4 Questões de Variável Complexa

Segunda Prova de Variável Complexa 16 de julho de 2024 QUESTÃO 1 Calcule o valor da integral abaixo sobre o caminho C representado na Figura 1 C π expπzdz Por que essa integral não se anula sobre esse caminho fechado Figura 1 Questão 1 QUESTÃO 2 Calcule o valor da integral abaixo ao longo de um caminho arbitrário conectando os limites de integração 0π2i cos z2 z π3 dz Por que o valor dessa integral não depende do caminho QUESTÃO 3 Seja C a elipse de equação x216 y29 1 orientada positivamente Calcule a integral C zz1 dz Sug Escolha uma curva adequada e aplique o Teorema de CauchyGoursat QUESTÃO 4 Usando uma integral indefinida determine o valor da integral 22 1z dz ao longo de um caminho qualquer ligando os limites de integração e contido no semiplano superior Primeiro vamos parametrizar cada segmento Segmento AO Para o segmento OA onde z t it e dz 1 i dt z t it Portanto a integral ao longo do segmento OA é OA π expπz dz 01 π expπ t it 1 i dt π 1 i 01 expπ t 1 i dt Resolvendo a integral π 1 i 01 expπ t1 i dt π 1 i expπ t1i π1i01 π 1 i expπ1i 1 π1i 1 i expπ iπ 1 1i 1 i expπ expiπ 1 1i 1 i expπ1 1 1i 1 i expπ 1 1i 1 i expπ 1 1 i Agora simplificando i 1 expπ Segmento AB Neste segmento estamos indo do ponto A 1i ao ponto B 1 i ao longo de uma linha vertical No ponto inicial A z 1 i No ponto final B z 1 i Podemos parametrizar esse segmento usando uma variável t que varia de 1 a 1 Para esse segmento podemos escrever z 1 it onde t varia de 1 a 1 Dessa forma quando t 1 z 1 i e quando t 1 z 1 i O diferencial dz é dado por dz i dt Para o segmento AB onde z 1 it e dz i dt z 1 it Portanto a integral ao longo do segmento AB é AB π expπ z dz 11 π expπ 1 it i dt i π expπ 11 exp i π t dt Resolvendo a integral i π expπ 11 exp i π t dt i π expπ exp i π t i π11 expπ exp i π expi π expπ 1 1 0 Segmento BO Neste segmento estamos indo do ponto B 1i ao ponto O 00 ao longo de uma linha horizontal No ponto inicial B z 1 i No ponto final O z 0 Podemos usar uma parametrização linear z 1 i t1 i 1 i t i t 1 t i1 t 1 t1 i onde t varia de 0 a 1 Dessa forma quando t 0 z 1 i e quando t 1 z 0 O diferencial dz é dado por dz 1 i dt Para o segmento BO onde z 1 i t1 i e dz 1 i dt zbar 1 t1 i Portanto a integral ao longo do segmento BO é BO π expπ zbar dz 01 π expπ 1 t1 i 1 i dt π 1 i 01 expπ 1 t1 i dt Resolvendo a integral π 1 i 01 expπ1 t1 i dt π 1 i expπ1 t1 i π1 i01 1 i expπ1 i 1 1 i 1 i expπ1 i 1 1 i Simplificando i 1 expπ Agora somamos as integrais ao longo dos três segmentos C π expπ zbar dz i 1 expπ 0 i 1 expπ 2i 1 expπ Portanto o valor da integral é 2i 1 expπ A integral não se anula porque a função π expπ zbar não é analítica holomorfa devido à presença do conjugado complexo zbar A falta de analiticidade implica que a integral ao longo de um caminho fechado pode não ser zero como é o caso aqui QUESTÃO 2 Calcule o valor da integral abaixo ao longo de um caminho arbitrário conectando os limites de integração 0π2i cosz2 z π3 dz Por que o valor dessa integral não depende do caminho A integral a ser resolvida é 0π2i cosz2 z π3 dz A função integranda fz cosz2 z π3 é analítica em todo o plano complexo Como a função é analítica podemos usar o fato de que a integral de uma função analítica depende apenas dos valores nos pontos finais e iniciais do caminho Vamos calcular cada termo separadamente A integral do primeiro termo é 0π2i cosz2 dz Para resolver essa integral fazemos a substituição u z2 então dz 2 du e os limites de integração mudam de z 0 para u 0 e de z π 2i para u π 2i2 0π2i cosz2 dz 2 0π2i2 cosu du Calculando a integral 2 