Intervalos de Confiança para a Média: Estimativas Pontuais e Intervalares

ron LARSON betsy FARBER ESTATÍSTICA APLICADA 6e 61 Intervals de confiança para a média σ conhecido Estimando parâmetros populacionais Intervals de confiança para a média populacional Tamanho da amostra Estimando parâmetros populacionais Neste capítulo você aprenderá uma técnica importante da inferência estatística usar estatísticas amostrais para estimar o valor de um parâmetro populacional Nesta seção e na próxima você aprenderá como usar estatísticas amostrais para fazer uma estimativa do parâmetro populacional μ quando o desvio padrão populacional σ for conhecido esta seção ou quando σ for desconhecido Seção 62 Para fazer tal inferência comece encontrando uma estimativa pontual Definição Uma estimativa pontual é um valor único estimado para um parâmetro populacional A estimativa pontual menos tendenciosa viesada da média populacional μ é a média amostral x Definição Uma estimativa intervalar é um intervalo ou amplitude de valores usado para estimar um parâmetro populacional Embora possamos supor que a estimativa pontual do Exemplo 1 não seja igual à média real da população provavelmente está muito próxima dela Para formar uma estimativa intervalar use a estimativa pontual como o centro do intervalo e depois adicione e subtraia uma margem de erro Por exemplo se a margem de erro for 21 então uma estimativa intervalar seria dada por 296 21 ou 275 μ 317 A estimativa pontual e a estimativa intervalar estão na Figura 62 Figura 62 Estimativa pontual e estimativa intervalar Limite inferior 275 Estimativa pontual x 296 Limite superior 317 Px e₀ μ x e₀ 1 α 62 Intervals of confidence for the mean σ unknown A distribution t Em muitas situações de vida real o desvio padrão da população é desconhecido Então como podemos construir um intervalo de confiança para uma média populacional no qual σ não é conhecido Para uma variável aleatória que é normalmente distribuída ou aproximadamente normalmente distribuída a variável média amostral comportase tal qual outro modelo a distribuição t Definição Se a distribuição de uma variável aleatória x for no mínimo aproximadamente normal então a média amostral distribuise tal qual a estatística P x e₀ μ x e₀ 1 α Definição O nível de confiança c é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional supondo que o processo de estimação é repetido um grande número de vezes Área sob a curva normal padrão representando o nível de confiança α Dica de estudo Neste curso os níveis de confiança de 90 95 e 99 serão os usuais Os escoresz correspondentes a esses níveis de confiança são Nível de confiança zc 90 1645 95 196 99 2575 Definição Dado um nível de confiança c a margem de erro e₀ às vezes chamada também de erro máximo da estimativa ou tolerância de erro é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que ela está estimando Para uma média populacional μ em que é conhecido a margem de erro é e₀ zc σₓ n σ² ou σ é conhecido Tamanho da amostra n n 30 n 30 SIM e₀ zc σ n 1 e₀ zc σ n 2 Tab554 e 555 NÂO e₀ tc s n 3 e₀ zc s n 4 Tab554 e 555 quando são atendidas as duas condições a seguir 1 A amostra é aleatória 2 Pelo menos um dos seguintes é verdadeiro a população é normalmente distribuída ou n 30 O que você deve aprender Como encontrar uma estimativa pontual para a proporção populacional Como construir e interpretar intervalos de confiança para uma proporção populacional Como determinar o tamanho mínimo da amostra necessário quando estimamos uma proporção populacional P𝑝 𝑒0 π 𝑝 𝑒0 1α Onde 𝑒0 𝑧𝑐 𝑝𝑞n 𝑧𝑐 𝑝1𝑝n Definição A estimativa pontual para 𝑝 a proporção populacional de sucessos é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é denotada por 𝑝 𝑘n em que 𝑘 é o número de sucessos em uma amostra e 𝑛 é o tamanho da amostra A estimativa pontual para a proporção populacional de não sucessos é 𝑞 1𝑝 Os símbolos 𝑝 e 𝑞 são lid Antes de encontrar uma margem de erro para uma estimativa intervalar devemos primeiro determinar quão confiante você precisa estar de que sua estimativa intervalar contenha o verdadeiro valor do populacional Definição O nível de confiança c é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional supondo que o processo de estimação é repetido um grande número de vezes Área sob a curva normal padrão representando o nível de confiança