Conexão de Ondas e Linhas: Resolução de Problemas em Eletromagnetismo

16052023 Tema 4 Conexão de Ondas e Linhas Espaços de Onda e suas soluções Introduções A resolução de problemas em eletromagnetismo requer a reescrita do campo de Maxwell Olhandose os livros de Maxwell e de Ampere verificase que ambos são e questão dependentes É a 1ª ordem e afim na qual uma vez ambos contêm o campo E e H Na maioria dos livros fica mais fácil resolver problemas complexos E as equações são resolvidas não apenas em estado de etc e todas as combinações dos eqs A melhor forma é obter a Equação de Onda e essa equação pode ser escrita somente em termos de E ou H com a divisão da equação de aumentar a rotação de solução proposta por Não apenas estudaremos a obtenção e primeiro subiremos para a equação de onda escrita em funções constantes colei Equações de Onda no domínio do Tempo Conforme dito anteriormente as leis de Faraday e de Ampere são acopladas entre si uma vez que ambos apresentam o campo E e H e consequentemente pode ser resolvido Tomandose o racional de ambos a equação assum posicionase da xE μj μEt Leech Faraday xH j Dt Lei de Ampere Ondas Er e j representam os desníveis do campo magnético e elétrico dos partes da potência respectivamente de xxE jx μxEt 1 xxH xj xt 2 Utilizandose as propriedades xxA A 2A As equações acima podem ser reescritas para E 2E xH μEt3 E 2E μj j t 4 Utilizandose a lei di Ampere o valor de xH pode ser substituído e a equação 3 fica E 2E μjd μEt 5 Expandindose a equação 5 e atribuindose a lei di Gauss E 1ε ρev Lei di Gauss Resultado 1ε ρev 2E jx 6 Finalmente inferindose o termo contido o operador laplaciano resulta que 2E xμνjx μEt 1ε ρev μ2Et2 7 Que é concluído como equação da onda vetorial para o campo elétrico no domínio do tempo De forma similar a lei de Faraday pode ser reescrita no lado direito da equação 4 resultando em EH tEt H μHt 8 Expandindose x 8 e atribuindose a lei de Gauss para o magnetismo H 1μ ρm Lei di Gauss para o magnetismo Obtémse frac1mu abla2 vecH abla imes vecE mu fracpartial2 vecHpartial t2 6 Finalmente isolando vecH obtemos que abla2 vecH abla imes vecE frac1mu abla pmn epsilon mu fracpartial2 vecEpartial t2 10 Que é conhecida como equação de onda vetorial para o campo eletromagnético no domínio do tempo Ambos as equações de onda estão descrevendo uma vez que apresentam somente um dos campos E e H Portanto este fato não deve ser interpretado como desculpamento direto sobre E e H A solução geral pode ser obtida resolvendose apenas uma das equações de onda O outro campo deve ser encontrado pela solução das equações de Maxwell No caso de um problema sem fontes de potenciais isto é rho 0 quad j 0 quad pev 0 quad pmn 0 as equações de onda se reduzem a abla2 vecE mu fracpartial2 vecEpartial t2 11 abla2 vecH frac1epsilon fracpartial2 vecHpartial t2 12 Por problemas mais simples em que o meio de propagação não apresenta perdas E0 tampouco fontes potenciais o espectro da onda se reduz a abla2 vecE mu fracpartial2 vecEpartial t2 13 abla2 vecH mu fracpartial2 vecHpartial t2 14 Equações da Onda espacial no domínio espacial para campos harmônicos Para se obter as equações de onda no domínio especial proposto o Cero de campos harmônicos deve ser aplicado e transformado pelas variáveis no tempo assim consideradas como se traduzem se enviam os resultados pelas transformadas fracd2 ydt2 longleftrightarrow jomega fracd2 ydt2 longleftrightarrow w2 Campos vecE Campo vecE Aplicandose assim a transformada de Fourier nas expressões 7 e 10 concluise abla2 vecE frac1c2 fracpartial2 vecEpartial t2 15 abla imes vecH frac1mu abla imes vecE para abla