Cálculo de Integrais Impróprias - Soluções Detalhadas e Passo a Passo

1 Mostre que dxx²4x5² π2 2 Mostre que xcosπxx²2x5 dx π2 e2π 2 Mostre que x cosπxx²2x5 dx π2 e2π Solução x cosπxx²2x5 dx lim a 0⁰ x cosπxx²2x5 dx lim b 0ᵇ x cosπxx²2x5 dx Usamos integração por partes u x cosπx du cosπx πx senπx dx dv d x5 2x x² v 12 arc tanx12 Então x cosπxx² 2x 5 dx 12 x arctan¹x12 cosπx 12 arctan¹1x2cosπx π x senπx dx Aplicando os limites temos x cosπxx² 2x 5 12 e2π 1 Mostre que dxx² 4x 5² π2 Solução dxx² 4x 5² lim a a⁰ dxx² 4x 5² lim b 0ᵇ dxx² 4x 5² Temos que dxx² 4x 5² dxx2² 1² duu² 1² para u x2 Então usamos substituição trigonométrica considerando os identidades 1 sen²x cos²x 1 2 cos²x 12 1 cos2x 3 sen2x 2 senx cosx 4 senarctanx xx² 1 5 cosarctanx 1x² 1 Então fazendo u tany senycosy du 1cos²y dy e duu² 1² 11 sen²ycos²y² d ycos²y 1cos² y sen² y²cos⁴ y 1cos² y dy cos⁴ ycos⁴ y dy cos⁴y dy cos³y dy 12 1 cos2y dy 12 u 12 sen2y 12 u 12 2 seny cosy 12 arctanu senarctanu cosarctanu 12 arctanu u1 u2 Voltando para integral em x e aplicando o limite temos que from to dx x2 4x 52 lim a 12 arctana 2 a 21 a 22 12 arctana 2 a 21 a 22 lim b 12 arctanb 2 b 21 b 22 12 arctan2 21 22 lim a 12 arctan2 25 12 arctana 2 a 21 a 22 lim b 12 arctanb 2 b 21 b 22 12 arctan2 25 lim a arctana 2 a 21 a 22 12 lim b 12 arctanb 2 b 21 b 22 π2 12 12 π2 π4 π4 2π4 π2 28 de jun de 2022