Algebra Linear - Lista de Exercicios sobre Matrizes de Transformacoes Lineares

Lista 6 Álgebra Linear Turma NASA 2q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro A matriz de uma transformação linear Assumimos que todo espaço vetorial real V é imbuído de um produto escalar fixo x y No caso em que V Rⁿ x x₁ xₙ y y₁ yₙ x y ᶰⱼ₁ xⱼ yⱼ é o produto escalar canônico de modo que a base canônica de Rⁿ é ortonormal ver eg o Exercício 1 abaixo Se S e₁ eₙ é base de V então x x₁ xₙS ᶰᵢ₁ xᵢ eᵢ é a representação de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V Rⁿ e S é a base canônica então x x₁ xₙS x₁ xₙ Dado um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V o complemento ortogonal de W é o subespaço vetorial W x V x y 0 para todo y W V Adotamos as seguintes abreviações cl combinação linear ld linearmente dependentes li linearmente independentes tl transformação linear Exercícios ou itens estrelados são mais trabalhosos 1 Mostre que a matriz da tl T V W dada por T x 0 em quaisquer bases S V S W é a matriz nula 2 Mostre que a matriz da tl T V V dada por T x λ x em qualquer base S V é igual a λ vezes a matriz identidade 3 Sejam e V Rⁿ W Rᵐ e S V S W as bases canônicas Se A é a matriz em S S da transformação linear T V W dada pela ação BxS de uma matriz B MmnR sobre o vetorcoluna xS de x V na base S mostre que A B 4 Seja S e₁ e₂ e₃ e₄ V uma base de V e T V V a tl dada por T e₁ e₂ T e₂ e₃ T e₃ e₄ T e₄ e₁ Calcule a matriz A de T na base S 5 Calcule nos casos abaixo a matriz A da tl T V W nas bases S V S W a V₁ V₂ R² S S 11 10 Tx₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂ b V₁ R² V₂ R³ S 13 24 S 111 220 300 Tx₁ x₂ x₁ 2x₂ x₁ 0 c V₁ V₂ R³ S S 101 011 110 Tx₁ x₂ x₃ x₁ x₂ x₂ x₁ x₁ x₃ 6 Calcule nos casos abaixo i as matrizes A e B das respectivas transformações lineares T₁ V W T₂ W X nas bases S₁ V S₂ W S₃ X e ii a matriz C da tl T₂T₁ T₂ T₁ V X nas bases S₁ S₃ Conclua daí que C BA a V P1R W X P2R S₁ f₁t1 f₂tt S₂ S₃ g₁t1 g₂tt g₃tt² T₁ft tft T₂gt g2t1 b V P1R W P2R X P3R S₁ f₁t1 f₂tt S₂ g₁t1 g₂tt g₃tt² S₃ h₁t1 h₂tt h₃tt² h₄tt³ T₁a₀ a₁ t 2a₀ 3a₁ t T₂gt 3t gt S 100 0 12 12 0 12 12 Tx₁ x₂ x₃ x₁ 2x₂ x₃ x₂ x₁ 7x₃ d V R² S S são as bases do item b e T x 5 x 7 Considere a tl T V R² V cuja matriz A na base S f₁ 13 f₂ 14 é dada por A 1 3 2 5 a Calcule T fⱼ j1 2 como cl de f₁ f₂ b Calcule a matriz C de mudança da base canônica S e₁ 10 e₂ 01 de V para S e sua inversa C¹ Dica lembrar que C¹ é a matriz de mudança da base S para a base S c Calcule a matriz B de T na base canônica Dica lembrar que B CAC¹ d Calcule T eⱼ j1 2 como cl de e₁ e₂ e Use a fórmula obtida no item d para calcular T11 8 Calcule nos casos abaixo i a matriz A da tl T V V na base S V e ii a matriz C de mudança