Distribuições Amostrais e o Teorema do Limite Central

ron LARSON betsy FARBER ESTATÍSTICA APLICADA 6e 54 Distribuições amostrais e o teorema do limite central Distribuições amostrais O teorema do limite central Probabilidade e o teorema do limite central Distribuições amostrais Nas seções anteriores você estudou a relação entre a média de uma população e os valores de uma variável aleatória Nesta Seção você vai estudar a relação entre uma média da população e as médias das amostras aleatórias retiradas da população Definição Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma estatística amostral que é formada quando amostras de tamanho n são repetidamente extraídas de uma população Se a estatística amostral é a média temse então a distribuição amostral das médias Cada estatística amostral tem uma distribuição amostral Figura 533 População com parâmetros µ e σ e a representação de algumas amostras Propriedades das distribuições amostrais de médias 1 A média das médias amostrais µₓ é igual à média da população µ µₓ µ 2 O desvio padrão das médias amostrais σₓ é igual ao desvio padrão da população σ dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra n σₓ σ n O desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais é chamado de erro padrão da média O teorema do limite central 1 Se amostras de tamanho n em que n 30 são retiradas ao acaso de uma população qualquer com uma média µ e um desvio padrão σ então a distribuição amostral das médias se aproxima de uma distribuição normal Quanto maior o tamanho da amostra melhor a aproximação Veja a Figura 536 2 Se a população é normalmente distribuída então a distribuição amostral das médias é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostra n Veja a Figura 536 Em qualquer dos casos a distribuição amostral das médias tem média igual à média da população µₓ µ Média das médias amostrais A distribuição amostral das médias tem uma variância igual a 1n vezes a variância da população e um desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada de n σ²ₓ σ² n Variância das médias amostrais σₓ σ n Desvio padrão das médias amostrais 1 Distribuição populacional qualquer Desvio padrão σ Média μ Distribuição das médias amostrais n 30 Desvio padrão das médias amostrais μₓ μ Média x 2 Distribuição populacional normal Desvio padrão σ Média μ Distribuição das médias amostrais qualquer n Desvio padrão das médias amostrais μₓ μ Média x Exemplo 2 Interpretando o teorema do limite central As contas de telefone celular dos habitantes de uma cidade têm média de US 47 e desvio padrão de US 9 como pode ser visto na Figura 537 Amostras aleatórias de 100 contas de telefone celular são selecionadas desta população e a média de cada amostra é determinada Calcule a média e o desvio padrão da média da distribuição amostral das médias Depois esboce um gráfico da distribuição amostral Adaptado de Cellular Telecommunications Internet Association Figura 537 Distribuição para todas as contas de telefone celular Contas de telefone celular individuais em dólares Solução A média da distribuição amostral é igual à média da população e o desvio padrão das médias amostrais é igual ao desvio padrão da população dividido por n Então μₓ μ 47 e σₓ σn 9100 09 Interpretação De acordo com o teorema do limite central uma vez que o tamanho da amostra é maior que 30 a distribuição amostral da média pode ser aproximada por uma distribuição normal com uma média de US 47 e um desvio padrão de US 090 conforme a Figura 538 Figura 538 Distribuição das médias amostrais com n 100 Média de 100 contas de telefone celular em dólares Probabilidade e o teorema do limite central Na Seção 52 você aprendeu como calcular a probabilidade de que uma variável aleatória x ocorra em um dado intervalo de valores da população De modo semelhante você pode calcular a probabilidade de que uma média amostral x ocorra em um dado intervalo da distribuição amostral de x Para transformar x em um escorez você pode usar a fórmula z valor média desvio padrão x μ x x μ σn A Figura 542 mostra o tempo que