Introdução à Geometria Analítica com Álgebra de Vetores

Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula O Espaço Beto Rober B Saavedra UNIVASF August 12 2022 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Sumário 1 Introdução 2 1Aula 3 2Aula 4 3Aula 5 4Aula 6 5Aula 7 6Aula 8 7Aula 9 8Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Introdução Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Escopo Norteador 1 Ensinar Noções Básicas de Geometria Analítica usando Álgebra de Vetores Representação Vetorial e Cartesiana da reta e o plano Significado Geométrico do Produto Escalar do Produto Vetorial e o do Produto Misto Um Estudo Básico das Cônicas Determinação de ângulos entre retas entre planos Determinação de Posições Pelativas e Determinação de Distâncias entre retas entre ponto e reta entre ponto e plano entre reta e plano Reconhecimento das Formas Canônicas das Quádricas 2 Competência e Destreza no uso das Noções Básicas da Geometria Analítica Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Epigrafe1 Jamais considere seus estudos como uma obrigação mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer Albert Einstein Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Epigrafe2 Não existe uma estrada real para a ciência e somente aqueles que não temem a fadiga de galgar suas trilhas escarpadas têm chance de atingir seus cumes luminosos Tirado do Prefácio da Edição Francesa do O Cápital Karl Marx Londres 18 de março de 1872 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Epigrafe3 Ex nihilo nihil fit Nada surge da nada 1 Poeta e Filósofo Lecrecio 1Enuncio este princípio na sua obra De Rerum Natura Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Epigrafe4 Muitas das atuais teorias matemáticas surgiram da ciência aplicada e só depois adquiriram aquel aspecto axiomático e abstrato que tanto dificulta o seu aprendizado VI ArnoldEminente Matemático Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 1Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício1 Explicar a correspondência biunívoca entre os pontos do Espaço e as ternas ordenadas x y z Distancia entre dois Pontos2 Sejam dois pontos no espacgo Px1121 QX2 y2Z2 Adistancia entre P e Q indicado por dPQ é dP Q y x41 x2 Mt Yo 41 22 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Equação Cartesiana da Esfera3 A Equação Cartesiana da Esfera de centro Cxo yo zo e raio r é x xo2 y yo2 z zo2 r 2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios4 1 Determine o centro e o raio das seguintes esferas a x2 y2 z2 2z 3y 5x 0 b 4x2 4y2 4z2 8z 7y 5x 0 2 Determine uma equação da esfera de centro na origem sabendo que sua interseção com um plano paralelo ao plano XY e distante duas unidades da origem é uma circunferência de raio 3 3 Determine t para que o ponto t t 1 t 2 pertença à esfera de centro 0 1 2 e raio 12 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios5 1 Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento AB onde A 123 e B 126 2 Determine o conjunto dos pontos equidistantes aos pontos A 100 e B 100 3 Determine o conjunto dos pontos equidistantes aos pontos A 010 e B 010 4 Determine o conjunto dos pontos equidistantes aos pontos A 001 e B 001 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 2Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Vetor no Espaço Definimos um vetor como sendo uma terna de números reais v a b c Indicaremos o conjunto dos vetores do espaço por R3 O vetor O 0 0 0 é o vetor nulo do espaço Representamos o vetor v por uma seta ver figura AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 a b c definido pelos pontos Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 Operacoes com Vetores2 O numero x2 4 y2 22 é chamado 0 médulo do vetor V x yZ indicado por Vv O mddulo de um vetor é igual ao comprimento da seta que o representa