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Engenharia Elétrica ·
Cálculo 1
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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Assunto Derivadas Professor Fabricio Alves Oliveira Essa lista deverá ser resolvida de forma manuscrita e entregue no dia da segunda prova 1 Calcule fa pela definição sendo a fx x2 x e a 1 b fx 1x e a 1 c fx ln x e a 3 2 Dê exemplo por meio de um gráfico de a uma função f definida e derivável em R tal que f2 0 b uma função g definida e contínua em R tal que g1 não exista 3 Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado a fx x2 3x no ponto de abscissa 0 b fx x no ponto de abscissa 8 c fx 1x2 no ponto de abscissa 1 4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de fx x2 e paralela à reta y 12x 3 5 Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y x 3 e tangente ao gráfico de fx x2 3x 6 Determine todos os pontos a b sobre a curva y x4 2x3 2x2 8x 12 tais que a reta tangente em a b seja paralela à reta 8x y π 0 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição xt 3 2t t2 t 0 a Qual a posição da partícula no instante t 0 b Qual a velocidade no instante t c Qual a velocidade no instante t 2 d Qual a aceleração no instante t 8 Verifique se cada função a seguir é derivável no ponto a indicado a fx 3x2 se x 1 x2 se x 1 a1 b fx x2 4 se x 2 x2 se x 2 a2 c fx x2sen1x se x 0 0 se x0 a0 d fx sen xx se x 0 0 se x0 a0 9 Seja f a função definida por fx 1x se 0 x b 1 14x se x b a Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b b f é derivável no valor de b encontrado no item anterior 10 Calcule a derivada das seguintes funções a fx 3x3 2x2 4 b fx 3x x c fx 5 3x2 d fx 6x3 x e fx x2 1x1 f fx xx1 g y x 3x3 2 h y x 4xx2 3 i y 3x2 5cosx j y x senx k y x2 tgx l y 3senx cosx m fx secx3x 2 n fx cosx x2 1 senx o fx x senxx cosx p fx x2 ex q fx 3x 5 lnx r fx ex cosx s fx 1 ex1 ex t x t2 lnt 2et u s t1t lnt v y 4 5x2 lnx w y lnxx x s et tgt y V 43 π r3 z A π r2 11 Seja y x3x x Calcule a dydx b dydx x1 12 Seja y 1x2 Verifique que xdydx 2y 0 13 Utilize a Regra da Cadeia para determinar a derivada das funções a y sen4x b fx e3x c y sent3 d gt ln2t 1 e x esent f fx cosex g y senx cosx3 h y 3x 1 i fx x1x1 j x lnt2 3t k y sencosx l gt t2 34 m y x ex n y tg3x o y sec3x 14 Seja f R R derivável e seja gt ft2 1 Supondo f2 5 calcule g1 15 Derive a y xe3x b y ex cos2x c y e2t sen3t d fx ex2 ln2x 1 e gt et etet et f y cos5xsen2x g fx ex ex23 h y t3 e3t i gx ex2 ln1 x j y sen3x cos2x3 k y ex ex l y lnx x2 1 m y x2 ex n y x ln2x 1 o y lnx2 13 16 Derivada de fxgx i Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto X com fx 0 para todo x X Mostre que fxgx fxgx gx lnfx Dica Veja que fxgx egx lnfx ii Calcule a derivada a y ax a 0 a 1 b y 3x c y xx d y xα α R e y 5x2 x f y 2 sen xcos x 17 a Seja fx loga x em que a 0 e a 1 é constante Mostre que fx 1x ln a b Calcule a derivada de gx log3 x e hx loga 1 sen2 x 18 Mostre que a arcsenx 11x2 com 1 x 1 b arccosx 11x2 com 1 x 1 c arctgx 11 x2 para todo x real 19 Determine a derivada a y xarctgx b fx arcsen3x c gx arcsenx3 d fx arctgx2 e y arcsenex f y sen3xarctg4x g fx xsenh x cosh x h fx tgh1 e2x i y senhcosh x 20 Obtenha dydx onde y fx é uma função derivável dada implicitamente pela equação a x 12 y2 3 b y3 x2 y x 4 c x ey xy 3 d 5y cosy xy 21 Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado a xy y2 2 p 1 1 b 4x 3xy2 x2y 0 p 1 1 22 Determine f f e f a fx 4x4 2x b fx 1x c fx x2 3x se x 1 5x 1 se x 1 23 Determine a derivada de ordem n a fx ex b fx e2x c fx senx 24 i Seja y x2 3x Verifique que xd2ydx2 dydx 3 ii Seja y 1x Verifique que x2d3ydx3 6dydx Respostas 1 a 3 b 1 c 13 3 a y 3x y 13 x b y 112 x 43 y 12x 98 c y 2x 3 y 12 x 12 4 y 12 x 116 5 y 2x 254 6 0 12 2 12 12 25316 7 a 3 m b vt 2t 2 c 2 ms d at 2 ms2 8 a f não é derivável em a 1 b f não é derivável em a 2 c f é derivável em a 0 e f0 0 d f não é derivável em a 0 9 a b 2 b f é derivável em 2 e f2 14 10 a 9x2 4x b 3 12x c 6x3 d 18x2 13x2 e x2 2x 1x 12 f 1 x2xx 12 g 12x 9x2x3 22 h 4x33 x2 7x2 34x3x2 32 i 6x 5sen x j sen x x cos x k x2tg x x sec2 x l 3cos x sen xsen x cos x2 m sec x3xtg x 2tg x 33x 22 n sen x2x 1 cos xx2 1 o x1 cos x x1 sen x 1 x cos x2 p xex2 x q 3 5x r excos x sen x s 2ex1 ex2 t 2t ln t t 2et u t ln t 1t ln t2 v 5x1 2 ln x w 1 ln xx2 x ettg t sec2 t y 4πr2 z 2πr 11 a x34x 52xx x2 b 98 13 a 4 cos4x b 3e3x c 3t2 cost3 d 22t 1 e esen t cos t f ex sen ex g 3sen x cos x2cos x sen x h 323x 1 i 23x 12 3x 1x 12 j 2t 3t2 3t 9 k sen x coscos x l 8tt2 33 m 1 ex2x