzido e tomando o lado l3g22 direito da matriz aumentada do sistema ob 1 4 5 6 9 tido pelos vetorescoluna com a jésima en d A 382 1 4 l trada igual a e todas as outras iguais a zero l1 0 1 2 l jlnk 2 38 5 7 8 vUse o resultado dos itens iii e iv para escre 13 2 2 1 ver uma base para o subespaco vetorial gerado 0 38 6 O 8 por S Qual a dimensao desse subespaco e d 2 8 2 4 4 a S ff 11435 86 0 6 5 2 0 2 2 3 2 1 3 2 ae b S Gi CL1205 3 8 6 0 3 9 0 0 3 6 ec S 7 10052 1ldit 0 0 1 1 93 2 0 2 2 4 d A 2382 1 0 3 0 3 s 7 8 1 1 2 12 1 8 1 Que condigées 21 Ag Ag Aq A5 devem satis fazer para que o sistema linear a 3yA xr y xr yA3 a AyA4 a SyA5 tenha solugao 12 Determine o posto das matrizes 4 dadas abaixo como funcio de t R 11 a A1 14 t 1 il i b A 8 6 2 l1 3 1 13 Calcule a inversa das matrizes 4 abaixo se hou ver por meio de eliminacao de GaussJordan Nos casos em que nao houver inversa determine a nu lidade e uma base para o nticleo da transformaaio linear correspondente a A 1 2 a A 34 4 2 3 b A4 5 6 7 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 c A 9 10 11 12 4 38 2 1 7 Respostas parciais dos exercicios 1 a A tinica solucdo é dada por Z 8 0 7 b i A matriz aumentada do sistema tem a forma b Uma solugao particular do sistema é dada por 9 99 0 i 82 5 0 e uma base do espaco de solugdes 2 5 2 1 i Eliminagao gaussiana resulta do sistema homogéneo correspondente é dada por 8 141 21 7 3 l 1 11 1 0 na matriz aumentada 0 1 5 5 Gii Elimi c Uma solucao particular do sistema é dada por 0 0 1 1 L 4 ty 20 7 80 e uma base do espago de solu nacao de GaussJordan resulta na matriz aumentada cdes do sistema homogéneo correspondente é dada por 100 1 21 6 1 0 0 0 2g 8 0 4 5 1 0 1 0 O VA solucao do sistema é dada por 00 1 4 d O sistema nao possui solugéo Uma base do espago x 4 xg 023 3 de solugées do sistema homogéneo correspondente que sempre tem solucao é dada por z 8 1 0 c G A matriz aumentada do sistema tem a forma 1 l 2 1l e A unica solucado é dada por 87 8 5 2 1 2 22 ii Eliminaca ii Eliminacgao gaussiana 1 24 11 seo 8 f Uma solucio particular do sistema é dada por 30 0 83 Xo 54 20 e uma base do espaco de solugées 1 184 1 do sistema homogéneo correspondente é dada por 7 of 0 12 O 0 z 18 18 1 1 resulta na matriz aumentada 0 O O 66 0 O O Of O g Uma solugao particular do sistema dada por iii Eliminagao de GaussJordan resulta na matriz au xq 11 0 04 9 0 e uma base do espaco de solu 10 0 1 1 cdes do sistema homogéneo correspondente que sempre 012 0 0 tem solucdo é dada por Z 71000Z mentada 00 0 66 2 0 3 8 1 0 0 0 0 0 h O sistema nao possui solucio Uma base do espaco d i A matriz aumentada do sistema tem a forma de solugées do sistema homogéneo correspondente que 02 8 1 sempre tem solugao é dada por Z 19 4 1 38 6 8 2 Gi Eliminagao gaussiana resulta 6 6 8 5 2 a i A matriz aumentada do sistema tem a forma 12 1 2 1 8 na matriz aumentada 0 1 3 5 iii Elimi 1 2 8 1 Gi Eliminacao gaussiana resulta 00 0 19 387 4 10 nacao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 111 8 10 2 3 na matriz aumentada 0 1 2 9 ii Elimi 01 3 5 0 0 1 00 0 12 nagao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 1 0 0 28 e i A matriz aumentada do sistema tem a forma 0 1 0 v A solucao do sistema é dada por 9 39 001 i 2 1 1 ii Eliminagdo gaussiana resulta na ay 3B x 3 OPS 38 2 1 8 3 3 3 8 13 l 10 5 3 matriz aumentada 0 3 iii Eliminagao de 0 1 2 i a 0 02 