Sejam T x1421 V x Yo Z5 vetorese k umntmero real Entao T ViK07V respectivamente a soma de vetores 0 produto de um numero por um vetor e o produto escalar de dois vetores sao definidos como segue T V x1 201 Yo 24 20 KO hoy ky ke TV X4Xo Wy Yo 24Zo Qe Vale a Desigualdade de CauchySchwartz para vetores no espago GVi i TV I Q Se U e V sao vetores ndonulos do espaco 0 Unico angulo medido em radianos tal que a 00nr 5 b cos a e 9 el 60 Angulo entre os vetores Ue V Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício3 Provar que o ângulo entre os vetores u e v definido acima é exatamente o mostrado na Figura Assim podemos dizer que u e v são perpendiculares se e somente se u v 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício4 Mostre que o triângulo ABC 1 é isosceles se A 312 B 042 e C321 2 é retângulo se A 316 B 172 e C132 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício5 Provar que a Projeção Ortogonal do vetor u na direção do vetor não nulo v é Proj v u u v v 2 v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício6 Calcular Proj v u onde 1 u 1 1 1 e v 0 1 2 2 u 0 2 3 e v 1 1 1 3 u 1 0 1 e v 0 1 0 Exercicio7 Sejam ue V vetores nao paralelose 6 Ld V Mostre que z7 t sen0 weal V Profs V Vsen0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 3Aula Produto Vetorial1 Seja W ovetor perpendicular simultaneamente a T a1b11 e V a2 be C2 definido por i j ok Wa db G bi C2 b2c1 22C a1 C2 abe aby a be onde i100 j 0 10e k001 Ovetor W échamado produto vetorial de U por V e indicado por xv Ver Figura L Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Sentido do Produto Vetorial2 Para determinar o sentido do produto vetorial usamos a Regra da Mão Direita Abra sua mão direita espalmada e alinhe o representante do primeiro vetor digamos u co o dedo indicador Dobre o dedo médio alinhando com o vetor v O sentido de u para v fica de acordo com o fechar da mão A orientação do Produto Vetorial será a do polegar Existe outra técnica de determinar o Sentido do Produto Vetorial Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Propriedades3 Sejam os vetores u v w em R3 e o número real k R O produto vetorial verifica as seguintes propriedades 1 O produto vetorial não é comutativo ver figura u v v u 2 O produto vetorial não é associativo 3 u v w v w u w 4 k u v u k v k u v 5 Se os vetores u 0 e v 0 então u v u v senθ onde θ é o ângulo entre u e v 2 2A partir da fórmula concluímos que o módulo de u v é numéricamente igual à área do paralelogramo definido por u e v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício 4 Provar todas as propriedades dadas do Produto vetorial Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício 5 Sejam u e v vetores não paralelos e θ u v Mostre que u v u v Proj u v Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício 6 Calcular o área do paralelogramo ABCD onde 1 A 210 B 012 C 111 2 A 010 B 110 C 111 3 A 110 B 210 C 0 10 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício 7 Sejam u e v vetores do espaço tais que u v 0 e u v 0 Mostre que u 0 ou v 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 4Aula Produto Misto1 O numero a x VW onde 7 Vv We R échamado Produto Misto dos vetores 7 Vew Se U a1 11 V a be C2 e W a3 b3 Cz O produto misto de 7 Ve W édado por ay b Ci a x VwW a bo a bz Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Propriedades2 Sejam os vetores u a1 b1 c1 v a2 b2 c2 e w a3 b3 c3 O Produto Misto possui as seguintes propriedades a u v w u v w b O Volume do paralelepípedo definido pelos vetores u v e w é numericamente igual ao módulo do Produto Misto destes vetores Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 3 1 Provar todas as propriedades dadas do Produto Misto 2 Determine para quais valores de m R o paralelelpípedo P de vértices A111 B243 C521 e D 12m tem volume igual a 14 3 Encontre a