Circuito RLC Série em Corrente Alternada: Fundamentos e Aplicações

Sumário Introdução 5 O circuito RLC série em corrente alternada 6 As tensões no circuito RLC série 9 Impedância do circuito RLC série 13 A corrente no circuito RLC série 15 Ressonância 17 Circuito RLC série na ressonância 22 Largura da faixa 25 Apêndice 27 Questionário 27 Bibliografia 27 Espaço SENAI Missão do Sistema SENAI Contribuir para o fortalecimento da indústria e o desenvolvimento pleno e sustentável do País promovendo a educação para o trabalho e a cidadania a assistência técnica e tecnológica a produção e disseminação de informação e a adequação geração e difusão de tecnologia Integração Fortalecer o trabalho em equipe é essencial para a consecução dos objetivos e satisfação dos clientes externos e internos Série de Eletrônica 5 Introdução Os aparelhos de som produzidos atualmente dispõem de muitos recursos e são ligados a caixas de som de alta qualidade de forma que os sons graves são reproduzidos em um altofalante e os agudos em outro Como é que esta separação entre graves e agudos acontece Certamente esta pergunta já foi feita inúmeras vezes A resposta a essa pergunta está nos circuitos compostos por resistores capacitores e indutores denominados de circuitos RLC Este fascículo tratará do circuito RLC série e suas características visando a fornecer os fundamentos indispensáveis para que seja possível compreender fenômenos como a separação de graves e agudos Para ter sucesso no desenvolvimento do conteúdo e atividades deste fascículo o leitor já deverá ter conhecimentos relativos a Indutores Capacitores Representação fasorial de parâmetros elétricos Circuito RLC série em corrente alternada 6 O circuito RLC série em corrente alternada Um capacitor ligado em corrente alternada provoca a defasagem entre a corrente e a tensão A tensão é atrasada 90º em relação à corrente como ilustrado na Fig1 o o Vc Vc Ic Ic 90 90 Fig1 Defasagem entre corrente e tensão provocada por um capacitor Um indutor ligado em CA também provoca uma defasagem entre tensão e corrente A tensão é adiantada 90º em relação a corrente como mostrado na Fig2 o o 90 VL VL I L I L 90 t Fig2 Defasagem entre corrente e tensão provocada por um indutor Série de Eletrônica 7 Comparando os gráficos fasoriais do capacitor e do indutor verificase que os efeitos são simétricos entre si Em relação à corrente o capacitor atrasa a tensão e o indutor adianta Esta oposição entre os efeitos faz com que os circuitos formados por um resistor um indutor e um capacitor ligados em série tenham um comportamento particular em CA Este comportamento pode ser estudado tomandose como referência o circuito RLC série mostrado na Fig3 R C L Fig3 Circuito RLC série Como o circuito é série a corrente elétrica é tomada como referência por ser única em todo o circuito A corrente circulante provoca uma queda de tensão no resistor VR I R que está em fase com a corrente como ilustrado na Fig4 L R C VR I R VR t I VR I Fig4 Queda de tensão em R Circuito RLC série em corrente alternada 8 A corrente provoca também uma queda de tensão no indutor VL I XL A queda de tensão no indutor está 90º adiantada em relação à corrente como ilustrado na Fig5 L R C VL I x X L I Fig5 Queda de tensão no indutor Da mesma forma ocorre uma queda de tensão no capacitor VC I XC A queda de tensão no capacitor está 90º atrasada em relação à corrente como pode ser visto na Fig6 L R C VC IXC I Fig6 Queda de tensão no capacitor Série de Eletrônica 9 As tensões no circuito RLC série No circuito RLC série existe uma única corrente I e três tensões envolvidas VR VL e VC conforme mostram os gráficos senoidal e fasorial da Fig7 Fig7 Gráficos senoidal e fasorial dos circuitos RLC série Desses gráficos observase que a tensão