Lista 1 de 2

1a Lista de Exercıcios Calculo Diferencial e Integral 1 Assunto Limite e continuidade Professor Fabricio Alves Oliveira Essa lista devera ser resolvida de forma manuscrita e entregue no dia da primeira prova 1 Seja f R R 2 dada por fx 2x2 x 6 x 2 a Usando a definicao mostre que lim x2 fx 7 b Para ε 0 004 determine δ tal que fx 7 ε sempre que 0 x 2 δ 2 Calcule os limites a lim x13x2 7x 4 b lim x3 x2 9 x 3 c lim x2 5x2 3x 2 d lim x3 logx4 3x 10 e lim xπ cosxsen x π f lim xπ esen x 3 Calcule utilizando fatoracao caso existam os seguintes limites a lim x5 x 5 x2 25 b lim x5 x2 3x 10 x 5 c lim x1 x3 65x2 63x 1 x 1 d lim x2 x4 3x2 4 x 2 e lim x3 5x3 23x2 24x x2 x 12 f lim x1 x3 1 x4 3x 4 g lim t1 t4 1 t 1 h lim t9 t2 9t t 3 i lim x1 x 1 x 1 j lim x0 x 2 2 x k lim x27 3x 3 x 27 l lim x1 3x 1 x 1 m lim x1 4 x3 1 6x 1 n lim xa 3x 3a x a a 0 o lim x0 x2 a2 a x2 b2 b a b 0 p lim x0 1 x 1 x x 4 Nos itens abaixo obtenha caso existam lim xa fx lim xa fx e lim xa fx a fx x2 se x 2 8 2x se x 2 e a 2 b fx 2x 3 se x 1 2 se x 1 7 x se x 1 e a 1 5 Trace o grafico da funcao abaixo e verifique se as afirmacoes a seguir sao verdadeiras ou falsas Justifique suas respostas fx x 1 se x 1 x2 2x se 1 x 0 x2 x se 0 x 1 1 se 1 x 3 e x 2 2 se x 2 ou x 3 i lim x1 fx 1 ii lim x1 fx 1 iii nao existe lim x1 fx iv lim x0 fx lim x0 fx v lim x2 fx 2 vi nao existe lim x3 fx 1 6 Investigue a continuidade da funcao f nos pontos indicados a fx 2x2 se x 1 6 4x se x 1 em a 1 b fx 1 x2 se x 1 1 x se x 1 1 se x 1 em a 1 c fx x22x15 x3 se x 3 2 se x 3 em a 3 d fx x2sen 1 x se x 0 0 se x 0 em a 0 7 Determine caso exista o valor que a funcao fx x2 x x deve ter em a 0 para ser contınua nesse ponto 8 Calcule L de modo que as funcoes abaixo sejam contınuas a fx x2 9 x 3 se x 3 L se x 3 b fx e2x se x 0 L3 7 se x 0 9 Determine os pontos de descontinuidade da funcao f R R dada por fx x2 se x3 x2 0 1 se x3 x2 0 x 2 se x3 x2 0 10 Utilize o Teorema do Confronto para auxiliar na resolucao dos itens a seguir a Calcule lim x1 fx sabendo que x2 3x fx x21 x1 para todo x 1 b Calcule lim x1 fx sabendo que fx 3 2x 1 para todo x real c Calcule lim x0 gx x dado que gx x4 para todo x real 11 Mostre que a funcao f R R dada por fx x5 x 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo 1 0 12 Prove que a equacao x3 4x 2 0 admite trˆes raızes reais distintas 13 Calcule os seguintes limites no infinito a lim x x2 2x 3 3x2 x 1 b lim x x x2 3x 1 c lim x 4x5 12x2 5x x3 4x2 2 d lim x 2x2 7x cosx 3x2 5senx 1 e lim x x2 1 3x 2 f lim x x 3x x2 3 g lim x x x2 1 h lim x 3 x3 2x 1 x2 x 1 i lim x x 1 x 3 j lim x x x x 1 k lim x x2 1 x2 x2 1 2 14 Calcule os limites infinitos abaixo a lim x3 5 3 x b lim x 1 2 4 2x 1 c lim x0 2x 1 x d lim x0 3 x2 x e lim x1 2x 3 x2 1 f lim x1 2x 1 x2 x g lim x2 x2 x 2 x2 4x 4 h lim x2 x2 x 2 x2 4x 4 i lim x0 x 3 x2 j lim x0 senx x3 x2 k lim x3 1 x 3 l lim x3 1 x 3 15 Encontre se houver as assıntotas horizontais e verticais aos graficos de a fx 3x2 x 2 5x2 4x 1 b fx arctg x c fx 2x2 1 3x 5 d fx ex 2 16 Calcule caso existam os seguintes limites a lim x0 sen7x sen3x b lim x0 tgax bx a b 0 c lim x0 sen5x tg21x d lim x cosx x e lim x0 tg x x sec x f lim x0 xsen 1 x g lim x0 1 cosx x2 h lim x0 sen5x sen7x 2x i lim x0 cos3x cosx xsen2x j lim x0 sec2x 1x2 1 x2 k lim xπ senx π x l lim x0 x3 tg 3x sen 3x m lim x 1 2 x x n lim x 1 1 x x2 o lim x 1 1 2x x p lim x 1 2 x x1 q lim x x 2 x 1 x r lim x01 2xx 17 Calcule os limites a seguir envolvendo funcoes exponenciais e logarıtmicas a lim x 3x b lim x 5x c lim x ex d lim x0 13x e lim x 2x 3x f lim x 1 2x 1 3x g lim x 2x h lim x0 5x2 25 10x i lim x 2x 2x j lim x 2x 2x k lim x log3x l lim x0 log 1 3 x m lim x0 lnx n lim x ln x x 1 o lim x ln2x 1 lnx 3 p lim x1 ln x2 1 x 1 q lim x x ln2 ln 3x 1 3 Respostas de alguns exercıcios 1 a Basta tomar δ ε 2 b δ 0 002 por exemplo 2 a 6 b 0 c 4 d 2 e 0 f 1 3 a 1 10 b 7 c 64 d 20 e 3 f 3 7 g 4 h 54 i 1 2 j 0 k 1 27 l 2 3 m 9 2 n 1 3 3 a2 o b a p 1 13 a 1 3 b 0 c d 2 3 e 1 3 f 0 g 0 h 1 i 0 j 1 2 k 1 14 a b c d e f g h i j k l 16 a 7 3 b a b c 5 21 d 0 e 1 f 0 g 1 2 h 1 i 2 j 0 k 1 l 2 m e2 n e o e p e2 q e r 1 17 a b 0 c 0 d 0 e f 0 g 0 h 5 2 ln 5 i j k l m n 0 o ln 2 p ln 2 q 4