solução de x 2y z 1 x 3y 2z 3 2x y z 2 e 2x y 3z 5 2y z 0 4x 3y 2z 7 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 4 1 Calcule u v w sendo u 1 3 1 v 1 0 1 w 2 1 1 2 A medida em radianos do ângulo entre u e v é π 6 e w tem o mesmo sentido do vetor u v Sendo u 1 v 2 w 4 ache u v w 3 Provar que u v w v w u u w v 4 Os ângulos α β e γ que o vetor nãonulo u x y z faz respectivamente com os vetores i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 são chamados ângulos diretores do vetor u Mostre que 1 em cosα x u cosβ y u cosγ z u 2 cos2α cos2β cos2γ 1 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 5 1 Provar que u v 0 u e v são linearmente independentes 2 Prove que 1 u v w u v w 2 A igualdade ocorrerá se e somente se algum dos vetores for nulo ou sendo todos não nulos forem dois a dois ortogonais 3 Prove que se u v v w w u 0 então u v w são linearmente dependentes Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 5Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Equação Cartesiana do Plano1 Sejam Axo yo zo um ponto do espaço e v a b c um vetor nãonulo Sabemos que passando por A existe um único plano α perpendicular ao vetor v Ou seja o ponto Px y z pertence a α se e somente se AP v 0 Como AP x xo y yo z zo temos a Equação Cartesiana do Plano α ax xo by yo cz zo 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Equações Paramétricas do Plano 3 Sejam u a1 b1 c1 e v a2 b2 c2 vetores com direções diferentes Um ponto Px y z pertence ao plano que contém Axo yo zo e é paralelo aos vetores u e v 3se e somente se existem números s e t tais que AP s u t v Escrevendo esta igualdade em função das coordenadas de A P u e v obtemos x xo y yo z zo sa1 b1 c1 ta2 b2 c2 ou x xo a1s a2t y yo b1s b2t z zo c1s c2t que são chamadas Equações Paramétricas do Plano 3Dizemos que um plano α é paralelo a um vetor u se existe em α uma reta com a direção de u Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 4 1 Equação do Plano que é perpendicular ao segmento AB dados A1 3 2 e B3 5 4 2 Interseção do Plano α de equação 2x 3y z 6 com os Eixos do Sistema de Coordenadas 3 Equações Paramétricas e Equação Cartesiana do plano que contém o ponto A2 3 1 e é paralelo aos vetores u 3 4 2 e v 2 2 6 4 Encontre as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano π normal ao vetror u 1 2 4 que contèm o ponto P 2 1 1 5 Para que valores de A e D o conjunto r 3 4t 1 4t 3 t t R está contida no plano π Ax 2y 4z D 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 5 1 Do ponto P 5 4 7 é traçada uma perpendicular ao plano π Se o pé desta perpendicular é o ponto Q 2 2 1 encontre a equação cartesiana de π 2 Calcular o área do triângulo determinados pelos pontos P 1 3 Q 1 1 R 2 1 3 Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores v 2 3 1 e u 3 2 3 4 Ache o ponto simétrico Q do ponto P 2 2 1 em relação ao plano π 3x y 2z 0 5 Determine uma equação do plano paralelo ao plano 2x 5y 3z 7 e que passa pelo ponto 523 6 Construir um triângulo retângulo no plano 2x y z 1 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 6Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Equações Paramétricas da Reta1 Seja a reta r que contém o ponto Axo yo zo e é paralela ao vetor nãonulo v a b c Um ponto Px y z pertence à reta r se e somente se AP t v onde t é um número real Em termos de coordenadas temos x xo y yo z zo ta b c que é equivalente a x xo ta A P y yo tb z zo tc Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício2 Verifique que a reta x 1 t y 2 3t z 5t está contida no plano x y z 3 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Posições Relativas entre Retas3 Duas retas no espaço podem ser concorrentes reversas ou paralelas como veremos a seguir Determine os valores de a e b para que as retas x 1 at x 2 2t y 2 bt y 1 bt z 1 2t z 1 2t sejam a paralelas b concorrentes c