α Dica de estudo Neste curso os níveis de confiança de 90 95 e 99 serão os usuais Os escoresz correspondentes a esses níveis de confiança são Nível de confiança 𝑧𝑐 90 1645 95 196 99 2575 O que você deve aprender Como interpretar a distribuição quiquadrado e usar a tabela da distribuição quiquadrado Como construir e interpretar intervalos de confiança para a variância e desvio padrão populacional A distribuição quiquadrado Na indústria é necessário controlar o quanto um processo varia Por exemplo o fabricante de uma peça de automóvel deve produzir milhares de peças para serem usadas no processo de fabricação É importante que as peças variem muito pouco dentro do intervalo especificado Como você pode medir e consequentemente controlar a quantidade de variação nas peças Você pode começar com uma estimativa pontual Definição A estimativa pontual para σ² é S² e a estimativa pontual para σ é S A melhor estimativa não viesada para σ² é S² Você pode usar uma distribuição quiquadrado para construir um intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão Para os valores críticos de quiquadrado com um nível de confiança c os valores mostrados nas figuras a seguir χ²L e χ²R são os que você consulta na Tabela 557 Você pode usar os valores críticos χ²R e χ²L para construir intervalos de confiança para a variância e desvio padrão de uma população A melhor estimativa pontual para a variância é s² e a melhor estimativa pontual para o desvio padrão é s Como a distribuição quiquadrado não é simétrica o intervalo de confiança para σ² não pode ser escrito como s² e₀ Você deve separar os cálculos para os limites do intervalo de confiança conforme apresentado na próxima definição Encontrar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar µ Dado o nível de confiança c e uma margens de erro e₀ o tamanho mínimo da amostra n necessário para estimar a média populacional µ é n zₒσe₀² Quando σ é desconhecido você pode estimálo usando s dado que você tenha uma amostra preliminar com pelo menos 30 membros Encontrando um tamanho mínimo de amostra Uma forma de aumentar a precisão do intervalo de confiança sem diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra Encontrando um tamanho mínimo de amostra para estimar p Dado um nível de confiança α e uma margem de erro e₀ o tamanho mínimo da amostra n necessário para estimar a proporção populacional p é n p q zₒe₀² Essa fórmula supõe que você tenha estimativas preliminares de p e q Se não tiver use p 05 e q 05 Amostras independentes e dependentes No Capítulo 7 você estudou métodos para testar uma afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional Neste capítulo você aprenderá como testar uma afirmação comparando parâmetros de duas populações Antes de aprender como testar a diferença entre dois parâmetros você precisa entender a diferença entre amostras independentes e amostras dependentes Definição Duas amostras são independentes quando a amostra selecionada de uma população não é relacionada à amostra selecionada da segunda população veja a Figura 81 Duas amostras são dependentes quando cada elemento de uma amostra corresponde a um elemento da outra amostra veja a Figura 82 Amostras dependentes também são chamadas de amostras pareadas ou amostras emparelhadas Figura 81 Amostras independentes Figura 82 Amostras dependentes O provedor de serviço de internet obtém os resultados mostrados nas figuras 83 e 84 Figura 83 Amostra 1 dados descritivos dos estudantes universitários do sexo masculino População de estudantes universitários do sexo masculino x₁ 85 min s₁ 15 min n₁ 200 Amostra Figura 84 Amostra 2 dados descritivos dos estudantes universitários do sexo feminino População de estudantes universitários do sexo feminino x₂ 81 min s₂ 17 min n₂ 250 Usando um nível de significância de α 005 o provedor de serviço de internet pode concluir que existe uma diferença nas quantidades de tempo que estudantes universitários do sexo masculino e do sexo feminino passam conectados cada dia Testando pares de médias com σ₁² e σ₂² desconhecidos Px₁ x₂ tₐsx₁ x₂ μ₁ μ₂ x₁ x₂ tₐsx₁ x₂ 1 α Onde ȳ é a estimativa conjunta para o desviopadrão para quando as variâncias σ₁² e σ₂² forem consideradas iguais neste caso o teste t de Student será aplicado com n₁ n₂ 2 graus de liberdade ȳ s₁²n₁ 1 s₂²n₂ 1 n₁ n₂ 2 e sx₁ x₂ ȳ1n₁ 1n₂ Quando as variâncias