Fórmulas para a Prova de Estatística

FÓRMULAS PARA A PROVA DE ESTATÍSTICA Teorema do Limite Central μX μ σX σn Intervals de Confiança para estimativa da média populacional μ Px e0 μ x e0 1 α Determinação de e0 Variância populacional σ² ou o desviopadrão σ populacional são conhecidos n 30 n 30 SIM e0 zcσn 1 Tabela Pág 554 e 555 NÃO e0 tcsn 3 Tabela Pág 556 e0 zcσn 2 Tabela Pág 554 e 555 e0 tcsn 4 Tabela Pág 554 e 555 Intervals de Confiança para estimativa da proporção populacional π Pp e0 μ p e0 1 α Determinação de e0 Para localizar o valor de zc Tabela pág 554 ou 555 e0 zcpqn lembrando que q 1 p Intervals de Confiança para estimativa da variância σ² ou desviopadrão populacional σ Variância Pn 1s²χ²R σ² n 1s²χ²L 1 α Desviopadrão Pn 1s²χ²R σ n 1s²χ²L 1 α a Identifique os graus de liberdade n 1 e o nível de significância α b Encontre o primeiro valor crítico χ²R usando a Tabela 557 e a área α2 c Encontre o primeiro valor crítico χ²L usando a Tabela 557 à área 1 α2 Testando pares de médias com σ²1 e σ²2 conhecidos Amostras independentes Px1 x2 ex1 x2 μ1 μ2 x1 x2 ex1 x2 1 α Margem de erro combinada para amostras independentes ex1 x2 zcσ²1n1 σ²2n2 Testando pares de médias com σ²1 e σ²2 desconhecidos Amostras independentes Px1 x2 ex1 x2 μ1 μ2 x1 x2 ex1 x2 1 α ex1 x2 tcsx1 x2 o valor de tc é obtido na Tabela 556 1º caso Margem de erro combinada para amostras independentes porém com variâncias σ²1 e σ²2 embora sendo desconhecidas são consideradas diferentes onde sx1 x2 s²1 n1 1 s²2 n2 1n1 n2 2 1n1 1n2 2º caso Margem de erro combinada para amostras independentes porém com variâncias σ²1 e σ²2 embora sendo desconhecidas são consideradas iguais sx1 x2 σ²1n1 σ²2n2 No 1º caso o valor de tc é obtido na Tabela 556 com n1 n2 2 No 2º caso também na Tabela da pág 556 o valor de tc será obtido com o número de graus de liberdade que deverá ser escolhido entre o menor valor de n1 1 e n2 1 Testando pares de proporções π1 e π2 Amostras independentes Pp1 p2 ep1 p2 π1 π2 p1 p2 ep1 p2 1 α Onde ep1 p2 zcp1q1n1 p2q2n2 Ou ainda p k1 k2n1 n2 e q 1 p Então ep1 p2 zcpq1n1 1n2 Um resumo dos testes de hipóteses Escrevendo hipóteses É dada uma afirmação sobre um parâmetro populacional μπσ² ou σ Reescreva a afirmação e seu complemento usando para H0 e para HA Especifique o nível de significância α que representa a probabilidade máxima aceitável de rejeitar uma hipótese H0 verdadeira erro tipo I Especifique o tamanho da amostra n Escolhendo o teste de hipóteses 1º caso e 2º caso Teste de hipóteses para uma média populacional μ 1º caso Populações normalmente distribuídas Use o teste z quando σ é conhecido e a população é normal Use o teste t quando σ é desconhecido e a população é normal 2º caso Populações com qualquer distribuição Use o teste z para qualquer população quando σ é conhecido e n 30 Use o teste t para qualquer população quando σ é desconhecido e n 30 Teste de hipóteses para uma proporção populacional π 1º caso Use o teste z para qualquer população binomial se np 5 e nq 5 Teste de hipóteses para uma variância σ² e um desviopadrão σ populacional 1º caso Use o teste quiquadrado χ² para populações normais Esboce a distribuição amostral A partir da hipótese alternativa HA avalie se o teste é unilateral à esquerda ou à direita ou então bilateral Verifique a estatística de teste padronizada ou estatística de corte tabelada Selecione uma amostra aleatória de tamanho n da população Calcule ou identifique a estatística de teste x p ou s² Encontre na tabela a estatística de teste correspondente padronizada z t ou χ² Estruture para um teste de hipóteses com pares de parâmetros diferenças entre médias e diferenças entre proporções Estruturas de testes de hipóteses para testar um parâmetro populacional Estrutura de um teste z para uma média μ σ² conhecido 1 Verifique se σ² ou σ é conhecido se a amostra é aleatória e se a população é normalmente distribuída ou n 30 2 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa Formule H₀ e H₁ 3 Especifique o nível de significância α 4 Determine os valores críticos da estatística de teste nas tabelas das Pág 554 e 555 5 Determine as regiãoões de rejeição 6 Encontre a estatística de corte padronizada zₐ x μ σ n E esboce a distribuição amostral 7 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se zₐ está na região de rejeição então rejeitar H₀ Caso contrário não rejeitar H₀ 8 Interprete a decisão no contexto da afirmação original Estrutura de um teste z para uma média μ σ² desconhecido 1 Verifique se σ² ou σ NÃO é conhecido e se a amostra é aleatória e se a população é normalmente distribuída ou n 30 2 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa Formule H₀ e H₁ 3 Especifique o nível de significância α 4 Identifique o número de graus de liberdade n 1 gl 5 Determine os valores críticos da estatística de teste na tabela da pág 556 6 Determine as regiãoões de rejeição 7 Encontre a estatística de corte padronizada tₐ x μ s n E esboce a distribuição amostral 8 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se tₐ está na região de rejeição então rejeitar H₀ Caso contrário não rejeitar H₀ 9 Interprete a decisão no contexto da afirmação original Estrutura de um teste z para uma proporção π 1 Verifique se a distribuição amostral de p pode ser aproximada por uma distribuição