imes vecE Que são as equações de onda vetorial para os Campos eletromagnéticos magistralmente no domínio espacial para os campos harmônicos No caso de campos propagandose em meios sem fontes de potenciais as equações 15 e 16 reduzemse para abla2 vecE delta vecE 17 abla2 vecH delta vecH 18 Ondas delta sqrtwmuepsilon w2mu ou delta2 w2 mu epsilon j alpha j beta Com j Constante de propagação no meio dado em m1 α Constante de atenuação no meio dado em nepersm β Constante de fase no meio dado em radm Uma vez que as equações acima apresentamos o novo fim ambas apresentando o mesmo sistema de soluções instantâneas Considerandose involuntario que o problema projetado em coordenadas cartesianas a solução for deve dar Exyzfxgyhz 25 Aplicandose esta solução proposta em 24 surge que Para problemas mais simples em que não se propaga Uma vez que fx gy e hz são funções de uma variável nativa podemse substituir os dados reciclando por diversos resultados em A d²dx² fx A₁ d²dy² gy 1hxd²d z²hz k²28 Cada termo do lado esquerdo d 28 referese a uma única coordenada Assim definindose k² kx² ky² kz² A expressão 28 pode ser desvendada em três expressões independentes desta forma d²dx² fx kx² fx 25a d²dy² gy ky² gy 29b d²dz² hz kz² hz 29c A solução do esforço 25 dependerá da natureza do problema Na tabela e seguir encontrarse listas os possíveis potências para o caso mais comum Naturza de Onda Funções de Onda fx Onda propagável x em meio sem paredes fx eλxX para propagações ao longo de x fx ejkx para ondas à bofa de x Onda estacionária em meio sem paredes fx C1sKx x ou fx ssinKxx mru x Onda extrovertente fx ex para ondulamentos na bofa de x Onda preparadase em meio com paredes fx ea xx3ex2 para propagações ao longo de x fy ey3eey3 para propagações ao longo de x Exemplo Dado o fio da onda retangular abaixo determinamos a situação qual faz o componente do campo elétrico Ey e Eyx sendo em nisto que a A onda propagável se dá Corpo d z b A onda girante compondo estacionada os Corpo d x e y Concluindo que não há perdas no fio da onda e que o campo extra calculado esteja em uma região livre de pontos de potenciais A expressão da onda para o componente Ey está dada por J² Eyxyz d² Eyxyz dx² d² Eyxyz dy² d² Eyxyz dz² k² Eyxyz D dz² Empregandose o método de separação de variáveis podese verificar a solução qual será dada por Eyxyz fxgyhz Utilizandose a tabela de funções de onda em coordenadas cartesianas temos que Componente estacionário ao longo do x fx A₁ cosk₁x B₁ sink₁x A e B são constantes Componente estacionário ao longo do y gy C₁ cosk₂y D₁ sink₂y C e D são constantes Cada propagado ao longo de z mas sem perda hz ejωz Portanto a solução qual será dada por Eyxyz A₁ cosk₁x B₁ sink₁xC₁ cosk₂y D₁ sink₂y ejωt Solução da equação de onda em Coordenadas cilíndricas Miro sem perdas e sem fontes Considerandose campos harmônicos progredindose em um meio sem perdas de potenciais ρ² 0 P₀ 0 P₁ 0 P₂ 1 e sem perdas J 0 e a equação de onda que descreve o campo elétrico é dada por ²E kE 0 A redução da equação para E expressa soluções similares e perfeita nas suas densidades neste momento Tem módulo e plasma em coordenadas cilíndricas para ver o campo E como Eρφz ρ²φEρφz φEρφz²E₁ρφ Introduzindo 30 na equação de onda resulta ²φEρφz ρEρφzφE₂ 0 Aqui é a equação de onda escalar para Eₓ independente do Eₕ e Eₓ A equação de onda para Eₕ e Eₓ não podem ser obtidas com um pouco mais de ordem algebraica e são dadas por ²Eₕ Eρ₂ 2 Eₕρ² k²Eₕ 33 ²Eₓ Eₕ 2 Eₕρ² kEₕ 34 As equações 33 e 34 estão acopladas entre si uma vez que expressam entre os componentes Eₕ e Eₓ de maneiras duais o espectro de onda para Eₕ e Eₓ está acoplados