σ₁² e σ₂² não forem consideradas iguais neste caso a estimativa do desviopadrão conjunto será sx₁ x₂ σ₁²n₁ σ₂²n₂ Neste caso o número de graus de liberdade a ser utilizado no teste t de Student será igual ao menor valor entre n₁ 1 e n₂ 1 Testando pares de médias com σ₁² e σ₂² conhecidos Px₁ x₂ zₐσ₁²n₁ σ₂²n₂ μ₁ μ₂ x₁ x₂ zₐσ₁²n₁ σ₂²n₂ 1 α Testando duas proporções Pp₁ p₂ zₐp₁q₁n₁ p₂q₂n₂ π₁ π₂ p₁ p₂ zₐp₁q₁n₁ p₂q₂n₂ 1 α Teste z usando duas amostras para testar a diferença entre proporções Nesta seção você aprenderá a usar um teste z para testar a diferença entre duas proporções populacionais p1 e p2 usando uma proporção amostral de cada população Um teste z é usado para testar a diferença entre proporções populacionais p1 e p2 quando as seguintes condições são satisfeitas 1 As amostras são aleatórias 2 As amostras são independentes 3 As quantidades n1p n1q n2p e n2q são pelo menos 5 A estatística de teste é p1 p2 A estatística de teste padronizada é z p1 p2 p1 p2 pq1n1 1n2 em que p x1 x2 n1 n2 e q 1 p Escolhendo uma distribuição Nos exercícios 31 a 36 use a distribuição normal padrão ou a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 95 para a média populacional Justifique sua decisão Se nenhuma das distribuições puder ser usada explique o porquê Interprete os resultados Se for conveniente use tecnologia para construir o intervalo de confiança 36 pag 295 Tempo de internacao no hospital Em uma amostra aleatória de 13 pessoas o tempo médio de internação em um hospital era de 62 dias Suponha que o desvio padrão populacional é de 17 dia e que os tempos de internação são normalmente distribuídos Adaptado de American Hospital Association Dados do problema n 13 pessoas x 62 dias σ 17 dias 1 α 095 Desviopadrão populacional conhecido e amostra com menos de 30 elementos e0 zcσn 1961713 e0 092 Intervalo de 95 confiança para a média Px e0 μ x e0 1 α P62 092 μ 62 092 095 P528 μ 712 095 Escolhendo uma distribuição Nos exercícios 31 a 36 use a distribuição normal padrão ou a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 95 para a média populacional Justifique sua decisão Se nenhuma das distribuições puder ser usada explique o porquê Interprete os resultados Se for conveniente use tecnologia para construir o intervalo de confiança 32 Hipotecas pag 295 Em uma amostra aleatória de 15 instituições de crédito hipotecário a taxa média de juros era de 357 e o desvio padrão era de 036 Suponha que as taxas de juros são normalmente distribuídas Adaptado de Federal Reserve Dados do problema n 15 instituições x 357 s 036 1 α 095 Desviopadrão populacional desconhecido e amostra com menos de 30 elementos e0 tcsn 214503615 e0 020 Intervalo de 95 confiança para a média Px e0 μ x e0 1 α P357 020 μ 357 020 095 P337 μ 377 095 Construindo intervalos de confiança Nos exercícios 35 e 36 são dados a média amostral e o desvio padrão populacional Use essa informação para construir os intervalos de confiança de 90 e 95 para a média populacional Interprete os resultados e compare as amplitudes dos intervalos de confiança Se for conveniente use tecnologia para construir intervalos de confiança 36 Concentração de cloreto de sódio pag 286 Em 36 amostras de água do mar selecionadas aleatoriamente a concentração média de cloreto de sódio era de 23 cm3m3 Suponha que o desvio padrão da população seja de 67 cm3m3 Adaptado de Dorling Kindersley Visual Encyclopedia Dados do problema n 36 amostras x 23 cm3m³ σ 67 cm³m³ 1 α 090 Desviopadrão populacional desconhecido e amostra com menos de 30 elementos e0 zcσn 16456736 e0 184 Intervalo de 90 confiança para a média Px e0 µ x e0 1 α P23 184 µ 23 184 090 P2116 µ 2484 090 Construindo intervalos de confiança Nos exercícios 45 e 46 use a informação para construir os intervalos de confiança de 90 e 99 para a média populacional Interprete os resultados e compare as amplitudes dos intervalos de confiança Se for conveniente use tecnologia para construílos 47 Tamanho mínimo de amostra pag 286 Determine o tamanho mínimo da amostra necessário quando você quer estar 95 confiante de que a média amostral dista no máximo de uma unidade da média populacional e s 48 Suponha que a população é normalmente distribuída Dados do problema e0 1 s 48 1 α 090 Desviopadrão populacional desconhecido e população normalmente distribuída Determinação do tamanho da amostra n