Critério de Estabilidade de Nyquist

22 de dezembro de 2021 PROFESSORA LUDMILA FERREIRA DOS ANJOS Critério de Estabilidade de Nyquist I Agenda de Hoje Assuntos dessa aula Critério de Estabilidade de Nyquist RE DIAGRAMAS POLARES Considerase o sistema A FTMF é Cs Gs 1 Gs Hs Para estabilidade todas as raízes da equação característica 1 Gs Hs 0 devem permanecer no semiplano s da esquerda Observase que embora os pólos e zeros da FTMA GsHs possam estar no SPD de s o sistema é estável se todos os pólos da FTMF isto é as raízes da equação característica estiverem no SPE de s O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência a malha aberta GsHs ao número de zeros e pólos de 1 GsHs que estão no SPD do plano s As curvas de resposta em frequência de MA obtidas analiticamente bem como aquelas obtidas experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Isto é conveniente porque no projeto de um sistema de controle muitas vezes ocorre que as expressões matemáticas para alguns dos componentes não são conhecidas sendo disponíveis apenas seus dados de resposta em frequência Dada a equação característica Fs 1 GsHs 0 Podese expandir de forma que Fs 1 NsDs Ds NsDs Ks zis pi Assim descobrese que as raízes de um sistema estável os zeros de Fs devem estar no SPE Deve ser escolhido um contorno ΓS que envolva inteiramente o SPD Através do Teorema de Cauchy se determina se há zeros de Fs no interior do contorno ΓS Traçase o contorno ΓF no plano Fs e se determina o número de circunscrições N da origem Então o número de zeros de Fs no interior do contorno ΓS e portanto o de zeros instáveis de Fs é Z N P Assim se P 0 descobrese que o número de raízes instáveis do sistema é igual a N N número de circunscrições da origem do plano Fs Critério de Nyquist Critério de Nyquist Quando o número de pólos de GsHs no SPD de s for diferente de zero o critério de Nyquist é Resumindo N Z P Z N P onde Z nº de zeros da função 1 GsHs no interior do contorno de Nyquist P nº de pólos da função GsHs no interior do contorno de Nyquist N nº de envolvimentos do ponto crítico 1 no sentido horário do plano GH Resumindo INESTABILIDADE Se Z 0 o sistema é instável por definição Isto porque os zeros de 1 GsHs correspondem aos pólos da FTMF fracGs1 GsHs E se há pólos em MF localizados no SPD o sistema é instável Resumindo ESTABILIDADE Quando não há pólos ou zeros de 1 GsHs nos eixos jω do plano s e Z 0 o sistema é estável somente nas seguintes condições P 0 e N 0 contorno e diagrama de Nyquist possuem o mesmo sentido P 0 e N P contorno e diagrama de Nyquist possuem sentidos contrários Exemplo 1 Dado um sistema de controle GHs fracK au1s 1 au2s 1 Sistema com 2 pólos reais Sistema com 2 pólos reais Sistema com 2 pólos reais Sistema com 1 pólo na origem No contorno Γs no plano s é efetuado um desvio infinitesimal em torno do pólo na origem por meio de um pequeno semicirculo de raio ε em que ε 0 Esse desvio é consequência do Teorema de Cauchy que requer que o ponto não passe pelo pólo na origem Um ponto representativo s se move ao longo do eixo jω negativo de j até j0 De s j0 até s j0 o ponto se move ao longo da semicircunferência de raio ε onde ε 1 e em seguida se move ao longo do eixo jω positivo desde j0 até j De s j o contorno segue uma semicircunferência com raio infinito e o ponto representativo retorna ao ponto de partida A área que o contorno fechado modificado evita é muito pequena e tende a zero à medida que o raio ε tende a zero Um esboço do contorno ΓGH está mostrado Para investigar a estabilidade do sistema constantese que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Sistema com 3 pólos O contorno de Nyquist Γs é o mesmo do anterior e o contorno ΓGH está mostrado abaixo Para investigar a estabilidade do sistema constatouse que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Em consequência para que este sistema seja estável é necessário que se tenha N Z 0 ou seja o contorno ΓGH não pode circunscrever o ponto 1 no plano GHs Examinandose constatase que Para pequenos valores de K não há nenhum envolvimento Para grandes valores de K o ponto 1 é envolvido duas vezes no sentido horário indicando 2 pólos de MF no SPD sistema instável Sistema com 2 pólos na origem O contorno de Nyquist Γs é o mesmo do anterior e o contorno ΓGH está mostrado abaixo Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Em consequência para que este sistema seja estável é necessário que se tenha N Z 0 ou seja o contorno ΓGH não pode circunscrever o ponto 1 no plano GHs Examinandose constatase que o ponto 1 é envolvido duas vezes no sentido horário contorno circunscreve 1 indicando 2 pólos de MF no SPD sistema instável independente do valor de K Exemplo 1 Dado um sistema de controle GHs Kss1 O contorno ΓGH está mostrado abaixo Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD é 1 ou seja P 1 Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª Edição 2003 PrenticeHall OGATA 2003 DORF RC BISHOP RH Sistemas de Controle Modernos Rio de Janeiro 11ª Ed LTC 2009 Material elaborado pelo Prof José Luiz Ferraz Barbosa