da base on S para a base on S bem como sua inversa C¹ Use os dois resultados para iii calcular a matriz C¹ A C de T na base S Dica lembrar que se S S são on então C¹ Cᵀ a V R² S 1001 S 25 15 15 25 Tx₁ x₂ x₁ 2x₂ x₂ b V R² S 417 117 117 417 S 110 310 310 110 Tx₁ x₂ x₁ 7x₂ 3x₁ 4x₂ c V R³ S 100 010 001 a V P1R W X P2R S₁ f₁t 1 f₂t t S₂ S₃ g₁t 1 g₂t t g₃t t² T₁ft tft T₂gt g2t1 b V P1R W P2R X P3R S₁ f₁t 1 f₂t t S₂ g₁t 1 g₂t t g₃t t² S₃ h₁t 1 h₂t t h₃t t² h₄t t³ T₁a₀ a₁ t 2a₀ 3a₁ t T₂gt 3t gt S 1 0 0 0 12 12 0 12 12 Tx₁ x₂ x₃ x₁ 2x₂ x₃ x₂ x₁ 7x₃ d V R² S S são as bases do item b e T x 5x 7 Considere a tl T V R² V cuja matriz A na base S f₁ 13 f₂ 14 é dada por A 1 3 2 5 a Calcule T fⱼ j1 2 como cl de f₁ f₂ b Calcule a matriz C de mudança da base canônica S e₁ 10 e₂ 01 de V para S e sua inversa C¹ Dica lembrar que C¹ é a matriz de mudança da base S para a base S c Calcule a matriz B de T na base canônica Dica lembrar que B CAC¹ d Calcule T eⱼ j1 2 como cl de e₁ e₂ e Use a fórmula obtida no item d para calcular T1 1 8 Calcule nos casos abaixo i a matriz A da tl T V V na base S V e ii a matriz C de mudança da base on S para a base on S bem como sua inversa C¹ Use os dois resultados para iii calcular a matriz C¹ A C de T na base S Dica lembrar que se S S são on então C¹ Cᵀ a V R² S 1 0 0 1 S 25 15 15 25 Tx₁ x₂ x₁ 2x₂ x₂ b V R² S 417 117 117 417 S 110 310 310 110 Tx₁ x₂ x₁ 7x₂ 3x₁ 4x₂ c V R³ S 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Respostas parciais dos exercícios 4 A 0001 1000 0100 0010 5 a Notando que 10 10 e 01 11 10 temos que T11 02 211 210 T10 11 11 logo A 21 20 b Notando que 100 13 300 010 12 220 13 300 e 001 111 12 220 temos que T13 710 12 220 2300 T24 620 00012102433 c Notando que 100 12 101 12 011 12 110 010 12 101 12 011 12 110 001 12 101 12 011 12 110 temos que T101 110 101 011 T011 32 101 12 011 12 110 T110 12 101 12 011 12 110 logo A 1 32 12 1 12 12 0 12 12 6 a i T₁f₁t t f₁t t g₂t T₁f₂t t f₂t t² g₃t logo A 00 10 01 e T₂g₁t g₁2t1 g₁t T₂g₂t g₂2t1 2t 1 g₁t 2 g₂t T₂g₃t g₃2t1 1 4t 4t² g₁t 4 g₂t 4 g₃t logo B 1 1 1 0 2 4 0 0 4 e portanto B A 1 1 2 4 0 4 ii T₂T₁ f₁t 2t 1 f₁2t 1 2t 1 f₁t 2 f₂t T₂T₁ f₂t 2t 1 f₂2t 1 1 4 t 4 t² f₁t 4 f₂t 4 f₃t logo C B A b i T₁ f₁t 2 2 g₁t T₁ f₂t 3 t 3 g₂t logo A 2 0 0 3 0 0 e T₂ g₁t 3 t g₁t 3 g₂t T₂ g₂t 3 t g₂t 3 t² 3 g₃t T₂ g₃t 3 t g₃t 3 t³ 3 g₄t logo B 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 e portanto B A 0 0 6 0 0 9 0 0 ii T₂ T₁ f₁t 6 t 6 g₂t T₂ T₁ f₂t 9 g₃t logo C B A 7 a T13 13 214 35 T14 313 514 2 29 b 10 47 13 37 14 e 01 17 13 17 14 d Txy x T10 y T01 x 47 T13 37 T14 y 17 T13 17 T14 4 x y7 T13 8 x y7 T14 e T11 57 T13 27 T14 197 837 Lista 5 Álgebra Linear Turma NASA 2q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Transformações