reversas Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Interseção de Planos Interseção de Retas e Planos4 1 Interseção dos planos 2x 3y z 1 e x 2y 3z 0 2 Determine a interseção da reta x 3 2t y 1 t z 2 3t com o plano x 4y z 2 3 Verifique que a reta x 1 t y 2 3t z 5t está contida no plano 2x y z 0 4 Escreva as equações paramétricas da interseção dos planos a 2x y z 0 e x y z 1 b x 2y 1 e z 2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício5 1 Determine todos os pontos de interseção dos planos 1 π1 3x y 2 e π1 x y 3z 0 2 π1 x y z 1 e π2 x y z 1 3 π1 2x y 2z 0 e π1 4x 2y z 1 2 Ache a equação da esfera S que passa pelos pontos A 352 B511C113 e D731 3 Determine as equações das esferas de raio 17 com centro pertencente ao plano π 2x y z 3 que contém os pontos A 2 3 1 e B 4 1 3 4 Ache as extremidades do diâmetro da esfera S x2 y 2 z2 2x 6y z 11 0 que é perpendicular ao plano π 5x y 2z 17 5 Ache o ponto simétrico Q do ponto P 2 2 1 em relação ao plano π 3x y 2z 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 6 1 Encontre a equação vetorial da reta perpendicular comum às retas L 100 t123 e R 121 s321 Qual a posição relativa entre as retas L e R 2 Obtenha uma equação vetorial da reta L que contém P 261 e é perpendicular a r 300 t113 3 Sejam π x y z 3 e r a reta que contém os pontos A100 e B011 Obtenha uma equação vetorial da reta simética de de r em relação a π 4 Sejam π x y 1 L 0 1 1 t1 0 1 H 2 1 1 s0 1 1 e R 0 1 3 r1 1 0 Determinar o ponto A comúm às retas LHR Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 7Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Distância de um Ponto a um Plano1 Na Figura r é a reta que contém o ponto Pxo yo zo e é perpendicular ao plano α e I é a interseção de r com α O ponto I é chamado a projeção ortogonal de P sobre α A distância de P a I dP I é a distância de P a α que será indicada por dP α Logo se ax by cz d 0 é a equação de α então dP α axo byo czo d a2 b2 c2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios2 1 Deduzir a fórmula dada acima 2 Determine a distância do ponto P2 4 1 ao plano α de equação x 5y 3z 13 0 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Distância de um Ponto a uma Reta3 Para determinar a distância de um ponto P a uma reta r procedemos assim primeiro traçamos por P um plano perpendicular a r e emseguida determinamos o ponto I de interseção deste plano com r Logo dP I é a menor distância do ponto P à reta r Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercício4 Calcular a distância do ponto P1 2 1 à reta r dada pelas equações paramétricas x 1 2t y 5 t z 2 3t Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Distância entre Retas Reversas 5 Dadas as retas reversas r e s tracemos por um ponto P de uma delas s por exemplo uma reta r paralela a r Assim o plano α é paralelo à reta r Portanto a distância de um ponto qualquer de r a α é igual a uma constante ℵ Esta constante ℵ é a menor distância entre r e s Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 6 1 Provar que a constante ℵ é a menor distância entre r e s 2 Determine a distância entre as retas reversas x 2 t x 5 4t r y 1 3t s y 6 5t z 1 2t z 4 3t Exercicios 7 Calcule a distancia do ponto A121 ao plano 2xy2z7 Encontre também o ponto B pertencente a z que realiza esta distancia Ache os pontos equidistantes dos pontos A001 B 010 e C100 que estdo a distancia 2 do plano zyz Um plano é paralelo ao plano 2x 2y z 10 ponto 222 é equidistante desses planos Determine a equagao cartesiana do plano Determine as equacées paramétricas das retas paralelas ao plano 7 x3yz3 contidas no plano 72 2xyz5 que distam V300 dareta r 71 72 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula 8Aula Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Quádricas1 Trataremos a Equação Geral de Segundo Grau de Duas Variáveis Ax2 By 