Avaliação de Cálculo - Derivadas e Aplicações

Avaliação 3 Derivadas e aplicações Questão 1 Calcule a derivada das seguintes funções a fx cotg ex2 senx3 b ft 2t1t2 sqrt2t1 Questão 2 A equação 2x2 2y2 2xy 6x y 3 representa uma elipse como mostra a figura ao lado a Encontre y diferenciando implicitamente b Utilizando o item anterior encontre a equação da reta tangente à elipse no ponto situado no 2 quadrante em que sua abscissa é x 3 Faça um esboço dessa reta no gráfico ao lado Questão 3 Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares O carro A se desloca para o norte à razão de 48 Kmh e o carro B para o leste à razão de 60 Kmh O carro B passou pelo cruzamento das estradas 2 horas depois do carro A Determine a taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o carro B passar pelo cruzamento Questão 4 Se hx sqrt32fx onde f2 3 e f2 6 determine h2 Justifique sua resposta Questão 5 Calcule o comprimento dos lados do triângulo retângulo cuja área é 32cm2 e a soma das medidas dos catetos é a menor possível Justifique sua resposta Questão 6 Para a função fx x4 4x3 16x usando o estudo de aplicações de derivadas a Encontre os pontos críticos da função Justifique sua resposta b Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função Justifique sua resposta c Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função Justifique sua resposta d Determine os pontos de inflexão e os intervalos nos quais o gráfico da função tem concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo Justifique sua resposta e Esboce no verso da prova o gráfico da função usando os dados dos itens anteriores No text to extract image is a graph of a function Questão 1 Calcule a derivada das seguintes funções a fx cotg ex2 senx3 b ft 2t1t2 sqrt2t1 a fx cotgex2 senx3 W ex2 W ex2 2x u cotgex2 u cosec2ex2 W u cosec2ex2 ex2 2x Z x3 Z 3x2 v senx3 v cosx3 Z v cosx3 3x2 fx uv fx uv uv fx cosec²ex² ex² 2x senx³ cotgex² cosx³ 3x² Questão 1 Calcule a derivada das seguintes funções a fx cotgex² senx³ b ft 2t1t² 2t1 ft 2t 1t² 2t1 Fazer a transformação u 2t1t² et² ln2t1 u et² ln2t1 2t ln2t1 t² 22t1 u 2t1t² 2t ln2t1 2t²2t1 ft 2t 1t² 2t1 ft u ddt 2t 112 ft 2t 1t² 2t ln2t 1 2t²2t 1 12 2t 112 2 ft 2t 1t² 2t ln2t 1 2t²2t 1 12t1 Questão 2 A equação 2x2 2y2 2xy 6x y 3 representa uma elipse como mostra a figura ao lado a Encontre y diferenciando implicitamente b Utilizando o item anterior encontre a equação da reta tangente à elipse no ponto situado no 2 quadrante em que sua abscissa é x 3 Faça um esboço dessa reta no gráfico ao lado a ddx 2x2 2y2 2xy 6x y ddx 3 4x 2yy yy 2y 2xy 6 y 0 4x 4yy 2y 2xy 6 y 0 4x 2y 6 y4y 2x 1 0 y 4x 2y 6 4y 2x 1 b y 4x 2y 6 4y 2x 1 y 0 e x 3 0 12 2y 6 4y 6 1 2y 6 y 3 Reta tangente Questão 3 Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares O carro A se desloca para o norte à razão de 48 Kmh e o carro B para o leste à razão de 60 Kmh O carro B passou pelo cruzamento das estradas 2 horas depois do carro A Determine a taxa de variação da distância entre os carros 3 horas após o carro B passar pelo cruzamento Dx 60 x 2 Dy 48 x d Dx2 Dy2 d 3600 x 22 2304 x2 d 3600 x2 14400 x 14400 2304 x2 d 5904 x2 14400 x 14400 d 5904x² 14400x 14400 d 5904x² 14400x 1440012 d 12 5904x² 14400x 1440012 11808x 14400 d3 12 59049 144003 1440012 118083 14400 d3 12 2433612 21024 d3 21024 224336 10512 156 876 13 Questão 4 Se hx 3 2fx onde f2 3 e f2 6 determine h2 Justifique sua resposta h 3 2fx12 h 1 23 2fx 2fx h2 1 23 23 26 h2 1 29 12 h2 1 6 12 h2 2 Questão 5 Calcule o comprimento dos lados do triângulo retângulo cuja área é 32 cm² e a soma das medidas dos catetos é a menor possível Justifique sua resposta ab 2 32 cm² ab 64 cm² a 64b f a b f 64b b f 64 b² b u 64 b² u 2b v b v 1 f uv uv v² f 2b² 64 b² b² f b² 64 b² f 0 0 b² 64 b 64 b 8 Comotratase de medida podemos ignorar a solução negativa Como ab64 a864 a8 Deste modo a medida que torna a soma dos catetos a menor possível e satisfaz área igual 32 cm² é os dois catetos de medida 8 cm Questão 6 Para a função fx x⁴ 4x³ 16x usando o estudo de aplicações de derivadas a Encontre os pontos críticos da função Justifique sua resposta b Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função Justifique sua resposta c Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função Justifique sua resposta d Determine os pontos de inflexão e os intervalos nos quais o gráfico da função tem concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo Justifique sua resposta e Esboce no verso da prova o gráfico da função usando os dados dos itens anteriores a fx x⁴ 4x³ 16x fx 4x³ 12x² 16 fx 0 4x³ 12x² 16 0 x³ 3x² 4 0 x 1 é raiz pois 1 3 4 0 x³ 3x² 4 x 1x 2² x 2 é raiz Os pontos críticos são x 1 e x 2 b Temos que fx 0 se x 1 fx 0 se x 1 então fx é decrescente em 1 e crescente em 1 c fx 12x² 24x f1 12 24 36 portanto em x 1 ocorre ponto de máximo f2 48 48 0 portanto não é máximo nem mínimo d Temos que fx 0 em 0 x 2 então neste intervalo a concavidade é para baixo fx 0 se x 0 ou x 2 portanto nestes intervalos a concavidade é voltada para cima E x 2 ocorre ponto de inflexão e arquivo anexo separado