lineares Assumimos que todo espaço vetorial real V é imbuído de um produto escalar fixo 𝑥𝑦 No caso em que Vℝn 𝑥 𝑥1𝑥n𝑦𝑦1𝑦n 𝑥𝑦 j1n 𝑥j 𝑦j é o produto escalar canônico de modo que a base canônica de ℝn é ortonormal ver eg o Exercício 1 abaixo Se S𝐞1𝐞n é base de V então 𝑥 𝑥1𝑥nS i1n 𝑥i 𝐞i é a representação de 𝑥 em termos de suas componentes em S se por exemplo Vℝn e S é a base canônica então 𝑥 𝑥1𝑥nS 𝑥1𝑥n Dado um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V o complemento ortogonal de W é o subespaço vetorial W𝑥V 𝑥𝑦0 para todo 𝑦W V Adotamos as seguintes abreviações cl combinação linear ld linearmente dependentes li linearmente independentes tl transformação linear Exercícios ou itens estrelados são mais trabalhosos 1 Mostre que a aplicação T Vℝ2V dada por T𝑥1𝑥2𝑥1 2𝑥23𝑥1𝑥2 é uma tl em V 2 Mostre que a aplicação T V1ℝ3V2ℝ2 dada por T𝑥1𝑥2𝑥32𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑥24𝑥3 é uma tl de V1 em V2 3 Verifique se a função F V1V2 é uma tl do espaço vetorial V1 no espaço vetorial V2 nos seguintes casos a V1V2ℝ3 F𝑥1𝑥2𝑥3𝑥2𝑦3𝑥3𝑦2 𝑥3𝑦1𝑥1𝑦3 𝑥1𝑦2𝑥2𝑦1 onde 𝑦1𝑦2𝑦3ℝ3 é um vetor fixo b V1ℝn V2ℝ F𝑥𝑥12 𝑥n2 k1n 𝑥k2 c V1M22ℝ V2M23ℝ FAABC onde B𝐵ij é uma matriz 23 fixa A𝐴ij e ABC𝐶ij onde 𝐶ij𝐴i1 𝐵1j 𝐴i2 𝐵2j d V1Mnnℝ V2ℝ FATrAj1n 𝐴jj traço de A onde A𝐴ij e V1V2Mnnℝ FAAT transposta de A onde A𝐴ij AT𝐴ji f V1M22ℝ V2ℝ FA3𝐴11 4𝐴12 𝐴21 𝐴22 onde A𝐴ij g V1M22ℝ V2ℝ FA𝐴112 𝐴122 onde A𝐴ij h V1V2Fℝℝfℝℝ Ff𝑥1f𝑥 i V1V2Fℝℝfℝℝ Ff𝑥f1𝑥 4 Seja gℝℝ fixa e defina a função T FℝℝFℝℝ como Tf𝑥fg𝑥fg𝑥 subespaço vetorial de W Mostre também que T é injetora se e somente se ker T 𝟎 TP T TIm P é injetora 15 Sejam VW espaços vetoriais e T VW uma tl a Uma pseudoinversa de T é uma tl T WV tal que TTT T Mostre que se T é uma pseudoinversa de T então TT é uma projeção linear em V com ker TT ker T e TT é uma projeção linear em W com Im TT Im T ver Exercício anterior Em particular se T é invertível então T1 é a única pseudoinversa de T b Se T e T2 são pseudoinversas de T com T1T T2T P e TT1 TT2 Q mostre que ker T1 T2 Im Q Im T e Im T1 T2 ker P ker T Conversamente se T1 é uma pseudoinversa de T com T1 T P TT1 Q e T0 WV é uma tl tal que ker T0 Im Q Im T e Im T0 ker P ker T então T2 T1 T0 também é uma pseudoinversa de T com T2 T P e TT2 Q c Sejam P VV Q WW projeções lineares tais que ker P ker T e Im Q Im V Mostre que Ṫ TIm P1 Q é a única pseudoinversa de T tal que ṪT P TT Q e T é uma pseudoinversa de Ṫ Conversamente se T é uma pseudoinversa de T tal que TT P e TT Q então Ṫ T TT Dica use o item e do Exercício 14 d Seja Ṫ a pseudoinversa de T obtida a partir de P Q tais como no item d e suponha T0 WV tal como no item c Se T0ker Q é uma bijeção de ker Q Im 1Q em ker P ker T mostre que T