ex n 3 sec23x o 3 sec3x tg 3x 14 10 15 a e3x1 3x b excos2x 2 sen 2x c e2t3 cos3t 2 sen 3t d 2xex2 22x 1 e 4et et2 f 5 sen 5x sen 2x 2 cos 5x cos 2xsen2 2x g 3ex ex2ex 2xex2 h 3t2e3t1 t i ex 2x ln1 x 12x x j 3sen 3x cos2x23 cos3x 2 sen 2x k ex ex2ex ex l 1x2 1 m 4xx ex4x3 xex n ln2x 1 2x2x 1 o 6xlnx2 12x2 1 16 ii a ax ln a b 3x ln 3 c xx1 ln x d axα 1 e 5x2 x2x 1 ln 5 f 2 sen xcos x 1 sen x2 sen xcos x ln2 sen x 17 b gx 1x ln 3 hx sen 2x1 sen2 x ln a 19 a arctg x x1 x2 b 31 9x2 c 3x21 x6 d 2x1 x4 e ex1 e2x f 31 16x2 cos3x arctg 4x 4sen 3x1 16x2arctg 4x2 g x cosh x h 2e2x sech21 e2x i coshcosh x senh x 20 a dyy 1 xy b dydx 2xy 13y2 x2 c dydx y eyx ey x d dydx y5 sen y x 21 a y 13 x 43 b y 17 x 87 22 a fx 16x3 2 fx 48x2 fx 96x b fx 1x2 fx 2x3 fx 6x4 c fx 2x 3 se x 1 5 se x 1 fx 2 se x 1 0 se x 1 fx 0 23 a fnx ex b fnx e2x 2n c fnx sen x se n 4k cos x se n 4k 1 sen x se n 4k 2 cos x se n 4k 3 kN 15 Derive a y xe3x b y ex cos2x c y e2t sen3t d fx ex2 ln2x 1 e gt et et et et f y cos5x sen2x g fx ex ex23 h y t3 e3t i gx ex2 ln 1 x j y sen3x cos2x3 k y ex ex l y ln x x2 1 m y x2 ex n y x ln2x 1 o y ln x2 13 16 Derivada de fxgx i Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto X com fx 0 para todo x X Mostre que fxgx fxgx gx lnfx Dica Veja que fxgx egx lnfx ii Calcule a derivada a y ax a 0 a 1 b y 3x c y xx d y xα α R e y 5x2 x f y 2 sen xcos x 17 a Seja fx loga x em que a 0 e a 1 é constante Mostre que fx 1 x ln a b Calcule a derivada de gx log3 x e hx loga 1 sen2 x 18 Mostre que a arcsen x 11x2 com 1 x 1 b arccos x 11x2 com 1 x 1 c arctg x 11x2 para todo x real 19 Determine a derivada a y xarctg x b fx arcsen 3x c gx arcsen x3 d fx arctg x2 e y arcsen ex f y sen3x arctg 4x g fx xsenh x cosh x h fx tgh 1 e2x i y senh cosh x 20 Obtenha dydx onde y fx é uma função derivável dada implicitamente pela equação a x12 y2 3 b y3 x2 y x 4 c xey xy 3 d 5y cosy xy 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Assunto Derivadas Professor Fabricio Alves Oliveira Essa lista deverá ser resolvida de forma manuscrita e entregue no dia da segunda prova 1 Calcule fa pela definição sendo a fx x2 x e a 1 b fx 1x e a 1 c fx ln x e a 3 2 Dê exemplo por meio de um gráfico de a uma função f definida e derivável em R tal que f2 0 b uma função g definida e contínua em R tal que g1 não exista 3 Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado a fx x2 3x no ponto de abscissa 0 b fx x no ponto de abscissa 8 c fx 1x2 no ponto de abscissa 1 4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de fx x2 e paralela à reta y 12 x 3 5 Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y x 3 e tangente ao gráfico de fx x2 3x 6 Determine todos os pontos ab sobre a curva y x4 2x3 2x2 8x 12 tais que a reta tangente em ab seja paralela à reta 8x y π 0 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição xt 3 2t t2 t 0 a Qual a posição da partícula no instante t 0 b Qual a velocidade no instante t c Qual a velocidade no instante t 2 d Qual a aceleração no instante t 8 Verifique se cada função a seguir é derivável no ponto a indicado a fx 3x 2 se x 1 x2 se x 1 a 1 b fx x2 4 se x 2 x 2 se x 2 a 2 c fx x2 sen 1x se x 0 0 se x 0 a 0 d fx sen x x se x 0 0 se x 0 a 0 9 Seja f a função definida por fx 1x se 0 x b 1 14 x se x b a Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b b f é derivável no valor de b encontrado no item anterior 10 Calcule a derivada das seguintes funções a fx 3x3 2x2 4 b fx 3x x c fx 5 3x2 d fx 6x3 x e fx x2 1x 1 f fx x x 1 g y x 3x3 2 h y x 4xx2 3 i y 3x2 5 cosx j y x senx k y x2 tgx l y 3 senx cosx m fx secx3x 2 n fx cosx x2 1 senx o fx x senxx cosx p fx x2 ex q fx 3x 5 lnx r fx ex cosx s fx 1 ex1 ex t x t2 lnt 2et u s t 1 t lnt v y 4 5x2 lnx w y lnx x x s et tg t y V 43 π r3 z A π r2 11 Seja y x3 x x Calcule a dydx b dydx x1 12 Seja y 1x2 Verifique que x dydx 2y 0 13 Utilize a Regra da Cadeia para determinar a derivada das funções a y sen4x b fx e3x c y sen t3 d gt ln2t 1 e x esent f fx cosex g y senx cosx3 h y 3x 1 i fx ³x 1x 1 j x lnt2 3t 9 k y sencosx l gt t2 34 m y x ex n y tg 3x o y sec3x 14 Seja f R R derivável e seja gt f t2 1 Supondo f2 5 calcule g1 21 Determine a equacao da reta tangente a cada curva no ponto p indicado a xy y2 2 p 1 1 b 4x 3xy2 x2y 0 p 1 1 22 Determine f f e f a fx 4x4 2x b fx 1 x c fx x2 3x se x 1 5x 1 se x 1 23 Determine a derivada de ordem n a fx ex b fx e2x c fx senx 24 i Seja y x2 3x Verifique que xd2y dx2 dy dx 3 ii Seja y 1 x Verifique que x2 d3y dx3 6dy dx 4 Respostas 1 a 3 b 1 c 13 3 a y 3x y 13 x b y 112 x 43 y 12x 