Apostila de Eletricidade III: Eletromagnetismo

INSTITUTO FEDERAL SULRIOGRANDENSE CAMPUS PELOTAS CURSO TÉCNICO DE ELETROTÉCNICA APOSTILA DE ELETRICIDADE III ELETROMAGNETISMO Volume Único 4ª Edição PROFESSORES WAGNER I PENNY ADILSON M TAVARES SÉRGIO H BRAUSTEIN 2014 2 PREFACIO O curso técnico em eletrotécnica é um dos cursos mais antigos do atual Instituto Federal Sulriograndense e que mais emprega seus alunos A formacgao do técnico em eletrotécnica deve ser a mais ampla possivel a fim de melhor preparalo para o mercado de trabalho As disciplinas de Eletricidade II Integrado e a de Eletromagnetismo Modular sao o alicerce do conhecimento do aluno na drea do magnetismo e eletromagnetismo principios basicos para 0 entendimento de conhecimentos posteriores contidos nas disciplinas de Maquinas Elétricas Medidas Elétricas Projetos e Instalagdes Elétricas Até entao a apostila utilizada nessas disciplinas mostravase um tanto quanto desatualizada em relagéo aos contetidos surgiu entao a necessidade da criagao de um novo material baseado na apostila anteriormente utilizada no curso complementando seus conteudos Um agradecimento especial fica aos professores Adilson Tavares Luciano Barboza e Sérgio Braustein autores da edigao anterior da apostila de eletromagnetismo aos professores Flavio Franco e Francisco Brongar autores da apostila de medidas elétricas e também ao professor Alvacir Tavares autor da apostila de eletromagnetismo do curso de Eletromecanica a qual também serviu de base para a confeccao deste material Esta apostila contém oito unidades as quais contemplam os contetidos programaticos tanto da disciplina de Eletricidade III quanto da disciplina de Eletromagnetismo Na primeira unidade sao abordados contetidos e conceitos bdsicos relacionados ao magnetismo Na segunda unidade sao abordados os primeiros conceitos do eletromagnetismo com a definigéo de campo indutor e o calculo do mesmo para as mais variadas formas geométricas A terceira unidade aborda forcas e torques eletromagnéticos A quarta unidade aborda o calculo de circuitos magnéticos A quinta unidade aborda a inducao eletromagnética relacionando lei de Faraday e Lenz A sexta unidade aborda as perdas nos circuitos magnéticos A sétima unidade aborda o estudo de capacitores e por fim a oitava e Ultima unidade aborda itens relacionado a eletricidade experimental sendo estudada somente pela disciplina de Eletricidade III contempla uma introduao do aluno as atividades mais praticas com a utilizagao de instrumentos de medicao e praticas em circuitos R e C Cabe pois ao professor determinar quais contetdos deverao ser abordados em sua disciplina conforme seus planos de ensino Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 3 SUMARIO 1 MagmetismoceecceesseceessecesseceesseceeaeeceeaeeceeaeecseneeceeaeecseeeecseeecseeecsaeeesseeessneeeesA 2 EletromagnetisMm0occeecccceesecescecesececeeeeecseececeseeecsueeecsueeeceeeeeseeeeneeeesaeeesnee 2 3 Forga e Torque Eletromagneéticoscceesccessseceesececeececeeseeceeneecseaeecseneeesteeeesseee 7 A Circuitos MagnticOSeecceeseccesssecesssecesseceeaecseaaeceeaaeceeaeeceeaeecseaeecsteeeetteeeesteee LO 5 Inducgdo Eletromagnetica eee eesccecesceesseceesneceesaeceeaeceeeeceeaeecseaeeceeeeeeneeeeeeeeeeOO 6 Perdas nos Circuitos MagnéticoSceeeccesseecseeeceesseeeestecesseceeseessteeseteeseneeee LLY 7 CapacitOrescceecccecesccesesteceessecessaeceeaaecseaeeceeaeecesaeecseaeeceeaeecseaeecseeeecsteeecsteeeestee LD 8 Eletricidade Experimental ceeceescceesseceesneceesneceesaeceesaeesetecssntecesteeseeeeee LAL APENICE se eeeeeeceescecesceecseceecsceecsceecseeecseceesaeeeeseeesseeeesaeeessaeeessaeeessaeeettasesstaeees LOF Referéncias BibliOgraficaseeceesceessecesseceeneceeaeceeaeeceeaeeceeaeeceeeeectteeecsteeeesteee LOS Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 4 1 MAGNETISMO 11 Introducao As primeiras manifestagdes do magnetismo foram observadas na Grécia Antiga na regiao chamada Magnésia antes do nascimento de Cristo Foram encontradas pedras especiais que atraiam pedacos de ferro e se atraiam e repeliam mutuamente Tal pedra foi chamada de magnetita e hoje se sabe que é uma espécie de 6xido de ferro Fe203 Este é o ima natural que deu origem a este importante ramo da Fisica o Magnetismo Figura 11 ma atraindo pedacos de ferro pregos O Unico ima natural é a magnetita Sua utilidade é no entanto apenas historica pois é rara fraca e de dificil industrializagaéo Os fmas usados para qualquer utilidade pratica sao artificiais Os imas permanentes também denominados magnetos retém sua magnetizacao por tempo praticamente ilimitado apds cessar 0 campo magnetizante que os imantou A tabela abaixo mostra os materiais usados para fabricagao de imas permanentes Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 5 Tabela 11 Tipos de fmas permanentes 1930 Imas de Cromo Tungsténio e na 1940 Imas de ALNICO msi 1947 Imas de ceramica ferrite nL erin Imas de Terras Raras 1974 SamarioCobalto SmCos NeodimioFerroBoro Ndj2Fe4B 12 Representacao do Campo Magnético O campo magnético é a regiao do espaco onde se observam os efeitos magnéticos isto é a atragao e repulsdo de imas e pedacos de ferro O campo magnético é invisivel assim como também sao 0 campo gravitacional e 0 campo elétrico Quando um ima é aproximado de pedacinhos de ferro notase que estes sao atraidos para determinadas regides do ima como se ali estivessem concentradas todas as propriedades dos mesmos Por estes motivos estas regides sao chamadas de polos do fma Um ima sempre possui dois polos um NORTE N e um SUL S Cada regiao destas possui propriedades diferentes inversas da outra Verifica se que ao serem aproximadas regides diferentes ha atragao entre as mesmas e se as regides forem de mesma natureza ha repulsao Dai surge uma das primeiras leis do magnetismo Para facilidade de estudo adotouse 0 conceito de linhas de indugao ou linhas de forga magnéticas Tais linhas sao coincidentes com as linhas formadas pela orientagao das limalhas de ferro quando espargidas sobre uma folha de papel dentro de um campo magnético Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 6 Conforme a distribuigéo do campo magnético no espaco obtémse um espectro magnético caracteristico De qualquer modo convencionouse que o sentido das linhas de inducAo é tal que elas saem do polo Norte e dirigemse para o polo Sul fora do ima eIit Figura 12 Distribuigao das linhas de forga de forga para mas em forma de barra e em forma de ferradura 13 Magnetismo Terrestre Na antiguidade os chineses observaram que quando pedacos de magnetita eram suspensas livremente ou flutuavam em substancia leve em um receptaculo com Agua elas tendiam a assumir a posiao aproximada nortesul Provavelmente os navegadores chineses usaram pedacinhos de magnetita presos em madeira e flutuando dentro de um vaso com liquido funcionando como bussolas rudimentares Naquela época nao era conhecido que a Terra age como um im e entao aquelas pedras eram encaradas com consideravel temor supersticioso e chamadas pedras guias Como ja foi dito a Terra um grande ima As polaridades magnéticas da Terra sao as indicadas na figura Os polos geograficos também sao mostrados em cada extremidade do eixo de rotagao da Terra O eixo magnético nao coincide com 0 eixo geografico e desta forma os polos magnéticos e geograficos nao estao no mesmo lugar sobre a superficie da Terra SM sg NM Figura 13 Polos magnéticos e geograficos da Terra Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 7 Os antigos usuarios da bussola encaravam a extremidade da agulha da bussola que aponta na diregao aproximadamente norte como sendo um polo norte A outra extremidade foi encarada como sendo um polo sul Em alguns mapas 0 polo magnético da Terra para o qual o polo norte da agulha apontava foi designado como polo magnético Esse polo magnético foi obviamente chamado de polo norte em virtude de sua proximidade com o polo norte geografico No entanto quando se soube que a Terra era um ima e que polos opostos se atraiam foi necessdério denominar 0 polo magnético localizado no hemisfério norte como POLO SUL MAGNETICO e 0 polo magnético localizado no hemisfério sul como POLO NORTE MAGNETICO A raziio das denominac6es foi arbitraria Obviamente a polaridade da agulha da bussola que aponta para o norte deve ser oposta a polaridade do polo magnético terrestre ali situado Em virtude de os polos magnéticos e geograficos nao coincidirem uma bussola exceto em algumas posic6es da Terra nao apontara para uma direcao geografica verdadeira Quer dizer ela nao se alinhara segundo uma linha de diregéo que passe pelos polos geograficos norte e sul mas sim segundo uma linha de diregao que faz um Angulo com aquela Este Angulo é chamado Angulo de VARIACAO ou DECLINACAO 14 Fluxo magnético 0 Fluxo magnético é a quantidade de linhas de indugao ou de forga que atravessa certa superficie O fluxo é portanto uma grandeza associada a uma certa area Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades SI ou MKS é 0 Weber Wb Um Weber é uma unidade bastante grande e representa uma quantidade de 10 linhas de forga por isto sao usadas geralmente os submultiplos mili m e micro A 1 mWb 10 Wb 1 upWb 10 Wb a S Figura 14 Fluxo magnético através da superficie S Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 8 Observacao No sistema CGS o fluxo tem como unidade uma linha ou um Maxwell Mx e as relagOes existentes entre elas sao 1 Weber 10 Maxwell 10 linhas 15 Inducéo Magnética ou Densidade de Fluxo Magnético B Indugéo magnética B é uma grandeza vetorial que caracteriza 0 campo magnético ponto a ponto em mddulo diregao e sentido Sua direcdo e seu sentido sao os mesmos das linhas de forga e o seu mddulo é a razao entre o fluxo que passa numa secao colocada perpendicularmente as linhas de forga e a area desta secao A indugao ou densidade magnética expressa entaéo 0 grau de concentraao das linhas de forga num dado ponto do campo magnético B sl po 2 a icm E SS B OO 1cm Figura 15 Definicao de indugao magnética Como se pode ver no desenho uma area unitaria exemplo lcm 1m colocada proxima ao polo sera atravessada por maior nimero de linhas que a area colocada mais afastada significando que no primeiro caso 0 campo é mais intenso u 1 Wb B wBy 2 aay P 1 Testa 1 Sn uSn lm Observacao No sistema CGS a unidade de indugao é um Maxwell por centimetro quadrado ou um Gauss G tendo a seguinte relaao 1 Tesla 10 Gauss Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 9 A indugao pode ser medida diretamente por teslimetro ou gaussimetro enquanto que o fluxo quando a seccao for perpendicular a inducgado pode ser calculado pelo produto da indugao pela area da secao Quando a indugao nao é perpendicular a secao podese decomp6la em duas componentes ortogonais A componente B é normal perpendicular ao plano da superficie enquanto que B é tangencial a este plano Evidentemente é a componente normal que determina o fluxo que atravessa a superficie Portanto da observacao da figura 16 obtémse BSBcosy S BScosy 11 onde y 0 Angulo entre a normal a superficie e a induao n Kah Figura 16 Componentes do vetor induao magnética 16 Eletricidade e Magnetismo Até 1820 a eletricidade e 0 magnetismo eram considerados e estudados como se fossem fendmenos completamente independentes Neste ano Hanz Christian Oersted dinamarqués notou que uma btssola deflexionava quando havia corrente em condutores proximos Havia descoberto entao a primeira relagdo entre a eletricidade e O magnetismo ou seja que a corrente elétrica é capaz de criar campo magnético A partir daquele momento 0 magnetismo passou a ser considerado como um dos efeitos da corrente elétrica Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 10 N ae A ao i 4 ia veo RE a wee et S Ce S CS N B B a 4 iS g 1 PS Figura 17 Campo magnético produzido por corrente elétrica 17 Inseparabilidade dos polos de um ima Se um ma em forma de barra como o da figura 18 for quebrado em dois jamais se conseguira separar um ima com um polo sul e o outro com o polo norte sempre se formarao dois polos nos novos imas Figura 18 Inseparabilidade dos polos de um ma Os polos de um ma sao inseparaveis porque as linhas de indugao sao fechadas portanto para cada pedaco o ponto de safda das linhas de fora sera norte e 0 ponto de entrada sera sul Nao existe portanto monopolo magnético Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 11 18 Teoria de WeberEwing A constatacao da inseparabilidade dos polos de um ima levou estes cientistas a concluirem que um material magnetizavel composto por mas elementares ou mas moleculares Cada atomo contém elétrons circulando em 6rbitas elfpticas em torno do nucleo A circulacio dos elétrons nada mais é do que micro correntes elétricas E sabido que os fendmenos magnéticos sao originados das correntes elétricas O fato de que este movimento de elétrons produz efeitos magnéticos nao implica que todos os materiais tenham propriedades magnéticas pois 0 efeito causado por um elétron girando na sua Orbita é totalmente cancelado pelos outros elétrons devido as suas 6rbitas serem mais ou menos aleatorias Os materiais magnéticos tém atomos cujas G6rbitas dos elétrons sao mais ou menos coincidentes e produzem efeitos magnéticos naonulos O ferro niquel e cobalto e suas ligas apresentam estas caracteristicas Grupos destes dtomos formam pequenos dominios regides que sao os chamados imas elementares Enunciado da teoria de WeberEwing Os materiais magnéticos sao compostos por imas ou dominios elementares Quando o material esta desmagnetizado estes imas estéo orientados ao acaso e 0 seu efeito magnético externo é nulo Submetendose este material a um campo magnético indutor externo ha um processo de orientacao dos imas elementares Desta forma o material passa a apresentar seu prdprio campo magnético campo induzido e reforga 0 campo naquela regiao N s N s r s ln a b Figura 19 Material magnético a desmagnetizado b magnetizado Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 12 Quando se aproxima um pedaco de ferro de um ima seus imas elementares se orientam e este pedaco de ferro se transforma num ima temporario com polaridades tais que sempre ha atracao Se for aproximado outro pedago de ferro deste primeiro este ultimo também sera imantado de forma a haver atragao N S es fees Loy S Figura 110 mi atraindo pregos F F FOF XTs ee a F F ie I Ge FOF a F F F F FOF F F 3S FF F F Figura 111 a ma atraindo uma barra de ferro b Atracio e repulsdo entre imas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 13 19 Experimentos Experimento 11 Titulo Polos de um ima Forcas de atracao e repulsao Material necessario 01 prego pequeno 01 pequeno pedaco de fio de cobre 01 parafuso 01 pequeno pedago de fio de niquel cromo 02 imas permanente 01 lata de aluminio Roteiro 1 De acordo com seus estudos defina polo magnético 2 Cite entre os materiais listados os que vocé imagina que serao atraidos pelo ima 3 Aproxime o ma de cada material e verifique se existe atragao ou nao Complete a tabela abaixo Materiais Magnéticos Materiais nadomagnéticos Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 14 4 Descreva onde estao localizados os polos de cada um dos mas utilizados no experimento 5 Aproxime dois polos de mesmo nome mesma marcagao e verifique se existe atraao entre eles 6 Aproxime dois polos de nomes contrarios marcagoes diferentes e verifique se existe atraao entre eles 7 Anote conclus6es a respeito da interaga4o entre mas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 15 Experimento 12 Titulo Uma Bussola Rudimentar Material necessario 01 alfinete 01 pequeno pedaco filme de poliéster 01 ima permanente 01 bissola 01 prato fundo Roteiro 1 Magnetize o alfinete atritando sua ponta com um dos polos do ima 2 Coloque Agua no prato e a seguir coloque o alfinete sobre o pedaco de filme de poliéster a boiar no prato 3 Gire a agulha e verifique se ela retorna para a posiAo inicial Anote conclus6es 4 Aproxime o ima lentamente de uma das extremidades do alfinete Relate o que observou 5 Aproxime 0 outro polo do ima da mesma extremidade do alfinete Relate o que observou Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 16 6 Anote conclus6es 7 Com base nos resultados do experimento complete o desenho abaixo com a posicao do alfinete e indique no mesmo os pontos cardeais Norte Sul Leste e Oeste Parede Bancada numero Prato 8 Tome uma btssola industrializada e compare com a bussola rudimentar Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 17 110 Exercicios 1 Sabendose que o sol mostrado na figura deste exercicio esta nascendo responda a Dos pontos M P Qe R qual deles indica 0 sentido do norte geografico b Observe os pontos A e B indicados na bussola e diga qual deles é 0 polo norte e qual é 0 polo sul da agulha magnética SZ Jo Exercicio 1 2 Um ima AB é partido em trés pedacos originando os novos imas AC DE e FB Indique na figura abaixo 0 nome norte ou sul de cada um dos polos A C D Ee B assim obtidos A B A C OD E F B 3 Quando uma bitssola esta afastada de outros mas ou de pedacgos de ferro sua agulha magnética toma a orientacao indicada em linha pontilhada na figura abaixo com a seta apontando para o norte Aproximase desta bissola um ima bem forte nas posigdes indicadas em cada caso mostrado na figura Represente na mesma figura a direco e o sentido que a agulha tomara em cada situagao Obs A faixa preta indica o polo norte do ima Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 18 4 Para a situagao abaixo explique 0 motivo da atragao dos parafusos de ago pelo ima permanente e indique nestes as polaridades magnéticas induzidas eet 5 5 Faga um desenho representando as linhas de forga magnéticas e seu sentido para cada um dos casos abaixo 6 As figuras abaixo mostram varias espiras circulares microscopicas colocadas sob a acao de varios fmas diferentes Responda as questdes abaixo e justifique a Observando as figuras A e B onde o fluxo é maior b Observando as figuras A e B onde a inducao é maior c Observando as figuras C e D onde o fluxo é maior d Observando as figuras C e D onde a inducao é maior Se a Sr Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 19 7 Uma espira circular com diametro D 50 mm esta colocada em um plano horizontal e imersa em um campo magnético Considerando que o vetor inducdo magnética possui um méddulo de 10 T e forma um Angulo de 60 com o plano horizontal pedese a calcular