Quadrantes na Circunferência Trigonométrica - Guia Completo com Exercícios

I se 0 d 025 o ângulo dado pertence ao primeiro quadrante II se 025 d 050 o ângulo dado pertence ao segundo quadrante III se 050 d 075 o ângulo dado pertence ao terceiro quadrante IV se 075 d 1 o ângulo dado pertence ao quarto quadrante Por exemplo se θ 60rad temos 602π 955 Portanto o arco de 60rad corresponde a 9 voltas no sentido antihorário no ciclo trigonométrico mais cerca de 55 de uma volta no mesmo sentido ou seja 602π 955 60 9 2π 055 2π 55 de uma volta Número de voltas 025 d 050 0 d 025 050 d 075 075 d 1 Como 055 está no intervalo 050 d 075 concluise que 60rad está no terceiro quadrante Se o arco for negativo a parte decimal é negativa e portanto basta adicionar uma unidade à parte decimal ou usar a seguinte relação I se 1 d 075 o ângulo dado pertence ao primeiro quadrante II se 075 d 050 o ângulo dado pertence ao segundo quadrante III se 050 d 025 o ângulo dado pertence ao terceiro quadrante IV se 025 d 0 o ângulo dado pertence ao quarto quadrante Determine se a extremidade do arco pertence a um dos quadrantes ou coincide com um dos pontos A B C ou D definidos acima a 33rad c 26rad e 11πrad b 23rad d 43π6 rad f 9π7 rad 8 Primeira determinação positiva O arco de primeira determinação positiva de um determinado arco é um arco θ congruente ao ângulo dado que varia no intervalo 0 θ 360 Por exemplo o arco de primeira determinação positiva de 1038 é 318 pois os dois arcos dados têm mesma terminação ou seja têm extremidades coincidentes e além disso 1038 2 360 318 Na prática a primeira determinação positiva é o resto da divisão do ângulo dado por 360 sendo o quociente o número de voltas dadas 1038 360 318 2 Se o arco dado é negativo procedese do mesmo modo mas o resto é negativo e o valor encontrado a primeira determinação negativa Para encontrar a primeira determinação positiva basta adicionar 360 ao valor encontrado o que corresponde a uma volta completa no sentido antihorário a partir da primeira determinação negativa Por exemplo a primeira determinação positiva de 2216 é calculada em dois passos 2 2 1 6 3 6 0 5 6 6 2 INSTITUTO FEDERAL Espírito Santo Campus Linhares Curso Técnico em Meio Ambiente Integrado ao Ensino Médio Lista de Matemática II Grupo 3 120 pontos Nota Componente 1 Componente 2 Componente 3 Observações use papel almaço façam as atividades usando caneta respeitem a margem esquerda e direita superior e inferior não escrevendo fora delas cobrem de cada componente efetiva participação respostas sem cálculos necessários para a resolução não serão consideradas entregar até 01 de dezembro de 2023 após essa data o valor da lista será reduzido de 10 por dia de atraso Em um triângulo ABC os lados são a BC b AC e c AB e os ângulos são BAC α CBA β e ACB γ sendo 0 α 180 0 β 180 e 0 γ 180 1 Em um triângulo ABC α 45 β 60 e c 9cm Determine a medida de cada um dos outros lados 2 Em um triângulo ABC α 75 β 45 e a 8cm Determine a medida do lado b Qual é o maior lado AB AC ou BC Justifique sem determinar a medida do terceiro lado caso esse não seja o lado dado 3 Em um triângulo ABC α 120 b 7cm e c 10cm Determine a 4 Em um triângulo ABC a 10cm b 9cm e c 15cm Determine o valor do maior ângulo interno deste triângulo 5 Um arco no ciclo trigonométrico tem origem no ponto A10 e final em qualquer outro ponto do ciclo podendo ser no sentido horário ou no sentido antihorário sendo este último o mais utilizado Determine se a extremidade final de cada um dos arcos dados coincide com os pontos A B C ou D escrevendo a letra correspondente ou se pertence a alguns dos quadrantes descrevendo qual deles a 6691 b 1421 c 3404 d 5354 e 5327 6 Escreva cada um dos ângulos abaixo em radianos Se o ângulo resultante não é um múltiplo inteiro de π escreva a fração irredutível correspondente ou seja aπ rad sendo a e b primos entre si a 105 b 825 c 1200 d 525 e 645 7 No ciclo trigonométrico podese fazer uma relação entre os arcos coincidentes com as divisões dos quadrantes por meio de porcentagens Temos as seguintes relações π2 rad corresponde à quarta parte ciclo trigonométrico ou seja π2 2π 14 025 25 π rad corresponde à metade do ciclo trigonométrico ou seja π2π 12 05 50 3π2 rad corresponde à três quartos do ciclo trigonométrico ou seja 3π2 2π 34 075 75 Assim com esses valores é