Lista de Exercícios Resolvidos Mecânica Quântica - Partícula Confinada e Transições Eletrônicas

Temos uma curva do tipo px graph of oscillations between 0 and L Apesar do comportamento muito distinto ambos as curvas possuem área unitária No caso clássico p graph is rectangular c O valor esperado no estado fundamental é no centro do poço X ba2 d O valor esperado do momento é p m dXdt 0 pois dXdt é 1 a As energias são En n1 Δ n 0 1 2 3 Logo 0v ħ nE dE2mVE ħ VΔ 2 Vm x V Δħ m 2 x box V Δ2 ħ2 m2 x2 b ρx ψ2 2L sin2 10 π x L 1 a Um espectro teoricoexperimental I vs E apresenta linhas picos de intensidades I associados com os valores de energia E do sistema Se as energias observadas para a partícula de massa m são Δ 2Δ 3Δ 4Δ Encontre o potencial que confina o sistema em função dos dados anteriores 05 pts b Para um poço de potencial infinito faça o gráfico da Px para n10 depois trace a curva de probabilidade clássica de encontrar a partícula Explique a relação entre as curvas 05 pts c Um poço de potencial infinito esta definido entre x a e x b com ab Qual é o valor esperado x para o estado fundamental 05 pts d Para o caso anterior qual é o p para o estado fundamental Explique por quê 05 pts e Escreva as 3 equações de autovalores mais importantes da mecânica quântica e explique o que elas significam 05 pts 2 As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que depende do tempo da distribuição de carga e da emissão ou absorção de um fóton Este problema trata sobre esse assunto Considere um elétron confinado na direção x átomo 1D e que pode ocupar o nível de energia n1 E1 ψ1x ou o nível de energia n2 E2 ψ2x a Calcule a distribuição de carga para o átomo não excitado Explique porqué o elétron não emite um fóton 1 pto b Calcule a distribuição de carga para o átomo excitado Analiando o resultado explique porqué o elétron emite radiação emite um fóton Calcule a frequência do fóton emitido 15 ptos 3 Seja uma partícula de massa m elétron confinada num potencial quadrado unidimensional Vx poço quântico 1D o potencial quadrado tem uma largura a e o poço se encontra entre x0 e xa a Determine a autofunção em todo o espaço para o estado fundamental Faça um grafico da autofunção 05 ptos b Determine o valor da energia E para o estado fundamental 10 pto Escreva a função de onda para o estado fundamental 05 ptos d Calcule o valor esperado para o momento linear p associado com o estado fundamental 05 ptos 4 Para um tempo t0 a função de onda para o átomo de Hidrogênio é ψrt0 1sqrt10 2Ψ100 Ψ210 sqrt2Ψ211 sqrt3Ψ211 onde os subíndices são os valores dos números quânticos n l m a Explique o significado Físico da função de onda dada anteriormente 10 pto b Calcule o valor esperado para a energia do sistema 15 ptos Informações extras Sejam ψxyz abc autofunções sendo abc os números quânticos Então ψxyzabc ψxyz abc dx dy dx dz em todo o espaço é igual a 1 se aa bb e cc por outro lado a integral é zero se algum número quântico não cumpre essa igualdade ou seja as autofunções são ortonormais Também o valor esperado do operador A definido em 3D pode ser escrito como A ψ A ψ dV com dV sendo o diferencial de volume Independente do tempo nesse caso 1 ħ²2m ²ψx² Eψ Equação que governa uma partícula livre ħ²2m ²ψx² mω²x²2 ψ Eψ Equação do Oscilador Harmônico quântico ħ²2m ²ψ e²4πε₀r ψ Eψ Equação para o átomo de Hidrogênio 2 A função de onda descrevendo um estado nesse sistema é Ψₙxt Ψₙx eiEₙtħ onde n pode ser 1 ou 2 Note que Ψ é diferente de ψ a Como Ψₙ Ψₙ é a densidade de probabilidade associada à posição do elétron podemos identificar q Ψₙ Ψₙ como a distribuição de carga onde q é a carga do elétron No caso do átomo nãoexcitado ρ₁ q Ψ₁ Ψ₁ q eiE₁tħ Ψ₁ eiE₁tħ Ψ₁ ρ₁ q Ψ₁ Ψ₁ Note que a parte temporal se cancelou logo esse é um estado estacionário que não deve irradiar b Vamos agora considerar que o sistema está fazendo uma transição entre os dois estados ou seja está excitado Temos Ψ₁₂xt a Ψ₁xt b Ψ₂xt A densidade de carga será ρ q Ψ₁₂ Ψ₁₂ ρ q a² Ψ₁ Ψ₁ b² Ψ₂ Ψ₂ ab Ψ₁ Ψ₂ Ψ₂ Ψ₁ ρ q a² Ψ₁ Ψ₁ b² Ψ₂ Ψ₂ ab Ψ₁ Ψ₂ eiωt eiωt Onde ω E₂ E₁ħ Podemos simplificar ρ q a² Ψ₁ Ψ₁ b² Ψ₂ Ψ₂ 2ab Ψ₁ Ψ₂ cos ωt Os dois primeiros termos não dependem do tempo mas o último depende Esse resultado implica numa certa probabilidade do sistema irradiar emitindo um pósitron com energia ħω E₂ E₁ ou com frequência f E₂ E₁h 3 A equação que governa a dinâmica dentro do poço é ℏ²2m d²ψdx² Eψ d²ψdx² 2mEℏ² ψ Deixa k² 2mEℏ² logo temos as soluções ψx A sen kx B cos ky Como ψ0 0 B 0 ψa 0 k nπa Portanto ψx A sen nπxa Mas ₀ᵃ A² sen² nπxa dx 1 A² a2 1 A 2a e portanto ψx 2a sen nπxa para 0 x a Fora do poço ψx 0 pois a barreira infinita não permite que o elétron tunela b Como k² 2mEℏ² n²π²a² logo E n²π²ℏ²2ma² n 123 c No estado fundamental n 1 e ψx 2a sen πxa d Temos no estado fundamental p m dxdt com x 2a 0a x Ψ2 dx x 2a a24 a2 constante Logo p 0 pois dxdt 0 Questão 4 a A função de onda é uma superposição de diversos estados estacionários do átomo de Hidrogênio caracterizados pelos números quânticos Uma medida colapsa o sistema para determinado autovetado b Temos Ψ 110 2Ψ100 Ψ210 2 Ψ211 3 Ψ211 A função de onda já está normalizada Sabemos que En 136 eVn2 Logo o valor esperado para a energia é E Σ cn2 En E 410 E1 110 E2 210 E2 310 E2 E 13610 4 14 24 34 eV E 748 eV