as componentes horizontal e vertical do vetor indugao magnética Respostas componente horizontal 050 T e componente vertical 087T b explicar qual das duas componentes calculadas acima determina o fluxo magnético na espira c calcular o fluxo magnético através da espira apresentando a resposta com os prefixos mili e micro Respostas 171 mWb e 17073 bWb 8 Calcule o fluxo magnético que atravessa a espira quadrada 10cm x 10cm em cada posiao considerando que ha um deslocamento de 30 entre uma posicao e outra Dado B05 T S LL Sou S S JAA N N N N Respostas od 5mWb o 433mWb o 250mWb o0 9 Execute as convers6es a 7500 Gauss para Tesla Resposta 075T b 100 mWb para Wb e para Maxwell Respostas 01Wb e 10x10 Mx c 85 uWb paramWb Respostas 0085 mWb Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 20 10 Uma espira retangular com 15cm de largura por 20cm de comprimento encontrase imersa em um campo de inducao magnética uniforme e constante de mddulo 1OT As linhas de indugao formam um angulo de 60 com o plano da espira conforme mostra a figura B nf ao i 5 Lf Qual o valor do fluxo de inducgao magnética que passa pela espira Resp 259 mWb 11 Um campo magnético atua perpendicularmente sobre uma espira circular de raio 10cm gerando um fluxo de indugao magnética de 1Wb Qual a intensidade do campo magnético Resp B3184 T 12 Uma espira quadrada de lado L 2cm imersa em um campo magnético uniforme de intensidade 2T Qual é o fluxo de inducao nessa espira em cada um dos seguintes casos a o plano da espira é paralelo as linhas de inducgao Resp g0 b o plano da espira é perpendicular as linhas de indugao Resp 9 800 Wb c areta normal ao plano forma um angulo de 60 com as linhas de indugao Resp 400 Wb 13 Um campo magnético com inducgao constante B 5 T atravessa uma superficie plana e retangular de 10 cm X 5 cm formando um angulo de 600 com o plano horizontal conforme mostra a Figura Determinar o fluxo magnético através desta superficie Resp g 21mWb Fa af ae va if Apostila Eletricidade Ill Eletromagnetismo 21 14 Caracterize o ima natural e os ims artificiais 15 O que é polo de um ima Como se da a interagao magnética entre dois imas 16 Comente as denominag6es polos sul e norte magnético comparandoos com os polos geograficos 17 Indique a polaridade do ima abaixo em funao do sentido das linhas de forca magnéticas justificandoa Bo LINHA DE CAMPO 18 Explique a teoria de WeberEwing inclusive usando desenhos adequados para tal 19 Compare as caracteristicas dos mas permanentes e dos eletroimas 20 Defina fluxo magnético e indugaéo magnética e cite suas unidades no sistema MKS SD 21 Um reator de uma lampada fluorescente possui um fluxo de 036mWb e este passa por uma secao transversal retangular de ferro de 16cm x 15cm Calcular a inducao neste ponto do nucleo R 15T 22 Calcular o fluxo que atravessa as espiras a seguir a Espira retangular 10cm x 5cm com indugao perpendicular de 12T b Espira retangular 10cm x 5cm com indugao de 12 T a 60 do plano da espira c Espira retangular 10cm x 5cm com indugao de 12 T a 60 da normal da espira Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 22 2 ELETROMAGNETISMO 21 Introducao No Capitulo 1 mostrouse a relagaéo que existe entre a eletricidade e o magnetismo e também a Teoria de WeberEwing E importante relembrar alguns conceitos e também a relacao entre eletricidade e magnetismo descoberta por Oersted Todo condutor percorrido por corrente elétrica produz um campo magneético e Corrente Elétrica Movimento ordenado de cargas elétricas e Representacao de vetores Representagao Representagao Q CG 7 a b Figura 21 Representacao de vetores a vetor entrando no plano b vetor saindo do plano Serao vistas a seguir as diversas relagdes qualitativas e quantitativas entre a corrente elétrica e 0 campo magnético que ela produz nas suas proximidades Para as diversas configuragdes do fio que conduz a corrente ha uma analise particular Também serao apresentadas as formas de magnetizaao e desmagnetizaao de materiais 22 Campo magnético criado por corrente elétrica 221 Campo magnético de um fio retilineo Um fio retilineo que é atravessado por corrente elétrica produz ao seu redor um campo magnético com linhas de forga circulares e concéntricas com o condutor Isto pode ser observado com uma bissola ou com a experiéncia das limalhas de ferro O sentido das linhas de forga depende do sentido da corrente no condutor Estabeleceuse uma regra para descobrir o sentido das mesmas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 23 Regra da m4o direita para condutores Agatrase 0 condutor com a mao direita de forma que o polegar fique apontando no sentido da corrente Assim os outros quatro dedos indicarao o sentido das linhas de forga ao redor do condutor Esta regra também é aplicada a pequenos trechos de um condutor curvo Electric current I 4 I I I B Magnetic field Dp Figura 22 Campo criado por fio retilineo com corrente elétrica Observacao Em todas as andlises desta disciplina e do prdéprio curso s6 sera usado o sentido convencional da corrente O aluno deve estar atento porque parte da bibliografia indicada usa o sentido eletr6nico 222 Campo magnético de uma espira Notase que um fio retilineo produz um campo magnético muito fraco em comparagao com a quantidade de corrente circulante Para aumentar o efeito magnético é necessario concentralo em pequena regiao do espaco A primeira providéncia é formar uma volta com o condutor formando a chamada espira Aplicandose a regra da mao direita a cada pequeno pedaco da mesma verificase que os sentidos das linhas de forga de cada trecho sao coincidentes no interior da espira tornando 0 campo mais intenso nesta regiao Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 24 an Figura 23 Campo produzido por espira com corrente 223 Campo magnético de uma bobina Esta forma de acomodagao das espiras é muito comum e é capaz de produzir fortes campos magnéticos dependendo do numero de espiras enroladas Aplicandose a regra da mao direita a cada trecho de condutor percebese que entre as espiras vizinhas ha anulagéo do campo porém no interior da bobina ha concordancia dos campos magnéticos de todos os trechos de condutor Campo OMOMOROMOMOMOMOMG Wu Pye Ta A al LJ NPS pee Corrente I I Figura 24 Campo magnético criado por bobina percorrida por corrente Observandose o sentido do campo resultante podese estabelecer outra regra da mao direita aplicavel a bobinas de um modo geral Regra da mao direita para bobinas Agarrase a bobina com a mao direita com os quatro dedos indicando o sentido da corrente na mesma com isto o polegar estara indicando o sentido das linhas de forga no interior da bobina Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 25 23 Intensidade de Campo Magnético e Permeabilidade Magnética Os fendmenos magnéticos sao de modo geral proporcionais a uma grandeza muito importante a induao magnética B O conhecimento do valor da inducao é portanto indispensavel na maioria dos problemas As formas de obtencaéo de uma indugéo magnética B sao as seguintes através de fimas permanentes e através de corrente elétrica Por questées didaticas 0 estudo quantitativo sera restringido apenas ao caso de producao de campo magnético por corrente elétrica A inducao magnética depende basicamente de duas grandezas a serem definidas Intensidade de Campo Magnético ou Campo Indutor H e Permeabilidade Magnética u 231 Intensidade de Campo Magnético H Considerese que no circuito magnético da figura 25 seja possivel inserir um gaussimetro para medir a inducao no nucleo Aumentandose a tensdo aplicada na bobina que produz um aumento de corrente o gaussimetro mostra um crescimento na indugao magnética Portanto a indugao depende da corrente que circula pela bobina u 1 Pea 3 4 dvi P y qciP V 1 digi P Y 4 grip ae y I qernn nena nnn nest Figura 25 Circuito magnético simples Considerese agora que a bobina utilizada é substitufda por outra bobina com maior numero de espiras Ajustandose a tensao da fonte para que a corrente permaneca com a mesma intensidade do experimento anterior observase que 0 gaussimetro acusa maior indugao Portanto a indugao também depende do ntmero de espiras Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 26 Um terceiro experimento pode ser feito comparando dois circuitos com as seguintes caracteristicas e ambos nticleos de mesmo material mesmo tipo de ferro e ambos nticleos com mesma secao transversal e ambas bobinas idénticas e ambas bobinas percorridas pela mesma corrente e ambos nutcleos tém mesmo formato porém com comprimentos diferentes l j 1 I I 1 3 bocce ce cece ee cee eeeeeeed cas D a circuito 1 b circuito 2 Figura 26 Circuitos magnéticos com diferentes comprimentos médios Usandose um gaussimetro em cada circuito magnético observase que no nucleo de menor comprimento circuito 2 a inducgaéo magnética é maior Isto acontece porque existe um menor trecho de ferro para ser magnetizado 0 que da a bobina um maior poder magnetizante Para quantificar o poder magnetizante de uma bobina criou se a grandeza denominada intensidade de campo indutor H que é dada por NI 21 H L Nesta equacgao temse que N numero de espiras da bobina I corrente que percorre a bobina Ampeére A 1 comprimento médio do circuito magnético metro m H intensidade de campo indutor Ampéreespirametro Aem Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 27 Desta forma podemos definir a intensidade de campo magnético Definicao A intensidade de campo indutor ou campo magnético H é um vetor cujo mddulo é a razdo entre as ampéreespiras magnetizantes e o comprimento do caminho a ser magnetizado e cujo sentido é o mesmo das linhas de forga Observacgées e Osentido de H é dado pelas regras da mAo direita ja vistas Ocomprimento do circuito magnético depende da geometria do mesmo Exemplo 21 Calcular a intensidade de campo indutor para o circuito e para o circuito 2 da fig26 que tém comprimentos médios de respectivamente 20 cm e 10 cm Considere que ambas bobinas possuem 200 espiras e sao percorridas por A Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 28 232 Permeabilidade Magnética u Nas andlises anteriores nao se levou em consideracgao a influéncia do tipo de material usado para o nucleo A partir de agora esta situagao sera estudada tomandose como referéncia 0 circuito magnético da Figura 25 Alimentandose a bobina com uma fonte CC ajustavel e aumentandose gradativamente a tensdo aplicada ocorre um aumento da corrente que circula pela bobina IVR Este aumento da corrente produz um aumento na intensidade do campo indutor H NIl que por sua vez provoca um aumento da indugao no ntcleo A forma como o nticleo magnético responde a variagao do campo indutor depende do tipo de material utilizado e é representada graficamente através da Curva de Magnetizacao As figuras 27a e 27b mostram as curvas de magnetizacgao do ferro fundido doce e do ago fundido LL 14 ee ee ee pt 7 curva te mia 08 osy ot st 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 H Aem 1 po 07 a ee ee 0 b curva de magnetizacao a ye a a es 0 S mogy f pf do ago fundido 93 47 g2 4 01 Z 9 BT 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 H Aem Figura 27 Curvas de Magnetizacao Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 29 Nos pontos iniciais da curva 0 crescimento do campo indutor é acompanhado de um crescimento praticamente proporcional da inducgdo Por outro lado nos pontos finais o crescimento do campo indutor praticamente nao produz crescimento na indugao devido a saturagao magnética ordenacao de praticamente todos os imas elementares Analisando as curvas de magnetizacao do ferro fundido doce e do ago fundido observase que para um mesmo campo indutor obtémse maior indugao no ferro doce do que no aco ou seja 0 ferro doce se magnetiza mais facilmente do que o aco A grandeza que leva em consideragdao este fendmeno é denominada permeabilidade magnética Assim podese definir permeabilidade magnética como a facilidade que o material possui de se magnetizar e expressdla matematicamente como u B 22 H No Sistema Internacional de Unidades temse B inducao magnética Tesla T H campo indutor Ampéreespirametro Aem lt permeabilidade magnética TeslametroAmpére TmA ou Henrymetro Hm Exemplo 22 Calcule a inducéo magnética e a permeabilidade do aco fundido para os seguintes campos indutores a H 2000 Aem b H 4000 Aem c H 10000 Aem Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 30 Os resultados deste exemplo mostram que a permeabilidade magnética do aco fundido depende da intensidade de campo indutor Quanto maior 0 campo indutor menor é a permeabilidade ou seja mais dificil magnetizar o material Este comportamento é apresentado por todos os materiais magnéticos Os materiais nao magnéticos possuem permeabilidade aproximadamente constante e bem menor do que a permeabilidade dos materiais magnéticos Para efeito de calculos a permeabilidade dos materiais nao magnéticos é considerada a seguinte constante magnética ly 42x10 Hm Portanto os meios néo magnéticos como o ar 0 aluminio e a madeira entre 7 4 41x outros possui permeabilidade Mo 40x10 Hm Em muitos casos a permeabilidade é expressa em relagaéo a constante Ho Assim definese como permeabilidade relativa 4 relagao entre a permeabilidade do material e a constante magnética ou seja wu 23 L Lo Esta equacdo mostra que a permeabilidade relativa 4 é um nimero sem unidade que indica quantas vezes a permeabilidade do material 4 é maior do que a permeabilidade dos materiais nado magnéticos Ht 9 Para materiais nao magnéticos a permeabilidade relativa é aproximadamente igual a4 unidade ur 1 e para materiais magnéticos é bem maior do que a unidade Hrs1 Tabela 21 Permeabilidades Relativas de alguns materiais Ferro Fundido 30 a 800 Ligas Especiais 100000 a 800000 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 31 Assim se pode relacionar B u e H considere que os seguintes solenoides possuem o mesmo formato mesmo ntmero de espiras mesma corrente elétrica e mesmo comprimento many TT Tea TIIIIIIII IIIA H H H I I Nicleo de Ar Nucleo de Ferro Fundido Nucleo de Liga Especial a b c Figura 28 Comparagao entre solenoides com diferentes nuicleos Como NIN2N3 IlI2I13 e LIL2L3 H1H2H3 e como U1pH2H3B1B2B3 Exemplo 23 Uma fonte CC de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da fig44 que tem 1000 espiras e resisténcia de 100Q Calcule a Corrente na bobina b Campo indutor c Inducdo magnética d Permeabilidade absoluta e permeabilidade relativa e Fluxo magnético Dados l1mcomprimento médio do circuito magnético 100cm secao transversal do ntcleo Onitcleo é de ferro doce a EY mz 3 Figura 29 Circuito magnético para o Exemplo 23 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 32 24 Relacées entre corrente elétrica e intensidade de campo indutor As relagOes entre corrente elétrica e intensidade de campo magnético dependem da geometria do condutor e so expressas pela Lei de BiotSavart e pela Lei de Ampére Sera estudada apenas a Lei de Ampeére pois é mais facilmente aplicavel a problemas praticos Sua dedugao é muito dificil portanto sera apenas enunciada e aplicada a exemplos classicos LEL DE AMPERE SIMPLIFICADA Dividindose uma linha de forca magnética em trechos temse que 0 somatério dos produtos da intensidade do campo magnético H pelo comprimento de cada trecho Al é igual a corrente envolvida pela mesma din1 Hj Ali lenvowiaa H Al H2Alz AyAlm lenvowidaa 24 Exemplo 24 Neste exemplo a corrente I5 nao é envolvida pela linha de forcga caminho que esta sendo magnetizado Rp H1Al oP opine 1 SX 14 1s Figura 210 Exemplo relativo a aplicagao da Lei de Ampére Para a correta aplicacao da Lei de Ampere a trajetéria da linha de forga deve ser bem conhecida 0 valor da intensidade de campo magnético deve ser constante em toda a trajetoria e todas as unidades devem estar no SI 241 Intensidade de campo magnético de um fio retilineo infinito ou muito longo Nas figuras abaixo temse um fio retilfneo infinito ou muito longo percorrido por uma corrente elétrica Neste caso as linhas de forcga sao circulares e concéntricas com o condutor O sentido de H e B é tangente as linhas de forga de acordo com a regra da mao direita A intensidade de campo indutor é constante em mddulo em todos os pontos de uma dada trajetoria O valor da intensidade do campo indutor pode ser obtida pela Lei de BiotSavart ou pela Lei de Ampére Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 33 vista pelo B At observador observador Linha de indugao B lo O Ms L Bi Bz P fh i dr Be P B Bi Bz Figura 211 Intensidade de campo magnético e induao em um fio retilineo De acordo com a Lei de BiotSavart pode ser deduzida uma equacao que resulta em H 25 Qacr Onde TI é a corrente elétrica A e r é a distancia metro do condutor até o ponto em que se deseja determinar a intensidade de campo magnético HAem Aplicando a Lei de Ampére temse que j HAl lenvowiaa Mas O somatorio de todos os trechos do caminho a ser magnetizado resulta no perfmetro de uma circunferéncia e a corrente envolvida é a propria corrente do condutor assim H21r 1 0 que resulta da mesma forma na equacao 25 O valor de r 0 raio da circunferéncia ou distancia do condutor até 0 ponto em analise na figura 211 0 campo no ponto 1 a uma distancia rl possui determinado valor e no ponto 2 a uma distancia r2 possui outro valor A indugao magnética depende do meio em que 0 campo magnético se encontra como visto anteriormente B uH assim J B 26 2707 Quando o condutor estiver num meio que seja ar ou vacuo 01 27 2707 Onde u é a permeabilidade magnética do material e Uo é a permeabilidade magnética do vacuo Exemplo 25 Calcular a intensidade de campo magnético e a indugao no ar a uma distancia de 12 mm do centro de um fio retilfneo com uma corrente de 500 A Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 34 242 Intensidade de campo magnético em um solenoide Num solenoide de N espiras percorrido por corrente escolhendose uma linha de forga qualquer temse que a corrente total envolvida é N vezes a corrente da bobina Podese afirmar que as linhas de forga sao concentradas em todo o seu interior porém na parte externa como ha grande 4rea para o fluxo distribuirse temse pequena concentragao das linhas de forga Dessa forma a intensidade de campo magnético no interior do solenoide é considerada constante e infinitamente maior que no exterior do solenoide dessa forma a intensidade de campo magnético no exterior do solenoide é desprezada