as pessoas passam dirigindo por dia Você seleciona aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos média de 25 minutos Qual é a probabilidade de que o tempo médio que eles passam dirigindo por dia esteja entre 247 e 255 minutos Suponha que σ 15 minuto O tamanho da amostra é maior que 30 então você pode usar o teorema do limite central para concluir que a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal com uma média e um desvio padrão de μₓ μ 25 minutos e σₓ σn 1550 021213 minuto O gráfico dessa distribuição na Figura 543 tem uma área sombreada da entre 247 e 255 minutos Os escoresz que correspondem às médias amostrais de 247 e 255 minutos são Então a probabilidade de que o tempo médio que 50 pessoas passam dirigindo por dia esteja entre 247 e 255 minutos é como mostra a Figura 544 P247 x 255 P141 z 236 Pz 236 Pz 141 09909 00793 09116 Isso implica que considerando que o valor de μ 25 esteja correto cerca de 9 de tais médias amostrais estarão fora do intervalo dado Figura 543 Distribuição das médias amostrais com n 50 µ 25 Figura 544 Distribuição dos escoresz das médias amostrais com n 50 54 Exercícios Construindo habilidades básicas e vocabulário Nos exercícios 1 a 4 uma população tem média µ 150 e desvio padrão σ 25 Encontre a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais com o tamanho da amostra n 1 μx μ 150 n 50 σx σn 353 2 μx μ 150 n 100 σx σn 25 3 μx μ 150 n 250 σx σn 158 4 μx μ 150 n 1000 σx σn 079 Verdadeiro ou falso Nos exercícios 5 a 8 determine se a sentença é verdadeira ou falsa Se for falsa reescrevaa como uma sentença verdadeira 5 Conforme o tamanho de uma amostra aumenta a média da distribuição amostral das médias aumenta FALSO Nos exercícios acima vimos que independentemente do tamanho da amostra a média das médias das amostras permanecem iguais 6 Conforme o tamanho de uma amostra aumenta o desvio padrão da distribuição amostral das médias aumenta FALSO Nos exercícios acima vimos que exatamente o oposto ou seja a medida que aumentamos o tamanho das amostras o desviopadrão das médias amostrais ou erro padrão das médias diminui Uma distribuição amostral da média é normal somente quando a população é normal FALSO Para populações com distribuição normal a distribuição amostral das médias sempre será normal independentemente do tamanho da amostra contudo se a distribuição populacional não é normal então é necessário que as amostras tenham no mínimo 30 elementos para que se garanta que a distribuição amostral das médias seja normal Análise gráfica Nos exercícios 9 e 10 o gráfico de uma distribuição populacional é mostrado com sua média e desvio padrão Uma amostra de tamanho 100 é retirada da população Determine qual dos gráficos indicados a a c mais se assemelharia à distribuição amostral das médias amostrais Explique seu raciocínio 9 O tempo de espera em segundos em um semáforo durante o sinal vermelho Análise gráfica Nos exercícios 9 e 10 o gráfico de uma distribuição populacional é mostrado com sua média e desvio padrão Uma amostra de tamanho 100 é retirada da população Determine qual dos gráficos indicados a a c mais se assemelharia à distribuição amostral das médias amostrais Explique seu raciocínio 9 O tempo de espera em segundos em um semáforo durante o sinal vermelho Verificando propriedades de distribuições amostrais da média Nos exercícios 11 a 14 determine a média e o desvio padrão da população Liste todas as amostras com reposição do tamanho dado a partir daquela população e encontre a média de cada uma Calcule a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias e compareos com a média e o desvio padrão da população 11 As contagens de palavra de 5 redações são 501 636 546 602 e 575 Use um tamanho de amostra de 2 12 Os valores que quatro amigos pagaram pelos seus tocadores de MP3 são US 200 US 130 US 270 e US 230 Use um tamanho de amostra de 2 13 As notas em um teste de três alunos em um grupo são 98 95 e 93 Use um tamanho de amostra de 3 14 Os números de DVDs alugados por quatro famílias no mês passado são 8 4 16 e 2 cada uma Use