Geometria Analítica - 3ª Prova - 2021.2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SAO FRANCISCO Geometria Analıtica 20212 3ª Prova 24082022 Turma C1 Professor Joao Alves Silva Junior O contexto das questoes a seguir sao os capıtulos 8 21 e 22 do livrotexto 1 Verdadeiro ou Falso Na questao a seguir cada item da uma proposicao que vocˆe deve avaliar como verdadeira V ou falsa F podendo deixar em branco ou marcar N de nao sei se nao tiver certeza Se vocˆe responder V ou F e errar recebera pontuacao negativa pelo item se marcar N recebera zero pelo item Se o saldo das pontuacoes recebidas numa mesma questao for negativo este saldo sera zerado Pontuacoes negativas recebidas numa questao nao afetam outras questoes Questao 1 05 ponto Nesta questao considere o universo geometrico restrito a um plano π a Com relacao a qualquer sistema ortogonal de coordenadas toda elipse tem equacao da forma x2a2 y2b2 1 com a b 0 b Toda hiperbole tem equacao da forma x2a2 y2b2 1 com a b 0 em relacao a algum sistema ortogonal de coordenadas c Toda circunferˆencia e tambem uma elipse d Se π e um plano r e uma reta contida em π e P e uma parabola contida em π entao necessariamente r P se e somente se r e paralela a reta diretriz de P e Com relacao a um sistema ortogonal de coordenadas Oxy a elipse de equacao x2a2 y2b2 1 com a b 0 tem distˆancia focal c a2 b2 f Com relacao a um sistema ortogonal de coordenadas Oxy a hiperbole de equacao x2a2y2b2 1 com a b 0 tem eixo transverso contido no eixo x e eixo conjugado contido no eixo y g Com relacao a um sistema ortogonal de coordenadas Oxy a equacao x2y2 0 define uma hiperbole de distˆancia focal zero h Chamamos de vertice o ponto de uma parabola que intersecta o seu eixo i Com relacao a um sistema ortogonal de coordenadas Oxy a coroa fundamental da elipse x2a2 y2b2 1 com a b 0 tem raio menor b e raio maior a j Se P e uma parabola de foco F vertice V e reta diretriz r X A λ AB λ R com A B r A B entao para cada ponto P P vale a igualdade PF AP Proj AB AP Discursivas Questao 2 18 ponto Considere num plano π um sistema ortogonal de coordenadas Oxy Com relacao a este sistema a Quanto medem o eixo maior o eixo menor e o segmento focal da elipse de equacao x24 y29 1 Faca um esboco desta elipse indicando seu retˆangulo fundamental e sua coroa fundamental b Quanto medem o eixo transverso o eixo conjugado e o segmento focal da hiperbole de equacao x29y2 1 Faca um esboco desta hiperbole indicando seu retˆangulo fundamental e suas assıntotas c Qual o valor do parˆametro p e quanto vale a distˆancia do foco ao vertice da parabola de equacao y 2x2 Faca um esboco desta parabola indicando seu foco e sua reta diretriz Questao 3 27 pontos Sejam Σ1 O1 E Σ2 O2 F e Σ3 O3 G sistemas de coordenadas com O2 2 3 1Σ1 O3 2 2 3Σ2 E e1e2e3 F f1 f2 f3 G g1g2g3 f1 e1 2e2 e3 f2 2e1 2e2 f3 e1 e2 e3 g1 f1 f2 f3 g2 f2 f3 g3 f1 f2 f3 Indiquemos por x y z u v w e r s t as coordenadas de um ponto arbitrario P com relacao a Σ1 Σ2 e Σ3 respectivamente Em outras palavras chamemos de x y e z as variaveis correspondentes aos trˆes eixos de Σ1 u v e w as variaveis correspondentes aos trˆes eixos de Σ2 r s e t as variaveis correspondentes aos trˆes eixos de Σ3 a Calcule a matriz de mudanca de base MEF b Calcule a matriz de mudanca de base MF G c Usando MEF e MF G calcule a matriz de mudanca de base MEG 1 2 d Usando MEG calcule a matriz de mudanca de base MGE e Usando suas respostas anteriores escreva as equacoes de mudanca de coordenadas de Σ2 para Σ1 equacoes que dao as coordenadas x y z de um ponto arbitrario P com relacao a Σ1 em funcao das coordenadas u v w do mesmo ponto P com relacao a Σ2 f Usando suas respostas anteriores calcule as coordenadas do ponto O3 com relacao ao sistema Σ1 g Usando suas respostas anteriores escreva as equacoes de mudanca de coordenadas de Σ1 para Σ3 equacoes que dao as coordenadas r s t de um ponto arbitrario P com relacao a Σ3 em funcao das coordenadas x y z do mesmo ponto P com relacao a Σ1 h Usando suas respostas anteriores calcule as coordenadas do ponto P 3 1 2Σ1 com relacao a Σ3 i Usando suas respostas anteriores escreva uma equacao para o plano x 3y z 0Σ1 com relacao a Σ3 ie nas variaveis r s t em que r s tΣ3 x y zΣ1 Referˆencias 1 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analıtica Um Tratamento Vetorial 3 ed Sao Paulo Pearson 2005 UNIVASF Colegiado de Eng de Producao Email joaoalvesjunivasfedubr