fond Fe it A eet oa R N 444 8 3 1f4 11 I R Ieee 4 Figura 212 Intensidade de campo magnético em um solenoide Equacionandose através da Lei de Ampére se obtém que 1 HAl lenvolvida MAS Ienvolvida NI e também que o somatério dos produtos de HjAl nada mais que 0 campo magnético do interior do solenoide multiplicado pelo comprimento do interior mais 0 campo magnético do exterior do solenoide multiplicado pelo comprimento do exterior Assim Hextlext Hint lint N1 Mas Hx 0 dessa forma H 28 L Onde H a intensidade de campo magnético Aem N é 0 nimero de espiras admensional I é a corrente elétrica A e L é comprimento do solenoide m Para se encontrar a inducao basta multiplicar a intensidade de campo magnético pela permeabilidade magnética do material que compoe 0 nticleo do solenoide p 29 L Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 35 Quando o solenoide possuir nucleo de ar ou vacuo 0NI B 210 L Onde u é a permeabilidade magnética do material e Uo é a permeabilidade magnética do vacuo Notase que os fatores que influenciam o valor da indugao magnética sao a corrente o numero de espiras 0 material do nticleo e 0 comprimento do solenoide Sendo a inducdo diretamente proporcional aos trés primeiros e inversamente proporcional ao comprimento Quanto maior a corrente maior sera o efeito magnético percebido e se forem colocadas mais espiras os efeitos magnéticos serao somados resultando em uma maior indugao Se as espiras forem colocadas mais juntas comprimento menor haveré menor dispersaéo das linhas de modo que a inducao também acaba sendo maior Exemplo 26 Calcular a indugao e o fluxo dentro de um solenoide de secao circular com nucleo de ar cujo comprimento é 10 cm o diametro interno é 2 cm o numero de espiras é 1000 e a corrente é 10 A 243 Intensidade de campo magnético em um toroide Uma bobina toroidal ou simplesmente um toroide é um solenoide em forma de anel como mostra a figura abaixo ine f est a rae j Figura 213 Toroide Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 36 Numa bobina de forma toroidal as linhas de forga sao circulares e encerradas dentro do nticleo O valor do campo é constante em toda a extensao das linhas de forga e é mais ou menos constante em toda a seao transversal Os toroides s4o0 capazes de proporcionar a maior concentragao das linhas de campo magnético no seu nucleo o qual é um caminho fechado para as linhas Este nucleo pode ser fabricado em qualquer material desde ar até materiais ferromagnéticos As secoes transversais de um toroide podem ser circulares retangulares ou quadradas Antes de se demonstrar matematicamente a equacao da intensidade de campo magnético de um toroide é pertinente estabelecer algumas definigdes relacionadas a esta nova geometria Raio interno Raio médio r Raio externa Nuicleo Toroidal Figura 214 Dimens6es em um toroide Os raios do toroide sao definidos como um raio interno r um raio externo re e um raio médio tm No equacionamento da intensidade de campo magnético é considerado o raio médio pois fornece 0 comprimento médio a ser magnetizado pela linha de forga neste caso 0 comprimento médio é o perimetro da circunferéncia com raiO Tm Observacao O raio médio do toroide nao deve ser confundido com o raio da secao transversal do nticleo com o raio interno com o raio externo ou com o raio das espiras TitTe 211 Matematicamente pode ser comprovado que a intensidade de campo magnético na regiao com raio menor que rj e raio maior que r NULA pois como o nucleo tem forma circular ele é capaz de produzir um caminho magnético enlagando todas as linhas de campo O sentido das linhas de forga pode ser determinado pela regra da mao direita para bobinas como pode ser observado na figura 213 A equacao da intensidade de campo magnético é dada por H 212 21m Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 37 Para se encontrar a inducao basta multiplicar a intensidade de campo magnético pela permeabilidade magnética do material que compée o ntcleo do toroide J B 213 270 Quando o nticleo for de um material que seja ar ou vacuo 01 B 214 270 Exemplo 27 Um toroide de secao transversal quadrada tem 2000 espiras e um nucleo de ferro com permeabilidade relativa u 1000 O raio interno vale 10 cm e o raio externo vale 15 cm Qual deve ser a corrente para produzir uma inducao de T no ponto médio do ntcleo 25 Curvas de Magnetizacao e Desmagnetizacao dos Materiais Ferromagnéticos Para cada tipo de material magnético existe uma curva que relaciona a densidade de fluxo induao com a intensidade de campo magnético curva BxH A curva é obtida a partir de incrementos da forga magnetizante intensidade de campo magnético e obtendose o resultado da inducao Existe um ponto no qual incrementos da intensidade de campo magnético em nada incrementam o valor da inducao neste ponto se diz que ocorreu a SATURACAO MAGNETICA do material A regiaio do joelho da curva é 0 limite aproximado entre a parte linear e o inicio da saturacao Existe uma variedade muito grande dessas curvas para um mesmo material em que o tipo de tratamento térmico modifica essa curva Na figura abaixo estaéo exemplificadas as curvas de magnetizaao de alguns materiais BT Saturago 14 Acosilicio o Joetho 12 10 Aco fundide 08 06 6a Ferro fundido 02 H Am 00 0 200 400 600 800 1000 Figura 215 Curvas de magnetizaao de alguns materiais magnéticos Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 38 26 Histerese Magnética Considerese uma bobina enrolada em um nucleo magnético A bobina é alimentada por uma fonte que permite variar o valor da corrente e inverter o seu sentido Neste ensaio supdese que 0 material é magneticamente virgem ou seja nunca tenha sido magnetizado antes Inicialmente aumentase a corrente nabobina aumentando o campo indutor H A inducao vai crescendo segundo a curva 0 até que seja atingida a saturagdéo magnética quando todos os dominios estao orientados Reduzse 0 campo indutor e a indugao decresce porém o retorno nao acontece sobre a linha original e sim segundo a linha 12 Quando 0 campo indutor se anula H 0 ainda resta certa indugdao ou seja mesmo sem campo indutor externo os imas elementares se mantém parcialmente orientados Definese como Inducao Residual ou Remanente como sendo a inducao que se mantém quando o campo indutor é anulado Para anular a inducao residual devese inverter a corrente aplicar um campo indutor ao contrario e ir aumentando gradativamente até que a inducgado anulese B 0 O campo indutor capaz de levar a inducao residual a zero é chamado de campo coercitivo ou forga coercitiva Hc Aumentandose 0 campo indutor H no sentido negativo chegase a saturacao do material em sentido contrario ponto 4 Reduzindose a excitagdo da bobina magnetizadora a densidade magnética B diminui até chegar ao ponto 5 H 0 sobrando uma indugado residual Br negativa Para anular esta inducdo residual devese inverter 0 campo indutor e aumentdlo até alcanar Hc Continuandose a aumentar o campo indutor chegase novamente a saturagao no sentido positivo Como se percebeu o valor da indugdo segue o valor do campo indutor H com certo atraso ou seja quando H chega a zero B ainda nao chegou H atinge valores negativos antes dos valores de B atingirem Histeresis em grego significa atraso por isto 0 lago de histerese magnética tem este nome sendo também chamado de ciclo de histerese Na figura 216 é apresentado um laco de histerese tipico De modo geral quando o material nao esta magnetizado seus dominios magnéticos estao dispostos de maneira aleatoria Porém ao aplicarse uma forca magnetizante os dominios se alinham com 0 campo aplicado Se invertermos o sentido do campo os dominios também inverterao sua orientacgao Ao inverter sua orientaao os Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 39 dominios precisam superar 0 atrito e a inércia Ao fazer isto dissipam certa quantidade de energia na forma de calor que é chamada de PERDA POR HISTERESE Quanto maior a forca coercitiva mais dificil se torna a desmagnetizacgao do material e portanto mais perdas ocorrem Podese provar matematicamente que a area dentro do lacgo de histerese representa as perdas histeréticas Assim para o trabalho com corrente varidvel ou alternada é necessario que o lacgo seja 0 mais estreito possivel para que as perdas sejam o menor possivel Na figura 217 é apresentado um grafico com a representacgao das perdas por histerese magnética BT Bur i 1 27 H 0 i 6 H Aem H AM 3 H c H M ib 4 Bar Figura 216 Laco de Histerese B s aa Figura 217 Perdas por histerese magnética Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 40 Para redugao dessas perdas devese usar material de baixa fora coercitiva inducgao magnética baixa material nao saturado e reduzir a frequéncia da variagao do fluxo quando for possivel A curva BH dos materiais é que diferenciam as suas propriedades para fabricacao de imas e de eletroimas Os imas permanentes ideais devem ter alta coercitividade para que sejam dificeis de serem desmagnetizados e alta remanéncia para que apresentem uma boa inducao de trabalho Os imas reais dificilmente apresentam as duas caracteristicas completas juntas Os materiais mais usados em mas permanentes sao Aco com alto teor de carbono Ferrite Alnico Samario Cobalto NeodimioFerroBoro Para fabricar eletroimas o importante é que a inducao seja alta para pequenos valores de H alta permeabilidade e que a coercitividade e remanéncia sejam pequenas para que quando a corrente seja extinta a inducao residual anulese facilmente O material ideal para eletroimas deve ter portanto o laco de histerese representando uma reta que passa pela origem e tenha grande inclinacao grande permeabilidade Para fabricagao de eletrofmas so usados normalmente aodoce e o agosilicio Estes materiais tém alta permeabilidade e pequena fora coercitiva porém possuem alta indugao residual 0 que nao chega a ser um problema pois é facilmente reduzida ja que a forca coercitiva é muito baixa B ELETROIM IMA 4 PERM H Figura 218 Caracteristica do lago de histerese de imas permanentes e eletroimas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 41 27 Fios Esmaltados Os fios usados para confecgao de bobinas de motores transformadores e outros equipamentos eletromagnéticos sao feitos de cobre ou aluminio e revestidos por esmalte isolante Alguns condutores podem possuir adicionalmente ao esmalte uma cobertura de papel Kraft algodao ou fibra de vidro impregnada com diferentes tipos de vernizes Os materiais isolantes usados em dispositivos eletromagnéticos devem ocupar pouco espaco e suportar temperaturas altas Dependendo da temperatura maxima suportada existe uma classificagao em classes de isolamento segundo o padrao IEC International Electrotechnical Commission Comissao Eletrotécnica Internacional que se apresenta na Tabela 22 Tabela 22 Classes de Isolamento PB BOM Os condutores podem ter secao transversal circular quadrada ou retangular Para pequenas se6es usamse geralmente fios circulares Os condutores esmaltados sao acondicionados em carretéis com pesos que vao desde fragdes de quilograma até mais de uma centena de quilogramas Ao contrario dos condutores para instalag6es elétricas que sdo vendidos por metro os fios esmaltados sao vendidos por quilograma No Brasil a secao dos fios é especificada de duas formas e Escala AWG ou Bs e Escala milimétrica Na escala milimétrica também utilizada na Europa os fios sao especificados segundo o diametro em milfmetros do condutor nu Tabela 23 A escala AWG American Wire Gauge ou BS Brown and Sharpe tem origem nos Estados Unidos e esta mostrada na Tabela 24 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 42 Exemplo 21 Com base nos valores da Tabela 24 calcule a drea da secao transversal dos fios listados abaixo a 20 AWG diametro nominal fio nu Area b 23 AWG diametro nominal fio nu Area c26 AWG diadmetro nominal fio nu Area d 30 AWG diametro nominal fio nu Area Conclus6es Somando 3 ao nimero de cada condutor a area cai aproximadamente a metade Somando 10 ao ntimero de cada condutor a area cai aproximadamente 4 décima parte Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 43 Tabela 23 Escala Milimétrica Diametro do fio nu Resisténcia Elétrica Acresc DiaémExtmax Acresc DiadmExtmax 1060 1049 1o7t Ts o9s37 00384 te T0067 20 too at Toso T0035 75 0070 1208 iso tos 92 ts766 0036 237 0072 1270 250 4237 263 st otgogn 0036 308 0073 1343 1320 1307 1333 Torso 0036 379 0074 S i400 1386 14a 001200 0037 459 0075 1496 500 148s sis 0009756 0039 60 0077i 1599 1600 1584 ee T0875 at 663 0080 1703 1700 1683 717 0007596 0039S 61 0076 1800 1800 1782 sis 0006775 0035 857 0070 895 1900 181 1919 0006081 0036 958 0072 1996 2000 1980 2020 ooosass 0037 2059 0073 2098 2120 2099 2141 oooassa 0037 80 0075 2220 2240 2218 2262 0004375 0037 2301 0075 2343 2360 2336 2384 0003041 0039 2422 0077sd 2465 2500 2475 2525 0003512 0039 2562 0078 2606 2650 2623 2677 0003126 0039 713 0079 2758 2800 2772 2828 0002800 0040 865 0080 2912 3000 2970 3030 0002439 dt 3067 0082 3S 3150 318 3182 T0002212 at8217 0083 3267 3350 3316 3384 Toone 0042 3418 0084 3470 3550 3514 3586 0oor7a2 004 619 0085 877 3750 3712 3788 Toots 0043 3820 0087 3873 4000 3960 4040 0001372 04a 071 0088 427 4250 4207 4293 Tots 4327 0090 438 4500 4455 4545 Toone 04s 74 0091 434 4750 4702 4798 0000973 04S 4825 0092 4886 5000 4950 5050 000878 5075 0093 5138 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 44 Tabela 24 Escala AWG Bitola Diametro do fio nu Resisténcia elétrica Qm a 20C Fio Tipo S grau 1 Tipo R grau 2 mm de cobre Min mm max mm Min mm max mm 18 1024 1014 1034 0020935 0033 077s 0066 0 17 ist 139 tos 0016570 0036 207 0071 1240 16 1290 1277 1303 0013192 0036349 00741384 15 1450 1435 1465 0o1oda1 0038 509 0076 1S47 14 1628 1612 1644 0008283 004192 0081 1732 13 1829 18 1847 0006562 0035 886 0071 1923 12 2052 2031 2073 0005213 0037 0074 2151 2304 2281 2327 0004135 0038 2366 0076 2408 10 2588 2562 2614 0003278 0039 2651 0079 2695 09 2906 2877 2935 0002599 0041 2972 0081 3020 08 3264 3231 3297 0002061 0042 3332 0084 3383 07 3665 3628 3702 0001634 0043 3734 0086 3787 06 411s 4074 4156 0001296 0045 4186 0089 4244 05 4620 4574 4666 0001028 0045 4695 0091 4755 04 5189 5137 5241 0000815 0047 5265 0094 5329 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 45 28 Formas de Magnetizacao De um modo geral para magnetizar uma peca devese submetéla a agao de um campo magnético externo denominado genericamente de campo indutor Porém antes de um estudo mais detalhado é conveniente fazer uma apresentacgao sucinta sobre os compostos de ferro O ferro puro tem um uso limitado devido ao alto custo assim sempre existe uma percentagem de Carbono junto com o ferro O ferro doce dtictil décil flexivel elastico aquele que tem até aproximadamente 036 de Carbono O aco duro tem de 036 a 15 de Carbono O gusa tem mais de 25 de carbono A quantidade de Carbono afeta a retentividade do ferro Quanto maior a quantidade de Carbono presente no ferro maior é a sua retentividade capacidade de reter 0 magnetismo A seguir serao estudados dois métodos de magnetizaao e Método da bobina e Método do atrito a Sy ys oe eS he 7 G ane an fm 4 aan i Rae fe ae Pee ov ly fs J S A f y METODO DA BOBINA S eS of oy Sal wo B METODO POR ATRITO Figura 219 Métodos de Magnetizaao a Método da bobina Para exemplificar este método mostrase na figura abaixo uma chave de fenda que é magnetizada pela acdo da corrente que passa pela bobina O campo magnético criado pela bobina ordena os imas elementares da chave de fenda que entdo cria 0 seu préprio campo magnético denominado campo induzido As ferramentas tipo chave de fenda tesoura e alicate entre outras sao feitas de aco carbono que tem alta retentividade portanto mesmo depois de cessado 0 campo indutor a pega fica magnetizada tornandose um ma permanente Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 46 Corrente O UO a Se tg oo tte aD a Magnetizando uma chave de fenda eS b A chave de fenda tomase um ima permanente Figura 220 Magnetizando uma chave de fenda Executando 0 mesmo método em uma pega de ferro doce observase que quando o campo indutor cessa 0 material fica praticamente desmagnetizado Isto ocorre porque o ferro doce tem baixa retentividade e prestase para construcao de mas temporarios Figura 221 Magnetizacao de uma barra de ferro doce Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 47 b Método do atrito Atritandose um ima permanente com uma pega magnética também se consegue ordenar os mas elementares e criar um campo induzido As observagdes do item anterior quanto ao tipo de ferro continuam validas MOVIMENTO L GIS Bema yo REY SAAS BARRA SENDO IMANTADA 5 S8 EN 9 54 sN 6 SA 6 6 Cy 6 Go fs BARRA IMANTADA Figura 222 Magnetizacao por atrito Quando todos os imas elementares ficam ordenados de tal modo que mesmo aumentando o campo indutor 0 campo induzido nao aumenta o material atinge a saturacadomagnética A saturagéo magnética existe em qualquer material magnético qualquer que seja 0 método de magnetizacao 29 Formas de desmagnetizacao Pode ser obtida a desmagnetizagao de um material através de vibracgdo mecanica com elevaao de temperatura ou aplicagaéo de um campo magnético contrario vide laco de histerese Tanto com vibragao mecanica quanto com elevacao de temperatura acontece uma agitacao interna que provoca o desalinhamento dos dominios magnéticos imas elementares Existe uma temperatura para cada material na qual o mesmo perde todas as suas propriedades magnéticas devido as agitagdes térmicas das moléculas Esta temperatura denominada PONTO DE CURIE Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 48 210 Experimentos Experimento 21 Titulo Campo Magnético de um Condutor Retilineo Material necessario 01 Fonte de alimentaao 01 Bussola Cabos Roteiro 1 Coloque a btissola sobre a bancada e afastada de qualquer ima ou material magnético Represente através de um desenho a orientagao da agulha magnética 2 Com a fonte desligada gire os trés potencidmetros da fonte cc totalmente em sentido antihorario 3 Gire 0 potencidmetro CORRENTE totalmente em sentido hordrio para que a fonte libere corrente A chave de escala do amperimetro deve estar na posicao X2 4 Ainda com a fonte desligada faga um curtocircuito entre seus terminais Este procedimento somente é possivel em funcao de a fonte possuir uma limitagao interna de corrente 5 Ligue a fonte e gire 0 potencidmetro de ajuste fino FINA lentamente até que a corrente