Analise de Aceleracao-Cinematica e Dinamica dos Mecanismos

21092020 1 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Instituto Federal de Goiás Departamento IV Coordenação de Mecânica Disciplina Dinâmica das Máquinas Análise de Aceleração Capítulo 7 Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos Norton Prof Marco Aurélio B C Badan Email marcobadanifggmailcom Sala Colaboração e agradecimentos Prof Ricardo Humberto de Oliveira Filho UFTM Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Uma vez que a análise de velocidade tenha feita o próximo passo é determinar as acelerações de todos os elos e pontos de interesse do mecanismo Precisamos conhecer as acelerações para calcular as forças dinâmicas a partir de F ma As forças dinâmicas contribuem para as tensões atuantes nos elos e junções ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Elo em rotação pura A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade no tempo E a relação entre a aceleração angular e a aceleração linear A é dada por A r A vetor d vetorv dt e α dωdt Vetor velocidade vetorVPA p jω ejθ Para obtermos a aceleração devemos derivar a equação da velocidade vetorAPA d vetorVPA dt dpjωejθdt pjdωdt ejθ ωjejθ dθdt pjα ejθ pω2 ejθ Observe que vetorAPA é referida como aceleração absoluta já que A é a origem do sistema de coordenadas indicado ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Aceleração absoluta de P com relação a aceleração em A Diferença de aceleração vetorAPA não é mais uma aceleração absoluta mas uma aceleração relativa ao ponto A Portanto o ponto P terá aceleração absoluta dada por vetorAP vetorAA vetorAPA ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Conceito Diferença de aceleração x Aceleração relativa OBS Dois pontos no mesmo corpo Diferença de aceleração Dois pontos em corpos diferentes Aceleração relativa 21092020 5 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Para obter a aceleração devemos derivar a equação em relação ao tempo 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 j j j j j j j C e jC e j C e jC e j C e jC e Simplificando temos 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 j j j j j j jC e C e jC e C e jC e C e A equação acima representa a equação vetorial da aceleração ou seja 0 A B A B A A A 2 2 2 2 2 2 2 j j t n A A A A jC e C e A A 3 3 2 3 3 3 3 j j t n B A B A B A A jC e C e A A 4 4 2 4 4 4 4 j j t n B B B A j C e C e A A ANÁLISE ANALÍTICA 3 2 4 2 2 3 3 4 4 0 j j j jC e jC e jC e 3 3 2 2 4 4 3 3 2 2 4 4 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0 j j j j j j d d d d d d j jC e jC e j jC e jC e j jC e jC e dt dt dt d t d t d t Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 j j j j j j jC e C e jC e C e jC e C e Aplicando a relação de Euler na equação Obtendo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 4 4 4 co s co s co s c os co s co s 0 C j jsen C jse n C j js en C js en C j js en C jse n ANÁLISE ANALÍTICA Rearranjando os termos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 4 4 4 co s co s co s cos co s co s 0 C j sen C j sen C j sen C jse n C j s en C jsen ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Análise gráfica A análise gráfica pode ser obtida após a análise completa da posição e velocidade At αr An ω2r Obter vetorAB vetorABA 21092020 6 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Separando em parte real e parte imaginária temos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 cos cos cos 0 C sen C C sen C C sen C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 cos cos cos 0 C C sen C C sen C C sen ANÁLISE ANALÍTICA Resolvendo o sistema de equações onde 3 CD AF AE BD 4 CE BF AE BD 4 4 A C s en 3 3 B C sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 co s co s co s C C sen C C C 4 cos 4 D C 3 cos 3 E C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 co s F C C sen C sen C sen Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Uma vez determinadas as acelerações angulares α3 e α4 as acelerações lineares podem ser determinadas 2 2 2 2 2 2 2 j j AA jC e C e 3 3 2 3 3 3 3 j j AB A jC e C e 2 4 2 4 4 4 4 j j AB jC e C e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c os c os t n A A A A C se n j C js en A A 2 3 3 3 3 3 3 3 3 co s co s t n B A B A B A A C s en j C jsen A A 2 4 4 4 4 4 4 4 4 c os co s t n B B B A C sen j C js en A A ANÁLISE ANALÍTICA ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Análise gráfica em um ponto genérico C At αr An ω2r Obter vetorAC vetorACA 21092020 7 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Mecanismo bielamanivela A equação vetorial é obtida da análise da figura como 2 1 4 3 R R R R 2 1 3 4 0 R R R R Que na forma complexa fica 3 2 1 4 2 1 3 4 0 j j j j C e C e C e C e Todos mecanismos de deslizamento terão pelo menos um elo no qual o comprimento equivalente entre as juntas varia conforme o