no indutor e no capacitor estão em oposição de fases Retirando dos gráficos a corrente e a queda de tensão no resistor podese ver claramente na Fig8 que VL e VC estão em oposição de fases Circuito RLC série em corrente alternada 10 Fig8 Queda de tensão no indutor e queda de tensão no capacitor em oposição de fases As tensões VL e VC em oposição de fase atuam uma contra a outra subtraindose Esta subtração entre VL e VC pode ser observada na prática medindose os valores de VC e VL isoladamente e depois medindose o valor VC VL como ilustrado na Fig9 L R C C VL V L R C L C V V 21V 64V 43V Fig9 Tensão resultante VC VL Na Fig9 a tensão resultante entre L e C é capacitiva porque a tensão VC é maior que a tensão VL Com base na subtração entre VL e VC o sistema de três fasores VR VL e VC pode ser reduzido para dois fasores VC VL e VR ou VL VC e VR Esse comportamento pode ser visto nas Fig10 Série de Eletrônica 11 a b Fig10 a Circuito RLC onde o efeito capacitivo é maior que o indutivo e b circuito RLC onde o efeito indutivo é maior que o capacitivo A partir do sistema de dois fasores defasados entre si de 90º a tensão total VT pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras 2 C L 2 R 2 T V V V V 2 C L 2 R T V V V V 1 Note que nesta equação os termos VL e VC devem ser colocados sempre na ordem maior menos o menor VL VC ou VC VL de acordo com a situação Isto é importante no momento em que for necessário isolar um dos termos VL ou VC na equação Circuito RLC série em corrente alternada 12 A seguir são mostrados dois exemplos de utilização da equação de tensão total Exemplo 1 Determinar a tensão total aplicada ao circuito da figura abaixo Solução 2 2 T 2 C L 2 R 2 T 30 70 50 V V V V V VT 64V Exemplo 2 Determinar o valor da queda de tensão no resistor Solução 2 C L 2 T R 2 R 2 C L 2 T 2 C L 2 R 2 T V V V V V V V V V V V V 2 2 R 50 20 V VR 458V Observe que VL VC foi tratado com um único termo para o dimensionamento da equação L L C R C R V V V 50 V 70 V 30 V L L C C R V V 50 V 60 V 80 V Série de Eletrônica 13 Impedância do circuito RLC série A equação para determinar a impedância de um circuito RLC série pode ser encontrada a partir de um estudo do seu diagrama fasorial Dividindose cada um dos fasores VL VR e VC pela corrente I temse I V X L L I V R R I V X C C Os valores XL R e XC dão origem a um novo gráfico fasorial ilustrado na Fig 11 dividido por I V I X x L L R XC XL V I X x C C V I X x R R Fig11 Diagrama fasorial de XL R e XC Pelo novo gráfico fasorial observase que XL e XC estão em oposição de fase Circuito RLC série em corrente alternada 14 Com base nesta observação o sistema de três fasores XL R e Xc pode ser reduzido apenas para dois conforme ilustrado na Fig12 XL X X L C R XC a X L X X L C R R X C b Fig12 a Circuito RLC onde XL XC e b XC XL A partir do sistema de dois fasores defasados entre si de 90º a resultante pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras 2 C L 2 X X R Z 2 Nesta equação os termos XL e XC devem ser colocados na ordem maior menos o menor conforme a situação XL XC ou XC XL Série de Eletrônica 15 A CORRENTE NO CIRCUITO RLC SÉRIE A corrente no circuito RLC série depende da tensão aplicada e da impedância do circuito conforme estabelece a Lei de Ohm para circuitos de corrente alternada Z V I T 3 A seguir são mostrados dois exemplos que ilustram a utilização das equações da tensão total e da corrente no circuito RLC série Exemplo 3 Determinar Z I VR VL e VT no circuito da figura abaixo Solução XL 2 f L XL 628602 XL 754 C f X 2 1 C 1 327 XC 2 L C 2 X X R Z 2 2 754 1327 1000 Z Z 1153 Z V I T 1 153 120 I I 0104A VR I R VR 0104 1000 VR 104V VL I XL VL 0104 754 VL 78V VC I XC VC 0104 1327 VC 138V L C R 120 V 60 Hz 2 F 2 H 1 k Circuito RLC série em corrente