98 c y 2x 3 y 12 x 12 4 y 12 x 116 5 y 2x 254 6 0 12 2 12 12 25316 7 a 3 m b vt 2t 2 c 2 ms d at 2 ms2 8 a f não é derivável em a 1 b f não é derivável em a 2 c f é derivável em a 0 e f0 0 d f não é derivável em a 0 9 a b 2 b f é derivável em 2 e f2 14 10 a 9x2 4x b 3 12x c 6x3 d 18x2 13x2 e x2 2x 1x 12 f 1 x2xx 12 g 12x 9x2x322 h 44 x3 3x2 7x2 3x3 x2 32 i 6x 5sen x j sen x x cos x k x2tg x x sec2 x l 3cos x sen xsen x cos x2 m sec x3xtg x 2tg x 3 3x 22 n sen x2x 1 cos xx2 1 o x 1 cos x x 1 sen x 1x cos x2 p xex2 x q 3 5x r excos x sen x s 2ex1 ex2 t 2t ln t t 2et u t ln t 1t ln t2 v 5x1 2 ln x w 1 ln xx2 x ettg t sec2 t y 4πr2 z 2πr 11 a x34x 52xx x2 b 98 13 a 4 cos4x b 3e3x c 3t2 cost3 d 22t 1 e esen t cos t f ex sen ex g 3sen x cos x2 cos x sen x h 323x 1 i 23x 12 3x 1x12 j 2t 3t2 3t 9 k sen x coscos x l 8tt2 33 m 1 ex2x ex n 3 sec23x o 3 sec3x tg3x 14 10 15 a e3x1 3x b ex cos2x 2sen 2x c e2t3 cos3t 2sen 3t d 2xex2 22x 1 e 4et et2 f 5 sen5x sen2x 2 cos5x cos2x sen22x g 3 ex ex22 ex 2xex2 h 3t2 e3t1 t i ex2x ln1 x 12x x j 3 sen 3x cos2x2 3 cos3x 2sen 2x k ex ex2ex ex l 1x2 1 m 4xx ex4x3 x ex n ln2x 1 2x2x 1 o 6xlnx2 12x2 1 16 ii a ax ln a b 3x ln 3 c xx 1 ln x d axα 1 e 5x2 x 2x 1 ln 5 f 2 sen xcos x 1 sen x 2 sen xcos x ln2 sen x 17 b gx 1x ln 3 hx sen 2x1 sen 2x ln a 19 a arctg x x1 x2 b 31 9x2 c 3x21 x6 d 2x1 x4 e ex1 e2x f 31 16x2 cos3x arctg 4x 4sen 3x1 16x2arctg 4x2 g x cosh x h 2e2x sech2 1 e2x i cosh cosh x senh x 20 a dydx 1 xy b dydx 2xy 13y2 x2 c dydx y eyxey x d dydx y5 sen y x 21 a y 13 x 43 b y 17 x 87 22 a fx 16x3 2 fx 48x2 fx 96x b fx 1x2 fx 2x3 fx 6x4 c fx 2x 3 se x 1 5 se x 1 fx 2 se x 1 0 se x 1 fx 0 23 a fnx ex b fnx e2x 2n c fnx sen x se n 4k cos x se n 4k 1 sen x se n 4k 2 cos x se n 4k 3 k ℕ Questão 1 fa limxa fx fax a a fa limxa xt x a2 a x a limxa xt at x a x a limxa x ax ax a x ax a limxa x a 1 2a 1 Logo fa 2a 1 como a 1 fa f1 2 1 1 3 b fa limxa 1x 1ax a limxa a xaxx a limxa x aaxx a limxa 1ax 1a2 como a 1 fa f1 112 1 c fa limxa lnx lnax a limxa lnx lnax a limxa 1x a lnxa limxa lnxa1x a como lnx é uma função contínua lnlimxa xa1xa mudando a variável axa h x ah a x a h lnlimh uh aaha lnlimh 1 1hha 1a lnlimh 1 1hh e 1a ln e 1a logo ra 1a Como a 3 fa f3 13 4 2 2 4 5 10 15 20 x y 4 2 2 4 1 2 3 4 5 6 x y Questão 3 Dada uma reta rx ax b uma reta normal mx será mx 1a x d a fx x2 3x fx 2x 3 f0 3 Defina tx ax b como a equação da reta tangente a fx em x0 então tx satisfaz i tx 3 a 3 ii t0 f0 t0 b f0 0 Portanto tx 3x A reta normal mx āx b deve satisfazer i mx 1tx mx ā 13 13 ii m0 t0 b 0 Por fim mx 13 x b fx x13 fx 13 x23 f8 ³832 112 tangente tx ax b i tx f8 13 a 112 ii t8 f8 t8 112 8 b f8 ³8 2 logo b 2 112 8 b 43 tx 112 x 43 Para reta normal mx āx b i mx 1tx mx ā 12 ii m8 t8 m8 12 8 b t8 2 b 12 8 2 96 2 98 mx 12 98 c fx 1x2 fx 2x3 r1 2 tangente tx ax b i tx f1 2 a 2 ii t1 f1 21 b f1 1 b 1 2 3 tx 2x 3 Para reta normal mx ax b i mx 1tx mx a 12 ii m1 t1 m1 12 1 b t1 1 b 1 12 12 mx 12 x 12 Questão 4 tx ax b Ser paralela à reta y 12 x 3 implica mesma inclinação a 12 Ser tangente à fx x2 implica i fx tx 12 para algum x0 ii fx0 tx0 Dez i fx 2x 12 x 14 ii f14 142 t14 12 14 b b 116 18 116 Por fim tx 12 x 116 Questão 5 Seja px ax b a reta em questão Ser perpendicular a 2y x 3 y x2 32 implica a 112 2 Ser tangente à fx x2 3x implica i fx tx 2 para algum x0 ii fx0 tx0 Dez i fx 2x 3 2 x 52 ii f52 522 352 252 b b 254 252 254 px 2x 254 Questão 6 Ser paralelo à 8x y π 0 y π 8x ddx x4 2x3 2x2 8x 12 8 4x3 6x2 4x 8 8 x 4x2 6x 4 0 xx2 64 x 1 0 basta encontrar as raízes x0 é raiz Para x2 64 x 1 x 64 3616 4112 34 94 4 34 54 24 12 84 2 Encontrando a coordenada y da curva x 0 y 12 x 2 y 24 223 2 22 82 12 12 x 12 y 25316 Pontos 0 12 2 12 12 25316 Questão 7 a x0 3m b dxdt t 2 2t c dxdt 2 222 2 ms d d2xdt2 2 ms2 Questão 8 a Para fx ser derivável ddx 3x 2 ddx x2 em x 1 3 2xx1 3 2 absurdo não é derivável em x 1 b Para fx ser derivável pois fx é contínua Teorema da função limitada lim x2 fx lim x2 fx lim x2 12 1sqrtx2 lim x2 2x 4 Diverge logo fx não é derivável em x2 e Para fx ser derivável lim x0 fx lim x0 fx lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2xsin1x lim x0 cos1x 2xsin1x lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2x sin1x e portanto existe fx é derivável em x0 d fx é descontínua em x0 lim x0 senxx 1 Portanto sua derivada não pode existir neste ponto Questão 9 a Para a continuidade de fx em b lim xb fx fb lim xb fx lim xb fx fb lim xb 1x lim xb 1 14 x 1b 1 14 b 1b 14 b 1 4 b2 4b b2 4b 4 0 b 2 lim xb fx lim xb 1x2 1b2 lim xb fx lim xb 