Ṫ T0 é uma pseudoinversa invertível de T Em particular pelo item b T não pode ser uma pseudoinversa de T nesse caso 16 Sejam VW espaços vetoriais dim V Respostas parciais dos exercícios 3 Os itens a c d e f e i são tls O item b não preserva multiplicação por escalares negativos o item g não preserva multiplicação por escalares diferentes de zero ou 1 e o item h não preserva soma de vetores 4 b O maior grau que Tf pode ter é mn 5 a x x₁ x₂ x₂ x₁ x₂s Tx x₂1 2 x₁ x₂4 1 4x₁ 5x₂ x₁ 3x₂ T5 3 35 14 b x x₁ x₂ 3x₁ x₂ 7 x₁ 2x₂ 7s Tx 3x₁ x₂ 7 1 2 0 x₁ 2x₂ 7 0 3 5 3x₁ 9x₁ 4x₂ 7 5x₁ 10x₂ 7 T2 3 97 67 207 c x x₁ x₂ x₃ x₃ x₂ x₃ x₁ x₂s Tx x₃2 1 4 x₂ x₃3 0 1 x₁ x₂1 5 1 x₁ 4x₂ x₃ 5x₁ 5x₂ x₃ x₁ 3x₃ T2 4 1 15 9 1 6 T2x₁ 3x₂ 4x₃ 21 1 2 30 3 2 43 1 2 10 5 6 7 Use a definição de base 8 T₁ T₂x y T₁x y T₂x y 3y 4x T₁ T₂x y T₁x y T₂x y y 2x 9 a T₂T₁x y 2x 3y 2x 3y b T₂T₁x y 4x 12y 3x 9y c T₂T₁x y 2x 3y x 2y d T₂T₁x y 0 2x e T₂T₁A T₂A TrA 10 a T₃T₂T₁x y 3x 2y x b T₃T₂T₁x y 4y 6y 14 d esboço Notar que temos que P x 1 P y 0 para x y V quaisquer se e somente se P x y P x P y para x y V quaisquer Em particular trocando os papeis de x e y e usando a simetria do produto escalar concluímos da segunda identidade que x P y P y x P y P x P x P y P x y para x y V quaisquer Conversamente se P é autoadjunta e P x y x P y 0 para todo x V tomando em particular x P y concluímos que P y 0 e portanto y y P y b T LI Fx y Fx y xk yk2 xk2 2xk yk yk2 Fx Fy xk2 yk2 Fx y F1 0 0 F2 1 0 0 22 12 0 0 4 1 5 Fx Fy F10 0 F11 0 12 12 12 1 2 Fx y Fx Fy para algum x y V F não é transformação linear n dimW m e T V W uma tl com adjunta T W V a Mostre que ker T Im T e Im T ker T Dica para provar a segunda identidade troque os papeis de T e T e use a projeção ortogonal ao longo de ImT para concluir que ImT ImT Veja o Exercício 7 da Lista 4 para mais detalhes Conclua daí que a restrição de T a ImT é injetora Dica use o item c do Exercício 13 em particular notar que a restrição de TT a ImT também é injetora b Se P Pker T é a projeção ortogonal ao longo de ker T P 1 P e Q PIm T é a projeção ortogonal ao longo de Im T então mostre que T TImP¹Q é uma pseudoinversa de T tal que x TTx é o vetor em ker T mais próximo de x V e TTy é o vetor em Im T mais próximo de y W Essa pseudoinversa é conhecida como pseudoinversa de MoorePenrose c Mostre que podemos escrever a pseudoinversa de MoorePenrose de T obtida no item b como T TTIm T¹T Dica use o item a 17 Seja V um espaço vetorial S e₁ eₙ uma base on de V de modo que dimV n e T V LV R x V tais que Tx 0 Mostre que a tl P y Ty Tx x é uma projeção linear ver o Exercício 14 acima e que x ker T se e somente se Tx x² Dica use o Lema de Riesz Tx xT x onde xT T ej ej e S e₁ eₙ é base on de V Conclua nesse