Cálculo de Área sob Gráfico com Limites e Aproximações - Exemplo Resolvido

EXEMPLO 3 Seja A a área da região que está sob o gráfico de fx ex entre x 0 e x 2 a Usando as extremidades direita encontre uma expressão para A como um limite Não calcule o limite b Estime a área tomando como pontos amostrais os pontos médios e usando quatro e depois dez subintervalos SOLUÇÃO a Uma vez que a 0 e b 2 a largura de um subintervalo é Δx 20n 2n Portanto x1 2n x2 4n x3 6n xi 2in e xn 2nn A soma das áreas dos retângulos aproximantes é Rn fx1 Δx fx2 Δx fxn Δx ex1 Δx ex2 Δx exn Δx e2n2n e4n2n e2nn2n De acordo com a Definição 2 a área é A lim n Rn lim n 2ne2n e4n e6n e2nn Usando a notação de somatória podemos escrever A lim n 2n i1 to n e2in É difícil calcular esse limite diretamente à mão mas com a ajuda de um SCA isso não é tão complicado veja o Exercício 28 Na Seção 53 seremos capazes de encontrar A mais facilmente usando um método diferente b Com n 4 os subintervalos com mesma largura Δx 05 são 0 05 05 1 1 15 e 15 2 Os pontos médios desses intervalos são x1 025 x2 075 x3 125 e x4 175 e a soma das áreas dos quatro retângulos aproximantes veja a Figura 15 é M4 i1 to 4 fxi Δx f025 Δx f075 Δx f125 Δx f175 Δx e02505 e07505 e12505 e17505 12 e025 e075 e125 e175 08557 Logo uma estimativa para a área é A 08557 Com n 10 os subintervalos são 0 02 02 04 18 2 e os pontos médios são x1 01 x2 03 x3 05 x10 19 Assim A M10 f01 Δx f03 Δx f05 Δx f19 Δx 02e01 e03 e05 e19 08632 Da Figura 16 parece que essa estimativa é melhor que a estimativa com n 4