Cálculo de Volumes e Vetores no Espaço Tridimensional - Exercícios Resolvidos

420 Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u 211 v 132 e w 143 V u 211 v 132 w 143 PRODUTO ESCALAR V u x vw PRODUTO VETORIAL u x v 5 3 7 u x vw 537143 5 12 21 28 u x vw 28 28 421 u 110 v 201 w1 3u 2v w2 u 3v w3 i j 2k V w1 3u 2v 3110 2201 w1 330 402 w1 132 w2 u 3v 110 3 201 w2 713 w3 i j 2k 112 V u x vw u x v 1 11 22 1 3 7 11 11 22 V 44 44 422 u 111 v 2a1 1 a 1 a 2 w xyz w sqrtx2 y2 z2 MODULO w sqrt1 a2 12 a 22 w sqrt1 2a a2 1 a2 4a 4 w sqrt2a2 6a 6 A u x v u x v 1a1a2 A u x v 1a 1 a2 sqrt1a2 12 a22 sqrt2a2 6a 6 LOGO A w 423 i 100 j 010 k 001 i x j i j k 1 0 0 0 1 0 0 0 1 001 logo i x j k j x k j k i 0 1 0 0 0 1 1 0 0 100 logo j x k i k x i k i j 0 0 1 1 0 0 0 1 0 010 logo k x i j 424 a Cálculo do ângulo entre as duas diagonais Produto escalar A B A B cosθ Temos que ab 00a ad aaa ac 0aa Substituindo ad ac ad ac cosθ aaa 0aa a6 a ²cosθ cosθ63 b Cálculo da área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo A 12 AB x AC A 12 00a x aaa a² a² 0 A 12 a² a² 0 A 12 a²² a²² 0² A 12 a⁴ a⁴ 12 2 a⁴ A a² 22 425 A a b c 1 3 2 B 3 9 6 x y z Vetor pertencente a reta V xa yb zc V 31 9 3 6 2 V 2 6 4 Para o eixo X Pontos 000 e 100 w 10 00 00 100 Para o eixo y Pontos 000 e 0 1 0 u 00 10 00 0 1 0 Para o eixo z Pontos 000 e 001 r 00 00 10 001 Ângulo entre V e w θ arccos V w V w θ arccos 21 60 40 2² 6² 4² 1² 0² 0² θ arccos 2240 arccos 14 14 745º Ângulo entre V e u α arccos V u V u arccos 20 61 40 2² 6² 4² 0² 1² 0² α arccos 3 14 14 1433º 180º 1433º 367º Ângulo entre V e r β arccos V r V r arccos 20 60 41 2² 6² 4² 0² 0² 1² β arccos 14 7 5769º 425 u 213 a b c v 121 d e f a UV0 UV adbecf0 ra² b² c² 1 Para o vetor ser perpendicular a U e V simultaneamente ur 0 vr0 ur 2a b 3c 0 5b 5c0 vr a 2b c 0 bc 5a 5c 0 ac rc² c² c² 1 3c²1 cab 33 33 33 33 ou 33 33 33 bω a² b² c² 5 ur0 vr0 ur 2a b 3c bc vr a 2b c 0 ac ω c² c² c² 5 3c²25 cab 533 533 533 533 ou 533 533 533 427 Suponha u abc v d e f xU yV x₁U y₁V xa xb xc yd ye yf x₁a x₁b x₁c y₁d y₁e y₁f xa yd xb ye xc yf x₁a y₁d x₁b y₁e x₁c y₁f xa yd x₁a y₁d xb ye x₁b y₁e xc yf x₁c y₁f para x x₁ e y y₁ 428 i 100 j 010 k 001 a cos α xu cos β yu cos γ zu cos α xu 1001² 1² 1² 13 α arccos 13 61 cos β yu 0101² 1² 1² 13 β arccos 13 61 cos γ zu 0011² 1² 1² 13 γ arccos 13 61 b cos² α cos² β cos² γ 1 cos² 61 cos² 61 cos² γ 1 429 a uvxw uwxv Assumindo u 100 v 110 w 111 v x w i j k 1 1 1 1 0 1 111 110100 100 uv x w para uwxv w x v i j k 1 1 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Logo ambos são iguais b u u x v 0 0 0 0 u x v i j k 1 1 0 1 0 1 001 100 001 000 0 430 U a b c V x y z U X V i j k a b c x y z U X V bz cy i cx az j ay bx k U X V bz cy cx az ay bx U X V bz cy2 cx az2 ay bx2 U X V² bz cy2 cx az2 ay bx2 b²z² 2bczy c²y² c²x² 2cazx a²z² a²y² 2bayx b²x² U² a² b² c² V² x² y² z² U V² ax by cz² a²x² b²y² c²z² 2abxy 2acxz 2bcyz U² V² U V² b²z² 2bczy c²y² c²x² 2cazx a²z² a²y² 2bayx b²x² COMO U X V² U² V² U V² U 1 V 1 U V 0 U X V² 1² 1² 0² 1 U X V 1 1 431 U V x W V É W FORMAM 30 U 6 V 3 E W 3 U V x W cos α ÂNGULO ENTRE U E VXW É 0 OU 180 U VxW 6 VxW 6 VW sen 30 6 3 3 12 27 433 W W U U W V V COMO É UM VETOR EM R³ W XU YV Z UXV COMPARANDO OS COEFICIENTES X W U Y W V Z W UXV 434 W 2 1 3 a YZ FATOR DE IDENTIDADE X 1 0 0 Y 0 1 0 Z 0 1 0 YZ U 0 1 0 V 0 0 1 W XU YV Z U X V W W U U W V V 0 1 3 b O 0 1 0 0 Â 2 3 1 B 3 2 0 OA 2 3 1 OB 3 2 0 U OAOA 2 3 122 32 12 V OB OB 3 2 032 22 0² X W U Y W V Z W U X V 14291 15191 1391 435 PARALELOGRAMOS ABCD E ACEF AF BD POIS OS LADOS DE ACEF DIAGONAIS AS ABCD PARA ACEF AC x AF PARA ABCD AC x BD IGUALA AB x AF AC x BD AD x AB x AD x AB 2 AB x AD LOGO O PARALELOGRAMO ACEF É DUAS VEZES O ABCD