Lista de Exercícios de Álgebra Linear - Subespaços Vetoriais

eae re ee Universidade Federal do ABC Lista 2 ALGEBRA LINEAR Turmas NAQSA NB2SA 1Q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Subespacos Vetoriais Combinacées Lineares c 1 Determine quais dos seguintes subconjuntos a b W CV do espaco vetorial V R sao subespacos WV 4 c ad cP vetoriais de V a W abc EV bc 0 tei a be 0 b W abc V bc1 c W abc EV batc d d W ZabcV bac e W abc EV abc wa i fereol f W abc V acoubc g W abc V a b 0 h W abc V b 2ac 8a 3 Mostre que os seguintes subconjuntos W c V do espaco vetorial V Myx IR das matrizes n x n 2 Determine quais dos seguintes subconjuntos entradas reais ver Exercicio 8 da Lista 1 sao W cV do espaco vetorial V Jlgx9R das ma subespagos vetoriais de V trizes 2 x 2 com entradas reais ver Exercicio 8 da a W Aaj V Tr4 vi ajj O Lista 1 séo subespacos vetoriais de V a b W A aj V aj qj ij ab 1 w4 ier ahoader 5g W A aj V AB BA Aqui B bj V uma matriz fixa e 4B denota b o produto das matrizes 4 e B cujo elemento na iésima linha e jésima coluna é dado por y 4 a eV Die Gill analogamente para BA c atbctd 4 Determine quais dos seguintes subconjuntos W CV do espaco vetorial V PegR a fx ag ax ax agx ap a1 a9 a3 R b Se S Z Zp entéo podemos tomar dos polindmios de ordem 8 ver Exercicio 11 r n k fixo na definiaio de LS da Lista 1 sio subespacos vetoriais de V c SejaW cV um subespaco vetorial de V Se a Wf V a9 0 S CW entio LS c W Em outras pala b Wf V ana ta9 a 0 vras LS o menor subespaco vetorial de c W f EV a 4 a9 ag Z V que contém S d W f V a9 a3 0 d S é subespaco vetorial de V se e somente se LS 8 Dica use a caracterizacao de su bespacos vetoriais vista em aula 5 Determine quais dos seguintes subconjuntos e SeS CT CV entao LS c LT W cV do espago vetorial V FRR f f Se ST CV sao subconjuntos de VY entaio R R das funcgdes de R em R sido subespacos LISAT Cc LS NLT vetoriais de V g Sejam VY R3S 10 1 1 01 a Wf V fx 0 para todo x R 000 e T 110 11 0 b Wf eV f0 0 0 0 0 Mostre que LS NT LSN c Wf eV f0 2 LT d W f V fx constante para todo xe R 8 SejaW L1 1 1 A 1 1 Encon eWo f FV f at tre A uw v R tais que a yz W se e somente dgsenz A149 Rj seAxtpytvz0 6 Determine 9 Exprima os seguintes vetores em R como a Quais dos subconjuntos V do espaco vetorial combinacées lineares dos vetores 0 2 2 e IR dados pelos itens e f g e i do Exer 3 1 8 1 se possivel ao 11 da Lista 1 so subespagos vetoriais de a 22 2 b 3 15 b Quais dos subconjuntos V do espaco vetorial R dados pelos itens g e q do Exercicio 11 c 0 4 5 da Lista séo subespacos vetoriais de R d 0 0 0 c Quais dos subconjuntos V do espaco vetorial Jilax9IR dados pelos itens m n e 0 do Exercicio 11 da Lista 1 sio subespacos vetori 1Q Mostre que a matriz D 44 pode ser ais de Jlg9R 6 16 escrita como combinacao linear das matrizes 7 Dado um subconjunto S c V de um es a ba a 2 c paco vetorial V sobre R denotemos por LS 34 3 4 3 4 di Ajay p ES AG ER n EN CV osu bespaco vetorial gerado por S se S definimos LS 0 Prove as seguintes afirmagoes ll Sejam 71 09 0g e Ww We Wz Os vetores em a ScLS V R dados respectivamente pelas linhas e pe 2 las colunas da matriz 1 2 8 A4 5 6 7 8 9 a Verifique que esses vetores satisfazem as rela cdes V3 Qdo V Wg QW W b Exprima e 2 como combinagio linear dos vetores 01 09 viceversa c Conclua dos dois itens anteriores que L01 09 03 LW1 we Ws 3 Respostas parciais dos exercicios 1 W definido nos itens a c e e h so subespagos j n 41h temos que X Yi AjXj Yi Qj j3 vetoriais d Segue do item a que basta mostrar que S é subes paco vetorial de V se e somente se LS Cc S De fato se 2 W definido nos itens b e d so subespagos ve LS cS entao S é subespaco vetorial de V Conversa toriais mente provase por induco em n que se S é subespaco 4 W definido nos itens a b e d so subespacos vetorial de 7 entao LS CS toriai g Claramente SANT 0 0 0 e portanto LSAT oriais e 0 0 0 mas 200 101 01 5 W definido nos itens b d e e sio subespacos 1 1 0 1 1 0 LS N LY vetoriais 8 Uma resposta possivel 62 0 w 1 v 1 6 a Itens e g com n 2 e i b Ambos os itens g e q 9 a A AQ 2b A 4 Ag 8 c Nao possi c Itens n e 0 vel escrever 0 4 5 como combinacio linear de wu e 9 7 a Claramente dado qualquer Z S temos que x é d A Ag 0 uma combinacio linear de um tinico elemento de S com A 1 10 DAB4C b Dado z yie1 Ajx LS sejaT Xn C S Como S finito segue que S T é finito Escre Il b 4f0 200 we 20 509 3 403to vendo S T Xn41 Xz e definindo A 0 para vg Pw wy 4