seja 16A 6 Desligue a fonte Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 49 7 Coloque o condutor esticado sobre a biissola e paralelo a agulha magnética 8 Ligue a fonte 9 Represente no desenho abaixo o condutor indicando o sentido da corrente e a agulha magnética 10 Repita o experimento colocando o condutor embaixo da bussola Represente através de desenho a orientacao da agulha 11 Repita os experimentos invertendo o sentido da corrente no condutor condutor em cima da bussola condutor embaixo da bussola 12 Anote conclus6es Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 50 Experimento 22 Titulo Campo Magnético de uma Bobina Material necessario Ol Fonte de alimentacao 01 Bussola Ol Prego grande Fita crepe e cartolina 03 metros de fio de cobre esmaltado 26 AWG ou 02 cabos bananajacaré proximo Ferramentas 01 alfinete Roteiro 1 Coloque uma faixa de cartolina em torno do corpo do prego grande formando um tubo Prendaa com fita crepe porém certifiquese que o prego ficou livre para ser introduzido ou retirado do tubo de cartolina Enrole aproximadamente 150 espiras do fio esmaltado bem pr6ximas em torno do tubo conforme representado abaixo Use a fita crepe para fixar a bobina na cartolina de forma que o fio nao se desenrole A seguir raspe aproximadamente 2 cm de esmalte em cada extremidade do fio ATENCAO PARA O SENTIDO DO ENROLAMENTO A B 2 Usando a regra adequada indique a polaridade do prego para a situagao mostrada abaixo Nao execute as ligac6es na pratica ainda Ld Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 51 3 Gire os trés potencidmetros da fonte cc totalmente em sentido antihordrio 4 Gire 0 potencidmetro CORRENTE totalmente em sentido hordario para que a fonte libere corrente A chave de escala do amperimetro deve estar na posiao X2 5 Conecte os terminais A e B da bobina respectivamente nos bornes positivo e negativo da fonte Use os cabos bananajacaré 6 Ligue a fonte e gire o potencidmetro de ajuste fino FINA lentamente até que a corrente seja 20 A 7 Verifique a posicgao da agulha magnética nas posicg6es 1 2 3 e 4 indicadas abaixo Desenhe a agulha magnética em cada posiao 3 2 Peseherer C0 1 Obs toque com cuidado na bobina e verifique o efeito térmico da corrente Efeito Joule 8 Agora sem a bussola aproxime o alfinete das posicgdes 1 e 2 e relate 0 que aconteceu Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 52 9 Represente algumas linhas de forga do campo magnético Lt 10 Inverta 0 sentido da corrente na bobina e repita o item 7 5 2 PRA 1 11 Agora sem a bussola e sem 0 prego do interior da cartolina aproxime o alfinete das posic6es e 2 e relate 0 que aconteceu 12 Explique sob o ponto de vista deste experimento 0 que s4o campo indutor e campo induzido 13 Anote conclus6es Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 53 Experimento 23 Titulo Temperatura e Magnetizacao Material necessario Ol ima permanente 02 alfinetes Ol vela 01 alicate universal Roteiro 1 Magnetize os alfinetes usando o ima permanente 2 Verifique se os alfinetes atraeMSe eee eeeeeeeeteeeeeeeees 3 Acenda a vela e aqueca um alfinete de cada vez segurandoo com 0 alicate 4 Aproxime os alfinetes e verifique se existe atragd0 ee eee eeeeeeeeeeeee 5 Anote conclusoes Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 54 211 Exercicios 1 Descreva a regra usada para determinar 0 sentido das linhas de forca magnéticas criadas por um condutor retilineo percorrido por corrente 2 Para o circuito abaixo pedese a represente a corrente que circula pela bobina b represente as linhas de forga dos campos magnéticos da bobina e do ima permanente c represente os imas elementares do nticleo de ferro sobre o qual esta enrolada a bobina d indique os polos Norte e Sul do nucleo de ferro e determine se ha atragao ou repulsao entre o nticleo de ferro e o ima permanente ysl s 3 Descreva os processos de magnetizaao e desmagnetizacao de materiais 4 Explique o que é saturacaéo magnética 5 Explique o que é retentividade e descreva a influéncia do percentual de carbono sobre a retentividade do ferro 6 Explique o que é Temperatura de Curie 7 Qual a principal relagdo entre magnetismo e eletricidade 8 Determine 0 que se pede na figura a seguir Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 55 Vetor entrando no plano Vetor saindo do plano 9 Um fio retilineo percorrido por corrente produz um campo magnético com qual formato Qual regra nos da o sentido dos vetores Explique 10 Indique o sentido das linhas de forga nas figuras a seguir a Bes I a aN ee ee eee Toman AY JS a fig NL MRE 7 a o f j aa UCee eam aCe Dee We Lf on oo Me gt 10 Aonde 0 campo magnético é mais intenso no fio ou na espira Explique 11 Por que nos solenoides os campos magnéticos sao mais intensos 12 Explique como funciona a obtengéo do campo magnético resultante em um solenoide 13 Explique a regra da mAo direita para bobinas 14 Calcule a intensidade de corrente que deve circular num fio retilfneo colocado no ar para produzir uma indugao 05 T a uma distancia de 5cm do centro do fio R 125000A 15 Uma corrente num condutor esticado produz a 5 cm de distancia do mesmo uma intensidade de campo de 7500Aem Calcular a corrente no fio e a inducao no ponto mencionado R I2356 A B9425mT 16 Um solenoide com secao circular de 2cm de diametro por 10cm de comprimento tem 1000 espiras enroladas bem juntas Calcule a corrente para ser obtido um fluxo de OlmWb R2534A 17 Desejase construir um solenoide de 15cm de raio e 70cm de comprimento de modo que percorrido por uma corrente de 600mA produza no seu interior um fluxo de 23 uWb Calcule o nimero de espiras necessdrias R 3021 espiras Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 56 18 Um tordide com segao quadrada com 750 espiras uniformemente distribuidas Sabe se que o nucleo de ferro tem permeabilidade relativa de 1000 Calcule a inducao e o fluxo produzido no mesmo para uma corrente de 05 A O raio interno vale Ri4cm e o externo vale Re6cm R H1194 Aem B15T O06mWb 19 Refaga 0 exercicio anterior se a secao transversal for trocada para uma circular com diametro de 2cm 20 O que sao fios esmaltados Explique a diferenga entre as duas escalas mais utilizadas 21 Determine o didmetro e calcule a area para os seguintes fios a S2AWG b 41AWG c OSAWG 22 Sabendo que a corrente I1 é igual a5 A e que a corrente 2 é igual a 8 A determine a intensidade de campo magnético e a induao magnética em modulo direcao e sentido nos pontos A B e C considerando que os condutores estao dispostos no ar I 2 e A B c 14 8 Dimensées em cm Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 57 3 FORCA E TORQUE ELETROMAGNETICOS 31 Forca sobre carga elétrica em movimento A interacao entre eletricidade e magnetismo nao acontece de forma universal s6 em determinadas circunstancias A seguir so apresentadas algumas situagdes em que isto analisado Hn s TN TDs eletrico ame sobre caraa b Campy magnétice mio tee eobre CUTE leirice parada ou em movimento eine Tenauko r b 4 t 4 i tz af at eed pe Pr eh ol lp Cumpacietico nao age sobre imas a Campo magittico age sobre Carpe parados eléitica cm novimente Figura 31 Interagoes entre eletricidade e magnetismo A interagao mais simples possivel a agdo de um campo magnético sobre uma carga elétrica em movimento Nas pesquisas realizadas percebeuse que a forga que age sobre uma carga lancada dentro de um campo magnético é sempre perpendicular ao plano formado pela velocidade v e pela inducao B Verificouse também que o modulo da forga é proporcional a inducao magnética B a velocidade da carga v ao valor da carga q e ao seno do Angulo entre a velocidade da carga e as linhas de forca sena Transformando a proporcionalidade em equagao temse no SI F Bvqsena 31 Com F em Newtons N v em metros por segundo ms e q em Coulombs C O sentido da forga é dado pela regra dos trés dedos da mao esquerda para carga positiva Para conhecer o sentido da forga dispdemse os trés dedos da mao esquerda a 90 entre si O indicador deve ficar no sentido de B o dedo médio no sentido de v e o polegar fornece o sentido da forga F sobre a carga elétrica em movimento Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 58 Figura 32 Regra dos trés dedos da mao esquerda para carga elétrica positiva em movimento imersa em campo magnético Caso a carga se desloque na mesma direao das linhas de forga nenhuma forca aparecera sobre ela 0 mesmo acontecera se a carga estiver em repouso Este fendmeno eletromagnético é 0 principio de muitos outros cuja utilidade é indiscutivel na moderna tecnologia Citamse por exemplo a forga mecanica sobre condutor percorrido por corrente imerso em campo magnético a fem induzida em condutor em movimento dentro de campo magnético o tubo de raios catédicos de uma TV de tubo o efeito Hall etc Exemplo 31 Calcular a forga mecanica que age sobre uma carga elétrica de InC langada perpendicularmente num campo magnético de 02T com uma velocidade de 120 kmh R 667nN 32 Forca eletromagnética Neste adiantamento do curso ja se sabe que um condutor percorrido por corrente elétrica cria um campo magnético na regiao que 0 envolve Se este condutor estiver sob a acao de outro campo magnético por exemplo de um ima permanente existirao dois campos Também se sabe que a existéncia de dois campos magnéticos da origem a forcas de atracao ou repulsdo Assim considere a sequéncia da figura 33 a seguir S S er F N N a b c Figura 33 Forca eletromagnética Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 59 Na fig33a esta representado 0 campo magnético de um ima permanente e na fig33b 0 campo magnético de um condutor retilineo percorrido por corrente Na fig33c o condutor esta colocado entre os polos do ima permanente O campo resultante pode ser determinado ponto a ponto e neste caso observase que na regido a direita do condutor ha um enfraquecimento do campo devido as linhas de forga estarem em sentidos contrarios e na regiao a esquerda do condutor ha um reforgo do campo linhas de forga no mesmo sentido A deformaao do campo da origem a uma fora que tenta expulsar o condutor para que as linhas retornem para a posicao indicada na fig33a Podese dizer que as linhas agem como se fossem eldsticos distendidos empurrando o condutor para um lado Assim sendo é possivel apresentar neste momento um dos fundamentos do eletromagnetismo Todo condutor percorrido por corrente elétrica e imerso em um campo magnético sofre a acao de uma forga mecanica de origem magnética forca eletromagnética A equacao 32 mostra os fatores que determinam a intensidade desta forga F B1Ilsena 32 Nesta equacao temse que F forca eletromagnética sobre 0 condutor N B inducao magnética T 1 comprimento do condutor m I corrente no condutor A Q angulo entre o condutor e as linhas de forga Obs e Se o condutor esta colocado paralelamente as linhas de forga a 0 seno0 nao existe forga atuando no condutor e Seo condutor esta colocado perpendicularmente as linhas de forga a 90 sena1 a forga que atua no condutor é maxima Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 60 Sentido da forca eletromagnética O sentido da forga pode ser achado aplicandose a regra de Fleming da mao esquerda Dispdemse ortogonalmente os dedos polegar indicador e médio da mao esquerda O dedo indicador aponta no sentido da indugao magnética B o dedo médio aponta no sentido da corrente I e 0 polegar da o sentido da forga sobre 0 condutor F B Figura 34 Regra de Fleming da mao esquerda Exemplo 32 Calcular a forga que age sobre um condutor retilineo de 045m de comprimento que esta imerso em um campo magnético perpendicular as linhas de forga cuja indugao vale 032 T sabendose que a corrente no mesmo vale 50 A R 72N Exemplo 33 Calcular a indugao necessaria para que um condutor retilineo de 254 cm de comprimento percorrido por uma corrente de 38 A estando a 30 com as linhas de forga produza uma forga de 025 N R 052T 33 Forca de Atracao de um Eletroima Apesar dos eletrofmas serem equipamentos muito comuns e das mais diversas formas seu equacionamento analitico é bastante limitado As equagdes disponiveis sempre fazem uma série de restrigdes para que permanecam confiaveis A seguir sera apresentada a forca de atracao cuja deducao é baseada na variacgado da energia magnética armazenada em funao do comprimento do entreferro Resende Materiais usados em Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 61 Eletricidade p188 Fitzgerald Mdquinas Elétricas p89 Martignoni Eletrotécnica p 104 f Bs 33 2Uo Onde f forga numa face polar com 4rea S e inducao B N S area de uma face polar m7 B indugao no entreferro T Lo permeabilidade magnética do vacuo 42107 TmA Esta equaao foi deduzida levando em conta as seguintes simplificag6es a A relutancia do ferro é considerada desprezivel em comparacgao com a do ar ou seja apds a atracao a equacao deixa de ser precisa b A inducao deve ser constante em toda a area do entreferro ou seja o entreferro nao deve exceder alguns milimetros a fim de que 0 espraiamento e a dispersao magnética sejam despreziveis Lembrando que 1 Dispersdo Magnética Linhas de forga que se fecham por um caminho externo ao nticleo como na figura 25 A presenga da dispersao faz com que o valor do fluxo obtido seja menor e da indugao também li Espraiamento Situagéo em que a secao do entreferro um pouco maior do que a secao das faces do ferro com o aumento de area ha a diminuicao da inducao a b Figura 35 Linhas de forca no entreferro a Sem espraiamento b Com espraiamento Exemplo 34 Calcule a forcga de atragao de um eletrofma que possui face polar com segao circular com raio de 5 cm submetido a uma inducao de 02 T R 125N Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 62 34 Revisao Torque ou Conjugado O torque também chamado de conjugado momento ou bindrio é a medida do esforco necessario para girar um eixo iat oS E sabido pela experiéncia oo em o Hf pratica que para levantar um peso amr aS por um processo semelhante ao usado em poos de agua fig36 a forga F que preciso aplicar a Goan manivela depende do comprimento WUT r da manivela Quanto maior for a 2 kef aprox 20N manivela menor sera a forca necessaria Figura 36 Sistema usado em pocos ddgua Se dobrarmos 0 comprimento r da manivela a forga F necessaria sera diminuida a metade No exemplo da figura 31 se o balde pesa 20 N aproximadamente 2 kgf e o didmetro do tambor é 20 cm 020 m a corda transmitira uma forga de 20 N na superficie do tambor isto é a 010 m do centro do eixo Para contrabalangar esta fora precisam de 10N na manivela se o comprimento r for 20 cm 020 m Se r for o dobro isto é 040m a forga F sera a metade ou seja 5N Como vemos para medir o esforgo necessario para fazer girar 0 eixo nao basta definir a forca empregada E preciso também dizer a que distancia do eixo a forca é aplicada O esforgo é medido pelo torque T que é 0 produto da forcga F pela distancia 1 TFr 34 No exemplo citado o torque vale T 20N 010m 10N 020m 5N 040m 2 Nm As unidades aqui utilizadas sao do Sistema Internacional SI Outra unidade usual para torque é o quilogramaforcametro kgfm 1Kgf 98N Exemplo 35 Se o cilindro da figura 36 tiver 25 cm de diametro r for igual a 25 cm e a massa do balde valer 30 kg considerando g10ms Determine a forga que deve ser aplicada a manivela para elevar o balde com velocidade constante R 150N Apostila Eletricidade Ill Eletromagnetismo 63 35 Torque de um ima permanente Um ima permanente colocado sob a agao de um campo magnético externo sofre a acao de forcas magnéticas e produz torque no sentido de alinhar o seu eixo magnético vetor n com o campo externo vetor B fig37 Neste caso o torque depende dentre outros fatores do angulo entre o eixo magnético do ima vetor n e 0 campo externo Observase experimentalmente que se 0 nao existe torque e se a90 o torque é maximo Ss N Figura 37 Torque de um ima permanente 36 Torque eletromagnético de uma bobina Sempre que houver um condutor percorrido por corrente imerso em um campo magnético havera uma forca eletromagnética agindo sobre este condutor Quando se tiver uma espira ou uma bobina de N espiras dentro de um campo magnético fixa a um eixo de rotacao ela sofrerd uma torgao ao ser percorrida por uma corrente elétrica fig38 O torque atua no sentido de alinhar 0 eixo magnético da bobina n com o vetor indugao magnética B O angulo entre os vetores n e B é designado por angulo de torque Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 64 os es oT mS F va B I n 4 r or a L i I a I F sj a N N oO n B a FR Uo a I oN x F A n a a 0 Fry F B y 1 T UoP e ae u sy c ra 7 F J Sse ee 1 I Fa ee b F F N 7 Ny Y sn 1 uo7 te Figura 38 Torque eletromagnético de uma bobina Sobre cada um dos lados ativos da bobina lados perpendiculares as linhas de forga surge uma forcga cujo sentido é dado pela regra de Fleming da mao esquerda e cujo mddulo é calculado por FNBIlsena 35 Percebese que estas forgas podem ser decompostas em duas componentes fig38b A componente radial Fr tem sua reta suporte passando pelo eixo da espira As componentes radiais cancelamse mutuamente e nao produzem torque v A componente tangencial Fy tem a sua direcio perpendicular ao raio As duas componentes tangenciais sao as responsaveis pela producao do torque O torque é expresso pelo somatério dos momentos das forgas que agem sobre cada lado ativo da bobina S6 as forgas tangenciais causam conjugado portanto T Frr 2Frr 36 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 65 Mas da fig38b obtémse Fr Fsena 37 Substituindose a eq35 na eq37 chegase em Fr NBIlsena 38 O torque fica assim estabelecido T 2rNB1lsena 39 Mas a area da bobina é dada por S2rl Entao finalmente obtémse a seguinte expressao para o torque produzido pela bobina Nesta equacao temse que T torque eletromagnético Nm B inducao magnética T I intensidade de corrente A S area da bobina m angulo entre o eixo magnético da bobina vetor n e o vetor indugao magnética N numero de espiras da bobina Exemplo 36 Uma bobina com 500 espiras esta imersa num campo magnético com inducao de 05 T A bobina possui area de 200 cm e é percorrida por uma corrente de 2A No instante em que 0 eixo magnético da bobina forma um angulo de 60 com o vetor inducao qual é o valor do torque que atua na espira R 867Nm Exemplo 37 Uma bobina possui area de 50 mm 1000 espiras e é percorrida por uma corrente de 3 A Se esta bobina estiver imersa em um campo magnético com indugao de 02 T qual sera o torque que atua na bobina se o plano paralelo a superficie da