2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Jz R I Os gráficos de tais equações se diferentes do conjunto vazio são superfícies chamadas Quádricas Visamos ensinar a identificar e esboçar uma quádrica a partir de sua equação Um caso particular de I é Gx Hy Jz R cujo gráfico é um plano O gráfico de I pode reduzirse a um pontoPor exemplo as quádricas de 2x2 4y 2 z2 0 ou x2 2 y 2 z2 4 0 consistem num ponto Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Quádricas2 Outra classe importante de quádricas são as de equações do tipo I cujos coeficientes de uma das variáveis são todos nulos Isto é Ax2 By 2 Dxy Gx Hy R C1 By 2 Cz2 Fyz Hy Jz R C2 Ax2 Cz2 Exz Gx Jz R C3 Os gráficos dessa classe são superfícies chamadas cilindros retos A cônica que se obtém fazendose a interseção deste cilindro com o plano t 0 sendo t a variável ausente na equação do cilindro é chamada diretriz do cilindro 4 4Conforme a diretriz seja uma elipse parábola ou hipérbole o cilindro é chamado elíptico reto parábolico reto ou hiperbólico reto Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios 3 Esboçar os gráficos das seguintes equações a x2 4 y2 9 1 Este gráfico chamase cilindro elíptico reto b y z2 Este gráfico chamase cilindro parabólico reto c x2 4 z2 16 1 Este gráfico chamase cilindro hiperbólico reto d 2y 2 z2 4y 6z 7 0 e x2 y 2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Teorema 4 Se o gráfico da equação Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Jz R I não é o conjunto vazio um ponto um plano ou um cilindro usando mudanças de coorde nadas convenientes podemos reduzíla a uma das formas constantes dos grupos seguintes GRUPO E x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 GRUPOH1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 GRUPO H2 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 GRUPO PE x y2 b2 z2 c2 y x2 a2 z2 c2 z x2 a2 y2 b2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula GRUPOPH x y 2 b2 z2 c2 y x2 a2 z2 c2 z x2 a2 y 2 b2 x y 2 b2 z2 c2 y x2 a2 z2 c2 z x2 a2 y 2 b2 GRUPO C x2 y 2 b2 z2 c2 y 2 x2 a2 z2 c2 z2 x2 a2 y 2 b2 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Comentários5 1 As equações escritas no enunciado da teorema foi resultado de uma mudanças de coordenadasDaí a rigor devería ser escrito com símbolos tais como x1 y1 e z1 ou x2 y2 e z2 para denotar as variáveis Mas por comodidade se usa x y e z 2 As equações que compõem os vários grupos são chamadas formas canônicas Conforme a forma canônica pertença ao grupo EH1H2PEPH ou C a quádrica que ela representa chamase na mesma ordem Elipsoide Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas Parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico Cone quádrico Tipos de Quadricas6 Nas figuras seguintes veremos que exceto o paraboldide hiperbolico cada quadrica possui pelo menos um eixo de simetria Interceptando a quadrica por um plano perpendicular ao seu eixo de simetria obtemos uma elipseQuando a quadrica é de revolucao esta elipse reduzse a uma circunferéncia Elipsdide Hiperboldide de uma folha Hiperboldide de duas folhas Paraboloide Eliptico Paraboldide hiperbdlico Cone quadrico Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios7 Identifique e esboce as quádricas cujas equações são 1 4x2 y 2 8z2 16 2 4x2 y 2 8z2 16 3 x2 2y 2 z 0 4 x2 y z2 0 5 x2 2y 2 z2 0 6 x2 4 y2 8 z2 16 1 7 z x2 4 y2 9 Introdução 1Aula 2Aula 3Aula 4Aula 5Aula 6Aula 7Aula 8Aula Exercícios8 1 Escreva equações paramétricas da curva dada pela interseção das superfícies a z x2 y 2 e x2 y 2 z2 1 b x2 y 12 1 e y x2 2 2 Mostre que a curva dada pela interseção das superfícies x2 y 12 1 e x2 y 2 z2 4 não é plana 3 Verifique que a curva cujas equações paramétricas são x cost y sent z t 4 Deduza equações paramétricas da interseção a do cilindro x2 y 2 1 com o plano x y z 1 b dos cilindros x z2 e x 1 y 2