possível obter os intervalos percentuais limites entre os quadrantes A extremidade de um ângulo θ é algum ponto do ciclo trigonométrico Para determinar se esse ponto pertence a um dos quadrantes ou coincide com o ponto A B C ou D basta dividir θ por 2π obtendo como resultado um número inteiro ou decimal Se for inteiro a parte decimal é zero portanto a extremidade do referido arco coincide com o ponto A se a parte decimal for 025 a extremidade do arco coincide com o ponto B se a parte decimal for 05 a extremidade do arco coincide com o ponto C e se a parte decimal for 075 a extremidade do arco coincide com o ponto D Se a parte decimal for diferente desses valores estará entre dois valores consecutivos deles de modo que se d é a parte decimal temos by LaTeX Professor Antonio de Freitas Primeira determinação negativa 56 2 2 1 6 3 6 0 5 6 6 6 A primeira determinação positiva é 304 pois 56 360 304 I Determine a primeira determinação positiva dos arcos correspondentes a questão 5 a b c d e II Determine a primeira determinação positiva em radianos dos arcos correspondentes a questão 6 a b c d e 9 Redução ao primeiro quadrante Conhecendose os valores de cos θ sen θ e tg θ sendo 0 θ 90 podese determinar os valores do seno do cosseno e da tangente para arcos do segundo terceiro e quarto quadrante por meio de simetrias para redução ao primeiro quadrante Redução do II para o I cos 180 θ sen 180 θ tg 180 θ Redução do III para o I cos 180 θ sen 180 θ tg 180 θ Redução do IV para o I cos 360 θ sen 360 θ tg 360 θ y B 180 θ θ C A θ1 θ A x 180 θ 360 θ D θ 0 15 30 45 60 75 90 senθ 0 6 24 12 22 32 6 24 1 cosθ 1 6 24 32 22 12 6 24 0 tgθ 0 2 3 33 1 3 2 3 não existe Determine o seno o cosseno e a tangente de cada um dos ângulos dados na questão 6 usando a tabela acima a b c d e 3 1 Temos z 60 45 180 z 105 180 z 75 e assim sen 75 sen 30 45 sen 30 cos 45 cos 30 sen 45 12 22 32 22 24 1 3 Pela lei dos senos xsen 45 9 sen 75 x sen 75 9 sen 45 x 24 1 3 9 22 x 181 3 13 1 3 18 1 3 1 3 x 18 1 3 2 x 9 3 1 y sen 60 9 sen 75 y sen 75 9 sen 60 y 24 1 3 9 3 2 y 18 3 2 1 3 1 2 2 y 48 6 2 3 1 y 9 6 3 1 2 Temse Pela lei dos senos b sen 45 8 sen 75 ou seja do exercício anterior b sen 75 8 sen 45 b 24 1 3 8 22 b 1 3 16 b 16 1 3 1 3 1 3 b 16 1 3 1 3 b 16 1 3 2 b 8 3 1 Como 45 75 γ 180 γ 180 120 60 entao o maior lado é o oposto ao maior ângulo BC 8 3 Temos Pela lei dos cossenos a² 10² 7² 2 10 7 cos 120 a² 100 49 140 12 a² 149 70 a² 219 a 219 O maior ângulo interno é oposto ao maior lado Pela lei dos cossenos 15² 9² 10² 2 9 10 cos x 225 81 100 180 cos x 180 cos x 181 225 180 cos x 44 cos x 44 4 180 4 11 45 x arccos 1145 x 1041 5 a 669 ¹ 36018 360 339 ¹ 2880 219 ¹ 3 quadrante b 1421 1421 3603 1080 341 1421 3 360 341 e 360 341 19 1 quadrante c 3404 3609 3240 164 2 quadrante d 5354 36014 360 1754 1440 314 4 quadrante e 5327 36014 360 1727 1440 287 4 quadrante 6 a 180 π 105 x 180 x 105 π x 105 π 180 15 15 7 π 12 rad b x 825 π 15 180 15 x 55 π 12 rad c x 120 π 180 6 6 x 20 π 3 rad d x 525 π 15 180 15 x 35 π 12 rad e x 645 π 15 180 15 x 43 π 12 rad 7 a 33 2π 525 d 025 ponto B b 23 2π 366 d 066 3 quadrante c 26 2π 414 d 014 4 quadrante d 43π6 2π 43π12π 358 d 058 3 quadrante e 11π2π 112 55 d 050 ponto C f 9π7 2π 9π14π 914 064 d 064 3 quadrante 8 I a 669 360 18 360 339 1 2880 219 b 1421 1421 360 8 1080 341 1421 3 360 341 c 360 341 19 c 3404 360 9 3240 164 d 5354 360 14 360 1754 1440 314 e 5327 360 14 360 1727 1440 287 II a 105 360 255 180 π rad 180x 255 π 255 x x 255 π 180 15 x 17 π 12 rad b 825 360 2 720 105 x 105 π 180 15 7 π 12 rad c 1200 360 3 1080 120 x 120 π 180 6 2 π 3 rad d 525 360 1 360 165 x 165π 180 15 11π 12 rad e 645 360 1 360 285 x 285π 180 15 19π 12 rad 9 a Temos sen105 sen 255 3 quadrante sen 0 cos 0 tg 0 e ainda 255 180 75 logo sen105 sen 75 6 24 cos105 cos 75 6 24 2 64 tg105 tg 75 2 3 b Temos sen825 sen 105 2 quadrante sen 0 cos 0 tg 0 e ainda 180 105 75 Assim sen825 sen 75 6 24 cos825 cos 75 6 22 2 62 tg 825 tg 75 2 3 2 3 c Sen xc sen120 sen120 2 quadrante e 180 120 60 logo sen 120 sen 60 32 cos 120 cos 60 12 tg 120 tg 60 3 d Sen xc sen525 sen165 2 quadrante e 180 165 15 Entao sen 525 sen 15 6 24 cos 525 cos 15 6 24 tg 525 tg 15 2 3 3 2 e Temos que sen645 sen 285 4º quadrante sen 0 cos 0 tg 0 e 360 285 75 dito sen 645 sen 75 6 2 4 cos 645 cos 75 6 2 4 tg 645 tg 75 2 3