Prova de Geometria Analítica - 2021/2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SAO FRANCISCO Geometria Analitica 20212 2 Prova 20072022 Professor Jodo Alves Silva Junior VERDADEIRO OU FaLso As quest6es a seguir tém varios itens cada item d4 uma proposicao que vocé deve avaliar como verdadeira V ou falsa F podendo deixar em branco ou marcar N de no sei se nao tiver certeza Se vocé responder V ou Fe errar recebera pontuacao negativa pelo item se marcar N recebera zero pelo item Se o saldo das pontuagdes recebidas numa mesma questao for negativo este saldo sera zerado PontuacgGes negativas recebidas numa questao nao afetam outras questées O contexto das afirmagoées a seguir sao os capitulso 13 a 20 do livrotexto 1 Questao 1 a Se 07 7k é um sistema de coordenadas ortogonal entéo O 4 7 7 7 f h necessariamente também é um sistema de coordenadas ortogonal b Se O E um sistema de coordenadas com base E ortogonal entao necessariamente é ortogonal c A férmula da soma de vetores a1 bj c1 a2 b2 c2 a ao b b Cc C2 Vale com relacao a qualquer sistema de coordenadas d A férmula da multiplicagao de vetor por nimero Aa1 bi 1 Aaj Abi Ac vale com relagao a qualquer sistema de coordenadas e A formula da soma de ponto com vetor x y z abc x ay bz c vale com relagdo a qualquer sistema de coordenadas f A formula d Vx x1 G2 yy 21 para a distancia entre pontos x1 y 21 X2 Y2 22 vale com relagado a qualquer sistema de coordenadas g Se com relagéo a um sistema de coordenadas X OE temos pontos P 460 e Q 105 entao PO 365e h A distancia entre dois pontos depende do sistema de coordenadas utilizado oo i Na Figura 1 0 sistema de coordenadas X D2 D2 B D2B3 D2H2 ortogonal G Na Figura 1 com relagao ao sistema de coordenadas D2 D2B D2B3 D2H todas as coordenadas do ponto Fz sao numeros inteiros G3 H3 I GT bh Ge Ae he 7 F D lst Le Di al Lap lel C3 io tates tale AL BY Ficura 1 O cubo ACC3A3G1 G3 tem centro E e esta dividido em oito cubos congruentes por planos paralelos as faces Questao 2 a Na Figura 1 areta X Aj AB F A R contém o ponto J b Na Figura 1 0 plano X By 2H3B3 WE Fo A R passa pelo ponto Ep c Na Figura 1 aretaX G7 AG2B A R intersecta o plano X Cz ACoE uC2F3 A R d Na Figura 1 as retas X A AB Ae ReX By ACC3 A R sao coplanares e Na Figura 1 as retas X A AB AReX By ACC3 A ER sdo concorrentes f Na Figura 1 os planos X B 2H3B3 wEF2 Aju Re X A ABC3 GD A R sao transversais 1 2 g Se uv e um par de vetores diretores para um plano π que passa por um ponto A entao uma equacao vetorial para π e X A λu 2v µu 2v onde X denota um ponto arbitrario de π e λ µ R sao parˆametros h Se uv e um par de vetores diretores para um plano π que passa por um ponto A entao um ponto X pertence a π se e somente se a tripla AXuv e linearmente dependente i Se v e um vetor diretor de uma reta r que passa por um ponto A entao X r AX v j Se uv e um par de vetores diretores para um plano π entao um vetor w e paralelo1 a π se e somente se w u e w v Para as proximas questoes considere fixado sempre que necessario um sistema de coordenadas Σ O E Questao 3 a As equacoes parametricas de uma reta que passa pelo ponto P x0 y0 z0 na direcao do vetor diretor v a b c podem ser escritas na forma x a λx0 y b λy0 z c λz0 onde X x y z e um ponto arbitrario da reta e λ R e um parˆametro b Toda reta possui infinitos vetores diretores c O vetor nulo e um vetor diretor de qualquer reta d A equacao vetorial de uma reta e unicamente determinada pela reta no sentido que uma reta nao pode ter mais de uma equacao vetorial e Se r e uma reta que passa pelos pontos distintos P1 e P2 entao a equacao X 1 λP1 λP2 onde X denota