Cálculo Prova 1

2ª Questão 5 pontos Calcule caso existam os seguintes limites a lim x1 x² 3x 2 x² x 2 b lim x sen2x x³ c lim x5 xx 55 x 5 d lim x0 ³1 x ³1 x x e lim x 2x 3 x² 1 f lim x5 2 5 x g lim x0 x x² x⁴ Lembre que a² b² a ba b e a³ b³ a ba² ab b² 3ª Questão 1 ponto Determine a e b de modo que a função f seja contínua no ponto x 0 sendo fx a xsen1x se x 0 b 1 se x 0 ln2 x ln2 x se x 0 4ª Questão 2 pontos Recorde que lim x0 senx x 1 e lim x 1 1xx e Com base nesses resultados calcule os limites a lim x0 3x² 2senx² 2x³ senx² b lim x0 x x cosx sen²3x c lim x 1 23xx d lim x 2x 3 2x 1x1 5ª Questão 1 ponto Mostre que a equação cos2x 2x possui solução no intervalo 0 π4 Dica use o Teorema do Valor Intermediário Questão Extra 1 ponto Mostre que lim x0 1 xa 1 x a Atividade de Cálculo I Questão 01 01 F o domínio de F é igual a R 02 03 04 F lim x1 fx f1 2 05 F não existe lim x1 fx já que lim x1 fx lim x1 fx 06 lim x1 fx lim x1 fx 07 assíntota horizontal em fx2 08 F lim x fx 09 explicado em 07 10 lim x1 fx Questão 02 A lim x1 x² 3x 2 x² x 2 lim x1 x² x x 3x 2 2 2 x² x 2 lim x1 x² x 2 x² x 2 lim x1 4x 4 x² x 2 1 lim x1 4x1 x1x2 1 lim x1 4 x2 1 4 3 1 3 Professor Fabricio Alves Oliveira ORIENTAÇÕES i A prova é individual sem consulta e pode ser feita a lápis ii Faça letra legível e apresente o desenvolvimento e o raciocínio de forma clara em cada uma das questões Questões sem justificativas não serão aceitas iii Não é permitido usar as Regras de LHospital para auxiliar no cálculo dos limites Questões 1ª Questão 1 ponto Seja f uma função de uma variável real cujo gráfico é representado abaixo Com base nesse gráfico marque para as afirmativas a seguir V Verdadeiro ou F Falso e justifique as alternativas falsas 1 O domínio de f é igual a R 1 2 O conjunto imagem de f é igual ao conjunto dos números reais 3 F lim x1 fx 4 lim x1 fx 5 lim x1 fx x 6 F f é descontínua em x R 7 lim x fx 2 8 lim x fx 2 9 F A reta y 2 é uma assíntota horizontal ao gráfico de f 10 A reta x 1 é uma assíntota vertical ao gráfico de f Questão 03 F continua em x0 lim x0 fx lim x0 fx f0 I lim x0 a xsen1x a II f0 b 1 III lim x0 ln2x ln2x lim x0 ln2x2x lim x0 ln1 x2x2 2 12 I III a 12 II III b1 12 b 12 Questão 04 A lim x0 3x2 2senx22x3 senx2 lim x0 3x2 2senx22x3 senx2 lim x0 3 2 sen x2 x2 2x sen x2 x2 3 2 5 B lim x0 x xcosxsen2 3x lim x0 x1 cos xsen2 3x lim x0 x sen2 x sen2 3x 1 1 cos x lim x0 x x2 9x2 1 1 cos x 0 C lim x 1 23xx 23 32 lim x 1 23x3x223 e23 D lim x 2x 1 22x 1x 1 lim x 1 22x 1x 1 lim x 1 1x 12x 12 lim x 1 12x 1x 1 x 12 e1 e Questão 05 Seja fx cos 2x 2x Queremos provar que fx possui raizes entre 0 π4 Teorema do valor médio f0 cos 0 20 1 0 fπ4 cos π2 π2 π2 0 Como f0 0 e fπ4 0 existe um número ímpar de raízes entre 0 e π4 isto é no mínimo uma e portanto existe raiz nesse intervalo B lim x sen 2x x3 lim x sen 2x 2x 2x x3 lim x 1 2x x3 lim x 2 x2 0 C a b a3 b3 a2 ab b2 7 x 5 xx 55 x x5 5 lim x5 xx 55 x 5 lim x5 x 5x 5 15 D a b a3 b3 a2 ab b2 7 1x 1x jx jx 1x23 31x213 1x23 lim x0 1x 1x x lim x0 2 1x23 31x213 1x23 1 2 1 1 1 23 E lim x 2x 3x2 1 lim x 2 3x1 1x2 2 F lim x5 2 5x lim x5 2 lim x5 1 5x G lim x0 x x2 1x2 lim x0 x 1x2 lim x0 1 1x2 1