Análise de Sistemas em Tempo Contínuo: Resposta de Entrada Nula

Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Maicon Vaz Moreira email maiconmoreiraifm gedubr Resposta de entrada nula Sistemas lineares e não lineares Discutiremos a análise no domínio do tempo de sistemas lineares contínuos invariantes no tempo LCIT Análise de Sistemas em Tempo Contínuo A resposta pode ser expressa como a soma de duas componentes a componente de entrada nula e a componente de estado nulo A componente de entrada nula e a resposta do sistema quando a entrada xt 0 É resultado somente das condições internas do sistema tal como as energias armazenadas as condições iniciais Em contraste a componente de estado nulo é a resposta do sistema a entrada externa xt quando o sistema está em estado nulo Significando a ausência de qualquer energia interna armazenada ou seja todas as condições iniciais são zero Análise de Sistemas em Tempo Contínuo A resposta de entrada nula 𝑦0𝑡 é a solução da equação diferencial quando a entrada xt 0 A equação acima mostra que a combinação linear de 𝑦0𝑡 e suas N derivadas sucessivas é zero para todo t Tal resultado é possível se e somente se 𝑦0𝑡 e todas as suas N derivadas sucessivas forem da mesma forma Caso contrário a soma não será zero para todos os valores de t Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Somente a função exponencial possui a propriedade necessária para ser solução da equação Assim assumiremos como como solução a equação abaixo Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Para uma solução não trivial dessa equação a resposta de entrada nula pode ser expressa por Logo uma solução genérica é dada por Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Para encontrar a solução precisamos encontrar os valores de 𝜆𝑖 e os coeficientes 𝑐𝑖 A equação Q𝜆 0 é chamada de equação característica do sistema 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑁 são chamados de raízes características do sistema As exponenciais 𝑒𝜆𝑖𝑡i 1 2 n da resposta de entrada nula são os modos característicos do sistema Existe um modo característico para cada raiz característica do sistema e a resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Exemplo Determine 𝑦0𝑡 a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguinte equação diferencial quando as condições iniciais são 𝑦00 0 𝑦0 0 5 Passos Polinômio característico Raízes características Modos característicos Encontrar c1 e c2 utilizando as condições iniciais Resposta de entrada nula Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Se as raízes forem idênticas ou complexas conjugadas o método que aprendemos não é mais válido Raízes idênticas Para sistemas cujas raízes são idênticas a resposta de entrada nula se altera para a seguinte forma A quantidade de termos dentro dos parênteses é a quantidade de raízes idênticas Se são apenas duas raízes repetidas por exemplo Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Exemplo Determine 𝑦0𝑡 a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguinte equação diferencial quando as condições iniciais são 𝑦00 3 𝑦0 0 7 Passos Polinômio característico Raízes características Resposta de entrada nula genérica Encontrar c1 e c2 utilizando as condições iniciais Resposta de entrada nula Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Raízes complexas conjugadas A resposta de entrada nula correspondente a este par de raízes complexas conjugadas é Para um sistema real a resposta 𝑦0𝑡 também deve ser real Isso é possível apenas se c1 e c2 forem conjugados Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Exemplo Encontre 𝑦0𝑡 para o sistema abaixo quando as condições iniciais são 𝑦00 2 e 𝑦00 1678 Para solução seguimos os mesmos passos dos exemplos anteriores Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Nos exemplos anteriores as condições iniciais 𝑦00 e 𝑦0 0 foram fornecidas Em problemas práticos devemos determinar tais condições a partir da situação física Por exemplo em um circuito RLC podemos ter as condições iniciais diretamente tensões iniciais dos capacitores correntes iniciais dos indutores etc Até o momento assumimos que a entrada começa em t 0 Logo t 0 é o ponto de referência Condições antes da entrada e após a entrada A resposta total 𝑦𝑡 é constituída de duas componentes a componente de entrada nula 𝑦0𝑡 resposta devido apenas às condições iniciais com 𝑥𝑡 0 e a componente de estado nulo resultante apenas da entrada e com todas as condições iniciais iguais a zero Para 𝑡 0 a resposta total 𝑦𝑡 consiste apenas da componente de entrada nula 𝑦0𝑡 pois a entrada ainda não foi aplicada Logo as condições iniciais para 𝑦𝑡 são idênticas àquelas para 𝑦0𝑡 Resposta de entrada nula Análise de Sistemas em Tempo Contínuo Exemplo Uma tensão 𝑥𝑡 10𝑒3𝑡𝑢𝑡 é aplicada na entrada do circuito RLC mostrado na figura abaixo Determine a corrente de malha 𝑦𝑡 para t 0 se a corrente inicial no indutor for zero ou seja 𝑦0 0 e a tensão inicial no capacitor for 5 volts ou seja 𝑣𝑐0 5 Passos Obtenha a equação diferencial Determinar 𝑦0 0 Lembrese que 𝒚𝟎𝒕 e a corrente de malha quando os terminais de entrada estão curto circuitados de tal forma que a entrada seja xt 0 entrada nula Com as condições iniciais resolva o problema conforme os exemplos anteriores A corrente do indutor não pode variar instantaneamente na ausência de um impulso de tensão logo 𝑦00 𝑦0 0 𝑣𝑐0 𝑣𝑐0 5 Referência LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares Editora Bookman 2ª edicão 2007 Capítulo 2 21 22 23 e 24