alternada 16 Os resultados podem ser conferidos aplicandose os valores de VR VL e VT na Eq1 da tensão total 2 2 2 L C 2 R T 78 138 104 V V V V VT 12007V O resultado confere com o valor da tensão aplicada comprovando que os valores de VR VL e VC estão corretos A pequena diferença 007V se deve aos arredondamentos realizados nos cálculos Exemplo 4 Determinar Z I VR VL e VC no circuito da figura abaixo Solução 1592 2 1 C C f X XL 2 f L 2512 2 C L 2 X X R Z 2 2 1592 2512 1200 Z Z 1512 Z V I T 1512 50 I I 00331A VR I R VR 00331 1200 VR 397V VL I XL VL 00331 2512 VL 831V VC I XC VC 00331 1592 VC 527V Os resultados podem ser comprovados solicitandose os valores de VR VL e VT na Eq1 da tensão total L C R 12 k 50 V 1 kHz 100 nF 04 H Série de Eletrônica 17 Ressonância A reatância de um indutor cresce à medida que a freqüência da rede CA aumenta Por exemplo para um indutor de 1H conectado a um gerador de sinais temse a relação apresentada na Tabela 1 Tabela 1 Relação entre freqüência do gerador e reatância de um indutor de 1H Freqüência do gerador Reatância do indutor 500 Hz 3140 1000 Hz 6280 1500 Hz 9420 2000 Hz 12560 Colocandose os dados em um gráfico observase que a reatância de um indutor cresce linearmente com o aumento da freqüência como ilustrado na Fig13 05 1 2 5 10 f khz 15 X k L Fig13 Reatância indutiva versus freqüência do gerador Circuito RLC série em corrente alternada 18 A reatância de um capacitor decresce com o aumento da freqüência do gerador de CA Por exemplo para um capacitor de 002F conectado a um gerador de sinais temse a relação apresentada na Tabela 2 Tabela 2 Relação entre a freqüência do gerador e reatância de um capacitor de 002F Freqüência do gerador Reatância do capacitor 500 Hz 15923 1000 Hz 7961 1500 Hz 5307 2000 Hz 3980 A colocação dos valores num gráfico mostra a queda da reatância capacitiva com o aumento da freqüência como ilustrado na Fig14 05 1 2 5 10 15 f kHz 15 X k C Fig14 Reatância capacitiva versus freqüência do gerador Série de Eletrônica 19 Sobrepondose os gráficos da reatância capacitiva e reatância indutiva verificase que existe uma determinada freqüência na qual XL e XC são iguais como mostrado na Fig15 05 1 2 5 10 15 f khz 15 k X X C L Fig15 Freqüência para qual XL e XC são iguais Esta freqüência onde XL XC é determinada de freqüência de ressonância representada pela notação fR Freqüência de ressonância fR é aquela em que XC e XL são iguais Qualquer circuito que contenha um capacitor e um indutor em série ou em paralelo tem uma freqüência de ressonância A equação para a determinação da freqüência de ressonância de um circuito LC pode ser deduzida a partir do fato de que XL XC ou seja C f L f R R 2 1 2 Desenvolvendose a proporção temse que C L f 2 R 4 1 C L f 2 1 R 4 Circuito RLC série em corrente alternada 20 onde fR freqüência de ressonância em hertz L indutância em henry C capacitância em farad Note que se a capacitância for dada em F a freqüência de ressonância em Hz será calculada pela seguinte equação C L f 2 000 1 R A seguir são apresentados dois exemplos de cálculo da freqüência de ressonância Exemplo 5 Determinar a freqüência de ressonância do circuito da figura abaixo Solução 1 50 28 6 000 1 2 000 1 R C L f fR 22522Hz Podese conferir o resultado calculandose os valores de XL e XC em 22522Hz 1F em 22522Hz XC 70702 05H em 22522Hz XL 70719 A pequena diferença se deve aos arredondamentos realizados nos cálculos L C 1 F 05 H Série de Eletrônica 21 Exemplo 6 Determinar a freqüência de ressonância do circuito da figura abaixo Solução C L f 2 000 1 R 0 047 0 01 28 6 000 1 R f fR 73475Hz L 10 mH C 47 nF Circuito RLC série em corrente alternada 22 Circuito RLC série na ressonância O comportamento de um circuito RCL série na freqüência de ressonância pode