entre si enquanto a equação para E₂ é independente dos demais Portanto para resolver de equações de ordem em coordenadas cilíndricas a estratégia mais simples consiste em escrever a comparação entre os Eρ Eφ Hρ e Hφ em função de Ez e Hz e obter a solução para a equação de onda para estes dois últimos componentes Uma vez determinados Ez e Hz os demais componentes de campo podem ser obtidos p Ezρφzfρ gφ hz 40 Substituindose 40 em 59 resulta D² fρ gφ hz λ D fρ gφ hz 1ρ² D² gφ hz 1ρ² D² fρ hz K² fρ gφ hz K²ρ gφ hz 41 Hmkρ funções de BESSEL Hankel tipo 1 H1kρ Jmkρρ jYmkρρ Hmkρ função de Bessel tipo 2 H2kρ Jmkρρ jYmkρρ Kmkρ Funções modificadas de BESSEL Imkρ Naturezas da onda Funções da onda fρ Onda propagada em meio sem paredes H1kρ para propagação ao longo de ρ H2kρ para propagação ao longo de ρ Onda estacionária em meio sem paredes Jmkρ ou Ymkρ para ρ Onda Evacuante Kmkρ para desenvolvimento ao longo de ρ Inαρ para desenvolvimento ao longo de ρ H2ρ para propagação ao longo de ρ Onda propagada em meio com paredes H1ρ para propagação ao longo de ρ Exemplo Dado o que do dado clínico acima determinamos a situação quais para o Componente de Campo elétrico Ee tendo em note que 1 É propagado x no sentido de z 2 É Tem Comportamento periódico no campo de φ 3 É Tem Comportamento intermitente ao longo de ρ Conclusões que manterse comparam o que do onda nos possui Resultados Adotandose a resolução geral pelo métodos de expressões de veículos podese obter Ezp φ z fρgφhz 1 Como Ez propagase ao longo de z em meios permeáveis hz ejβz 2 Comportamento periódico ao longo de φ gφ gΦ0 2πn A função da onda repetese e cede paraules 27 Função que representam este comportamento são as funções seno e cosseno de Fourier gΦ Ag cosωt Bsenωt 3 Como Ez representan comportamentos externos ao longo de ρ Eρ C JmkρP D YmkρP Entretanto Como YmkρP apresenta uma singularidade em ρ0 e O Campo não pode assumir valores inferiores então D0 E ρρ D JmkρP Portanto e solução geral para Ezp φ z será dada por Ezp φ z D JmkρPA cosωt B senωtejβz Vm Pode o que do onda elétrico abaixo determinam Ezρ φ z fρ jφ hz A Componente Eρ é dada por Exemplos direções de propagação Solução para o An ρ ε A dine alterarçã ocorre per a resposta do laço de ρ Peço componente cruzando os laços de ρ têmse fρ A Kmκρ Em analoga podse escrever a solução geral de Ep no en como senda EpρΦz kB kρ P A k mκρ BρmΦ Cκρ mρ kτ z Vm para ρ a Unidada 5 k Constante de propagaçã em meios sem problemas k redm k ω c k ω μ ε Exemplo 1 O Campo elétrico de uma onda plana e uniforme propagandose no espaço livre é dado por E Ē0 e j k z Vm Onde Ē0 é uma constante encontrar o Campos negático correspondente utilizando o Conceito da impedância da onda Compôsse o resultado encontrado através do espelho de lei di Faraday Resumir Emprego do Conceito da impedância da onda Poligen E ŷ Dado médio k z E y γ Hz Indicador H ẋ Solução com o emprego da lei di Faraday para H 0 E jω μ H H 1 ω μ E Como Ex 0 e Ey 0 então E ŷ² 2 Ey ẑ 2 Ey z z Ey 2 E0 e j k z E0 2 e j k z E0 K e z z Ey 2 E0 e j kz E0 e jkt 0 E ŷ j k E0 e i kt z0 H 1 ω k j k E0e j k z H Ḫ γĸ0E0 e jkz Am 2 Uma onda eletromagnética propagase com frequência de 361 Hz em um meio com εr 9 e μr 3 Calcule a O comprimento de onda b A velocidade de fase c A impedância de onda d O campo magnético se o campo elétrico for dado por E 2x 3y ejkz Vm b Vp 1 μ ε 1 2π 107 7 109 Vp 655 107 ms a Vp λf λ Vp f 655 102 3 109 λ 0298 m ou 218 cm E Ey z ejkz Ex y ejkz Ez x ejkz Ez y ejkz H 1 μω E Obtivação da H com o cômputo da impedância de onda Hx Ay Hy λ₁ Bc¹Tk² Am E ρEₒc ejωt Vm ρ με η 25406 Ω Pelo conceito de impedância de ordem