14 14 Os limites são iguais se b 2 logo fx é derivável em b2 Questão 10 a fx 4 x2 4 x b fx 3 12 x12 3 12 sqrtx c fx 3 2 x32 6x32 d fx 18 x2 13 x23 e fx x2 1x 1 x 1x 1x 1 x 1 fx 1 f fx 12 sqrtx 1x1 sqrtx1x12 g fx 12 sqrtx 3x3 22 3 x2 12 sqrtx 4 x2x3 22 h fx 1x2 3 14 x34 x2 32 x x14 2 x i fx 6 x 5 sen x j fx sen x x cos x k fx 2 x tgx x2 cos xcos x sen xcos2 x 2 x tgx x2 cos2 x sen2 x cos2 x 2 x tg x x2 1cos2 x 2 x tg x x2 sec2 x l fx 3sen x cos x2 cos x sen x 3 sen x cos x sen x 2 sen x cos x cos x 3 sen x cos x 1 2 sen x cos x m fx 3 sec x 3x 22 1 3x 2 1 cos2 0 sen 0 3 sec x 3x 22 sec x tg x 3x 2 n fx sen x 2x sen x x2 1 cos x 2x 1 sen x x2 1 cos x o fx 1 cos x x cos x x sen x1 sen x x cos x2 p fx 2x ex x2 ex ex 2x x2 q fx 3 5x r fx ex sen x ex cos x ex cos x sen x s fx ex 1 ex 1 exex 1 ex2 ex 1 ex 1 ex 1 ex2 2ex 1 ex2 t dxdt 2 ln t t2 1t 2 et 2 ln t t 2 et u dsdt t ln t t 1ln t t ln t2 t ln t 1 t ln t2 v dydx 10 x ln x 5 x2 x 10 x ln x 5 x w dydx 1x2 1x2 ln x 1x2 1 ln x x dsdt et sec2 t et tg t et sec2 t tg t y dVdr 4 pi r2 z dAdr 2 pi r Questão 11 a dydx 3x2 x sqrt x x3 1 x sqrt x2 1 12 sqrt x b dydx x1 312 1 sqrt 1 13 1 1 sqrt 12 1 12 sqrt 1 32 1 12 4 128 218 48 Questão 12 x dydx 2y x 2x3 2x2 0 Questão 13 a y cos 4x ddx 4x 4 cos 4x b fx 23x d3xdx 3 e3x c y cos t3 3t2 a yt 1 2t1 ddt 2t1 2 2t1 e x esen t ddt sen t cos t esen t f fx sen ex ddx ex ex sen ex g y 3 sen x cos x2 cos x sen x h y 3 2 sqrt3x 1 i fx 13 x 1 x 1 23 x 1 x 1 x 12 23 x 1 x 1 23 1 x 12 j x 2t 3 t2 3t 9 k y cos cos x sen x l gt 4 t2 33 2t 8t t2 33 m y 1 ex 2 sqrtx ex n y 3 sec2 x o y sec 3x tg 3x ddx 3x 3 sec 3x tg 3x Questão 14 y1 f12 1 2t y1 f1 1 21 2 f2 2 5 10 Questão 15 a y e3x 3 x e3x e3x 1 3x b y ex cos 2x ex 2 sen 2x ex 2 sen 2x cos 2x c y 2 e2t sen 3t e2t 3 cos 3t e2t 3 cos 3t 2 sen 3t d rx 2x ex2 22x 1 e gt ddt tanh t sech2 t f y 5 sen 5x sen 2x 2 cos 5x cos 2x sen 2x2 g rx 3 ex ex22 ex 2x ex2 h y 3t2 e3t 3 t e3t 3 e3t t2 t3 i gx 2 x ex2 ln 1 x ex2 11xx ex2 2 x ln 1 x 1x 11 x j y 3 sen 3x cos 2x2 3 cos 3x 2 sen 2x k y 12x2 ex ex ex senh x x2 ex l y 1 2x 2 x2 1 1 x x2 1 1 x2 1 m y 2x 12x ex 2x2 ex m y ln 2x 1 x 2x 1 o y 3 ln x2 12 2x x2 1 6 x ln x2 12 x2 1 Questão 16 i Como fxgx egx ln fx fxgx gx ln fx egx ln fx gx ln fx fxgx ii a y ax eln ax exln a y lna exlna 1 ex lna 2x lna lnax ax lna desde que a 0 a 0 b y ln 3 3x c y x lnx xx ln x 1 xx d y xα α lnx xα α 1x α xα1 e y ln 5 5x2 x 2x 1 f y 2 sen xcos x cos x ln 2 sen x 2 sen xcos x sen x ln 2 sen x cos2 x 2 sen x Questão 17 a loga x ln x ln a propriedade de logaritmos logo ddx loga x 1x ln a b gx 1x ln 3 hx 11 sen2 x ln a 2 sen x cos x Questão 18 arcsen sen x x defina arcsen x f x yx sen x ddx fyx ddx x 1 fyx yx 1 fyx 1yx 1cos x 1sqrt1sen2 x fsen x 1sqrt1sen2 x define u sen x 1 u 1 então fu 1sqrt1u2 arcsenu 1sqrt1u2 b Por semelhança raciocínio defina arccos x fx fyx x cosx yx logo fyx yx 1 fyx 1yx 1sen x 1sqrt1cos2 x logo fcos x 1sqrt1cos2 x defina u cos x 1 u 1 fu 1sqrt1u2 logo arccos x 1sqrt1u2 c arctg x fx fyx x tg x yx fyx yx 1 fyx 1yx fyx 1sec2 x cos2 x cos2 xsen2 x cos2 x 1tg2 x 1 1tg2 x 1 logo ftgx 1tg2x 1 define u tgx u x pi2 x pi2 E teremos por fim arctg u 1u2 1 Questão 19 a y arctg x xx2 1 b fx 1sqrt19x23 c gx 1sqrt1x6 3x2 d fx 1x4 1 2x e exsqrt1 e2x f y 3cos3xarctg 4x sen 3x 1arctg 4x2 4116x2 g fx senh x x cosh x senh x x cosh x h fx sech2 1 2x 2 e2x i y cosh cosh senh Questão 20 a 2x 1 2 y y 0 y 21x2y 1xy b y 3 y2 2 x y x2 y 1 y 3y2 x2 1 2xy y 1 2xy3y2 x2 c ey x ey y y x y 0 y ey yx ey x d 5 y seny y y x y y y 5 seny x Questão 21 Seja tx ax b a tangente a x y y 2 y y 0 y y x 2y a y em x1 a y1 1 2 y1 t1 y1 a 1 b y1 No ponto 11 y1 1 a 1 1 2 1 13 a 1 b 1 b 1 a 1 13 43 Logo tx 13 x 43 em 11 b 4 3 y2 6 x y y 2 x y x2 y 0 y x2 6 x y 2 x y 4 3 y2 y 3 y2 2 x y 4 x2 6 x y Para a reta tangente tx ax b temos a y 3 y2 2 x y 4 x2 6 x y em x1 y1 Logo a 3 12 2 1 1 4 12 6 1 1 3 2 4 7 17 também t1 y1 1 17 1 b 1 b 87 Logo por fim tx 17 x 87 Questão 22 a fx 16 x3 2 fx 48 x2 fx 96 x b fx 1x x1 fx 1 x2 1x2 fx 1 2 x3 2 x3 fx 1 2 3 x4 6 x4 c Note que f é contínua e derivável em x 1 fx 2x 3 x 1 ainda que continua x 1 5 x 1 fx não é diferenciável em x 1 fx 2 x x 1 f1 0 x 1 Questão 23 a dndxn ex ddx ex ex d2dx2 ex ex dndxn ex ex b ddx 2x 2 2x ddx2 2x ddx 2 2x 2 2 2x dndxn 2x 2n 2x c ddx sen x cos x ddx sen x cos x ddx cos x sen x ddx cos x sen x logo d4mdx4m sen x sen x m 0 1 2 ddx4m1dx4m1 sen x cos x ddx4m2dx4m2 sen x sen x ddx4m3dx4m3 sen x cos x d0dx0 F f Questão 24 i y x2 3x y 2x 3 y 2 Verificado x y y x 2 2x 3 3 ii y 1x y 1x2 y 2x3 y 6x4 x2 y 6 y 0 Verificado x2 6x4 6 1x 6x2 6x2 0 Fim