normal verifique se np 5 e se nq 5 2 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa Formule H₀ e H₁ 3 Especifique o nível de significância α 4 Determine os valores críticos da estatística de teste nas tabelas das Pág 554 e 555 5 Determine as regiãoões de rejeição 6 Encontre a estatística de corte padronizada zₐ p π π1 πn E esboce a distribuição amostral 7 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se zₐ está na região de rejeição então rejeitar H₀ Caso contrário não rejeitar H₀ 8 Interprete a decisão no contexto da afirmação original Estrutura de um teste quiquadrado para uma variância σ² ou um desviopadrão σ 1 Verifique se a amostra é aleatória e se a população é normalmente distribuída 2 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa Formule H₀ e H₁ 3 Especifique o nível de significância α 4 Identifique o número de graus de liberdade n 1 gl 5 Determine os valores críticos da estatística de teste na tabela da Pág 557 6 Determine as regiãoões de rejeição 7 Encontre a estatística de corte padronizada χ²ₐ n 1s² σ² E esboce a distribuição amostral 8 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se χ²ₐ está na região de rejeição então rejeitar H₀ Caso contrário não rejeitar H₀ 9 Interprete a decisão no contexto da afirmação original Teste t baseado em duas amostras para testar a diferença entre médias O teste t baseado em duas amostras é utilizado para testar a diferença entre duas médias populacionais μ1 e μ2 quando 1 σ1 e σ2 são desconhecidos 2 as amostras são aleatórias 3 as amostras são independentes e 4 as populações são normalmente distribuídas ou ambas n1 30 e n2 30 A estatística de teste é x1 x2 e a estatística de corte padronizada é tc x1 x2 μ1 μ2 sx1 x2 Erropadrão para a distribuição amostral de x1 x2 é sx1 x2 Quando as variâncias são iguais sx1 x2 σ 1n1 1n2 gl onde o desviopadrão combinado σ é dado por σ n1 1s1² n2 1s2² n1 n2 2 Com n1 n2 2 gl onde o número de graus de liberdade será o menor valor a ser escolhido entre n1 1 e n2 1 Usando um teste t para testar a diferença entre duas médias amostras independentes σ1 σ2 desconhecidos 1 Verifique se σ1 e σ2 são desconhecidos e se as amostras são aleatórias e independentes e se as populações são normalmente distribuídas ou ambos n1 30 e n2 30 2 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa H0 e HA 3 Especifique o nível de significância α 4 Determine o número de graus de liberdade Para o caso de variâncias iguais gl n1 n2 2 e para o caso de variâncias desiguais gl Escolha o menor valor entre n1 1 e n2 1 5 Determine os valores críticos da estatística de teste na tabela da Pág 556 6 Determine as regiãoões de rejeição 7 Encontre a estatística de corte padronizada tc x1 x2 μ1 μ2 sx1 x2 e esboce a distribuição amostral 8 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se zc está na região de rejeição então rejeitar H0 Caso contrário não rejeitar H0 9 Interprete a decisão no contexto da afirmação original Usando um teste z para testar a diferença entre duas proporções Se minha afirmação é sobre dois parâmetros populacionais π1 e π2 então 1 As amostras são selecionadas aleatoriamente 2 As amostras são independentes 3 As amostras são grandes o suficiente para usar uma distribuição amostral normal Isto é n1p1 5 n2p2 5 e n2q2 5 A estatística de corte para a distribuição amostral para π1 π2 é z p1 p2 π1 π2 pq1n1 1n2 Como um teste de hipótese para π1 π2 é baseado na suposição de que π1 π2 você pode calcular uma estimativa ponderada de π1 e π2 usando p k1 k2 n1 n2 e q 1 p onde k1 n1p1 e k2 n2p2 Com a estimativa ponderada p o erro padrão da distribuição amostral para p1 p2 é σp1 p2 pq1n1 1n2 Usando duas amostras e o teste z para testar a diferença entre duas proporções 1 Verifique se as amostras são aleatórias e independentes e se as distribuições amostrais de p1 e p2 podem ser aproximadas de distribuições normais 2 Calcule a estimativa ponderada de π1 e π2 e verifique se n1p1 5 n2p2 5 e n2q2 5 3 Expresse a afirmação verbal e matematicamente Identifique as hipóteses nula e alternativa H0 e HA 4 Especifique o nível de significância α 5 Determine os valores críticos da estatística de teste nas tabelas das Pág 554 e 555 6 Determine as regiãoões de rejeição 7 Encontre a estatística de corte padronizada zc p1 p2 π1 π2 pq1n1 1n2 e esboce a distribuição amostral 8 Tome uma decisão para rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula Se zc está na região de rejeição então rejeitar H0 Caso contrário não rejeitar H0 9 Interprete a decisão no contexto da afirmação original O QUADRO ABAIXO É OUTRA OPÇÃO PARA ESTRUTURAÇÃO DE TESTES DE HIPÓTESES Tabela B4 Distribuição normal padrão z Área 009 008 007 006 005 004 003 002 001 000 z z 009 00033 00033 00033 00033 00033 00033 00033 00033 00033 00034 010 00010 00011 00011 00011 00011 00012 00011 00010 00011 00010 011 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00005 00005 00004 00005 012 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 013 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 014 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 015 00003 00003 00003 00003 00003 00004 00003 00003 00004 00004 016 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00003 00003 continuação Tabela B5 Distribuição t Tabela B6 Distribuição quiquadrado