Lista de Exercícios sobre Independência Linear e Bases

Universidade Federal do ABC Lista 8 ALceBra LINEAR TurmMa NASA 20922 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Independéncia linear bases e dimensao Se S 1 ébase deV entao 21 tns LL vie 6a representacgao de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V R e S a base canonica entao X x2ns x1 st Xn Adotamos as seguntes abreviacées c combinacio linear d linearmente dependentes 1i linearmente independentes Exercicios estrelados sio mais trabalhosos sao d Justifique 1 Prove que os seguintes subconjuntos S c V de a S 8 87 38 15 3 1 2 1 2 espacos vetoriais V sobre R sao d por inspeaio 6 1 4 0 3 direta dos elementos de S b S 0 0 2 2 3 3 0 0 1 1 0 1 a V RS1 2 4 5 10 20 b V RS 8 4 5 4 7 c S 0 8 8 6 2 0 0 6 c V PeoR ver exercicio 4 da Lista 2 0 4 2 2 0 8 4 4 S fia 8Qxtx fox 6424227 d S 8 0 8 6 0 2 8 1 0 2 2 0 2 1 2 1 d V Mo x9R ver exercicio 3 da Lista 1 3 4 3 4 S 9 0 2 0 4 Quais dos seguintes subconjuntos S Cc V PoR sao ld Justifique a S2x4x 346xr42x 24102 42 2 Quais dos seguintes subconjuntos S c V R sao 1d Justifique b S S42 22 9xr4 5x2 4 3x2 a S 4 1 2 4 10 2 c S6 x2 lx42 by S3 04 512 CL 1 3s d S 14804 802 04402 5 604822 7 c S 8 1 3 4 0 1 Qn x7 d S 2 0 1 3 2 5 6 l 1 7 0 2 5 Prove que os seguintes subconjuntos S Cc V de espacos vetoriais V sobre R ndo sao bases de V por 8 Quais dos seguintes subconjuntos S CV R inspecao direta dos elementos de S isto 6 sem usar informacao sobre a dimensio de V 9 Mostre que a V RS 1 2 0 8 2 7 5 3 6 0 1 b VR58 18 2 61 Di 86 1 0 c V PoR8 fila 12 2 fa 0 By 1 0 e1 12 4 1 2 d V Mloy9R S 1 1 6 0 é uma base de V Jlox9R 2 3 1 4 3 0 5 1 7 1 17 4 2 2 9f 10 Seja S fiv cosx fx sen x 32 cos2x CV FRRf RO ReW LS CV o subespaco vetorial gerado 6 Quais dos seguintes subconjuntos S Cc V R pors sao bases de V Justifique a Mostre que S ndo é uma base de WV a S2 1 3 0 b Encontre uma base de WV b S 4 1 7 8 c S0 0 13 11 Calcule as componentes de V R na base See S 9 CV nos seguintes casos d S 3 9 4 12 a t 3 7 S 0 0 1 b d 1 S 2 4 3 8 7 Quais dos seguintes subconjuntos S c V R c ab S 1 0 0 1 b R sao bases de V Justifique a S1 00 2 2 0 3 8 3 12 Calcule as componentes de V R na b S 8 1 4 2 5 6 1 4 8 base S 7 Zo 73 C V nos seguintes casos c S 2 3 1 4 1 1 0 7 1 a x 3 3 3 S 2 I 3 d 0 0 2 2 0 d S 1 64 2 4 1 1 2 5 b x 7 8 9 S 5 12 3 d 2 3 4 5 6 8 Quais dos seguintes subconjuntos S c V P9R sio b deV ifique 2R sao bases de 1 Justifique 18 Calcule as componentes de f V PeoR a S18xr2r2 lx44ex2 172 na base S fo g nos seguintes casos b S446xr422 144x4 2x2 54 2Qx x7 a fx 48r2S 1 207 b fz 2x27S l4a l2x27 c Slxrtax2x7 x7 d S44248x 64 502x 8440427 9 0 14 Calcule as componentes de 4 13 E 2 V Mo y9R na base b Dada a notagao do item anterior mostre que 1 1 0 0 0 0 LS V see somente se LS R S 2 2 2 21 Use o Exercicio anterior aplicado a V PoR S ex 1 egx a egx x 15 Determine a dimensio dos seguintes subespa base candnica de Y para obter bases de W LS cosW CV R nos seguintes casos a W ab0d V d 0 a S 140 20 34804622 9 a b Wabcd eV datbhcab S lta x 2420 c W abd eV jazbcd ce Slx827 22x 6x 8482 9x 16 Determine a dimensiao do subespagoW CV P3R dado porW x fx agtaxtagx agx V ag 0 17 Encontre um vetor da base canénica de V R que pode ser acrescentado ao subconjunto 1i S 2 C V de modo a obter uma base de V nos seguintes casos a S l 2 3 dl 2 2 b S l 0 3 1 2 18 Encontre dois vetores da base canénica deV R que podem ser acrescentados ao subconjunto Li S 21 d 4 2 3 9 3 8 4 6 Cc V de modo a obter uma base de lV 19 Seja S 1 2 Z3 uma base do espaco ve torial V Mostre que T 4 X9 X Lo 3 também é uma base del 20 SejaV um espaco vetorial sobre R dimV neS X uma base del a Mostre que S 3 52 um subcon junto 1i de V se e somente se o subconjunto S 3 CR 3 1n R éLi onde v igual a jésima compo nente de y na base S 1k 3 Respostas parciais dos exercicios 1 a 5 10 20 51 2 4 8 Itens c e d pois apenas estes sao Li c fo 2f q 3 4 34 10 a cos 2x cos x sen x 9 o 2 0 b A cos x Ag sen x Ay Ag sen x A para qualsquer A 2g R Decorre dessa formula que sen x 2 O item d é1d pois consiste de quatro vetores cos2x constitui uma base de WV edimV 8 Os outros itens sao i por exem plo ha apenas dois vetores em S nos itens a e c ll b 1 I 3s mas em nenhum desses itens os dois vetores si0 um ayy 12 a 8 3 3 1 8 2s miultiplo escalar do outro 13 b 2x2x2 02 ls 3 Nenhum deles os quatro itens sao 1i Por exem plo no item b qualquer combinacio linear dos dois 14 4 8 5 1 8s primeiros vetores em é da forma 86 80 2a 2a a b R que jamais pode ser um miltiplo escalar 15 a dimW 8 do terceiro vetor em S b dimW 2 c dimW 1 4 Somente o item d é d pois consiste de quatro vetores e dimV 38 Os outros itens sao i por 16 dim 3 exemplo no item c S consiste de dois vetores e um 17 Uma maneira equivalente de formular 0 exerci nao é multiplo escalar do outro cio é qual vetor da base can6nica de V nao pode ser 5 a 21 2 0 8 2 7 0 logo S nao é Lis escrito como combinacio linear dos elementos de c O polindmio fx x nao pode ser escrito como Ss combinagio linear de f e fo logo S nao varre V d Os quatro tltimos vetores de S sao 1i basta encon 18 Uma maneira equivalente de formular o exer trar a combinacio linear deles que representa 0 primeiro C110 uals vetores da base candnica de V nao vetor podem ser escritos como combinacio linear dos ele mentos de S 6 Itens a e b pois apenas estes sao Li 19 Notar que a al A9X 2X9 A3X 29 23 7 Itens a b e c pois apenas estes sao 1i 8A 121 QAoTo AZX3 4