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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Assunto Derivadas Professor Fabricio Alves Oliveira Essa lista deverá ser resolvida de forma manuscrita e entregue no dia da segunda prova 1 Calcule fa pela definição sendo a fx x2 x e a 1 b fx 1x e a 1 c fx ln x e a 3 2 Dê exemplo por meio de um gráfico de a uma função f definida e derivável em R tal que f2 0 b uma função g definida e contínua em R tal que g1 não exista 3 Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado a fx x2 3x no ponto de abscissa 0 b fx x no ponto de abscissa 8 c fx 1x2 no ponto de abscissa 1 4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de fx x2 e paralela à reta y 12x 3 5 Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y x 3 e tangente ao gráfico de fx x2 3x 6 Determine todos os pontos a b sobre a curva y x4 2x3 2x2 8x 12 tais que a reta tangente em a b seja paralela à reta 8x y π 0 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição xt 3 2t t2 t 0 a Qual a posição da partícula no instante t 0 b Qual a velocidade no instante t c Qual a velocidade no instante t 2 d Qual a aceleração no instante t 8 Verifique se cada função a seguir é derivável no ponto a indicado a fx 3x2 se x 1 x2 se x 1 a1 b fx x2 4 se x 2 x2 se x 2 a2 c fx x2sen1x se x 0 0 se x0 a0 d fx sen xx se x 0 0 se x0 a0 9 Seja f a função definida por fx 1x se 0 x b 1 14x se x b a Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b b f é derivável no valor de b encontrado no item anterior 10 Calcule a derivada das seguintes funções a fx 3x3 2x2 4 b fx 3x x c fx 5 3x2 d fx 6x3 x e fx x2 1x1 f fx xx1 g y x 3x3 2 h y x 4xx2 3 i y 3x2 5cosx j y x senx k y x2 tgx l y 3senx cosx m fx secx3x 2 n fx cosx x2 1 senx o fx x senxx cosx p fx x2 ex q fx 3x 5 lnx r fx ex cosx s fx 1 ex1 ex t x t2 lnt 2et u s t1t lnt v y 4 5x2 lnx w y lnxx x s et tgt y V 43 π r3 z A π r2 11 Seja y x3x x Calcule a dydx b dydx x1 12 Seja y 1x2 Verifique que xdydx 2y 0 13 Utilize a Regra da Cadeia para determinar a derivada das funções a y sen4x b fx e3x c y sent3 d gt ln2t 1 e x esent f fx cosex g y senx cosx3 h y 3x 1 i fx x1x1 j x lnt2 3t k y sencosx l gt t2 34 m y x ex n y tg3x o y sec3x 14 Seja f R R derivável e seja gt ft2 1 Supondo f2 5 calcule g1 15 Derive a y xe3x b y ex cos2x c y e2t sen3t d fx ex2 ln2x 1 e gt et etet et f y cos5xsen2x g fx ex ex23 h y t3 e3t i gx ex2 ln1 x j y sen3x cos2x3 k y ex ex l y lnx x2 1 m y x2 ex n y x ln2x 1 o y lnx2 13 16 Derivada de fxgx i Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto X com fx 0 para todo x X Mostre que fxgx fxgx gx lnfx Dica Veja que fxgx egx lnfx ii Calcule a derivada a y ax a 0 a 1 b y 3x c y xx d y xα α R e y 5x2 x f y 2 sen xcos x 17 a Seja fx loga x em que a 0 e a 1 é constante Mostre que fx 1x ln a b Calcule a derivada de gx log3 x e hx loga 1 sen2 x 18 Mostre que a arcsenx 11x2 com 1 x 1 b arccosx 11x2 com 1 x 1 c arctgx 11 x2 para todo x real 19 Determine a derivada a y xarctgx b fx arcsen3x c gx arcsenx3 d fx arctgx2 e y arcsenex f y sen3xarctg4x g fx xsenh x cosh x h fx tgh1 e2x i y senhcosh x 20 Obtenha dydx onde y fx é uma função derivável dada implicitamente pela equação a x 12 y2 3 b y3 x2 y x 4 c x ey xy 3 d 5y cosy xy 21 Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado a xy y2 2 p 1 1 b 4x 3xy2 x2y 0 p 1 1 22 Determine f f e f a fx 4x4 2x b fx 1x c fx x2 3x se x 1 5x 1 se x 1 23 Determine a derivada de ordem n a fx ex b fx e2x c fx senx 24 i Seja y x2 3x Verifique que xd2ydx2 dydx 3 ii Seja y 1x Verifique que x2d3ydx3 6dydx Respostas 1 a 3 b 1 c 13 3 a y 3x y 13 x b y 112 x 43 y 12x 98 c y 2x 3 y 12 x 12 4 y 12 x 116 5 y 2x 254 6 0 12 2 12 12 25316 7 a 3 m b vt 2t 2 c 2 ms d at 2 ms2 8 a f não é derivável em a 1 b f não é derivável em a 2 c f é derivável em a 0 e f0 0 d f não é derivável em a 0 9 a b 2 b f é derivável em 2 e f2 14 10 a 9x2 4x b 3 12x c 6x3 d 18x2 13x2 e x2 2x 1x 12 f 1 x2xx 12 g 12x 9x2x3 22 h 4x33 x2 7x2 34x3x2 32 i 6x 5sen x j sen x x cos x k x2tg x x sec2 x l 3cos x sen xsen x cos x2 m sec x3xtg x 2tg x 33x 22 n sen x2x 1 cos xx2 1 o x1 cos x x1 sen x 1 x cos x2 p xex2 x q 3 5x r excos x sen x s 2ex1 ex2 t 2t ln t t 2et u t ln t 1t ln t2 v 5x1 2 ln x w 1 ln xx2 x ettg t sec2 t y 4πr2 z 2πr 11 a x34x 52xx x2 b 98 13 a 4 cos4x b 3e3x c 3t2 cost3 d 22t 1 e esen t cos t f ex sen ex g 3sen x cos x2cos x sen x h 323x 1 i 23x 12 3x 1x 12 j 2t 3t2 3t 9 k sen x coscos x l 8tt2 33 m 1 ex2x ex n 3 sec23x o 3 sec3x tg 3x 14 