caso que Ty x y com igualdade se e somente se y ker T Dica use a desigualdade de CauchySchwarz d TL1 Sejam AB V1 MnIR FAB Tr AB TrAij Bij j1 até n Aij Bij j1 até n Aij j1 até n Bij TrA TrB FA FB TL2 Seja A V1 MnIR α IR Fα A Trα A Trα Aij j1 até n α Aij α j1 até n Aij α TrA α FA logo F é transformação linear de MnIR a IR f TL1 Sejam AB V1 M2IR FAB F Aij Bij 3A11 B11 4A12 B12 A21 B21 A22 B22 3A11 3B11 4A12 4B12 A21 B21 A22 B22 3A11 4A12 A21 A22 3B11 4B12 B21 B22 FA FB TL2 Sejam A V1 M2IR α IR Fα A Fα Aij 3α A11 4α A12 α A21 α A22 α 3 A11 4 A12 A21 A22 α FA logo F é transformação linear de M2IR em IR h TL1 Sejam fg V1 FR R Ffgx 1fgx 1 fx gx Ffx Fgx 1fx 1 gx Ffgx F não é transformação linear i TL1 Sejam fg V1 F IR IR Ffgx fg 1x f1x g1x Ffx Fgx TL2 Seja f V1 FRR ced Fαfx αf1x α f1x α Ffx logo F é transformação linear de FRR em FR R b Sejam ab ℝ tais que a21b1310 2a b 1 I a 3b 0 II II a 3b Substituindo em I 1 2a b 23b b 7b b 17 a 3b 37 T10 T37F1 17F2 37TF1 17TF2 3712017035 370 67 37 0 57 37 97 57 T01 T2210 T2120 T21 2T10 120 237 97 57 1 67 2 187 0 107 17 47 107 Txy xT10 yT01 x37 97 57 y17 47 107 3x y7 9x 4y7 5x 10y7 5 T23 32 37 92 437 52 1037 97 307 207 c T010 T110 100 T110 T100 301 151 450 T001 T111 110 T111 T110 214 301 113 Txyz xT100 yT010 zT001 x151 y450 z113 x4yz 5x5yz x3z T241 2161 10201 23 1591 6 d Quero encontrar 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ℝ tais que 11 F1 21 F2 31 F3 100 12 F1 22 F2 32 F3 010 13 F1 23 F2 33 F3 001 1 2 3 2 9 3 1 0 4 1 2 3 α β γ 1 22 33 α I 21 92 33 β II 1 43 γ III III 1 γ 43 II β 21 92 33 2γ 43 92 33 2γ 92 53 2 β 2γ 539 I α 1 22 33 γ 43 2β 4γ 1039 33 5γ 2β 39 3 9α 2β 5γ 1 γ 43 36α 8β 21γ 2 45α 9β 27γ9 7 a21 5α β 3β φ100 a11 361 0 0 36 a21 51 0 30 5 a31 91 20 50 9 T100 36 TF₁ 5 TF₂ 9 TF₃ 3610 511 901 36 5 0 0 5 9 41 14 φ 010 a12 360 81 210 8 a22 50 1 30 1 a32 90 21 50 2 T010 8 TF₁ TF₂ 2 TF₃ 810 11 2 01 8 1 0 0 1 21 9 3 φ 001 a13 360 80 211 21 a23 50 0 31 3 a33 90 20 51 5 T001 21 10 3 11 5 01 21 3 35 24 8 8 Txyz x T100 y T010 z T001 x 4114 y 9 3 z 24 8 41x 9 y 24 z 14x 3 y 8 z T7157 417 913 247 147 313 87 2 3 11 1 Para ker T SV1 Seja x V Tx T0 Tx 0 Tx T0 0 W 0V ker T SV2 Sejam x y ker T Tx Ty 0 Tx y Tx Ty 0 0 0 x y ker T SV3 Seja x ker T α ℝ Tx 0 Tα x α Tx α 0 0 α x ker T 9 Logo ker T é subespaço vetorial de V 2 Para ImT SV1 T0v T0v 0v T0v T0v 2 T0v T0v 0 W 0 W ImT SV2 Sejam xy ImT a b V tais que x Ta y Tb x y Ta Tb Ta b x y ImT SV3 Sejam x ImT α ℝ a V tq x Ta α x α Ta Tα a α x ImT Logo ImT é subespaço vetorial de W 10 i T é injetora Tã T0 ã 0 T0 0 ã V tq Tã 0 T0 ã 0 ker T x V Tx 0 0 ii ker T 0 Tã T0 Tã T0 0 Tã 0 0 ã 0 0 ã 0 logo T é injetora ou seja T é injetora ker T 0 Wpp 11 9 52010843 Envio a 13 da lista 3 e a 8 da lista 6 11