um ponto arbitrario em r e λ R e um parˆametro descreve corretamente a reta r f Se O e um ponto qualquer e r e uma reta que passa pelos pontos distintos P1 e P2 entao r e descrita corretamente pela equacao X O 1 λ OP1 λ OP2 onde X e um ponto arbitrario da reta e λ R e um parˆametro g Toda reta possui equacaooes na forma vetorial h Toda reta possui equacaooes na forma parametrica i Toda reta possui equacaooes na forma simetrica j E correto afirmar que a reta y 2x e paralela ao plano xy Questao 4 a O ponto 0 1 3 pertence ao plano x 1 5λ µ y 4λ 4µ z 2 3λ λ µ R b O plano que passa pelos pontos A 1 0 0 B 0 0 1 C 0 1 2 tambem passa pelo ponto D 1 1 1 c Toda equacao da forma ax by cz d 0 com a b c R constantes nao todas nulas descreve um plano d No caso em que a b c 0 a equacao ax by cz d 0 descreve um unico ponto e O vetorv a b c e necessariamente um vetor ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano π axbyczd 0 f O vetor v 3 1 1 e paralelo ao plano 2x 4y z 0 g A reta X 0 1 1 λ1 1 2 λ R e paralela ao plano 2x 4y z 0 mas nao esta contida nele h A reta X 0 1 1 λ1 1 2 λ R e paralela ao plano 2x 4y z 0 e esta contida nele i O plano 3z 1 0 e paralelo ao eixo x j O plano 3z 1 0 contem o plano xy Questao 5 a Um vetor diretor da reta x2 2 y3 3 z e 2 3 0 b A reta x2 2 y3 3 z passa pelo ponto 2 3 0 c Um ponto X pertence a intersecao das retas r x 4 4λ y 1 λ z 1 λ λ R e s x 9 4λ y 2 λ z 2 2λ λ R se e somente se existe algum λ R tal que 4 4λ 1 λ 1 λ X 9 4λ 2 λ 2 2λ d As retas r X 3 1 2 λ2 3 1 λ R e s X 9 10 1 λ4 6 2 λ R sao concorrentes e A reta r x 3 y1 2 z3 8 esta contida no plano π 2x y z 6 0 f As retas r X 1 1 2 λ3 0 1 λ R e s x 2y 3z 1 0 x y 2z 0 sao paralelas g O ponto 1 1 0 esta na intersecao da reta r X 1 1 0 λ 1 1 1 com o plano π x y 2 0 h Os planos π1 3x y 2z 1 0 e π2 2x y 3 0 sao transversais 1Paralelismo de vetor e plano e uma nocao que o livrotexto 1 nao definiu formalmente mas considere que um vetor v e paralelo a um plano π se e somente se v e paralelo a todo vetor AB com A B π 3 Gi Aretar T YT z é transversal ao planomxy4z4 x3y2z0 j Se o sistema de coordenadas é ortogonal e é um vetor paralelo ao plano a 2x y z6 0 entio o vetor 0 2 2 é ortogonal a i Questao 6 a Se as retas re s nao sao reversas e nao se intersectam entao necessariamente re s sao paralelas b Se as retas r e s se intersectam em mais de um ponto entao necessariamente r s c Sere s sao retas e existem planos distintos 7 e 7 tais que 7 passa por r e 7 passa por s entaéo necessariamente r e s sao reversas d Se as retas re s sao paralelas o plano 7 passa por re o plano m2 passa por s entao necessariamente 7 é paralelo a 72 e Se o par é LI entéo uma condiao necessdria e suficiente para que as retasr X AAU AE Re sXBAV AER sejam reversas é que a tripla i AB seja LD f Se uma reta r intersecta um plano z em mais de um ponto entao todo ponto de r pertence a 7 g Se a intersecdo de uma reta r com um plano z vazia entéo necessariamente r é paralela az h Se um vetor diretor da reta r é ortogonal a i e a sendo a um par de vetores diretores do plano z entdo necessariamente a intersegdo r 1 m consiste em um Unico ponto i Se a intersecgao dos planos m qjx biyc1zd Oe mM anx boy oz dy 0 é uma reta com vetor diretor 7 entao necessariamente 7 é ortogonal a ambos os vetores 71 a 5 C1 M2 ay bo G Para todo a bc ddok R com d dp 0 dj do k os planos ax byczd Oekaxkbykczdz 0 sao paralelos nao coincidentes REFERENCIAS 1 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analitica Um Tratamento Vetorial 3 ed Sido Paulo Pearson 2005 UNIVASF Coectapo DE ENG DE PropuAo EMAIL JOAO ALVESJUNIVASFEDUBR