10 15 a e3x1 3x b excos2x 2 sen 2x c e2t3 cos3t 2 sen 3t d 2xex2 22x 1 e 4et et2 f 5 sen 5x sen 2x 2 cos 5x cos 2xsen2 2x g 3ex ex2ex 2xex2 h 3t2e3t1 t i ex 2x ln1 x 12x x j 3sen 3x cos2x23 cos3x 2 sen 2x k ex ex2ex ex l 1x2 1 m 4xx ex4x3 xex n ln2x 1 2x2x 1 o 6xlnx2 12x2 1 16 ii a ax ln a b 3x ln 3 c xx1 ln x d axα 1 e 5x2 x2x 1 ln 5 f 2 sen xcos x 1 sen x2 sen xcos x ln2 sen x 17 b gx 1x ln 3 hx sen 2x1 sen2 x ln a 19 a arctg x x1 x2 b 31 9x2 c 3x21 x6 d 2x1 x4 e ex1 e2x f 31 16x2 cos3x arctg 4x 4sen 3x1 16x2arctg 4x2 g x cosh x h 2e2x sech21 e2x i coshcosh x senh x 20 a dyy 1 xy b dydx 2xy 13y2 x2 c dydx y eyx ey x d dydx y5 sen y x 21 a y 13 x 43 b y 17 x 87 22 a fx 16x3 2 fx 48x2 fx 96x b fx 1x2 fx 2x3 fx 6x4 c fx 2x 3 se x 1 5 se x 1 fx 2 se x 1 0 se x 1 fx 0 23 a fnx ex b fnx e2x 2n c fnx sen x se n 4k cos x se n 4k 1 sen x se n 4k 2 cos x se n 4k 3 kN 15 Derive a y xe3x b y ex cos2x c y e2t sen3t d fx ex2 ln2x 1 e gt et et et et f y cos5x sen2x g fx ex ex23 h y t3 e3t i gx ex2 ln 1 x j y sen3x cos2x3 k y ex ex l y ln x x2 1 m y x2 ex n y x ln2x 1 o y ln x2 13 16 Derivada de fxgx i Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto X com fx 0 para todo x X Mostre que fxgx fxgx gx lnfx Dica Veja que fxgx egx lnfx ii Calcule a derivada a y ax a 0 a 1 b y 3x c y xx d y xα α R e y 5x2 x f y 2 sen xcos x 17 a Seja fx loga x em que a 0 e a 1 é constante Mostre que fx 1 x ln a b Calcule a derivada de gx log3 x e hx loga 1 sen2 x 18 Mostre que a arcsen x 11x2 com 1 x 1 b arccos x 11x2 com 1 x 1 c arctg x 11x2 para todo x real 19 Determine a derivada a y xarctg x b fx arcsen 3x c gx arcsen x3 d fx arctg x2 e y arcsen ex f y sen3x arctg 4x g fx xsenh x cosh x h fx tgh 1 e2x i y senh cosh x 20 Obtenha dydx onde y fx é uma função derivável dada implicitamente pela equação a x12 y2 3 b y3 x2 y x 4 c xey xy 3 d 5y cosy xy 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Assunto Derivadas Professor Fabricio Alves Oliveira Essa lista deverá ser resolvida de forma manuscrita e entregue no dia da segunda prova 1 Calcule fa pela definição sendo a fx x2 x e a 1 b fx 1x e a 1 c fx ln x e a 3 2 Dê exemplo por meio de um gráfico de a uma função f definida e derivável em R tal que f2 0 b uma função g definida e contínua em R tal que g1 não exista 3 Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado a fx x2 3x no ponto de abscissa 0 b fx x no ponto de abscissa 8 c fx 1x2 no ponto de abscissa 1 4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de fx x2 e paralela à reta y 12 x 3 5 Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y x 3 e tangente ao gráfico de fx x2 3x 6 Determine todos os pontos ab sobre a curva y x4 2x3 2x2 8x 12 tais que a reta tangente em ab seja paralela à reta 8x y π 0 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição xt 3 2t t2 t 0 a Qual a posição da partícula no instante t 0 b Qual a velocidade no instante t c Qual a velocidade no instante t 2 d Qual a aceleração no instante t 8 Verifique se cada função a seguir é derivável no ponto a indicado a fx 3x 2 se x 1 x2 se x 1 a 1 b fx x2 4 se x 2 x 2 se x 2 a 2 c fx x2 sen 1x se x 0 0 se x 0 a 0 d fx sen x x se x 0 0 se x 0 a 0 9 Seja f a função definida por fx 1x se 0 x b 1 14 x se x b a Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b b f é derivável no valor de b encontrado no item anterior 10 Calcule a derivada das seguintes funções a fx 3x3 2x2 4 b fx 3x x c fx 5 3x2 d fx 6x3 x e fx x2 1x 1 f fx x x 1 g y x 3x3 2 h y x 4xx2 3 i y 3x2 5 cosx j y x senx k y x2 tgx l y 3 senx cosx m fx secx3x 2 n fx cosx x2 1 senx o fx x senxx cosx p fx x2 ex q fx 3x 5 lnx r fx ex cosx s fx 1 ex1 ex t x t2 lnt 2et u s t 1 t lnt v y 4 5x2 lnx w y lnx x x s et tg t y V 43 π r3 z A π r2 11 Seja y x3 x x Calcule a dydx b dydx x1 12 Seja y 1x2 Verifique que x dydx 2y 0 13 Utilize a Regra da Cadeia para determinar a derivada das funções a y sen4x b fx e3x c y sen t3 d gt ln2t 1 e x esent f fx cosex g y senx cosx3 h y 3x 1 i fx ³x 1x 1 j x lnt2 3t 9 k y sencosx l gt t2 34 m y x ex n y tg 3x o y sec3x 14 Seja f R R derivável e seja gt f t2 1 Supondo f2 5 calcule g1 21 Determine a equacao da reta tangente a cada curva no ponto p indicado a xy y2 2 p 1 1 b 4x 3xy2 x2y 0 p 1 1 22 Determine f f e f a fx 4x4 2x b fx 1 x c fx x2 3x se x 1 5x 1 se x 1 23 Determine a derivada de ordem n a fx ex b fx e2x c fx senx 24 i Seja y x2 3x Verifique que xd2y dx2 dy dx 3 ii Seja y 1 x Verifique que x2 d3y dx3 6dy dx 4 Respostas 1 a 3 b 1 c 13 3 a y 3x y 13 x b y 112 x 43 y 12x 98 c y 2x 3 y 12 x 12 4 y 12 x 