bobina forma um angulo de 60 com as linhas de forga R 0015Nm Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 66 37 Aplicacées Praticas MOTOR DE CORRENTE CONTINUA CC Um motor elétrico de corrente continua é uma maquina elétrica a qual aproveita as forcas ja estudadas para produzir trabalho Dessa forma o motor elétrico de maneira geral tanto CC quanto CA converte energia elétrica em energia mecanica Partes Construtivas Possui duas partes principais a Estator Indutor Parte que é fixa a carcaga pode ser formada por imas permanentes ou eletroimas b Rotor Unduzido Também chamado de armadura é a parte mével a qual é constituida de condutores de cobre dispostos em ranhuras existentes em um nucleo cilindrico também é constituida de um conjunto denominado comutador ou coletor e das escovas as quais sao fabricadas em carvao e possuem a funcao de transmitir a corrente elétrica através dos anéis coletores ao rotor Espira B ih Comutador td j comutador NG Mm escova Figura 39 Partes construtivas Motor CC Todos os motores elétricos valemse de um dos principais principios do eletromagnetismo Todo condutor percorrido por corrente imerso em campo magnético ficara sujeito a agao de uma forga Principio de Funcionamento Quando se liga o motor a corrente chega a bobina de campo determinando os polos norte e sul ou estes polos ja estao determinados caso utilize mas permanentes Ha o fornecimento de corrente a armadura o que determina polos norte e sul na armadura Partido do principio que polos opostos se atraem e polos iguais se repelem o ma da armadura tendo movimento livre gira a fim de que seu polo norte encontre o polo sul do estator e que seu polo sul encontre o polo norte do estator Se nada mais acontecesse 0 motor pararia pois uma situacgao de equilibrio seria Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 67 alcancada O que acontece é que pouco antes dos polos opostos se encontrarem a corrente na armadura é invertida através do uso do comutador invertendo assim a posiao de seus polos 0 norte passa a ser o polo préximo ao polo norte do estator e o polo sul passa a ser 0 polo proximo ao polo sul do estator dessa forma acontece nova repulsao e o motor continua em movimento INSTRUMENTO DE BOBINA MOVEL E IMA PERMANENTE BMIP Possui uma bobina mével que é percorrida por corrente elétrica e imas permanentes fixos campo indutor os lados da bobina ao serem percorridos por corrente ficam sujeitos a um par de forcas as quais formam um bindrio e imprimem movimento a bobina temse fixo a bobina um ponteiro o qual se desloca sobre uma escala graduada mostrando o valor medido Maiores detalhes do funcionamento do instrumento de bobina mével e ima permanente podem ser encontrados no capitulo 8 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 68 38 Experimentos Experimento 31 Titulo Motor de Corrente Continua Material necessario médulo didatico de eletromagnetismo resistor de 47 Q 40W fonte cc bussola amperimetro DC 1 A cabos Roteiro 1 Coloque somente o rotor no suporte na posicao indicada e execute as ligacOes 4R7 2 Ajuste a tensao da fonte para 6V e mega a corrente I 3 Utilizando a bussola determine onde estao localizados os polos NORTE e SUL do rotor representandoos na figura acima Represente também o sentido da corrente na bobina do rotor 4 Gire manualmente o rotor em 180 e repita o item 3 Os pdélos trocaram de lugar 5 Monte a estrutura do estator de modo que o polo inferior seja NORTE e o superior SUL Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 69 6 Coloque o rotor na posicao indicada dé partida e verifique o sentido de rotagao aa 7 Explique porque a rotagao desenvolveuse no sentido indicado 8 Coloque o rotor na posiao indicada e dé partida O rotor girou Por que pa N Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 70 9 Inverta o sentido de rotagao Descreva como foi feito 10 Repita 0 experimento substituindo 0 comutador pelos dois anéis 11 Anote conclus6es Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 71 39 Exercicios 1 Nos desenhos abaixo identifique na figura A os polos Norte e Sul dos imas permanentes represente na figura B 0 sentido da corrente no condutor retilineo e na figura C o campo resultante e a forga sobre o condutor ooo a OS a a A B C 2 Descreva a regra usada para determinar o sentido da forga mecanica de origem magnética criada sobre um condutor percorrido por corrente dentro de um campo magnético 3 Descubra o sentido e o mdédulo da forga sobre o condutor percorrido por corrente B 03 T150cmI5 A Resposta F 075 N para baixo N S 4 A figura abaixo representa uma bobina imersa em um campo magnético Sabendose que B05T 1 020 m r 005 m N 100 espiras I 5 A pedese a calcular a forca que atua sobre cada um dos lados ativos da bobina Rta F50N b calcular 0 torque da bobina em suas diferentes posigdes considerando que o angulo entre a normal e as linhas de forga est4 variando entre 0 e 180 com intervalos de 30 Rta Tinax5Nm r Y n r N og S N a 4 S I Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 72 5 Um fio de massa igual a 10g e 60cm de comprimento esta suspenso por um par de condutores espirais flexiveis num campo de 008T Qual o valor e o sentido da corrente que passando pelo condutor anula o valor da tensao nos dois fios do suporte Dica Forga Peso P B x x x x x x Pmg x x x x x x g98ms x x x x x x x x x x x x Resposta I 204 A 6 A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG situada no plano da folha de papel colocada entre os polos de um fma Observando o sentido da corrente na bobina responda a Qual é o sentido da forga que atua em cada um dos lados GE ED e DC da espira b Qual é 0 movimento que a espira tende a adquirir com o observador no ponto O y Eixo de rotacdo Po D VE CG I O 7 Cite o tipo de conversao de energia feita pelos motores elétricos 8 Desenhe um motor cc elementar ver experimento 31 indicando 0 nome de todas as partes e explique o funcionamento Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 73 9 Um fio retilineo de comprimento 40 cm transporta uma corrente de sentido direita para esquerda com I 2 A Este condutor esta situado em uma regiao onde existe um campo saindo do plano da folha de intensidade B 015T a Represente este problema no papel b Indique o sentido da fora c Calcule a forga magnética atuante no condutor F012 N 10 Um condutor elétrico retilineo e de pequeno diametro tem 20 cm de comprimento e é percorrido por uma corrente de intensidade I 10A da esquerda para a direita e se encontra numa regidio onde existe um campo de indugdo magnética 5x10T entrando no plano da folha Qual o mdédulo diregao e sentido da forga que age nesse condutor Resposta F01 N forca para cima 11 Para as situag6es abaixo faga 0 que se pede a Represente a corrente na bobina b Defina a polaridade das bobinas c Mostre o sentido de giro do motor Fr 4 K 4 i al e i 4 vy i a j S vw OLN L ra Me i ir i I io Ne ef i A J 1 s 1 S Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 74 12 IFSul 2011 A fonte de tensao estabelece contato elétrico com a bobina retangular RXYZ por meio dos anéis a e b o quais garantem a continuidade elétrica entre fontebobina enquanto esta se encontrar em movimento A bobina RXYZ de fio de cobre composta por 20 espiras possui area de 65cm e resisténcia elétrica de 15Q Conforme observado na figura abaixo a bobina se encontra inicialmente em um plano vertical e esta no interior de um campo magnético uniforme de indugaéo magnética com modulo igual a 03 T Quando o interruptor c é fechado 0 observador percebe que em fungao das forcas eletromagnéticas na bobina a mesma gira no sentido Apos a bobina ter se movimentado 30 em relagao a sua posicéo inicial o seu torque possui modulo aproximadamente igual a sendo que a mesma descrever uma volta completa Os termos que preenchem corretamente as lacunas sao Lembrete V RD a antihordario 675 x 10 Nm nao consegue b hordario 39 x 107 Nm consegue c antihordario 675 x 10 Nm consegue d antihordario 39 x 10 Nm nao consegue N se c CG 4 et OC b ZA i 5 cams 13 A espira circular unitaria da figura abaixo possui area igual a 10cm Sabendo que o modulo da inducao vale 3T e que a corrente que circula na bobina é igual a 2 A Determine o valor do torque que atua na espira Caso a bobina se desloque 30 qual sera o novo valor do torque Rta 0ONm e 0003Nm eoooo0o0 000 eo00Q0a0 0 0 0 eo Woo oo 00 eoqgooopoo eoowoYyvoon oooojojo oo 0 oo oo ooo i eooo 14 Desejase construir um motor CC que possua torque de 379 Nm quando o plano da secao transversal da bobina estiver a 30 das linhas de forga externas Possuise uma estrutura que fornece area de secao transversal para a bobina de 50cm e um conjunto de mas permanentes com indugao de 700mT A fonte de tensao CC para alimentar o rotor é de 25 V ec o fio utilizado possui resisténcia total igual a 10Q Quantas vezes o fio devera ser enrolado para atender estes quesitos Rta 500 espiras Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 75 4 CIRCUITOS MAGNETICOS 41 Introducao Nos equipamentos eletromagnéticos tais como transformadores motores geradores e outros sao utilizados nticleos de material magnético para canalizar o fluxo e concentralo em determinada regiao O nticleo magnético e a bobina ou as bobinas formam o que se denomina circuito magnético O termo circuito magnético vem de uma analogia com 0 circuito elétrico pois ambos podem ser tratados de forma semelhante Assim como 0 circuito elétrico possui um caminho fechado para a corrente elétrica 0 circuito magnético possui um caminho magneticamente fechado As linhas de forga sao naturalmente linhas fechadas Os circuitos magnéticos assim como os circuitos elétricos podem ter uma infinidade de configuragdes diferentes porém para um estudo inicial considere a configuraao apresentada na figura 41 u 1 Bea e 3 4 dvi P y qcaiP V 1 qlyiP Y 64 vqrip aS y I qernn nnn ten anneal Figura 41 Circuito magnético simples A corrente I ao passar pela bobina de N espiras produz certo fluxo magnético 0 Uma parcela deste fluxo fica confinada no nticleo sendo denominado de fluxo util 0 e percorre 0 caminho ABCDA indicado por linha tracejada A outra parcela do fluxo produzido pela bobina muito menor que a primeira escapa vaza do nucleo e fecha se pelo ar na regiao proxima a bobina Este fluxo é denominado de fluxo disperso g Assim temse que O but 4 41 onde o fluxo produzido pela bobina oy o fluxo util e dg é o fluxo disperso Na andlise que segue o fluxo disperso sera desprezado Desta forma o fluxo é constante em todo o nticleo ou seja OaBnOBc0cpOdA0 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 76 O fluxo constante mesmo que a secao transversal do nucleo seja variavel Neste caso a indugao magnética no nticleo é que varia com a area 42 Calculos de Circuitos Magnéticos Neste item serao apresentadas as seguintes grandezas basicas associadas a teoria de circuitos magnéticos Intensidade de Campo Indutor Permeabilidade Magnética Forca Magnetomotriz e Relutancia Magnética 421 Intensidade de Campo Indutor H Considerese que no circuito magnético da figura 41 seja possivel inserir um gaussimetro para medir a inducao no nucleo Aumentandose a tensdo aplicada na bobina que produz um aumento de corrente o gaussimetro mostra um crescimento na indugao magnética Portanto a inducao depende da corrente que circula pela bobina Considerese agora que a bobina utilizada é substituida por outra bobina com maior numero de espiras Ajustandose a tensao da fonte para que a corrente permanea com a mesma intensidade do experimento anterior observase que 0 gaussimetro acusa maior inducao Portanto a indugao também depende do numero de espiras Um terceiro experimento pode ser feito comparando dois circuitos com as seguintes caracteristicas ambos ntcleos de mesmo material mesmo tipo de ferro ambos ntcleos com mesma seco transversal ambas bobinas idénticas ambas bobinas percorridas pela mesma corrente ambos ntcleos tém mesmo formato porém com comprimentos diferentes Boone ceceeeee we ee teeter B oeoceecescteeeeeeeeeee 1 a circuito 1 b circuito 2 Figura 42 Circuitos magnéticos com diferentes comprimentos médios Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 77 Usandose um gaussimetro em cada circuito magnético observase que no nucleo de menor comprimento circuito 2 a inducgaéo magnética é maior Isto acontece porque existe um menor trecho de ferro para ser magnetizado o que da a bobina um maior poder magnetizante Para quantificar o poder magnetizante de uma bobina criou se a grandeza denominada intensidade de campo indutor H que é dada por NI 42 He 42 L Nesta equacao temse que N numero de espiras da bobina I corrente que percorre a bobina Ampére A 1 comprimento médio do circuito magnético metro m H intensidade de campo indutor Ampéreespirametro Aem Exemplo 41 Calcular a intensidade de campo indutor para o circuito e para o circuito 2 da fig42 que tm comprimentos médios de respectivamente 20 cm e 10 cm Considere que ambas bobinas possuem 200 espiras e sao percorridas por A 422 Permeabilidade Magnética 1 Nas andlises anteriores nao se levou em consideracgao a influéncia do tipo de material usado para o nucleo A partir de agora esta situagao sera estudada tomandose como referéncia 0 circuito magnético da fig41 Alimentandose a bobina com uma fonte cc ajustavel e aumentandose gradativamente a tensdo aplicada ocorre um aumento da corrente que circula pela bobina IVR Este aumento da corrente produz um aumento na intensidade do campo indutor H NIl que por sua vez provoca um aumento da indugao no ntcleo Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 78 A forma como o nticleo magnético responde a variagao do campo indutor depende do tipo de material utilizado e é representada graficamente através da Curva de Magnetizacao As figuras 43a e 43b mostram as curvas de magnetizacgao do ferro fundido doce e do ago fundido 14 ee ee ee eee fol ZA een agin 08 eosy oe tot st 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 H Aem 09 pO og ss SE 7 ee 06 S b curva de magnetizacao Eos jp maogy 74 pT do ago fundido 93 47 p92 4 01 A SSS A a 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 H Aem Figura 43 Curvas de Magnetizacao Nos pontos iniciais da curva 0 crescimento do campo indutor é acompanhado de um crescimento praticamente proporcional da inducgdo Por outro lado nos pontos finais o crescimento do campo indutor praticamente nao produz crescimento na indugao devido a saturagao magnética ordenacao de praticamente todos os imas elementares Analisando as curvas de magnetizacao do ferro fundido doce e do ago fundido observase que para um mesmo campo indutor obtémse maior indugao no ferro doce do que no aco ou seja 0 ferro doce se magnetiza mais facilmente do que o aco A grandeza que leva em consideragdao este fendmeno é denominada permeabilidade magnética Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 79 Assim podese definir permeabilidade magnética como a facilidade que o material possui de se magnetizar e expressala matematicamente como u B 43 H No Sistema Internacional de Unidades temse B inducao magnética Tesla T H campo indutor Ampéreespirametro Aem lt permeabilidade magnética TeslametroAmpére TmA ou Henrymetro Hm Exemplo 42 Calcule a inducéo magnética e a permeabilidade do aco fundido para os seguintes campos indutores a H 2000 Aem b H 4000 Aem c H 10000 Aem Os resultados deste exemplo mostram que a permeabilidade magnética do aco fundido depende da intensidade de campo indutor Quanto maior 0 campo indutor menor é a permeabilidade ou seja mais dificil magnetizar o material Este comportamento é apresentado por todos os materiais magnéticos Os materiais nao magnéticos possuem permeabilidade aproximadamente constante e bem menor do que a permeabilidade dos materiais magnéticos Para efeito de calculos a permeabilidade dos materiais nao magnéticos é considerada a seguinte constante magnética ly 42x10 Hm Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 80 Portanto os meios néo magnéticos como o ar 0 aluminio e a madeira entre 7 outros possui permeabilidade Mo 40x10 Hm Em muitos casos a permeabilidade é expressa em relagaéo a constante Ho Assim definese como permeabilidade relativa 4 relagao entre a permeabilidade do material e a constante magnética ou seja 44 Mb a Lo Esta equacdo mostra que a permeabilidade relativa 4 é um nimero sem unidade que indica quantas vezes a permeabilidade do material 4 é maior do que a permeabilidade dos materiais nado magnéticos Ht 0 Para materiais nao magnéticos a permeabilidade relativa é aproximadamente igual a4 unidade ur 1 e para materiais magnéticos é bem maior do que a unidade Hrs1 Tabela 41 Permeabilidades Relativas de alguns materiais a Ferro Fundido 30 a 800 Ligas Especiais 100000 a 800000 Assim se pode relacionar B u e H considere que os seguintes solenoides possuem o mesmo formato mesmo ntmero de espiras mesma corrente elétrica e mesmo comprimento UOT ay TTT TT Pa TIIII IIIT H H H I Re k I Nucleo de Ar Nucleo de Ferro Fundido Nucleo de Liga Especial a b Figura 44 Comparagao entre solenoides com diferentes nuicleos Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 81 Como NIN2N3 IlI2I13 e LIL2L3 H1H2H3 e como Wil2U39B1B2B3 Exemplo 43 Uma fonte CC de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da fig44 que tem 1000 espiras e resisténcia de 100Q Calcule a Corrente na bobina b Campo indutor c Indugdo magnética d Permeabilidade absoluta e permeabilidade relativa e Fluxo magnético Dados 11m comprimento médio do circuito magnético 100 cm secio transversal do nticleo Onitcleo é de ferro doce ny 8 Figura 45 Circuito magnético para o Exemplo 43 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 82 423 Forca Magnetomotriz 3 e Relutancia Magnética Considere 0 circuito magnético com a configuraao utilizada até agora Através das equagdes conhecidas temse HNI No entanto HB i logo se obtém B 45 NI 49 Lu 46 mas Be 46 S d d 47 moee que NI ou gNI 47 us us O produto NI é definido como forga magnetomotriz ou fmm 3 por ser a grandeza responsdvel pela criacdo do fluxo no ntcleo Seu simbolo é 3 e a sua unidade é o Ampéreespira Ae portanto O termo IuS é definido como relutancia magnética por se comportar como uma oposicao a passagem do fluxo magnético A relutancia magnética é dada por l 49 ge 49 us A unidade de relutancia magnética é Ampéreespira por Weber AeWb Com estas definigdes podese expressar a Leide Hopkinson que também é