00 0 0 04 1 0 00 0 Of 0 GaussJordan resulta na matriz aumentada 0 1 00 0 Of 0 7 0 018 i i A matriz aumentada do sistema tem a forma 5 2 610 Mey De 9 131 ii Eliminacao gaussiana resulta f i A matriz aumentada do sistema tem a forma 1 2 69 3 2 1 15 na matriz aumentada 5 5 iii Elimi O 1 275 5 38 2 OF Du ii Eliminagao gaussiana resulta nacgao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 8 1 811 6 4 230 pO 12 a o 0 1 975 1 3 g 5 0 1 175 j Gi A matriz aumentada do sistema tem a forma na matriz aumentada Gii Elimi 0 0 1 7 1 2 1 4 1 00 O 0 1 3 7 2 2 ii Eliminagao gaussiana nacao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 1 12 11 165 1 0 0 1 2 1 41 0 1 02 6 61 las v A solucao do sistema dada por resulta na matrizaumentada 0 1 3 35 iii 00 17 0 OO O06 00 00 Eliminagao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 4 10 82 X 322 223 7 5 5 5 6 6 1 O 1 3 3a 00 0 06 g i A matriz aumentada do sistema tem a k i A matriz aumentada do sistema tem a forma 4 8 19 0 0 1 2 14 forma 38 6 9 Gi Eliminacado gaussiana e de 00 0 1 18 ii Eliminacao gaussiana re 9 46 0 0 1 8 27 GaussJordan resultam na mesma matriz aumentada 24 17 O7 1 7 7 1 23 125 3 Og 0 00 4 It ri tadal 9 1 2 114 OE Gis sulta na matriz aumentada iii 0 00 00 1 8 27 00 0 1 18 Eliminagao de GaussJordan resulta na matriz aumentada h i A matriz aumentada do sistema tem a forma 120 0 86 0 10 4 1 1 0000 01 0 1 41 1 2 0010 12 38 2 1 2 5 4 Gi Eliminacio gaussiana re 00011 8 2 8 2 24 1 6 8 O 1 141 11 2 3 Apenas o item b nao possui solucdo naotrivial 2 1 1 0 13 q 10 sulta na matriz aumentada 0 0 O 0 O iii 4 a A matriz aumentada do sistema tem a forma 00 0 O 0 2 1 80 00 oO O 0 1 2 O07 0 eliminaco gaussiana resulta na matriz Eliminagao de GaussJordan resulta na matriz aumentada 0 1 10 9 12 O0 1 38 0 10 aumentada 0 1 1 0 e portanto a tinica solugaio 1 4 2 0O0 00 10 0 2 2 1 0 eliminacao gaussiana resulta é a solucao trivial x x9 xg 0 9 4 110 1 2 1 10 b A matriz aumentada do sistema tem a forma 13 0 10 5 1 11 0 F eliminagao gaussiana resultana ya matriz aumentada 0 0 1 3 0 e portanto a 111 19 0 0 0 10 matriz aumentada 0 i i Uma base de 00 0 00 1 J unica solucdo é a solucdo trivial x rg 1g 24 0 solugées é dada por 7 7 1 0 0 1 0 1 5 a A matriz aumentada do sistema tem a forma 21a Eliminaca i It tri c A matriz aumentada do sistema tem a forma 3 6b ee BN EE NNO 02 2 40 b 1 2 3 10 1 310 aumentada 0 1 2 logo o sistema tem como eliminacdo gaussiana resulta na 9 3 2 3 1 1 0 solugio x 4 fg y 2 2 1 8 20 1 0 1 3810 b A matriz aumentada do sistema tem a forma 01 1 20 111 matriz aumentada Uma base de 0 0 0 10 2 0 2 45 Eliminagdo gaussiana resulta na ma 00 0 10 0 38 8Jc solugées é dada por 1 1 1 0 11d a triz aumentada 0 1 0 a logo o sistema oo b d A matriz aumentada do sistema tem a forma 001 3 are 5 5 9 1 310 tem como solugao 2 a 349 a 9543 3 a35 1 2 810 eliminacao gaussiana resulta na 6 a A matriz aumentada do sistema tem a forma 1 1 410 1 2 3 4 11410 31 5 2 Aplicando eliminagao matriz aumentada 0 1 Z 0 e portanto a tinica 4 1 A14A2 00 10 gaussiana conseguimos avanar até obter a matriz au solucao é a solucao trivial x y z 0 12 3 4 mentada 0 1 2 io Seda 4 ou 8 0 0 Aa16a4 e A matriz aumentada do sistema tem a forma 0 sistema possui uma tinica solugio Se 2 4 ou 3 0 1 8 20 o sistema possui mais de uma solucio Se A 4 o 2 1 4 380 ae sistema nao tem solucao eliminacao gaussiana