116 5 y 2x 254 6 0 12 2 12 12 25316 7 a 3 m b vt 2t 2 c 2 ms d at 2 ms2 8 a f não é derivável em a 1 b f não é derivável em a 2 c f é derivável em a 0 e f0 0 d f não é derivável em a 0 9 a b 2 b f é derivável em 2 e f2 14 10 a 9x2 4x b 3 12x c 6x3 d 18x2 13x2 e x2 2x 1x 12 f 1 x2xx 12 g 12x 9x2x322 h 44 x3 3x2 7x2 3x3 x2 32 i 6x 5sen x j sen x x cos x k x2tg x x sec2 x l 3cos x sen xsen x cos x2 m sec x3xtg x 2tg x 3 3x 22 n sen x2x 1 cos xx2 1 o x 1 cos x x 1 sen x 1x cos x2 p xex2 x q 3 5x r excos x sen x s 2ex1 ex2 t 2t ln t t 2et u t ln t 1t ln t2 v 5x1 2 ln x w 1 ln xx2 x ettg t sec2 t y 4πr2 z 2πr 11 a x34x 52xx x2 b 98 13 a 4 cos4x b 3e3x c 3t2 cost3 d 22t 1 e esen t cos t f ex sen ex g 3sen x cos x2 cos x sen x h 323x 1 i 23x 12 3x 1x12 j 2t 3t2 3t 9 k sen x coscos x l 8tt2 33 m 1 ex2x ex n 3 sec23x o 3 sec3x tg3x 14 10 15 a e3x1 3x b ex cos2x 2sen 2x c e2t3 cos3t 2sen 3t d 2xex2 22x 1 e 4et et2 f 5 sen5x sen2x 2 cos5x cos2x sen22x g 3 ex ex22 ex 2xex2 h 3t2 e3t1 t i ex2x ln1 x 12x x j 3 sen 3x cos2x2 3 cos3x 2sen 2x k ex ex2ex ex l 1x2 1 m 4xx ex4x3 x ex n ln2x 1 2x2x 1 o 6xlnx2 12x2 1 16 ii a ax ln a b 3x ln 3 c xx 1 ln x d axα 1 e 5x2 x 2x 1 ln 5 f 2 sen xcos x 1 sen x 2 sen xcos x ln2 sen x 17 b gx 1x ln 3 hx sen 2x1 sen 2x ln a 19 a arctg x x1 x2 b 31 9x2 c 3x21 x6 d 2x1 x4 e ex1 e2x f 31 16x2 cos3x arctg 4x 4sen 3x1 16x2arctg 4x2 g x cosh x h 2e2x sech2 1 e2x i cosh cosh x senh x 20 a dydx 1 xy b dydx 2xy 13y2 x2 c dydx y eyxey x d dydx y5 sen y x 21 a y 13 x 43 b y 17 x 87 22 a fx 16x3 2 fx 48x2 fx 96x b fx 1x2 fx 2x3 fx 6x4 c fx 2x 3 se x 1 5 se x 1 fx 2 se x 1 0 se x 1 fx 0 23 a fnx ex b fnx e2x 2n c fnx sen x se n 4k cos x se n 4k 1 sen x se n 4k 2 cos x se n 4k 3 k ℕ Questão 1 fa limxa fx fax a a fa limxa xt x a2 a x a limxa xt at x a x a limxa x ax ax a x ax a limxa x a 1 2a 1 Logo fa 2a 1 como a 1 fa f1 2 1 1 3 b fa limxa 1x 1ax a limxa a xaxx a limxa x aaxx a limxa 1ax 1a2 como a 1 fa f1 112 1 c fa limxa lnx lnax a limxa lnx lnax a limxa 1x a lnxa limxa lnxa1x a como lnx é uma função contínua lnlimxa xa1xa mudando a variável axa h x ah a x a h lnlimh uh aaha lnlimh 1 1hha 1a lnlimh 1 1hh e 1a ln e 1a logo ra 1a Como a 3 fa f3 13 4 2 2 4 5 10 15 20 x y 4 2 2 4 1 2 3 4 5 6 x y Questão 3 Dada uma reta rx ax b uma reta normal mx será mx 1a x d a fx x2 3x fx 2x 3 f0 3 Defina tx ax b como a equação da reta tangente a fx em x0 então tx satisfaz i tx 3 a 3 ii t0 f0 t0 b f0 0 Portanto tx 3x A reta normal mx āx b deve satisfazer i mx 1tx mx ā 13 13 ii m0 t0 b 0 Por fim mx 13 x b fx x13 fx 13 x23 f8 ³832 112 tangente tx ax b i tx f8 13 a 112 ii t8 f8 t8 112 8 b f8 ³8 2 logo b 2 112 8 b 43 tx 112 x 43 Para reta normal mx āx b i mx 1tx mx ā 12 ii m8 t8 m8 12 8 b t8 2 b 12 8 2 96 2 98 mx 12 98 c fx 1x2 fx 2x3 r1 2 tangente tx ax b i tx f1 2 a 2 ii t1 f1 21 b f1 1 b 1 2 3 tx 2x 3 Para reta normal mx ax b i mx 1tx mx a 12 ii m1 t1 m1 12 1 b t1 1 b 1 12 12 mx 12 x 12 Questão 4 tx ax b Ser paralela à reta y 12 x 3 implica mesma inclinação a 12 Ser tangente à fx x2 implica i fx tx 12 para algum x0 ii fx0 tx0 Dez i fx 2x 12 x 14 ii f14 142 t14 12 14 b b 116 18 116 Por fim tx 12 x 116 Questão 5 Seja px ax b a reta em questão Ser perpendicular a 2y x 3 y x2 32 implica a 112 2 Ser tangente à fx x2 3x implica i fx tx 2 para algum x0 ii fx0 tx0 Dez i fx 2x 3 2 x 52 ii f52 522 352 252 b b 254 252 254 px 2x 254 Questão 6 Ser paralelo à 8x y π 0 y π 8x ddx x4 2x3 2x2 8x 12 8 4x3 6x2 4x 8 8 x 4x2 6x 4 0 xx2 64 x 1 0 basta encontrar as raízes x0 é raiz Para x2 64 x 1 x 64 3616 4112 34 94 4 34 54 24 12 84 2 Encontrando a coordenada y da curva x 0 y 12 x 2 y 24 223 2 22 82 12 12 x 12 y 25316 Pontos 0 12 2 12 12 25316 Questão 7 a x0 3m b dxdt t 2 2t c dxdt 2 222 2 ms d d2xdt2 2 ms2 Questão 8 a Para fx ser derivável ddx 3x 2 ddx x2 em x 1 3 2xx1 3 2 absurdo não é derivável em x 1 b Para fx ser derivável pois fx é contínua Teorema da função limitada lim x2 fx lim x2 fx lim x2 12 1sqrtx2 lim x2 2x 4 Diverge logo fx não é derivável em x2 e Para fx ser derivável lim x0 fx lim x0 fx lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2xsin1x lim x0 cos1x 2xsin1x lim x0 cos1x 2x sin1x lim x0 cos1x 2x sin1x e portanto existe fx é derivável em x0 d fx é descontínua em x0 lim x0 senxx 1 Portanto sua derivada não pode existir neste ponto Questão 9 a Para a continuidade de fx em b lim xb fx fb lim xb fx lim xb fx fb lim xb 1x lim xb 1 14 x 1b 1 14 b 1b 14 b 1 4 b2 4b b2 4b 4 0 b 2 lim xb fx lim xb 1x2 1b2 lim xb fx lim xb 14 14 Os limites são iguais se b 2 logo fx é derivável