Fundamentos de Dinâmica - Leis de Newton e Cinemática dos Mecanismos

30092020 1 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Instituto Federal de Goiás Departamento IV Coordenação de Mecânica Disciplina Dinâmica das Máquinas Fundamentos de Dinâmica Capítulo 100 Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos Norton Prof Marco Aurélio B C Badan Email marcobadanifggmailcom Sala Colaboração e agradecimentos Prof Ricardo Humberto de Oliveira Filho UFTM Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG A análise da força dinâmica envolve a aplicação das 3 leis de Newton do movimento Princípio da inércia Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele Princípio fundamental da dinâmica A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção na qual aquela força é imprimida Fma Princípio da ação e reação A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 30092020 2 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Podem ser diferenciadas 2 classes de problemas de dinâmica Problema direto todas as cargas externas são conhecidas e desejase obter as acelerações velocidades e possíveis deslocamentos resultantes Problema inverso as acelerações velocidades e deslocamentos são impostos e conhecidos desejase determinar as magnitudes direções e sentidos das forças necessárias para fornecer os movimentos desejados Mas para qualquer que seja a subclasse os problemas sempre serão resolvidos por Fma para variáveis diferentes Desta forma é necessário rever alguns fundamentos geométricos e propriedades de massa necessários para os cálculos LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG Centróide e Centro de Massa FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Centróide é o centro geométrico do corpo Centro de Massa é o ponto onde se supõe concentrada toda a massa do corpo para o cálculo de vários efeitos Para o que o centróide coincida com o centro de massa o objeto deve ter densidade uniforme ou a distribuição de matéria através do objeto deve ter certas propriedades tais como simetria 30092020 3 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Determinação Experimental do Centro de Massa 1 Pendurase o objeto por um ponto qualquer e traçase uma linha vertical passando pelo ponto ao qual o objeto está pendurado 2 Em seguida repetese o procedimento tomandose outros pontos A interseção das linhas é o centro de massa Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Determinação Analítica do Centro de Massa As massas das partículas mn são localizadas em várias posições Rn xn i yn j no plano O Vetor Posição de G do sistema é dado por 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 n n n G G n m x y m x y m x y m x y m x y x y m m m m m i j i j i j i j i j i j 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 n n G n m m m m m m m m m m R R R R R R n n G n m x x m n n G n m y y m OBS Momento de massa é definido como o produto de sua massa pela distancia do eixo de interesse 30092020 4 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Momento de Inércia de Massa MIM O momento de inércia de massa I ou J é uma medida da resistência de um corpo a um dado movimento angular ou melhor a uma aceleração angular M J Um momento de inércia elevado significa por exemplo que é preciso aplicar um bom torque de frenagem para que o corpo pare de girar O volante no motor deste trator tem um momento de inércia muito grande em relação ao eixo de rotação Posto em movimento será difícil parálo Esta propriedade serve para evitar paradas repentinas do motor e manter uma potência constante ou Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA 30092020 5 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Considere um elemento de massa m preso a uma haste de massa desprezível que gira em torno do eixo AA Definese o momento de inércia do elemento de massa m em relação ao eixo AA como JAA r2 m Já o momento de inércia da massa m em relação ao eixo AA é 2 AA i i J r m No limite quando i 2 J AA r dm O momento de inércia de massa é sempre uma quantidade positiva A unidade é kgm2 SI e slug pés2 Inglês Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Momento de inércia de massa relativo a um eixo 2 2 2 J y r dm z x dm Similarmente para o momento de inércia relativamente aos eixos x e z 2 2 Jx y z d m az l u O momento de inércia de massa relativo ao eixo coordenado y é 2 2 Jz x y dm vermelho 30092020 6 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo Determine o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo z O volume do elemento pode ser aproximado a dVh2rdr Logo 2 2 z z m V J r dm mas dm dV J r dV 2 3 0 2 2 R z r J r h rdr h r dr 4 4 2 4 2 z R R J h h A massa do cilindro é mV Ah R2h 2 2 1 2 zJ R h R 1 2 2 zJ m R Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo Determine o momento de inércia do sólido em relação ao eixo y se a densidade é de 5 kgm3 2 2 2 1 2 y dm dV x dy J x dy x Aproveitando a expressão do exercício anterior temos 2 2 1 1 2 2 y y J mR dJ dmx 1 4 0 2 Jy x dy Substituindo x y2 temos 9 1 1 8 2 0 0 1 5 0873 2 2 9 2 9 18 y y J y dy slug ft O elemento de massa pode ser dado por kgm2 1m 1m 1m 1m 30092020 7 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Momentos de Inércia de massa de alguns sólidos 2 12 JZZ MR 2 25 JZZ MR Cilindro sólido ou disco Esfera sólida Placa retangular 2 2 112 JZZ M a b Haste delgada momento de inércia em relação ao centro Haste delgada momento de inércia em relação a uma das extremidades 2 112 JCC ML 2 13 JAA ML Cilindro vazado 2 2 1 2 12 JZZ M R R Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Teorema dos Eixos Paralelos O momento de inércia de qualquer corpo referente a um eixo z pode ser expresso pela soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo z paralelo a z que passe pelo seu centro de gravidade G adicionado o produto da massa do corpo pelo quadrado da distância perpendicular entre os dois eixos paralelos 2 2 A G z z J J md J J md 2 2 z m m J r dm d dm 30092020 8 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo O pêndulo consiste de uma barra esbelta de 3 kg e uma chapa fina de 5 kg Determine a localização do centro de massa G do pêndulo Calcule o