resulta 2 8 2 10 4 8 5 40 b A matriz aumentada do sistema tem a forma 1 22 30 A3 10 2 2 Se A 8 o sistema possui uma 0 1 8 20 1 243 0 na matriz aumentada 00 1 lot Uma base Ginica solucao Se A 3 aplicando eliminagao gaussi 00 0 olo ana conseguimos avancar até obter a matriz aumentada mcg 1 3 0 de solugdes é dada por 6 5 1 1 eae logo o sistema possui uma tinica so g 588 0 lugio se A 2 ou 4 Sea 2 ou 4 entao o sistema f A matriz aumentada do sistema tem a forma possui mais de uma solucio 10 7 A matriz aumentada do sistema tem a forma b jy e 3 sao Li yo 2 e 4 F1 93 logo 2A 1 00 dim LS 2 2 laA 10 No caso a 1 eli 9 9 1Al0 A Qag 2Az30 minac4o gaussiana resulta na matriz aumentada 10 a Obtemoso sistema Ay As0 11 30 4A Qdg BAdg0 0 1 0O0 que tem solucdo naotrivial 2 38A 2dg 2As0 00 00 1 2 20 1 x9 023 1 No caso d 2 eliminacio gaus 1 0 10 Q7 2 A383 Gao com matriz aumentada Gauss 4 2 380 1 1 0O0 8 2 20 siana resulta na matriz aumentada 0 1 00 0 0 10 1 0 O0 a arin m 1p 0 1 00 logo a unica solugao x1 xg tg 0 Jordan resulta na matriz aumentada 00 1lol 8 a GaussJordan resulta na matriz 4A 0 0 00 1 O 16 logo a tinica solucao do sistema 6 21 Ag Ag 0 e por 0 1 19 logo dimTV 2 e dim kerT tanto k 0 Em particular S é1i logo dim LS 8 0 0 0 1 Uma base de ker JT é dada por 16 19 1 A dag Y9A30 1 0 0 38A 0 b Obtemos o sistema a1 2 b GaussJordan resulta na matriz d 0 0 1 2A G6Ae9 0 0 0 0 3230 logo dim TV 2 e dim ker T 1 Uma base de 1 3 9l0 ker T é dada por 0 1 0 13 00 c GaussJordan resulta na matriz 4 commatriz aumentada 9 6 olol GaussJordan 6 100 0 0 30 010 Of logo dimTM 38 e 1 0 0l0 001 7 0 1 00 dim ker T 1 Uma base de ker 7 é dada por resulta na matriz aumentada 00 1lol logo a 2 0 4 1 0 0 00 d GaussJordan resulta na matriz 4 10121 unica solucao do sistema 6 A Ag Ag 0 e portanto 01112 k 0 Em particular S é1i logo dim LS 8 logo dimTV 2 e 000 0 0 ay As 0 000 0 0 al 8a40 dim ker T 8 Uma base de ker 7 é dada por c Obtemos o sistema Ao QA 0 2 3 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 2 0 0 1 Ag QA3 3240 e GaussJordan resulta na matriz 4d 22 1 0 2 O0 P00 2 3 10 0 80 0 1 0 0 i com matriz aumentada 01 9 o 0 Gauss 0010 3 logo dimTVV 8 e 000 0 0 01 2 80 000 0 0 100 0j0 dim ker T 2 Uma base de ker J é dada por Jordan resulta na matriz aumentada 0 1 0 070 2 0 0 10 3 0 1 0 0 1 010 000 140 9 a 1 Vo Sdo Li Hg Fo VW C94 JQ 21 logo logo a tinica solucdo do sistema 6 Ay Ag Ag dim LS 2 A4 0e portanto k 0 Em particular S é 1i logo ll dim LS 4 t 1 o posto de A é obviamente igual a 1 11 Eliminacio gaussiana aplicada a matriz aumen b Eliminagao gaussiana resulta na matriz 1 83 Ay 1 3 t 1 2 A 0 1 21 set 1 3 logo o posto de A é igual tada do sistema 1 1 Ag resulta na matriz 0 0 1 14 ay a 3 nesses casos Set 5 eliminaao gaussiana resulta 3 1 5 as jie 13 F na matriz 0 1 logo o posto de A é igual a 00 0 0 1 dg Ai 2 Set 1 eliminagio gaussiana resulta na matriz aumentada 0 0238A44Ag logo o sis 13 1 0 Of Aq2AAg 0 1 4 logo o posto de A igual a 2 0 Oj A57A18Ag 0 0 O tema possui solucio se e somente se 2g 4293821 Ay 2A Age As 8AQ 7Aq 13 ra f 29 9 12 a Eliminacao gaussiana resulta na matriz 8 8 3 11 b A1 57 10 11 12 0 1 1 set 1 2 logo o posto de A é igual a3 38 18 12 00 1 c A tem nulidade igual a 2 nesses casos Se t 2 eliminacao gaussiana resulta na 4 1 38 1 1 1 2 10 4 0 2 d A12 matriz 0 1 1 logo o posto de J é igual a 2 Se 18 38 38 8 0 0 O 22 0 2 12