em b2 Questão 10 a fx 4 x2 4 x b fx 3 12 x12 3 12 sqrtx c fx 3 2 x32 6x32 d fx 18 x2 13 x23 e fx x2 1x 1 x 1x 1x 1 x 1 fx 1 f fx 12 sqrtx 1x1 sqrtx1x12 g fx 12 sqrtx 3x3 22 3 x2 12 sqrtx 4 x2x3 22 h fx 1x2 3 14 x34 x2 32 x x14 2 x i fx 6 x 5 sen x j fx sen x x cos x k fx 2 x tgx x2 cos xcos x sen xcos2 x 2 x tgx x2 cos2 x sen2 x cos2 x 2 x tg x x2 1cos2 x 2 x tg x x2 sec2 x l fx 3sen x cos x2 cos x sen x 3 sen x cos x sen x 2 sen x cos x cos x 3 sen x cos x 1 2 sen x cos x m fx 3 sec x 3x 22 1 3x 2 1 cos2 0 sen 0 3 sec x 3x 22 sec x tg x 3x 2 n fx sen x 2x sen x x2 1 cos x 2x 1 sen x x2 1 cos x o fx 1 cos x x cos x x sen x1 sen x x cos x2 p fx 2x ex x2 ex ex 2x x2 q fx 3 5x r fx ex sen x ex cos x ex cos x sen x s fx ex 1 ex 1 exex 1 ex2 ex 1 ex 1 ex 1 ex2 2ex 1 ex2 t dxdt 2 ln t t2 1t 2 et 2 ln t t 2 et u dsdt t ln t t 1ln t t ln t2 t ln t 1 t ln t2 v dydx 10 x ln x 5 x2 x 10 x ln x 5 x w dydx 1x2 1x2 ln x 1x2 1 ln x x dsdt et sec2 t et tg t et sec2 t tg t y dVdr 4 pi r2 z dAdr 2 pi r Questão 11 a dydx 3x2 x sqrt x x3 1 x sqrt x2 1 12 sqrt x b dydx x1 312 1 sqrt 1 13 1 1 sqrt 12 1 12 sqrt 1 32 1 12 4 128 218 48 Questão 12 x dydx 2y x 2x3 2x2 0 Questão 13 a y cos 4x ddx 4x 4 cos 4x b fx 23x d3xdx 3 e3x c y cos t3 3t2 a yt 1 2t1 ddt 2t1 2 2t1 e x esen t ddt sen t cos t esen t f fx sen ex ddx ex ex sen ex g y 3 sen x cos x2 cos x sen x h y 3 2 sqrt3x 1 i fx 13 x 1 x 1 23 x 1 x 1 x 12 23 x 1 x 1 23 1 x 12 j x 2t 3 t2 3t 9 k y cos cos x sen x l gt 4 t2 33 2t 8t t2 33 m y 1 ex 2 sqrtx ex n y 3 sec2 x o y sec 3x tg 3x ddx 3x 3 sec 3x tg 3x Questão 14 y1 f12 1 2t y1 f1 1 21 2 f2 2 5 10 Questão 15 a y e3x 3 x e3x e3x 1 3x b y ex cos 2x ex 2 sen 2x ex 2 sen 2x cos 2x c y 2 e2t sen 3t e2t 3 cos 3t e2t 3 cos 3t 2 sen 3t d rx 2x ex2 22x 1 e gt ddt tanh t sech2 t f y 5 sen 5x sen 2x 2 cos 5x cos 2x sen 2x2 g rx 3 ex ex22 ex 2x ex2 h y 3t2 e3t 3 t e3t 3 e3t t2 t3 i gx 2 x ex2 ln 1 x ex2 11xx ex2 2 x ln 1 x 1x 11 x j y 3 sen 3x cos 2x2 3 cos 3x 2 sen 2x k y 12x2 ex ex ex senh x x2 ex l y 1 2x 2 x2 1 1 x x2 1 1 x2 1 m y 2x 12x ex 2x2 ex m y ln 2x 1 x 2x 1 o y 3 ln x2 12 2x x2 1 6 x ln x2 12 x2 1 Questão 16 i Como fxgx egx ln fx fxgx gx ln fx egx ln fx gx ln fx fxgx ii a y ax eln ax exln a y lna exlna 1 ex lna 2x lna lnax ax lna desde que a 0 a 0 b y ln 3 3x c y x lnx xx ln x 1 xx d y xα α lnx xα α 1x α xα1 e y ln 5 5x2 x 2x 1 f y 2 sen xcos x cos x ln 2 sen x 2 sen xcos x sen x ln 2 sen x cos2 x 2 sen x Questão 17 a loga x ln x ln a propriedade de logaritmos logo ddx loga x 1x ln a b gx 1x ln 3 hx 11 sen2 x ln a 2 sen x cos x Questão 18 arcsen sen x x defina arcsen x f x yx sen x ddx fyx ddx x 1 fyx yx 1 fyx 1yx 1cos x 1sqrt1sen2 x fsen x 1sqrt1sen2 x define u sen x 1 u 1 então fu 1sqrt1u2 arcsenu 1sqrt1u2 b Por semelhança raciocínio defina arccos x fx fyx x cosx yx logo fyx yx 1 fyx 1yx 1sen x 1sqrt1cos2 x logo fcos x 1sqrt1cos2 x defina u cos x 1 u 1 fu 1sqrt1u2 logo arccos x 1sqrt1u2 c arctg x fx fyx x tg x yx fyx yx 1 fyx 1yx fyx 1sec2 x cos2 x cos2 xsen2 x cos2 x 1tg2 x 1 1tg2 x 1 logo ftgx 1tg2x 1 define u tgx u x pi2 x pi2 E teremos por fim arctg u 1u2 1 Questão 19 a y arctg x xx2 1 b fx 1sqrt19x23 c gx 1sqrt1x6 3x2 d fx 1x4 1 2x e exsqrt1 e2x f y 3cos3xarctg 4x sen 3x 1arctg 4x2 4116x2 g fx senh x x cosh x senh x x cosh x h fx sech2 1 2x 2 e2x i y cosh cosh senh Questão 20 a 2x 1 2 y y 0 y 21x2y 1xy b y 3 y2 2 x y x2 y 1 y 3y2 x2 1 2xy y 1 2xy3y2 x2 c ey x ey y y x y 0 y ey yx ey x d 5 y seny y y x y y y 5 seny x Questão 21 Seja tx ax b a tangente a x y y 2 y y 0 y y x 2y a y em x1 a y1 1 2 y1 t1 y1 a 1 b y1 No ponto 11 y1 1 a 1 1 2 1 13 a 1 b 1 b 1 a 1 13 43 Logo tx 13 x 43 em 11 b 4 3 y2 6 x y y 2 x y x2 y 0 y x2 6 x y 2 x y 4 3 y2 y 3 y2 2 x y 4 x2 6 x y Para a reta tangente tx ax b temos a y 3 y2 2 x y 4 x2 6 x y em x1 y1 Logo a 3 12 2 1 1 4 12 6 1 1 3 2 4 7 17 também t1 y1 1 17 1 b 1 b 87 Logo por fim tx 17 x 87 Questão 22 a fx 16 x3 2 fx 48 x2 fx 96 x b fx 1x x1 fx 1 x2 1x2 fx 1 2 x3 2 x3 fx 1 2 3 x4 6 x4 c Note que f é contínua e derivável em x 1 fx 2x 3 x 1 ainda que continua x 1 5 x 1 fx não é diferenciável em x 1 fx 2 x x 1 f1 0 x 1 Questão 23 a dndxn ex ddx ex ex d2dx2 ex ex dndxn ex ex b ddx 2x 2 2x ddx2 2x ddx 2 2x 2 2 2x dndxn 2x 2n 2x c ddx sen x cos x ddx sen x cos x ddx cos x sen x ddx cos x sen x logo d4mdx4m sen x sen x m 0 1 2 ddx4m1dx4m1 sen x cos x ddx4m2dx4m2 sen x sen x ddx4m3dx4m3 sen x cos x d0dx0 F f Questão 24 i y x2 3x y 2x 3 y 2 Verificado x y y x 2 2x 3 3 ii y 1x y 1x2 y 2x3 y 6x4 x2 y 6 y 0 Verificado x2 6x4 6 1x 6x2 6x2 0 Fim