conhecida como Lei de Ohm do Eletromagnetismo da seguinte forma 3 410 b RK Enunciado O fluxo magnético num circuito é diretamente proporcional a fmm e inversamente proporcional a relutancia Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 83 Exemplo 44 Calcule a relutancia magnética do circuito magnético do exemplo 43 424 Analogia entre circuito magnético e circuito elétrico As grandezas fmm e relutancia nao existem por acaso Elas foram criadas justamente por analogia com o circuito elétrico fig46 a fim de melhorar a visualizagao dos fendmenos magnéticos Y S a Ky E Rz Figura 46 Circuito magnético e seu andlogo elétrico No exemplo da fig47 para o circuito elétrico e para 0 circuito magnético tém se respectivamente I E 411 RRR 3 412 KR R R onde KR e R3 representam a relutancia do nticleo de ferro metades superior e inferior e Ro representa a relutancia do entreferro ou gap que é uma fresta de ar existente no circuito magnético Os outros equacionamentos usados em circuitos elétricos também podem ser usados quase que sem restriAo nos circuitos magnéticos Devese salientar no entanto que o fluxo magnético nao contém nenhum movimento fisico de particulas ou algo Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 84 semelhante O fluxo é na verdade o produto da indugao pela area da seccao transversal e tem uma orientaao dada pelo sentido das linhas de forga Exemplo 45 Desenhe o circuito elétrico equivalente ao circuito magnético da fig47 Figura 47 Circuito magnético para o Exemplo 45 Exemplo 46 Uma fonte cc de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da fig48 que tem 1000 espiras e resisténcia de 100Q Calcule a Corrente na bobina e forga magnetomotriz b Relutancia do nticleo relutancia do entreferro e relutancia total c Fluxo magnético Dados In 60 cm comprimento médio do nucleo le 1 mm comprimento do entreferro S 100 cm secio transversal do nticleo segio transversal do entreferro ut 314x10 Hm permeabilidade do ferro Lo 42x 10 Hm permeabilidade do ar 4 HY aby i A a Figura 48 Circuito magnético para o Exemplo 46 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 85 43 Circuitos Magnéticos Laminados Os circuitos magnéticos encontrados nas aplicagdes praticas nao sao macicos como os considerados até agora Eles sao construfdos com laminas de ferro empilhadas e prensadas paralelas ao fluxo magnético fig49 As razOes para o uso de circuitos magnéticos laminados serao discutidas no Capitulo 6 Ses S Fale l ty aes ae 1 4 mK OmEtieee S i oN eo INN S ie f aed Sins eee NC AAD SQ Figura 49 Circuito magnético laminado 44 Forca de Atracao Muitos circuitos magnéticos possuem uma parte mével denominada ancora ou armadura que é atraida pela parte fixa quando a bobina esta alimentada Aplica6es relé eletromecanico campainha solendide etc Nucleo fixo rt i q pot q tp q poi PP q p tp q py tp q pi Ancora ou armadura Figura 410 Forga de atragao no circuito magnético Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 86 441 Relé eletromecanico O relé é um tipo especial de interruptor que é acionado por corrente elétrica ou outra grandeza fisica Os relés podem ser encontrados em diversos formatos e tamanhos tendo como objetivos comandar ou proteger circuitos e equipamentos elétricos Conforme o principio de funcionamento os relés podem ser classificados como eletromecanicos a estado sélido eletrénicos térmicos etc O objetivo deste texto é mostrar caracteristicas bdsicas construtivas e de funcionamento dos relés eletromecanicos ou eletromagnéticos usados em pequenos circuitos elétricos A fig411 mostra um relé bastante simples Armadura Isolante Eixo ferro Entreferro pivd Y J Z aia Contatos elétricos chave B Mg Lf MA iiV IWIN wee Pakee Ye eee ae Mola Ke N LN Bobina Nueleo e chassi Figura 411 Relé eletromecanico Quando a bobina é alimentada por uma fonte a corrente elétrica produz um campo magnético que atrai a armadura com uma forga maior que a da mola e provoca o fechamento dos contatos Quando a alimentaao da bobina é retirada a forga da mola provoca a abertura dos contatos Neste caso os contatos sao denominados NA normalmente abertos porque esta é a situagao quando a bobina nAo esta alimentada Um relé também pode ter contatos NF normalmente fechados ou reversores Na fig412 esta representado esquematicamente um relé com contatos reversores 4 4 4 6 4 1 Figura 412 Relé com contatos reversores Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 87 Temse nesta figura que 2e7sAo os terminais da bobina 1e4 sao contatos NF 1e3 sao contatos NA 8e5 sao contatos NF 8e6 sao contatos NA Existe uma diversidade muito grande de circuitos com relés porém com o objetivo de ilustrar algumas caracteristicas basicas considere o circuito da fig413 se a7 3 46 3 O 0 a C av fg 1 8 F 220 60 Hz H Figura 413 Exemplo de circuito com relé Com a chave S aberta a bobina bornes 2 e 7 nao esta energizada e os contatos 1 e 3 estao abertos mantendo o Motor 2 desligado Os contatos 8 e 5 estaéo fechados mantendo o Motor ligado Quando a chave S é pressionada a bobina é energizada fechando os contatos e 3 que ligam o Motor 2 e abrindo os contatos 8 e 5 que desligam o Motor 1 Este exemplo ilustra algumas caracteristicas dos circuitos com relés Seguranga 0 comando é em 6V portanto mais seguro para 0 operador que os 220V necessarios para os motores Controle a distancia 0 circuito pode ser comandado de um ponto distante remoto levando apenas dois condutores finos até a chave visto que 0 consumo de corrente pela bobina é insignificante Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 88 Acionamento multiplo 0 relé comanda duas ou mais cargas simultaneamente Versatilidade os relés propiciam a construgaéo de circuitos automaticos temporizados intertravamentos etc 442 Campainha Na figura 414 esta representado o circuito elétrico de uma campainha elétrica muito simples L é uma lamina de ferro flexivel e C é um contato que abre e fecha o circuito quando a lamina se afasta dele ou encosta nele Quando o circuito é fechado pelo interruptor I a corrente no eletroima faz com que L seja atraida e o martelo M golpeie o timpano T Em virtude desse deslocamento de L 0 circuito se interrompe em C e o eletrofma perde a imantagao A lamina flexivel L retorna a sua posicao normal estabelecendo o contato em C Assim 0 processo se repete e M golpeia T repetidas vezes enquanto o interruptor I estiver acionado M fice T G t A Jodeci aly ee DN ee j Ni AK oL Figura 414 Circuito elétrico de uma campainha 443 Alto Falante O alto falante fig415 um dispositivo que produz som a partir de uma corrente elétrica varidvel que passa na bobina de um eletroima Esta bobina esta presa na base de um cone de papelao e encaixada com folga em um ma permanente Quando a corrente alternada passa pela bobina do eletroima ela sucessivamente atraida e repelida pelo ima permanente O cone acompanha essas vibrag6des na bobina provocando compress6es e rarefagdes do ar que constituem uma onda sonora Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 89 me a a ae i SaANY ij lucene v4 Figura 415 AltoFalante Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 90 45 Exercicios 1 Explique 0 que é fluxo disperso 2 Explique o que é relutancia magnética 3 Explique o que é forca magnetomotriz 4 A partir de um certo valor de campo indutor a indugéo num material magnético cresce muito lentamente Explique por que isto ocorre 5 Explique 0 que é permeabilidade magnética 6 Uma fonte cc de 12V alimenta a bobina do circuito magnético abaixo que tem 100 espiras e resisténcia de 3Q Calcule a Corrente na bobina e forga magnetomotriz 4A 400Ae b Relutancia do nticleo relutancia do entreferro e relutancia total 1592357 AeWb 9952229 AeWb 11544586 AeWb c Fluxo magnético 0347mWb Dados In 40 cm comprimento médio do nticleo magnético le 1 mm comprimento do entreferro S 8 cm secio transversal do nticleo segiio transversal do entreferro ur 2500 permeabilidade relativa do ferro 7 Recalcule o fluxo no exercicio 6 considerando que nao exista entreferro 25 mWb Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 91 8 Analise os resultados dos exercicios 6 e 7 e anote conclus6es 9 Um circuito magnético de seao transversal varidvel é mostrado na figura abaixo a parte de ferro tem a curva de magnetizacao mostrada Dados N100 espiras 1140 cm 110 cm A10cm Ao5cm lg 2 mm inducao no entreferro06T Desprezando se 0 fluxo disperso pedese a desenhar o circuito elétrico equivalente b calcular o fluxo no entreferro c calcular as relutancias do circuito magnético observar que este circuito assemelhase a um circuito elétrico em série logo o fluxo é o mesmo em todo 0 circuito magnético assim como a corrente elétrica num circuito série d calcular a fmm da bobina e calcular a corrente na bobina ste Pee ete So CCE LP ET TTT Pht wT WY O4 uepes Po Jit ti HOO 0 tn te os H Alm 6 Respostas b 600 Wb c Ry 66667 AeWb Kz 66667 AeWb KR 15915494 AeWb d 3 1075 Ae e 1075 A 10 Para valores de B abaixo do joelho da curva de magnetizacgao do acosilfcio é possivel considerarse operacao linear com u4000 O nucleo tem a forma mostrada na figura abaixo Os trechos BAFE e BCDE sao iguais possuindo cada um area da seao transversal de 1 cme comprimento externo de 10 cm O trecho BE tem uma 4rea de 24 cm e um comprimento de 3cm Um enrolamento de 1200 espiras em que flui uma corrente de 9 mA é colocado em torno do trecho BE Pedese a desenhar o circuito elétrico equivalente b calcular a relutaéncia dos trechos BAFE BCDE e BE Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 92 c calcular o fluxo magnético em cada trecho observar que existe divisao do fluxo no circuito magnético A B C 1 os ie rie rie ot i Py 4 ae Bea 7 oe es G Eee eh hd Reg FE E D Respostas b RBAFE 198807 AeW b Recve 198807 AeW b Ree 24851 AeWb c Bare 4346 uWb sgcpe 4346 uWb pr 8692 yWb Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 93 5 INDUCAO ELETROMAGNETICA 51 Introducao Histoérica Até 1820 pensavase que a eletricidade e 0 magnetismo eram dois fendmenos totalmente independentes Neste ano Hanz Christian Oersted demonstrou que uma corrente elétrica produzia uma deflexaéo numa bussola colocada nas proximidades desta Isto mostrou que a corrente elétrica produz campo magnético Desde entao surgiram pesquisas para tentar obter a eletricidade a partir do magnetismo Dentre estes pesquisadores se destacaram Henry Faraday e Lenz 52 Forca Eletromotriz fem e Diferenca de Potencial ddp A energia elétrica é a modalidade de energia que pode ser obtida entre dois pontos de um material elétrico desde que haja um desequilibrio elétrico entre estes pontos A diferenga de potencial elétrico ddp entre dois pontos s6 ocorre quando existir forga eletromotriz fem a qual a verdadeira causa do deslocamento das cargas elétricas A ddp pode ser visualizada de forma simples através da figura 51 A B Barra de cobre sem fem ou seja kb he hehe bebebaehanee sem agente que desloque as cargas elétricas we A rN positivas para provocar a ddp O voltimetro nao marca valor algum Corona snas sass proccss nace de tensio ddp porque nao ha desequilibrio elétrico Vap 0 Vab0 Apostila Eletricidade Ill Eletromagnetismo 94 e A t 8 porque existe fem que foi gerada de A A 1 alguma forma 0 que veremos adiante O baa pocccccccccce 1 2 voltimetro apresenta um determinado valor de tensA0 Vap 0 Vas Figura 51 Forga eletromotriz e diferenga de potencial Caso a barra seja ligada a uma carga R haverd um escoamento de cargas elétricas através do circuito Entao o sentido da fem e e da corrente elétrica i seraéo os mesmos e estao representados na figura 52 Se a fem continuar existindo continuara circulando corrente elétrica mas se a fem cessar a corrente se anulara no momento em que as carga positivas passarem do ponto A excesso de cargas positivas ao ponto B falta de cargas positivas neutralizando assim a ddp e A 3 oy at Figura 52 Corrente elétrica e fem com mesmos sentidos Para que exista a fem é necessaria alguma forma de energia para movimentar as cargas elétricas e criar a ddp As seis fontes basicas de energia que podem ser utilizadas para gerar fem sao friccao pressao luz calor agéo quimica e acao magnética Estudaremos a acaéo magnética por ser esta a forma que nos proporciona grande quantidade de energia elétrica por longos periodos de tempo Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 95 53 Lei de Faraday Em 1831 Michael Faraday publicou seu trabalho enunciando o Principio da Inducgao Eletromagnética a partir das experiéncias que serao descritas a seguir Fig 53 A experiéncia usava um ima uma bobina e um galvanémetro e apesar de simples foi decisiva para o desenvolvimento dos equipamentos eletromagnéticos indispensaveis nos dias de hoje como por exemplo o gerador elétrico v0 v0 vo v Figura 53 Experiéncia de Faraday Foram realizadas as seguintes observacoes 1 O galvanometro deflexiona o seu ponteiro apenas quando existe movimento relativo entre o ma e a bobina seja por ma em movimento e bobina parada bobina em movimento e ima parado mae bobina em movimento relativo entre eles Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 96 2 O sentido da deflexaéo do ponteiro do galvanémetro depende do sentido de deslocamento do ma ou da bobina ou seja da aproximagao ou do afastamento assim como das polaridades do fma 3 Quanto maior for a rapidez do movimento maior sera a deflex4o do ponteiro 4 Substituindo a bobina por uma de maior numero de espiras resulta também numa maior indicacgao no galvandémetro As conclusoes obtidas destas experiéncias foram 1 A geragao de fem é causada pela variacgao de fluxo magnético dentro da bobina Quando o movimento cessa mesmo que exista um grande fluxo dentro da bobina nao é gerada nenhuma fem porque o fluxo se mantém constante Existe uma energia mecanica associada ao movimento que é transformada em energia elétrica 2 O valor da fem é diretamente proporcional a velocidade com que ocorre a variacao de fluxo dentro da bobina ou seja é proporcional a taxa de variagao de fluxo ea nt At 3 Quanto maior o nimero de espiras da bobina maior sera a fem induzida eaN Entao podese dizer que eaN Ao At Esta proporcionalidade pode se transformar em igualdade pela adogao de uma constante de proporcionalidade adequada No Sistema Internacional de Unidades MKS esta constante é igual a 1 portanto a equacao da fem induzida vem a ser e noe At Enunciado da lei de Faraday ou da Inducao Eletromagnética Sempre que um circuito elétrico estiver sujeito a uma variacao de fluxo Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 97 O valor desta forga eletromotriz induzida é calculado por At onde e fem induzida Volt N numero de espiras da bobina Ad At taxa de variacgao de fluxo Webersegundo A expressao indugao tem significado semelhante a influéncia interagao ou agao a distancia Sempre que uma fem é gerada por agaéo de um campo magnético ela sera chamada de fem induzida A corrente produzida pela fem induzida num circuito fechado é chamada de corrente induzida J4 0 campo magnético que deu origem a estes fendmenos é chamado de campo indutor causa e 0 campo magnético criado pela corrente induzida é chamado de campo induzido efeito Nao confundir este campo indutor com intensidade de campo indutor H 54 Lei de Lenz O fisico russo Emil Lenz publicou em 1834 um trabalho que veio complementar a Lei de Faraday A lei de Lenz como passou a ser conhecida estabeleceu de forma universal o sentido da fem gerada por indugao eletromagnética O Principio da Conservacao da Energia diz que a energia nao pode ser criada nem destruida mas apenas transformada de uma forma para outra Quando o fluxo varia dentro de um circuito elétrico gerase fem e corrente induzidas o que significa a presenga de energia elétrica Para surgir esta forma de energia uma outra forma de energia deve ser obrigatoriamente consumida O fluxo criado pela corrente induzida deve entao tentar impedir a variacao do fluxo indutor que é a causa da fem induzida Assim sendo para manter a geracéo de energia elétrica fica necessario o consumo de outra forma de energia para vencer esta oposiao Se o fluxo criado pela corrente induzida viesse a acelerar a variacgdo do fluxo original haveria uma espécie de reagao em cadeia onde seria gerada energia elétrica gratuitamente o que estaria ferindo o principio da conservacao da energia Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 98 Enunciado da Lei de Lenz O fluxo criado pela corrente induzida tem sempre sentido tal a se opor a variacao do fluxo original do circuito ou seja tende a manter o fluxo constante Assim sendo quando o fluxo indutor estacrescendo no circuito o fluxo induzido tem sentido contrario ao mesmo Quando o fluxo indutor esta diminuindo no circuito o fluxo induzido tem o mesmo sentido do fluxo indutor Num circuito ideal sem resisténcia alguma o fluxo induzido teria intensidade tal que impediria totalmente a variacao do fluxo nos circuitos reais o fluxo induzido apenas tenta impedir a variacao do fluxo sem no entanto conseguir integralmente Exemplo 51 Considerese o ima e a bobina em corte da figura 54 Quando o ima é aproximado como em a e b o fluxo indutor aumenta no interior da bobina Entao a fem gerada tem um sentido tal que a corrente induzida produz um fluxo induzido cujo sentido é oposto ao fluxo original tentandomantélo constante ou seja tentando impedir o crescimento do fluxo indutor na bobina Observandose os polos gerados pela bobina vése que os mesmos tendem a impedir que o ima se aproxime para nao aumentar o fluxo Neste momento esta expresso o principio da conservacgdo da energia Para obter a corrente induzida e portanto a energia elétrica tornase obrigato6rio o consumo de energia mecanica para vencer esta forca de repulsdo e contraria ao movimento do fma A oposigao a variagao do fluxo se manifesta como uma oposicao a aproximagao do ima Considerese agora o ma afastandose da bobina fig54 como em c e d Quando o fluxo indutor na bobina diminui a fem induzida produz uma corrente que produz um fluxo induzido que tenta impedir o decréscimo do fluxo original produzindo desta vez um fluxo induzido no mesmo sentido do fluxo indutor Observandose novamente os polos gerados na bobina é possivel ser verificado que as forcas agora sao de atragéo mas também se opdem ao movimento do ima Isto exige 0 gasto de energia mecanica para manter a variacao de fluxo indutor na bobina e assim manter a geracao de energia elétrica por