mecanismo se move neste caso será C1 Para obtermos a velocidade devemos derivar a equação em relação ao tempo Lembrando que θ1 0 e θ4 90 O termo é a velocidade linear do bloco dado o deslocamento C1 A equação é então 3 2 2 2 3 3 1 0 j j jC e jC e C A B A B V V V ANÁLISE ANALÍTICA 1 C Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Para obtermos a aceleração devemos derivar a equação em relação ao tempo 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 0 j j j j j C e jC e j C e jC e C 3 2 2 2 3 3 1 0 j j jC e jC e C Simplificando temos 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 0 j j j j jC e C e jC e C e C A equação acima representa a equação vetorial da aceleração ou seja 0 A A B B A A A 2 2 2 2 2 2 2 j j t n A A A A jC e C e A A 3 3 2 3 3 3 3 j j t n B A B A B A A jC e C e A A 1 t B B A C A B A A B A A ANÁLISE ANALÍTICA 3 3 2 2 3 3 2 2 1 2 2 2 3 3 3 0 j j j j d d d d dC j j C e j C e j jC e jC e d t d t d t d t d t ANÁLISE ANALÍTICA Mecanismo de quatro barras A equação vetorial é obtida da análise da figura como vetorR2 vetorR3 vetorR1 vetorR4 vetorR2 vetorR3 vetorR1 vetorR4 0 Que na forma complexa fica C2 ejθ2 C3 ejθ3 C4 ejθ4 C1 ejθ1 0 Para obtermos a velocidade devemos derivar a equação em relação ao tempo j C2 ejθ2 dθ2dt j C3 ejθ3 dθ3dt j C4 ejθ4 dθ4dt 0 dθidt ωi com i 234 j C2 ω2 ejθ2 j C3 ω3 ejθ3 j C4 ω4 ejθ4 0 vetorVA vetorVBA vetorVB 0 21092020 8 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 co s cos co s cos 0 C j jsen C jsen C j jsen C jsen C ANÁLISE ANALÍTICA Aplicando a relação de Euler na equação Obtendo 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 0 j j j j jC e C e jC e C e C Rearranjando os termos da equação 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 co s c o s co s c os 0 C j sen C js en C j s en C jsen C Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Separando em parte real e parte imaginária temos 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 cos cos 0 C sen C C sen C C 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 cos cos 0 C C sen C C sen ANÁLISE ANALÍTICA Assim as incógnitas do problema são determinadas por 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 cos cos C C sen C sen C 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 cos cos C C sen C C sen C 21092020 9 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Uma vez determinadas as acelerações angulares α3 e as acelerações lineares são determinadas 1 C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c os co s t n A A A A C sen j C js en A A 2 3 3 3 3 3 3 3 3 co s co s t n B A B A B A A C sen j C jsen A A 1 t B B A C A ANÁLISE ANALÍTICA 2 2 2 2 2 2 2 j j t n A A A A jC e C e A A 3 3 2 3 3 3 3 j j t n B A B A B A A jC e C e A A 1 t B B A C A Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Aceleração de Coriolis Os exemplos mostrados para análise de aceleração envolveram apenas mecanismos com juntas articuladas ou o mecanismo bielamanivela cujo bloco deslizante não possui rotação Quando existem juntas deslizantes em um elo de rotação está sempre presente uma componente adicional da aceleração denominada componente de Coriolis ANÁLISE ANALÍTICA 21092020 10 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG A figura mostra um sistema de dois elos que consiste em um elo com ranhura radial e um bloco com liberdade de deslizamento dentro do limite da ranhura A posição instantânea do bloco é definida pelo vetor posição RP referido à origem global articulação do elo Esse vetor rotaciona e modifica sua magnitude conforme o sistema se movimenta ANÁLISE ANALÍTICA As duas entradas do sistemas são a aceleração angular α do elo e a velocidade de deslizamento linear do bloco em relação ao elo VPdesl A componente de transmissão de velocidade VPtrans é gerada pela velocidade de rotação ω do elo no raio RP Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Para se determinar a aceleração no centro do bloco P submetido ao movimento combinado de rotação e escorregamento devemos escrever a expressão do vetor posição RP que se localiza no ponto P A posição instantânea do bloco é definida pelo vetor posição Note que existem duas variáveis no tempo p e θ Quando derivamos em relação ao tempo obtemos dois termos na expressão da velocidade Estas são as componentes de transmissão e a componente de deslizamento ANÁLISE ANALÍTICA 2 j Rp p e 2 2 2 2 2 2 p j j j j p d R d dp V p j e e p je pe dt dt dt p Ptrans Pdesl V V V 21092020 11 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Para se obter a expressão para a aceleração precisamos derivar a equação da velocidade em relação ao tempo Note que a componente de transmissão possui 3 variáveis no tempo p ω e θ A regra da cadeia irá gerar 3 termos na derivada A componente de deslizamento da velocidade possui 2 variáveis no tempo p e θ gerando 2 termos na derivada Assim temos um total de 5 