ser estudado tomandose como base um circuito RLC série qualquer ligado a uma fonte de CA A Fig16 mostra um circuito RLC série L C R Fig16 Circuito RLC série A impedância do circuito RLC série é dada pela Eq2 2 C L 2 X X R Z Se o gerador fornece uma CA na freqüência da ressonância temse XL XC 2 2 C L 2 R X X R Z Portanto em circuito RLC na freqüência de ressonância Z R Série de Eletrônica 23 A Fig17 mostra o gráfico do comportamento da impedância de um circuito RLC série em CA f Hz 100 200 200 400 600 800 1000 300 400 500 Z f 251 Hz Z 470 R 50 V R C L 470 1 F 04 H Fig17 Impedância versus freqüência em circuito RLC série em CA O que se verifica é que na freqüência de ressonância capacitor e indutor se anulam mutuamente fazendo com que a impedância seja mínima e igual ao valor do resistor Um circuito RLC série tem a impedância mínima na freqüência de ressonância Isto significa que na ressonância circula a corrente máxima em um circuito RLC série conforme mostra o gráfico da Fig18 L C R 470 50V 1 F 04 H f Hz f I 106 mA R máx 100 200 20 40 60 80 100 300 400 500 I mA Fig18 Corrente máxima no circuito RLC série na ressonância A seguir é mostrado um exemplo de cálculo de circuito RLC série na ressonância Circuito RLC série em corrente alternada 24 Exemplo 7 Determinar a corrente máxima que pode circular no circuito da figura abaixo se a freqüência do gerador for variável Determinar também as tensões VAB VBC e VAC na ressonância Considere 7345 Hz como sendo a frequência de ressonância Solução A corrente máxima do circuito RLC série ocorre na ressonância ou seja onde Z R Portanto Z V I T Como na ressonância Z R temse que 220 10 Imáx Imáx 4545mA VAB VL I XL XL 2 f L 628 7345 0047 2169 VL 004545 2169 9858V VBC VC I XC XC 2169 igual a XL VC 004545 x 2169 9858V VAC VL VC 9858 9858 0 Concluise que a tensão fornecida pela fonte está aplicada sobre o resistor VR I R VR 004545 220 VR 10V L C R 10 V 220 10 nF 0047 H B C A Série de Eletrônica 25 LARGURA DA FAIXA A largura de faixa denominada em inglês de bandwidth é definida como a faixa de freqüência em que a corrente do circuito RLC série se mantém em um valor maior que 707 da corrente máxima I Imáx 0707 A determinação da largura de faixa no gráfico típico de corrente do circuito RLC série aparece na Fig19 f f R I I 0707 I largura da faixa máx máx Fig19 Largura de faixa A largura de faixa depende da capacitância do capacitor e da indutância do indutor De acordo com os valores utilizados é possível estender ou comprimir a largura de faixa de um circuito RLC como mostrado na Fig20 f f f f R R I I Largura da faixa Largura da faixa Fig20 Variação da largura de faixa Circuito RLC série em corrente alternada 26 Esta característica é aproveitada para realizar a seleção de freqüências A Fig21 mostra como é possível obter um circuito seletor de freqüência L C entrada saída R Fig21 Circuito seletor de freqüência Nesse circuito a tensão de saída VR atinge o seu valor máximo na freqüência de ressonância decrescendo à medida que a freqüência aplicada a entrada se afasta da freqüência de ressonância Este principio é aproveitado em filtros para caixas de som Série de Eletrônica 27 Apêndice QUESTIONÁRIO 1 Esboce os gráficos senoidal e fasorial das tensões e das correntes de um circuito RLC série em corrente alternada 2 Como se determina a impedância de um circuito RLC série 3 O que se entende por frequência de ressonância 4 Para que frequência ocorre a impedância mínima em um circuito RLC série BIBLIOGRAFIA DAWES CHESTER L Curso de Eletrônica Corrente Alternada A course in electrical engineering Trad de João Protásio Pereira da Costa 18a ed Porto Alegre Lobo 1979 vol4 VAN VALKENBURG NOOGER NEVILLE Eletricidade Básica 5a ed Rio de Janeiro Freitas Bastos 1960 vol 4 ilust