Variaveis Complexas

EXERCÍCIOS Nos Exercs 1 a 11 mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados Observe que a orientação de C é irrelevante 1 fz z 1z 3 e C é o círculo z 2 2 fz 3z2z 2i e C é o círculo z 32 3 fz 3zezz2 3 e C é o círculo z 54 100 Capítulo 3 Teoria da Integral 4 fz logz 2iz 2 e C é o quadrado de vértices 1 i 5 fz logz 1z2 9 e C é o círculo x2 y2 2x 0 6 fz logz iz2 9 e C é o círculo x2 y2 2x 0 7 fz logz 1 iz2 9 e C é o quadrado de vértices 1 e i 8 fz 1z2 e C é qualquer contorno envolvendo a origem 9 fz z ezlog2z 3 e C é o quadrado de vértices 1 e i 10 fz cos zsen2 z e C é o círculo z 1 11 fz sen zcos3 z e C é o círculo z 1 Nos Exercs 12 a 15 calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados 12 fz 1z e C vai de i a i passando pelo semiplano Re z 0 13 fz 1z e C vai de i a i passando pelo semiplano Re z 0 14 fz log z e C é qualquer arco que vai de 1 a i e que à exceção dos extremos está situado no segundo quadrante Especifique o logaritmo tomando log1 iπ 15 fz z 1 e C é qualquer arco que vai de 14i a 1 9i passando à direita do ponto 1 Especifique a raiz quadrada tomando f0 1 16 Combinando os resultados dos Exercs 12 e 13 calcule a integral de fz 1z sobre qualquer contorno fechado simples C envolvendo a origem positivamente 17 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R contendo o ponto z0 Prove que over C fzz z0 dz 2πi fz0 onde C é qualquer contorno fechado que envolva a origem uma vez no sentido positivo 18 Mostre que z2 dzz2 1 0 19 Mostre que z2 dzz2 1 0 20 Mostre que z2 dzz2 z iz i 0