termos sendo que 2 deles podem se fundir ANÁLISE ANALÍTICA 2 2 2 j j p p V je p e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p j j j j j p d j d dV d dp A je p je p je e p j e d t d t d d p d dt t dt t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j j j j j Ap je p je p j e pe je p p Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Rearranjando a equação Note que o termo de Coriolis apareceu na expressão da aceleração como resultado da diferenciação simplesmente porque o comprimento do vetor p é uma função do tempo Essa componente de Coriolis da aceleração estará sempre presente quando houver uma velocidade de deslizamento associada a qualquer membro que também tenha uma velocidade angular t n coriolis desl P P P P P A A A A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j j j j j Ap p je p j e p je p je pe 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j j j j Ap p je p e p je pe ANÁLISE ANALÍTICA 21092020 12 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG ANÁLISE ANALÍTICA Mecanismo bielamanivela invertido A equação vetorial é obtida da análise da figura como 2 1 4 3 R R R R 2 1 3 4 0 R R R R Que na forma complexa fica 3 2 1 4 2 1 3 4 0 j j j j C e C e C e C e Assim como no mecanismo anterior todos mecanismos de deslizamento terão pelo menos um elo no qual o comprimento equivalente entre as juntas varia conforme o mecanismo se move neste caso será C3 Para obtermos a velocidade devemos derivar a equação em relação ao tempo 3 3 2 4 2 2 3 3 3 4 4 0 j j j j jC e jC e C e jC e Uma vez que então 3 4 3 4 d d dt dt 3 4 3 3 2 4 2 2 3 3 4 4 4 0 j j j j jC e jC e C e jC e Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Para obtermos a aceleração devemos derivar a equação em relação ao tempo 3 3 3 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 2 3 2 4 3 4 4 4 4 4 4 3 0 j j j j j j j j j j C e jC e j C e j C e j e jC e C e j C e j C C e Rearranjando os componentes da equação acima temos 3 3 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 2 4 4 4 4 2 0 j j j j j j j j jC e C e j C e C e C je C e jC e C e A equação representa a equação vetorial da aceleração ou seja mas e 0 A A B B A A A t n A A A A A A t n c ori oli s d e sli A B A B A B A B A B A A A A A t n B B B A A A B A A B A A ANÁLISE ANALÍTICA 3 2 3 4 2 2 3 4 3 4 4 0 j j j j jC e j e C e jC e C B A B A A A A 21092020 13 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG 2 2 2 j t AA C j e 4 4 4 j t AB C je 3 3 4 j t AA B C je 3 3 4 2 j corio lis AAB C je 2 2 2 2 j n AA C e 4 2 4 4 j n AB C e 3 2 3 4 j n AA B C e 3 3 j desl AAB C e ANÁLISE ANALÍTICA 3 3 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 2 4 4 4 4 2 0 j j j j j j j j jC e C e jC e C e C je C e jC e C e t n c o ri o li s d e sli A B A B A B A B A B A A A A A t n A A A A A A t n B B B A A A Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Aplicando a relação de Euler na equação abaixo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 4 4 4 cos co s co s co s 2 cos co s co s co s 0 C j jsen C jsen C j jsen C jse n C j jsen C jsen C j jsen C js en Rearranjando os termos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 4 4 4 co s co s co s c os 2 co s co s co s co s 0 C j s en C jse n C j sen C js en C j se n C jsen C j s en C js en 3 3 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 2 4 4 4 4 2 0 j j j j j j j j jC e C e jC e C e C je C e jC e C e ANÁLISE ANALÍTICA 21092020 14 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Separando em parte real e parte imaginária temos 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 4 3 2 3 4 3 3 3 4 4 4 4 4 4 cos cos 2 cos co s 0 C sen C C s en C C sen C C s en C 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 4 3 2 3 4 3 3 3 4 4 4 4 4 4 co s co s 2 co s co s 0 C C sen C C sen C C se n C C s en ANÁLISE ANALÍTICA Assim as incógnitas do problema são determinadas por 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 4 4 3 3 3 4 3 4 3 4 cos 2 cos C sen C sen C C C 2 2 2 3 2 3 4 4 2 2 2 3 3 2 4 4 2 2 2 2 3 4 4 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3 4 3 4 cos cos 2 2 cos cos C C sen C sen C C C C C sen C C C C C C C Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Como existe uma relação fixa entre os ângulos θ3 e θ4 onde então Uma vez determinados α3 α4 e as acelerações lineares são determinadas pelas equações apresentadas a seguir e a visualização destes vetores no mecanismos pode ser obtida na figura 3 C ANÁLISE ANALÍTICA 3 4 3 4 d d dt dt 3 4 3 4 d d dt dt 3 4 21092020 15 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG 0 A AB B A A A B A A B A A t r A A A A A A ANÁLISE ANALÍTICA 2 2 2 j t AA C j e 4 4 4 j t AB C j e 3 3 4 j t AA B C je 3 3 4 2 j cor iolis AAB C je 2 2 2 2 j n AA C e 4 2 4 4 j n AB C e 3 2 3 4 j n AA B C e 3 3 j desl AAB C e t n c o ri o li s d e sli A B A B A B A B A B A A A A A t n B B B A A A