meio da agdao magnética Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 99 Podemos concluir que quando a variagao de fluxo indutor é positiva acréscimo a fem produz corrente que produz fluxo em sentido contrario ao anterior e que quando a variacgao de fluxo indutor é negativa decréscimo a fem produz corrente que produz fluxo no mesmo sentido do anterior Assim sendo podese enunciar a lei de Lenz também de outra forma A feminduzida se op6e 4 propria causa que a gerou Com relacgao a efeitos mecanicos o fluxo induzido tem sempre sentido tal a causar uma Oposiao ao Movimento mecanico que deu origem a fem Matematicamente este fendmeno fisico deve ser expresso pelo sinal na equacao de Faraday A 52 eN Ae At do mies ntide campo ma sent i repelide induzido pelo movimnenta c ima sera atraido do nk a ima sera repe doin indusido Bobo movimento a do ima sentide sentida da corrente induzida da corrante induzica sentido sentido 1 do cal tica d ima sera atraido do campo magnético b 0 ima sera repelido paces nent induzigo polo movimento CS m Gti sa tet i eo 4c p CONS i l ed ol 7 da coments Indizida pe A ga corrante induzida OC Figura 54 Aplicagao da Lei de Lenz Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 100 55 Fem mocional e fem variacional Nas andalises feitas até o momento a variacao de fluxo sempre foi obtida a partir de movimento relativo entre a bobina e o ima A forcga eletromotriz induzida por este processo é classificada como sendo fem mocional O termo mocional vem do inglés motion que significa movimento Em muitas situag6es a variacgao de fluxo ocorre devido a variagao de corrente no circuito elétrico Em consequéncia disto a forga eletromotriz induzida é denominada fem variacional Nas segdes que seguem serao analisadas as duas situagdes e suas aplicacdes praticas 551 Forca Eletromotriz Mocional 90 tt Z 9 90 A Fy x icon 1 i j Figura 55 Fem induzida por corte de fluxo A figura 55 mostra um condutor retilfneo que é deslocado por um agente externo dentro do campo magnético de indugao B da posiao ab para a posicao ab O condutor retilineo esta em contato com dois outros condutores formando um sistema de trilhos que estao ligados aos terminais de um resistor Na andlise que segue sera desprezada qualquer forga de atrito durante 0 movimento do condutor retilfneo Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 101 O conjunto forma uma espira retangular que sofre uma variacao de fluxo devido a variacao da area da espira Conforme a Lei de Faraday a variagao de fluxo induz fem na espira Assim a Lei de Faraday pode ser enunciada de outra forma Quando um condutor deslocase dentro de um campo magnético cortando as linhas de forca é induzida neste condutor uma fora eletromotriz Esta forma de interpretar a Lei de Faraday é bastante pratica para o estudo de maquinas elétricas girantes tais como os motores e geradores elétricos Considerandose que o angulo entre 0 movimento do condutor e as linhas de forga é de 90 a variacgao do fluxo Ad é dada por AoBASBAx1 53 Onde AS é a variacao de area Ax é 0 deslocamento do condutor e é o seu comprimento Usandose a Lei de Faraday temse que A Onde X e NB1 N1 pois se trata de espira Unica AxAt v velocidade do condutor Portanto temse que eB1v 54 A fem induzida e Volts em um condutor retilineo que se desloca perpendicularmente as linhas de forga do campo depende do comprimento do condutor I metros da velocidade com que ele é deslocado v metrossegundo e da indugao magnética que este esta submetido B Tesla O sentido da fem induzida pode ser determinado de forma pratica através da Regra de Fleming da mao direita Os trés dedos sao colocados a 90 entre si de modo que estes apontem os seguintes sentidos A e polegar velocidade do condutor v B A e indicador indugéo magnética B A Pa e médio fem induzida e fk 3 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 102 O desenho da figura 55 pode ser apresentado de outra forma Fig56 Figura 56 Aplicando corretamente a v Regra de Fleming da mao direita observase que a fem induzida esta entrando no condutor pela extremidade mostrada Se o condutor for movimentado paralelamente as linhas de forga como na Figura 57 nao havera corte de linhas de forga portanto nao havera fem induzida v Figura 57 Nao ha fem induzida no condutor e0 Considerese agora que o condutor é movimentado de tal maneira que o vetor que representa a velocidade do condutor forma um angulo com o vetor que representa o vetor inducao magnética fig58 B v in Figura 58 Movimento do condutor o forma um angulo com as linhas de forga Vi Decompondose a velocidade em duas componentes uma perpendicular as linhas de forga v e outra paralela as linhas de forga v2 temse V1 vsen O V2 VCOS O Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 103 A fem induzida é determinada somente pela componente perpendicular as linhas de forga uma vez que nao ha corte de linhas de forga associado 4 componente paralela sendo eBlv ou onde e fem induzida V B inducao magnética T 1 comprimento do condutor m v velocidade do condutor ms angulo entre o movimento do condutor e as linhas de forcga Exemplo 52 Na figura 59 o condutor faz parte de um circuito elétrico fechado com resisténcia R01Q A indugao magnética entre os polos do ima é 05T 5000 Gauss Calcule a A fem induzida no condutor médulo e sentido b Acorrente no circuito médulo e sentido e a poténcia elétrica gerada c A forca eletromagnética que se opde ao movimento mddulo diregao e sentido e a poténcia mecanica Pmec FV necessdria consumida para deslocar o condutor fff Se eee rs ei tA t v 8 meg Figura 59 Exemplo 52 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 104 5511 Aplicacao pratica da fem mocional Alternadores A geracao de fem para alimentagao de grandes cargas acontece nos Geradores de Corrente Alternada ou Alternadores O funcionamento destas maquinas esta baseado na Lei de Faraday e serve como exemplo pratico da fem mocional ou rotacional A fem variavel porque o angulo de corte das linhas de forga é variavel e também inverte seu sentido porque os condutores ao girarem deslocamse ora para um lado ora para outro em relac4o ao campo magnético Portanto a fem e a corrente por ela produzida sdo senoidais Eevee olares a f 7 a N lS cE F r A Escova GQ Espira Anel Coletor Carga I Gali Figura 510 Gerador de CA elementar A Sa EET te O WF ox RAE yw as CG 6 O los ans o O a c NZAs t A s Le 4 aa ee 5 re n b WY d Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 105 a BOtéiiéE oO A to UMA ROTACAO TENSAO OU 0 180 l270 360 CORRENTE GERADA I y 4 i Figura 511 Um ciclo de tensao gerada por um Gerador de CA elementar 552 Forca Eletromotriz Variacional Como ja comentamos a fem variacional nao esta associada ao movimento mas sim a variacgado de corrente no circuito elétrico Associados a esta variagao de corrente estao os fendmenos de autoinducao e muituainducao 5521 AutoInducao Suponhase uma bobina sendo ligada e desligada de uma fonte de corrente continua conforme a figura 512 qe 4b O O Se oNo Vv Vv Corrente crescendo Corrente diminuindo Figura 512 Fem induzida por variacao de corrente Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 106 O fechamento e a abertura da chave provocam uma variacao de corrente que por sua vez produz uma variacao de fluxo Conforme a Lei de Faraday a variacao do fluxo induz fem na bobina ou seja existe uma fem devido ao fendmeno denominado autoinduao Segundo a Lei de Lenz esta fem tenta impedir a variacao da corrente para tentar impedir a variacao do fluxo No instante em que a chave é ligada a corrente cresce e o fluxo também Segundo Lenz a fem induzida atua em sentido contrario a corrente para nao deixala crescer Ja no desligamento da chave a corrente diminui entao a fem age no mesmo sentido da corrente para nao deixala diminuir Concluise que a autoindugao introduz no circuito um efeito de inércia opondo se a variacao da corrente Fatores que influenciam na fem de autoinducao O fluxo produzido pela bobina é determinado pela Lei de Hopkinson Ni o RK Onde Ké a relutancia magnética oposio a passagem das linhas de fora para maior detalhamento vide capitulo 4 A fem induzida depende do nimero de espiras e da taxa de variaao do fluxo A eN Ag At Portanto a fem de auto inducao é diretamente proporcional a taxa de variagao da corrente A Ni N Ai eN 4 At XK KR At O termo N7 6 denominado de indutancia e representado por L portanto N 56 L RK Ai 57 oe pet 57 At Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 107 onde e fem de autoindugao Volts V Ai At taxa de variagao da corrente Ampéresegundo As L indutancia Henry H N numero de espiras R relutancia magnética AeWb A fem de autoindugaéo depende da indutancia e da taxa de variacao da corrente Por sua vez a indutaéncia depende do quadrado do numero de espiras e da relutancia do circuito magnético Indutancia L A indutancia é um parametro que relaciona a fem autoinduzida com a taxa de variagao da corrente A indutancia é a medida da oposiAo a variacao da corrente inércia da corrente Esta definigao é a que tem maior aplicaao pratica na Eletrotécnica A comparagao com a inércia nos sistemas mecanicos é muito boa e pode ser bem explorada Quando um corpo esta em repouso e desejase colocalo em movimento é necessario aplicar nele uma forca maior do que aquela necessaria para mantélo em movimento Verificamos isto claramente quando empurramos um automovel Por outro lado quando tentamos frear este mesmo corpo observamos uma certa dificuldade em paralo Isto se deve a inércia do corpo ou seja a oposiao que ele apresenta a variagao da sua velocidade A inércia de um sistema mecanico é diretamente proporcional a sua massa Um fenédmeno analogo ocorre nos circuitos elétricos A indutancia se opde a variagado da corrente elétrica ou seja produz um atraso no crescimento ou no decréscimo da corrente Porém quando a corrente esta constantea indutancia nao se manifesta ou seja nao interfere no funcionamento do circuito A indutancia é algumas vezes desejdvel e outras vezes indesejavel Existem componentes com o claro objetivo de inserir a indutancia no circuito elétrico Estes componentes sao denominados indutores O indutor nada mais é do que uma bobina com ntcleo magnético ou naomagnético dependendo da aplicacgao A indutancia a resisténcia e a capaciténcia sdo os parametros basicos dos circuitos elétricos e determinam o funcionamento dos mesmos Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 108 L Fi C a b c Figura 513 Simbolos do Indutor a do Resistor b e do Capacitor c Exemplo 53 Uma bobina de 200 espiras esta enrolada em um ntcleo magnético com relutancia de 40 000 AeWb Calcule a aindutancia da bobina b a fem de autoinducgao intensidade e sentido quando a corrente varia de 100mA para 200mA em Ims 5522 MutuaInducao Considere que na figura 514 a corrente na bobina é subitamente interrompida por agao da chave S el 2 PPP PTT TT bohina 1 bobina 2 at 7 at iF Ft Ft MY s R 0 5 s 7TH Figura 514 Fem de mtituaindugao produzida pela abertura da chave S Considerando que o fluxo produzido pela bobina enlaga a bobina 2 a variagao da corrente na bobina 1 induz fem na bobina fem de autoindugao e também induz fem na bobina 2 denominada fem de mutuainducao A fem de mttua Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 109 inducao faz circular corrente pela bobina 2 que por sua vez produz um fluxo de reagao oposto a variacgdo do fluxo da bobina 1 Na figura 513 a abertura da chave produz diminuicgao de Portanto 2 atua no mesmo sentido de tentando impedir a sua variacao Exemplo 54 Considerando que na figura 514 a chave é fechada determine a o sentido de 6 b 0 sentido de 02 c o sentido de ip de e2 e de e s Th V Figura 515 Fem de mutuainducao produzida pelo fechamento da chave S Fatores que influenciam na fem de miituainducao A fem de mutuainducao na bobina 2 é produzida pela variagao de corrente na bobina 1 Definese indutanciamtitua M como sendo a constante que multiplicada pela taxa de variagao da corrente em um circuito determina a fem induzida em outro circuito proximo Ai 58 e M At Considerando que o acoplamento magnético seja perfeito ou seja que todo o fluxo produzido pela bobina enlace a bobina 2 também podese determinar a fem de mutua induao através da Lei de Faraday Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 110 Agl e N At Usandose a Lei de Hopkinson A N4A NN Ai e N vty 1 21 At KR At e fazendose as devidas substituigdes temos din NaN Ai At KR At M NN K Sabendose também que N2 Lay N VL N2 VL Kal LK l Ni VLR de modo que M obtemos M JLL A equaao acima considera um acoplamento perfeito entre as bobinas ou seja que todo o fluxo produzido por uma bobina atravessa a outra bobina Como isto nunca ocorre na pratica devese utilizar um fator de acoplamento entre as bobinas M kJLL 59 Onde M indutancia mutua H L e L indutancias proprias das bobinas e 2 respectivamente H k coeficiente de acoplamento 0 k 1 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 111 Quando o coeficiente de acoplamento for proximo de 1 dizse que as bobinas estao firmemente acopladas Isto ocorre quando as bobinas estado enroladas uma sobre a outra em um nucleo de alta permeabilidade Quando as bobinas nao possuem nticleo magnético estao muito afastadas eou dispostas de maneira que o fluxo miituo seja nulo o coeficiente de acoplamento é nulo Exemplo 55 Nas figuras a e b abaixo diga e justifique onde k0 e onde k1 Be IOQ00 J OOOO 36662 a J ee Reod R008 RB OOOO a b Figura 516 Coeficiente de Acoplamento Concluise que a indutancia mtitua depende das indutancias individuais das bobinas do coeficiente de acoplamento ou seja da distancia e da disposicao das bobinas Exemplo 56 Considere duas bobinas com L 2H Lz 2H e k09 Se a corrente na bobina varia de 10A para 11A em Ims calcule a afem de autoinducao na bobina 1 b afem de mtituaindugao na bobina 2 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 112 5523 Aplicacées praticas dos fenédmenos de autoinducaéo e mutuainducéo Os fendmenos de autoindugao e mQtuaindugao estao presentes em praticamente todos os equipamentos eletromagnéticos O transformador e o reator convencional da lampada fluorescente séo exemplos claros de utilizagao destes fendmenos 55231 TRANSFORMADOR 1 Definicao Equipamento elétrico que por indugao eletromagnética transforma tensdo e corrente alternada entre dois ou mais enrolamentos com a mesma freqiiéncia e geralmente com diferentes valores de tensdo e corrente NBR 5356 31 2 Utilizacao O transformador é basicamente utilizado para adequar a tensdo as necessidades do usuario por um processo simples e com rendimento de quase 100 Ele é entao usado nas usinas para elevar a tensdo para centenas de kV a fim de diminuir as perdas na transmissao Na distribuigao tem a finalidade de rebaixar a tensdo ao nivel que o sistema requeira chegando a valores baixos o suficiente para garantir a seguranca dos usudrios Também 6é utilizado em circuitos eletrénicos fontes casamentos de impedancias etc 3 Principio de funcionamento O transformador é constituido de dois ou Meo mais enrolamentos eletricamente isolados entre si fm Ly porém acoplados magneticamente através de um A Ai A anci Ie EE nucleo de pouca relutancia que canaliza o fluxo de y A Z Ae A 1 tt 4 um enrolamento até o outro Um dos enrolamentos Lt tp V2 A r Ai r recebe excitagio de uma fonte CA geralmente A 4 D7 senoidal que gera no mesmo um fluxo magnético To Hz O varidvel que se concatena com o outro enrolamento eX gerando no mesmo uma fem de mutua indugao Figura 517 Parte ativa de um transformador Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 113 As fem nos dois enrolamentos sao proporcionais ao nimero de espiras de cada um As tens6es nos terminais s4o muito proximas dos valores das fem devido as pequenas quedas de tensdo internas Assim podese dizer na maioria dos casos praticos que vi N 4 Vv N Também se pode provar que as correntes nos enrolamentos sao inversamente proporcionais ao seu nimero de espiras de forma que as fmms primaria e secundaria se contrabalancem ou seja no enrolamento de maior nimero de espiras temse maior tensAo e menor corrente e no outro o contrario Assim as poténcias no secundario e no primario sao consideradas iguais P1P2 até que se queira fazer uma andlise mais apurada de perdas I Ny 1 IT Ny a Considerase enrolamento primdério o enrolamento que recebe energia e secundario 0 enrolamento que fornece energia Quando o primario trabalha com maior tensao que o secundario dizse que o transformador é rebaixador e quando for o contrario elevador Na verdade qualquer dos enrolamentos pode ser o primario porque o transformador é uma maquina reversivel s6 dependera de que lado vem a energia 55232 REATOR ELETROMAGNETICO DA LAMPADA FLUORESCENTE O reator um equipamento auxiliar utilizado em conjunto com as lampadas de descarga lampadas fluorescentes vapor de merctirio vapor de s6dio e vapor metalico que tem como objetivo limitar a corrente na lampada e fornecer caracteristicas elétricas adequadas Os tipos de reatores encontrados no mercado sao eletromagnéticos e eletr6nicos A correta aplicagao dos reatores garante um melhor desempenho para os projetos elétricos e luminotécnicos contribuindo diretamente para a manutencao do fluxo luminoso e a vida Util da lampada Sera estudado apenas o reator eletromagnético o qual utiliza os princfpios da fem variacional Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 114 O reator eletromagnético é constituido por um ntcleo laminado de aco silicio com baixas perdas e bobinas de fio de cobre esmaltado ou de aluminio Geralmente sao impregnados com resina de poliéster adicionado com carga mineral tendo um grande poder de isolagao e dissipacao térmica O reator eletromagnético pode ser de dois tipos de partida convencional ou de partida rapida Y Reator Eletromagnético Partida Convencional O reator fornece por alguns segundos uma tensao nos filamentos da lampada para préaquecélo em seguida com a utilizagéo de um starter proporciona o acendimento da lampada fluorescente Y Reator Eletromagnético Partida Radpida Neste tipo de partida os filamentos sao aquecidos constantemente pelo reator o que facilita 0 acendimento da lampada em um curto espaco de tempo Neste caso nao é necessario 0 uso do starter Main light switch a ce Starter Electrode ie ee r ae ae Eis cee a i eae Ne a ae A ies Ce ae i Phosphor coating ce Te eee oe a Re 3 Glass tube sg YS S a eo Re