sinu0π2i2 2 sinπ2i2 sin0 2 sinπ2i2 A função sin pode ser expandida como sinπ2i2 sinπ2 i sinπ2 cosh1 i cosπ2 sinh1 cosh1 Portanto o valor da integral é 2 cosh1 A integral do segundo termo é 0π2i z π3 dz Vamos fazer a substituição u z π então dz du e os limites de integração mudam de z 0 para u π e de z π 2i para u 2i 0π2i z π3 dz π2i u3 du Calculando a integral u44π2i 2i44 π44 16 i4 4 π4 4 1614 π4 4 4 π4 4 Agora somamos os resultados das duas integrais 2 cosh1 4 π44 Portanto o valor da integral é 2 cosh1 4 π44 O valor dessa integral não depende do caminho porque a função integranda fz cosz2 z π3 é analítica no plano complexo De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo a integral de uma função analítica ao longo de qualquer caminho entre dois pontos depende apenas dos valores nos pontos iniciais e finais do caminho e não do próprio caminho QUESTÃO 3 Seja C a elipse de equação x216 y29 1 orientada positivamente Calcule a integral C z z 1 dz Sug Escolha uma curva adequada e aplique o Teorema de CauchyGoursat Para calcular a integral C z z 1 dz onde C é a elipse x216 y29 1 orientada positivamente podemos aplicar o Teorema de CauchyGoursat Esse teorema afirma que se uma função fz é analítica em um domínio simplesmente conexo e C é um caminho fechado simples dentro desse domínio então a integral de fz ao longo de C é zero a menos que haja singularidades dentro do caminho C A função a ser integrada é fz zz1 Essa função tem uma singularidade em z 1 um polo simples pois fz não é analítica nesse ponto Precisamos verificar se z 1 está dentro da elipse x216 y29 1 A elipse está centrada na origem com semieixos 4 e 3 ao longo dos eixos x e y respectivamente O ponto z 1 claramente está dentro dessa elipse já que 1216 029 116 1 Para aplicar o teorema utilizamos a forma integral de Cauchy para um polo simples A integral ao redor de um polo simples z 1 é dada por C fzza dz 2πi Resf a Onde Resf a é o resíduo da função fz no ponto a Para encontrar o resíduo de fz em z 1 reescrevemos a função fz zz1 Para encontrar o resíduo podemos expandir fz em uma série de Laurent em torno de z 1 No entanto uma maneira mais direta é observar que em um polo simples o resíduo é dado pelo valor de zz1 multiplicado pela derivada do denominador avaliada no polo fz zz1 Neste caso o numerador z avaliado no polo z 1 é z 1 e a derivada do denominador z 1 avaliada em z 1 é 1 Reszz1 1 limz 1 z 1 zz 1 1 Aplicando a fórmula do resíduo C zz1 dz 2πi Reszz1 1 2πi 1 2πi Portanto o valor da integral é C zz1 dz 2πi QUESTÃO 4 Usando uma integral indefinida determine o valor da integral 22 1z dz ao longo de um caminho qualquer ligando os limites de integração e contido no semiplano superior A integral definida 22 1z dz pode ser avaliada usando a função primitiva log z No entanto a função log z é multivalorada devido ao argumento de z portanto precisamos escolher um caminho específico que evite a singularidade em z 0 e se mantenha no semiplano superior Para resolver a integral ao longo de um caminho no semiplano superior considere que o caminho é composto por uma semicircunferência acima do eixo real Vamos utilizar o valor principal do logaritmo que considera o ramo principal do argumento θ no intervalo π π O valor principal do logaritmo é log z ln z i argz Ao longo do caminho no semiplano superior a função argumento argz varia de π a 0 Para z 2 temos arg2 π e para z 2 temos arg2 0 Então ao calcular a integral usando os limites de integração 22 1z dz log z 22 log2 log2 Considerando o valor principal do logaritmo log2 log2 log2 log2 iπ iπ Portanto o valor da integral é 22 1z dz iπ