momento de inércia do pêndulo sobre um eixo perpendicular ao plano e que passe pelo ponto G Posição do Centro de Massa considerando o eixo y passando pelo ponto O 0 31 5225 178 3 5 i i i x m y y m m Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Momento de Inércia de cada parte 2 1 12 JB mL 2 2 1 12 JP m a b 2 A G J J md 2 2 2 2 2 1 32 3178 1 12 B G B b B B G J J md J m y L J 2 2 2 2 2 2 1 505 1 5225 178 12 P G P p P P G J J md J m L a y J 2 445 B P G G G J J J kg m Momento de Inércia em relação a G Momento de Inércia total em relação a G 30092020 9 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Determinação Experimental do Momento de Inércia de Massa Se o corpo é deslocado de um pequeno ângulo e largado ele oscilará O momento de inércia pode ser determinado medindose o período de oscilação do corpo T G G G r g T mr J 2 2 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Raio de Giração O raio de giração k é definido como o raio no qual toda a massa do corpo m pode ser concentrada fazendo com que o modelo resultante tenha o mesmo momento de inércia do corpo original 2 z z J k m J k m 30092020 10 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Modelos dinâmicos de massa concentrada s d F m a F k x F c v Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Associação de molas 1 2 3 1 1 1 1 keq k k k 1 2 3 keq k k k 30092020 11 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Associação de amortecedores 1 2 3 1 1 1 1 ceq c c c 1 2 3 ceq c c c Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA 30092020 12 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Métodos de resolução Método da superposição resolver o problema por partes e então superpõese somase os resultados parciais para obter a solução completa Método da solução de equações lineares simultâneas anotar as equações relevantes para todo o sistema como um conjunto de equações lineares simultâneas e então resolvêlas através de processamento paralelo forma matricial Princípio de DAlembert Métodos da energia é o método da conservação da energia Possibilita encontra as forças e torques externos que efetivamente realizam trabalho Os esforços internos do sistema não são computados 0 0 F m a T I Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Equações Dinâmicas do Movimento Plano x G x y G y G G F m a F m a M J Diagrama de Corpo Livre Diagrama Dinâmico P k P M M P G x G y G M y m a x m a J Momento dos esforços resultantes em relação ao ponto P As forças e momento resultantes em relação ao centro de massa para o diagrama dinâmico podem ser dadas por Em relação a um ponto P do plano 30092020 13 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Translação Retilínea Diagrama de Corpo Livre Diagrama Dinâmico 0 G G y y G x x M m a F m a F A G M m a d A k A M M As forças e momento resultantes em relação ao centro de massa para o diagrama dinâmico podem ser dadas por Em relação a um ponto A do plano Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Diagrama de Corpo Livre e Diagrama Dinâmico para Translação Retilínea Diagrama de Corpo Livre Diagrama Dinâmico As forças no diagrama de corpo livre causam o efeito mostrado no diagrama dinâmico Ao somar os momentos em relação ao centro de massa G temse MG0 Entretanto se os momentos forem somados em relação ao ponto B então MBmaGd 30092020 14 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo O carro mostrado na figura tem uma massa de 2000 kg e centro de massa em G Determine a aceleração sabendo que as rodas motrizes traseiras sempre estão sob a ação do atrito e as rodas dianteiras estão livres dele O coeficiente de atrito cinético da roda com a pista é de 025 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Solução Alternativa Equação do movimento A vantagem desta solução é obter de modo imediato o valor de aG combinando esta equação com a primeira equação da solução anterior A G M m a d 30092020 15 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Translação Curvilínea Quando um corpo rígido se move em translação curvilínea todos os seus pontos descrevem trajetórias curvilíneas paralelas Para a análise é conveniente usar um sistema inercial com origem coincidente com o centro de massa e eixos orientados nas direções tangencial e normal à trajetória naquele ponto As três equações do movimento são 0 G G t t G n n M m a F m a F Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA MB MkB Se a equação do momento MG0 for substituída pela soma dos momentos em relação a um ponto arbitrário B por exemplo será necessário levar em consideração os momentos das componentes maGt e maGn em relação a este ponto Momento das componentes da força resultante em relação ao ponto B G n G t B h m a e m a M 30092020 16 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo A viga BD de 100 kg mostrada na figura é suportada por duas barras AB e CD com massas desprezíveis Determine a força desenvolvida em cada barra no instante em que θ 30o e ω 6 rads 30º Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Rotação em Torno de um Eixo Fixo Como o centro de massa G se move numa trajetória circular a aceleração deste ponto é expressa pelos seus componentes normal e tangencial As equações do movimento são G G G G t t G G n n J M m r m a F r m m a F 2 30092020 17 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Em muitos problemas é conveniente somar os momentos em relação ao ponto O eliminandose convenientemente a força desconhecida Fo reação de apoio Do diagrama dinâmico isto implica O k O M M O G G t G M r m a J 2 O G G G G G M r m r J J mr O O M J Teorema dos eixos paralelos Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Exemplo O pêndulo mostrado na figura consiste em uma barra articulada pesando 10 kg e uma esfera de 30 kg Calcule a aceleração angular α após a corda AB ser cortada Momentos de Inércia de Massa O G G t G M I m a r 2m 1m 2m 1m 3m 1200 Kgm2 333 Kgm2 1200 333 ms as rs 1200 333 Resultante Resultante 30092020 18 Prof Marco Aurélio Brazão Costa Badan IFG FUNDAMENTOS DE DINÂMICA Movimento Plano Geral G G G y y G x x J M m a F m a F M P MkP y G y x G x m a F m a F Quando se deseja eliminar do somatório de momentos as forças desconhecidas