Electrode i Ee Ballast ee coil of wire gs ene Sad télectron flow Figura 518 Ligacao da lampada fluorescente com reator convencional Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 115 56 Exercicios 1 Enuncie a Lei de Faraday 2 Calcule a fem induzida média numa bobina de 1000 espiras quando o fluxo no seu interior varia de 10mWb para 20mWb em um intervalo de 0 1segundo Resposta e 10 V 3 Enuncie a Lei de Lenz 4 Em cada uma das figuras abaixo represente a o fluxo indutor b o fluxo induzido c acorrente induzida d a polaridade e da bobina e a forca atragdo ou repulsdo entre bobina e ima a v R R v 4 R Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 116 5 Um condutor deslocase perpendicularmente a um campo magnético de induao 015 T com uma velocidade de 100 ms O seu comprimento é de 20 cm e é conectado a um circuito de resisténcia 02 Calcule a afeminduzida Resposta e3V b acorrente elétrica induzida Resposta i15A c a poténcia elétrica desenvolvida Resposta 45W d a forga eletromagnética de oposiAéo ao movimento Resposta045N e a poténcia mecanica utilizada Resposta 45W 6 Usando a regra de Fleming da mao direita descubra o sentido da fem induzida nos seguintes casos V condutor ttteeeetttts V etter tt G V ttttee 444 N S tetet treet v P N tetetytt Vv 7 Desenhe um gerador de corrente alternada elementar indicando 0 nome de todas as partes e explique o funcionamento 8 Cite o tipo de conversao de energia feita pelos geradores elétricos 9 Explique o que é autoindugao 10 O que é indutancia De quais fatores depende a indutancia de uma bobina 11 Uma bobina de 500 espiras esta enrolada em um nticleo magnético com relutancia de 60000AeWb Calcule a a indutancia da bobina Resposta 417H b a fem de autoindugao intensidade e sentido quando a corrente varia de 400mA para 200mA em2ms Resposta 417V Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 117 12 Explique o que é mutuaindugao 13 O que é indutanciamtitua De quais fatores depende a indutanciamtitua 14 Considere duas bobinas com L 05 H Ls 075 H e k08 Se a corrente na bobina varia de 18A para 16A em 2ms calcule a a fem de autoinducao Resposta 500V b a fem de mtituaindugao Resposta 4899V 15 Indique o sentido da fem induzida em cada bobina no instante em que o interruptor S é aberto S 5 r q LD b dq q LD b dP as caper gp LD C N q OE q b qd 16 Em um circuito uma bobina possui 2000 espiras Se num intervalo de tempo de 025s o fluxo reduzir de 625mWb para 375mWb qual sera a fem induzida de acordo com FaradayLenz 17 E induzida em um condutor de 20cm uma fem de 5V Este condutor se movimenta a 30 das linhas de forga com uma velocidade de 50ms e é conectado a um circuito com resisténcia de 010 Determine a A indugao magnética e seu sentido b A corrente elétrica e seu sentido k 30 c A poténcia elétrica consumida x d A forga de oposigao ao movimento e seu sentido e A poténcia mecanica utilizada Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 118 18 Uma bobina 1 com 1000 espiras esta disposta em um nucleo magnético com relutancia de 50000 AeWb Uma bobina 2 com 2500 espiras esta disposta no mesmo nticleo e apenas 80 do fluxo produzido em atravessa 2 Determine a A indutancia prépria da bobina 1 b A indutancia propria da bobina 2 c A fem autoinduzida na bobina se a corrente nesta bobina variar 3 As d A indutancia mtitua e a fem de mitua indugao na bobina 2 19 Um transformador monofasico possui 500 espiras no primario e 250 espiras no secundario Sabendo que a tensdo no primario é 138kV e que a poténcia do transformador é 25kW e que nao existem perdas Determine a A relacdo de transformagao a b A tensao secundaria c As correntes primaria e secundaria se 0 transformador estiver a plena carga Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 119 6 PERDAS NOS CIRCUITOS MAGNETICOS 61 Perdas por Correntes de Foucault correntes parasitas Um circuito elétrico quando submetido a uma variacao de fluxo magnético no seu interior é induzido de fem Os circuitos geralmente sio formados por espiras convenientemente isoladas de forma que a fem e a corrente induzidas sao canalizadas a um circuito consumidor Martignoni Eletrotécnica p271 e p403 Os circuitos elétricos muitas vezes sdo enrolados sobre um nicleo de material ferromagnético a fim de diminuir a relutancia do circuito magnético e favorecer a criagado de campos intensos Como um material ferromagnético também é um condutor elétrico se houver variagdes de fluxo haveraé indugao de fem na massa metdlica Este nticleo comportase como um circuito elétrico fechado de baixissima resisténcia um curto circuito logo as fem darao origem a fortes correntes dentro do nicleo magnético O sentido dessas correntes é tal que 0 seu campo magnético opdese a variagao do campo magnético indutor As correntes estaéo portanto num plano perpendicular a diregao do campo magnético Na fig1 temse por exemplo o fluxo crescendo dentro do nucleo com o sentido indicado As correntes parasitas farao aproximadamente o percurso mostrado a fim de criar um campo induzido em sentido contrario ao do indutor Estas correntes causam uma grande dissipagao de calor que geralmente nao tem uso nenhum mas consome energia Z A Z Z Wz corrente ne L fluxo S iY CA Figura 61 Nucleo macico com correntes parasitas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 120 Um procedimento tradicionalmente feito para reduzir as correntes de Foucault pronunciase fucd é fazer o circuito magnético de chapas isoladas em vez de ser macio A isolagao pode ser feita por fina camada de verniz oxidagao natural da chapa e outros materiais mais evoluidos A laminagao deve ser no sentido do fluxo para nao aumentar a relutancia e também para que o isolante fique transversal ao sentido da corrente e com isto dificultar a sua circulacao iY chapa isolante CA Figura 62 Circuito magnético laminado com correntes As correntes de Foucault nao tém um caminho bem definido portanto o seu equacionamento bastante dificil Resultados experimentais tém mostrado que as perdas por correntes parasitas podem ser expressas pela seguinte equacao Pp kpByft 61 Onde Pp perdas por correntes parasitas Wattskg kp constante que depende da resistividade do material BM inducao magnética maxima T f freqiiéncia Hz t espessura das laminas mm Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 121 Podemse reduzir as perdas Foucault das seguintes maneiras 1 Usando chapas isoladas de pequena espessura 2 Aumentando a resistividade do material pelo acréscimo de pequenos percentuais de silicio ao ago 1 a 5 3 Trabalhando com indugAo relativamente baixa 4 Usando freqiiéncia baixa quando for possivel Como se pode ver nao é possivel eliminar as correntes parasitas e sim reduzilas a ponto de serem suportaveis 612 Aproveitamento das correntes parasitas As correntes parasitas geram calor e forgas contrarias ao movimento sendo que em certas circunstancias podem ser benéficas tal como acontece nos seguintes equipamentos 1 Forno de indugdo Neste equipamento o material a ser fundido é colocado dentro do forno onde um campo magnético varidvel de frequéncia geralmente alta 400 a 1000Hz induzlhe correntes parasitas que 0 aquece até o ponto de fusao Geralmente estes fornos sao usados para fundicgaéo de materiais com baixo teor de impurezas 2 Figura 63 Forno de Induao Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 122 2 Freio de instrumentos Quando um condutor é movido dentro de um campo magnético gerase uma fem e uma corrente se 0 circuito estiver fechado O sentido desta corrente induzida é tal que se geram forgas em sentido contrario ao deslocamento do condutor Em varios instrumentos este principio é aproveitado para que o seu ponteiro ou mecanismo de mediao tenha um movimento amortecido lento Ex O disco e o ima dos medidores de energia elétrica residencial ou industrial LAB T fg HOLA DE Le fRETENCAD af SqAMDEZA ie a ih f acto ad all nas es lie a ng he en TAPES conrare enon fee fe i ffooee er Ge OPERA I C Oy ies ity RETOGNA i 3 Fan PT A re ao MANCAL DE PEDAA Cy PECA POLAR Figura 64 Medidor de energia elétrica 3 Aquecedor indutivo para rolamentos O aquecedor indutivo aproveita o calor gerado pelas correntes parasitas para aquecer o rolamento de forma que este dilate e aumente seu didmetro permitindo seu encaixe no equipamento de maneira adequada x A oe 7 f oy a7 Figura 65 Aquecedor Indutivo para Rolamentos Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 123 62 Histerese Magnética e Perdas por Histerese Magnética Considerese uma bobina enrolada em um nucleo magnético A bobina é alimentada por uma fonte que permite variar o valor da corrente e inverter o seu sentido Neste ensaio sup6ese que o material é magneticamente virgem ou seja nunca tenha sido magnetizado antes Inicialmente aumentase a corrente nabobina aumentando o campo indutor H A inducao vai crescendo segundo a curva 0 até que seja atingida a saturagdéo magnética quando todos os dominios estao orientados Reduzse 0 campo indutor e a indugao decresce porém o retorno nao acontece sobre a linha original e sim segundo a linha 12 Quando 0 campo indutor se anula H 0 ainda resta certa indugdao ou seja mesmo sem campo indutor externo os imas elementares se mantém parcialmente orientados Definese como Inducao Residual ou Remanente como sendo a inducao que se mantém quando o campo indutor é anulado Para anular a inducao residual devese inverter a corrente aplicar um campo indutor ao contrario e ir aumentando gradativamente até que a indugao anulese B 0 O campo indutor capaz de levar a inducao residual a zero é chamado de campo coercitivo ou forga coercitiva Hc Aumentandose 0 campo indutor H no sentido negativo chegase a saturacao do material em sentido contrario ponto 4 Reduzindose a excitagao da bobina magnetizadora a densidade magnética B diminui até chegar ao ponto 5 H 0 sobrando uma indugado residual Br negativa Para anular esta induc4o residual devese inverter 0 campo indutor e aumentdlo até alcanar Hc Continuandose a aumentar o campo indutor chegase novamente a saturagao no sentido positivo Como se percebeu o valor da induao segue o valor do campo indutor H com certo atraso ou seja quando H chega a zero B ainda nao chegou H atinge valores negativos antes dos valores de B atingirem Histeresis em grego significa atraso por isto 0 lago de histerese magnética tem este nome sendo também chamado de ciclo de histerese Na figura 216 é apresentado um laco de histerese tipico De modo geral quando o material nao esté magnetizado seus dominios magnéticos estao dispostos de maneira aleatoria Porém ao aplicarse uma forca magnetizante os dominios se alinham com 0 campo aplicado Se invertermos o sentido do campo os dominios também inverterao sua orientacgao Ao inverter sua orientaao os Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 124 dominios precisam superar 0 atrito e a inércia Ao fazer isto dissipam certa quantidade de energia na forma de calor que é chamada de PERDA POR HISTERESE Quanto maior a forca coercitiva mais dificil se torna a desmagnetizacgao do material e portanto mais perdas ocorrem Podese provar matematicamente que a area dentro do laco de histerese representa as perdas histeréticas Assim para o trabalho com corrente varidvel ou alternada é necessario que o lacgo seja 0 mais estreito possivel para que as perdas sejam o menor possivel Na figura 217 é apresentado um grafico com a representacgao das perdas por histerese magnética BT Bur i 1 27 H 0 i 6 H Aem H AM 3 H c H M ib 4 Bar Figura 66 Laco de Histerese B s aa Figura 67 Perdas por histerese magnética Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 125 A maioria dos autores expressa as perdas histeréticas por uma equacaéo com coeficientes empiricos Martignoni Eletrotécnica Py kBuf 62 Onde P perdas histeréticas Watts kg ky coeficiente que depende do material coef de Steinmetz Bm inducao maxima T f freqiiéncia Hz Para redugao dessas perdas devese usar material de baixa forga coercitiva indugao magnética baixa material nao saturado e reduzir a frequéncia da variacao do fluxo quando for possivel A curva BH dos materiais é que diferenciam as suas propriedades para fabricacao de fmas e de eletroimas Os imas permanentes ideais devem ter alta coercitividade para que sejam dificeis de serem desmagnetizados e alta remanéncia para que apresentem uma boa inducgao de trabalho Os imas reais dificilmente apresentam as duas caracteristicas completas juntas Os materiais mais usados em mas permanentes sao Aco com alto teor de carbono Ferrite Alnico Samario Cobalto NeodimioFerroBoro Para fabricar eletroimas 0 importante é que a inducao seja alta para pequenos valores de H alta permeabilidade e que a coercitividade e remanéncia sejam pequenas para que quando a corrente seja extinta a inducdo residual anulese facilmente O material ideal para eletroimas deve ter portanto o lago de histerese representando uma reta que passa pela origem e tenha grande inclinagao grande permeabilidade Para fabricagao de eletrofmas so usados normalmente aodoce e o agosilicio Estes materiais tém alta permeabilidade e pequena fora coercitiva porém possuem alta indugao residual 0 que nao chega a ser um problema pois é facilmente reduzida ja que a forga coercitiva é muito baixa if ELETROIM Y TERM H Figura 68 Caracteristica do lago de histerese de mas permanentes e eletroimas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 126 63 Exercicios 1 Descreva o fendmeno de perdas por correntes parasitas ou correntes Foucault abordando a causas de sua existéncia b consequéncias advindas do fendmeno 2 Cite as quatro maneiras possiveis de reduzirse as perdas por correntes parasitas 3 Cite dois equipamentos que baseiam seu principio de funcionamento nas correntes parasitas 4 Explique o que é perda por histerese magnética respondendo ao que se pede a Quais as causas b Quais as consequéncias 5 Cite as trés formas possiveis de reduziremse as perdas por histerese magnética 6 Defina indugao residual e fora coercitiva 7 Desenhe os lagos de histerese de materiais proprios para a construcgaéo de imas permanentes e eletroimas e justifique 8 Porque um material magnético com forca coercitiva alta é ruim para trabalho em um eletroima alimentado com corrente alternada 9 Cite materiais tecnicamente adequados para a construgao de fmas permanentes e eletroimas Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 169 APENDICE A1 Unidades do Sistema Internacional Tabela A1 Unidades no Sistema Internacional Fora fmewton UN Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 170 A2 Multiplicadores em Base 10 Tabela A2 Multiplos de Submiultiplos em base 10 Fator Prefixo Simbolo 1074 0000 000000000000 000000001 yocto y 107 0000 000000 000 000 000 001 zepto z 10 0000 000000000 000 001 ato a 10 0000000000 000 001 fento f SUBMULTIPLOs 10 0000000000001 pico B 10 0000000001 nano n 10 0000001 micro ul 10 0001 mili m 107 001 centi c 10 01 deci d 10 1 10 10 deca da 10 100 hecto h 10 1000 quilo k 10 1000 000 mega M MULTIPLOS 10 1000000000 gia G 10 1000000000 000 tera T 10 1000 000000000 000 peta P 10 1000 000 000 000 000 000 exa E 1077 1 000 000 000 000 000 000 000 zetta zZ 10 1000000000000000 000000000 yotta Y A3 Conversao de Unidades Areas e Volumes Tabela A31 Tabela de conversao de areas ft fF Tabela A32 Tabela de conversaéo de volumes i tTt tt tt rt mT rT Tabela A33 Tabela de conversdo de dreas em base 10 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 171 Tabela A34 Tabela de conversao de volumes em base 10 A4 Calculo de Perimetros 2p e Areas A Quadrado A ladoxlado 2p lado lado lado lado Retangulo A base xaltura 2p base base altura altura Triangulo A base x altura 2 Circunferéncia Aaxraio ou A xx didmetro4 2p 2x1x raio A5 Revisao Trigonometria a a cei Figura 3a Angulo nulo Figura 34 Angulo agudo Figura 3c Angulo recto a 0 90 a 90 Figura 3d Angulo obtuso Figure 3 Angulo raso Figura 3 Angulo giro 90 180 a 180 a 360 fp a a B a Fi Figura 3 Angulos complementares Figura 34 Angulos suplementares Figura 34 Angulos vertic opostas a i 180 a f or a f a f 360 Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 172 Teorema de Pitagoras eo a eyah D ax cams a Seno de Eo qunciente de comprmento do cutete aposia ao dngulo a pelo comprimento da hipetenusa de widegula Se stds yp eeeeorteeeeni le hipowenusa ih Osene de a pode aparecer com uma das seguintes representagdes seme sitet set er site at b Cosene de Eo queciente do comprimento do cateto adjacente an dngulo a pelo comprimento da hipotenusa de tridingulo ou seja con Em geral o coseno de ot aparece com uma das duas representaghes Coser cost at c Tangente de Eo queciente dos comprimentos de catcto pew pelo catete adfacenie ou aeja pei bine ene pe Es 5 catetoadjacente sh bt E usual representar a tangente de ade uma des seguintes manciras tanez tam ar tiger tpt ca d Cotangente de E definida come o recipeoco da iangente de ot lila a Calele oposbin A omtangeme dea pode aparecer representada de uma das maneiras aeguintes cotan a cotg oh cota cong ar Pelas definigdes em cp ed segunda as definighes em a e bi poderos ver ainda que a ees Lasniar oplgiah e Stcante cosecante de gq Definemse ainda as funghes seeante de oe cosecante de of como feapectivamenic j i L ih i e i A secame pode ser represemtada por scct seca A cosecame pode ser represemada per coset a coset esc a cscer Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo 173 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ALVARENGA B MAXIMO A Curso de Fisica Sao Paulo 3 Ed Harbra 1994 vol3 ARNOLD R Fundamentos de Eletrotécnica S40 Paulo EPU 1976 vol3 FOWLER R Eletricidade Principios e Aplicacdes S40 Paulo Makron Books 1992 vol1 e vol2 TAVARES A M BRAUNSTEIN S H Apostila de Eletromagnetismo Curso de Eletrotécnica Centro Federal de Educacgao Tecnoldgica de Pelotas 2005 TAVARES A M BARBOZA L V BRAUNSTEIN S H Apostila de Andalise de Circuitos Curso de Eletrotécnica Centro Federal de Educaga4o Tecnoldgica de Pelotas 2005 GUSSOW M Eletricidade Basica SAo Paulo 2 Ed Makron Books 1996 MARTIGNONI A Eletrotécnica Rio de Janeiro 7 Ed Globo 1985 WOLSKI BELMIRO Fundamentos de Eletromagnetismo Rio de Janeiro 1 Ed Ao Livro Técnico 2005 MEDEIROS FILHO Solon de Medico de Energia Elétrica 3 Ed Rio de Janeiro Editora Guanabara 1976 483 p MEDEIROS FILHO Solon de Fundamentos de Medidas Elétricas 2 Ed Rio de Janeiro Editora Guanabara 1986 307 p Apostila Eletricidade III Eletromagnetismo