Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais de Contorno e Fórmula de Cauchy

3ª 20 pontos Sem usar a fórmula de Cauchy calcule integral contorno 1 zz²1 dz onde gamma é a elipse x² y²4 1 percorrida no sentido antihorário 4ª 20 pontos Usando a fórmula de Cauchy calcule integral contorno 1 zz²1 dz onde gamma é a elipse x² y²4 1 percorrida no sentido antihorário 5ª 20 pontos Usando a fórmula de Cauchy para derivadas calcule integral contorno z1 z³z²1 dz onde gamma é um contorno percorrido no sentido antihorário e que envolve os pontos z0 e z1 Meuguru NXb9q6Bd2 Questão 3 integral contorno 1 zz²1 dz gamma x²y²41 Vamos reescrever 1 zzizi Az Bzi Czi Azizi Bzzi Cz zi 1 Se z0 Aii1 A1 Se zi Ci2i1 C21 C12 Se zi Bi2i 1 B 12 Então integral contorno dz zz²1 integral contorno 1z dz 12 integral contorno dz zi 12 integral contorno dz zi integral dz zi w zi integral dw w integral dz zi w zi integral dw w γ dz zz²1 γ dz z 12 γ dw w 12 γ dw w γ dz z γ dw w Da literatura em variáveis complexas sabemos que para qualquer curva γ que encompasse a origem teremos γ dz z 2πi Então γ dz zz²1 2πi 2πi 0 Questão 2 γ 1 zz²1 dz Pela fórmula de Cauchy γ fz dz 2πi k Reszzk sendo zk os polos da função contidos dentro da curva γ Com Reszzk zzkfzzzk Teremos 3 polos z0 zi e zi Resz0 z 1 zz²1z0 1 Reszi zi 1 zz²1zi 1 zzizi 12 Reszi zi 1 zz²1zi 12 γ 1 zz²1 dz 2πi 1 12 12 0 Questão 5 γ z1 z³z²1 dz γ em torno de zero e z1 γ dz z³z1 1 z³ B z1 Az1 Bz³ 1 Se z0 A1 1 A 1 Se z1 B 1 γ dz z³z1 γ dz z1 γ dz z³ γ dz z1 2πi Ver questão 3 γ dz z³ 2πi Resz0 Neste caso temos um polo de ordem 3 então Resz0 12 d²dz² z³ 1 z³z0 12 d²dz² 1z0 Resz0 0 γ dz z³z1 2πi