zcse0² 164548²1² n 63 pessoas Determinação do tamanho da amostra n zcse0² 257548²1² n 153 pessoas Encontrando 𝑝 e 𝑞 Nos exercícios 3 a 6 seja 𝑝 a proporção populacional para a situação dada Encontre estimativas pontuais de 𝑝 e 𝑞 OBS Originalmente este exemplo é somente para identificar as estimativas de 𝑝 e 𝑞 entretanto introduzimos um nível de confiança de 92 para produzir uma estimativa intervalar para estimar verdadeiro valor do parâmetro π 5 Computador pag 304 Em uma pesquisa com 11605 pais 4912 acham que o governo deveria subsidiar os custos com computadores para famílias de mais baixa renda Adaptado de DisneyFamilycom Dados do problema n 11605 pais k 4912 pais 𝑝 kn 491211605 0423 Determinação do intervalo de confiança e0 zc𝑝1 𝑝n 141 Margem de erro e0 0005 P𝑝 e0 π 𝑝 e0 1 α P0423 0005 π 0423 0005 092 P0418 π 0428 092 Preço da gasolina pag 304 Você deseja estimar com 95 de confiança a proporção populacional de adultos americanos que acham que o presidente pode fazer muito a respeito do preço da gasolina Sua estimativa deve ser precisa distando no máximo 4 da proporção populacional a Não há estimativas preliminares disponíveis Encontre o tamanho mínimo de amostra necessária b Determine o tamanho mínimo de amostra necessário usando um estudo anterior que descobriu que 48 dos adultos americanos acham que o presidente pode fazer muito a respeito do preço da gasolina c Compare os resultados das partes a e b Construindo intervalos de confiança Nos exercícios 13 a 24 suponha que a amostra é de uma população normalmente distribuída e construa os intervalos de confiança indicados para a a variância da população s² e b o desvio padrão da população s Interprete os resultados Testando a diferença entre duas médias Nos exercícios de 15 a 24 a identifique a afirmação e formule H₀ e H₁ b encontre os valores críticos e identifique as regiãoões de rejeição c calcule a estatística de teste padronizada z d decida se rejeita ou não rejeita a hipótese nula e e interprete a decisão no contexto da afirmação original Suponha que as amostras são aleatórias e independentes e que as populações são normalmente distribuídas Se for conveniente use tecnologia Testando a diferença entre duas médias Nos exercícios 13 a 22 a identifique a afirmação e formule H0 e Ha b encontre os valores críticos e identifique as regiãoões de rejeição c calcule a estatística de teste padronizada d decida se rejeita ou não a hipótese nula e e interprete a decisão no contexto da afirmação original Suponha que as amostras são aleatórias e independentes e que as populações são normalmente distribuídas Se for conveniente use tecnologia Testando a diferença entre duas médias Nos exercícios 13 a 22 a identifique a afirmação e formule H0 e Ha b encontre os valores críticos e identifique as regiãoões de rejeição c calcule a estatística de teste padronizada d decida se rejeita ou não a hipótese nula e e interprete a decisão no contexto da afirmação original Suponha que as amostras são aleatórias e independentes e que as populações são normalmente distribuídas Adaptação de American Pet Products Association Mudandose Nos exercícios 17 a 20 use a figura a seguir que mostra os percentuais de homens e mulheres com idade entre 18 e 24 anos nos Estados Unidos que moravam na casa dos pais em 2000 e 2012 Suponha que a pesquisa incluiu amostras aleatórias de 250 homens e 280 mulheres em 2000 e 260 homens e 270 mulheres em 2012 Adaptado de US Census Bureau Homens antes e agora Para um nível de significância α 005 você pode aceitar a afirmação de que a proporção de homens com idade entre 18 e 24 anos morando na casa dos pais era maior em 2012 que em 2000 Percentual de pessoas com idade entre 18 e 24 anos morando na casa dos pais nos EUA Ano 2000 Homens Mulheres 2000 Amostras 564 425 250 280 Ano 2012 Homens Mulheres 2012 Amostras 600 478 260 270 Construímos intervalos de confiança para podermos avaliar o percentual de pessoas com idade entre 18 e 24 anos que permanecem morando na casa dos pais nos EUA Os dois intervalos de confiança mostram que não ocorreram diferenças estatisticamente significativas nesses 12 anis analisados com relação ao percentual de homens e mulheres que moram com os pais uma vez que o zero está contido em ambos intervalos Em outras palavras podese considerar que esses percentuais não foram alterados