uma amostra de tamanho 3 Verificando propriedades de distribuições amostrais da média Nos exercícios 11 a 14 determine a média e o desvio padrão da população Liste todas as amostras com reposição do tamanho dado a partir daquela população e encontre a média de cada uma Calcule a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias e compareos com a média e o desvio padrão da população 11 As contagens de palavra de 5 redações são 501 636 546 602 e 575 Use um tamanho de amostra de 2 12 Os valores que quatro amigos pagaram pelos seus tocadores de MP3 são US 200 US 130 US 270 e US 230 Use um tamanho de amostra de 2 13 As notas em um teste de três alunos em um grupo são 98 95 e 93 Use um tamanho de amostra de 3 14 Os números de DVDs alugados por quatro famílias no mês passado são 8 4 16 e 2 cada uma Use uma amostra de tamanho 3 Esses exemplos apresentados só nos ajudam a compreender como funciona o teorema do limite central Não serão pedidos na prova mas tem um exemplo resolvido na página 246 do livro texto Encontrando probabilidades Nos exercícios 15 a 18 a média e o desvio padrão da população são dados Encontre a probabilidade indicada e determine se a média amostral dada seria considerada incomum Se for conveniente use ferramentas tecnológicas para calcular a probabilidade 15 Para uma amostra de n 64 encontre a probabilidade de uma média amostral ser menor que 243 quando μ 24 e σ 125 16 Para uma amostra de n 100 encontre a probabilidade de uma média amostral ser maior que 243 se μ 24 e σ 125 17 Para uma amostra de n 45 encontre a probabilidade de uma média amostral ser maior que 551 se μ 550 e σ 37 18 Para uma amostra de n 36 encontre a probabilidade de uma média amostral ser menor que 12750 ou maior que 12753 se μ 12750 e σ 17 Para uma amostra de n 64 encontre a probabilidade de uma média amostral ser menor que 243 quando μ 24 e σ 125 Para uma amostra de n 100 encontre a probabilidade de uma média amostral ser maior que 243 se μ 24 e σ 125 Para uma amostra de n 45 encontre a probabilidade de uma média amostral ser maior que 551 se μ 550 e σ 37 Para uma amostra de n 36 encontre a probabilidade de uma média amostral ser menor que 12753 se μ 12750 e σ 17 Usando o teorema do limite central Nos exercícios de 19 a 24 use o teorema do limite central para encontrar a média e o desvio padrão da distribuição amostral da média indicada Depois esboce um gráfico da distribuição amostral Distância de frenagem As distâncias de frenagem de 60 milhas por hora até a parada completa em piso seco de veículos utilitários esportivos são normalmente distribuídas com média de 154 pés e desvio padrão de 512 pés Amostras aleatórias de tamanho 12 são retiradas dessa população e a média de cada uma é determinada Adaptado de Consumer Reports 19 Distância de frenagem As distâncias de frenagem de 60 milhas por hora até a parada completa em piso seco de veículos utilitários esportivos são normalmente distribuídas com média de 154 pés e desvio padrão de 512 pés Amostras aleatórias de tamanho 12 são retiradas dessa população e a média de cada uma é determinada Adaptado de Consumer Reports Determinando probabilidades Nos exercícios 27 a 32 determine a probabilidade indicada e interprete os resultados Se for conveniente use ferramentas tecnológicas 27 Salários O salário médio anual para especialistas em questões ambientais é de cerca de US 66000 Uma amostra aleatória de 35 especialistas é selecionada dessa população Qual é a probabilidade de que o salário médio da amostra seja menor que US 60000 Suponha σ US 12000 Adaptado de Salarycom Salários O salário médio anual para comissários de bordo é de cerca de US 65700 Uma amostra aleatória de 48 comissários de bordo é selecionada dessa população Qual é a probabilidade de que o salário anual médio da amostra seja menor que US 63400 Suponha σ US 14500 Adaptado de Salarycom z xμx σx 6340065700 1450048 z 110 Px 63400 Pz 110 Tab pag 554 Pz 110 01357 A probabilidade de selecionar aleatoriamente uma amostra dessa população com salário médio anual inferior a US 63400 é pequena