Capítulo 2: Transformada Z e suas Aplicações

Capítulo 2 2 Transformada Z Neste capítulo será abordada a transformada e a transformada inversa de Z 21 Método da Transformada Z O método da Transformada Z transforma equações diferenciais temporais em equações algébricas no domínio discreto Aqui serão tratados sinais e sistemas lineares e com parâmetros invariantes no tempo e será assumido que o tempo de amostragem T será escolhido tal que será possível a reconstrução do sinal temporal original significando que não será levado em conta erros de processamento de sinais Para iniciar devese considerar que a discretização de um sinal temporal contínuo é dada por δ k kT t x t x kT k0 1 2 211 Transformada Z A transformada Z de uma função temporal contínua xt onde t representa apenas o eixo positivo de tempo para um tempo de amostragem T será definida por 0 k x kT z k Z x kT Z x t X z 212 Transformada Z de funções elementares Função Degrau Unitário definido como 0 t 0 t 0 1 x t Solução Aplicando a definição L 3 2 1 0 k k z z z 1 z Z1 Z x t X z Fazendo 1 G z z z z z G z z z 1 G 4 3 2 1 3 2 1 L L Portanto z 1 1 1 1 z z G z 1 Gz z zG G 1 G z G Então 1 z z z 1 1 z z z 1 z Z1 Z x t X z 1 3 2 1 0 k k L Note que esta série convergirá se z 1 Função Rampa Unitária definida por 0 t 0 t 0 t x t Solução Aplicando a definição L 3 2 1 0 k k 3z 2z T z kTz Z kT Z t X z Fazendo L L L L 4 3 2 1 4 3 2 3 2 1 1 3 2 1 z z z z G z 1 z 3z 2z z 3z 2z z z G 1 3z 2z z G Comparando com o exemplo do degrau unitário então 1 2 2 z 1 1 1 z z G G z 1 z 1 1 z z Portanto 2 2 1 1 3 2 1 0 k k 1 z Tz z 1 Tz 3z 2z T 1z kTz Z kT Z t X z L Função Polinomial na forma 0 t 0 t 0 a t x k com a constante Solução Aplicando a definição a z z az 1 1 a z a z az 1 a z Z a X z 1 3 3 2 2 1 0 k k k k L Utilizando o mesmo princípio do exemplo anterior L 3 3 2 2 1 a z a z az 1 G Portanto 1 a z a z az a z a z az 1 az G 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 1 L L Então a z z az 1 1 G 1 az G 1 1 1 Finalmente a z z az 1 1 a z a z az 1 a z Z a X z 1 3 3 2 2 1 0 k k k k L Função Exponencial na forma 0 t 0 t 0 e t x at Solução Aplicando a definição L 3 3aT 2 2aT 1 aT 0 k k akT akT at z e z e z e 1 z e Z e Z e X z Comparando com a solução do exemplo anterior é fácil notar que a eaT então aT 1 aT 0 k k akT akT at e z z z e 1 1 z e Z e Z e X z Função Senoidal definida como ω 0 t 0 t 0 t sin x t Solução Sabendose que j t j t e 2j e 1 t sin ω ω ω Aplicando a definição j t j t j t j t Z e 2j Z e 1 e 2j e Z 1 t Z sin X z ω ω ω ω ω Observe que aqui se aplicou duas propriedades da transformada Z que foi a multiplicação por uma constante e a propriedade da soma Então pela transformada Z da exponencial 1 T 2zcos z T zsin z T cos 2z 1 T sin z z z e e 1 z e e 2j 1 z e 1 1 z e 1 1 2j 1 e 2j e Z 1 t Z sin x t Z 2 2 1 1 2 1 j T T j 1 j T T j 1 j T 1 j T j t t j ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 213 Propriedades da Transformada Z Multiplicação por uma constante aXz aZ x t Z ax t Linearidade gkT fkT xkT β α então G z F z Xz β α Multiplicação por ak z X a Z a xkT 1 k Prova z X a xkT a z a xkTz Z a xkT 1 0 k k 1 0 k k k k Translação no tempo ou translação real Xz z nT Z x t n Prova 0 k k n n 0 k k nTz xkT z nTz xkT nT Z x t Definindo m kn então n m m n xmT z z nT Z x t Como xmT para m0 por definição é igual a zero Xz z xmTz z nT Z x t n 0 m m n Além disso 1 n 0 k k n xkTz Xz z nT Z x t Prova 1 n 0 k k n 1 n 0 m m n n 1 n 0 m m n 0 m m n n m m n 0 k k n n 0 k k xkTz X z z xmTz z X z z xmTz z xmTz z xmTz z nT z xkT z nT z xkT nT x t Z Exemplo 21 Achar a transformada Z do degrau unitário quando o degrau é aplicado 4 períodos de amostragem isto é para k 4 Solução como a transformada Z do degrau unitário começando em k 0 é dada por 1 z z Z1 Z x t X z O problema pede 4T Z x t X z Utilizando o teorema da translação no tempo 1 z z z X z xmTz z 4T x t Z 4 4 0 m m 4 Neste caso deve ser notado que z4 significa um atraso de tempo de 4 sem considerar qual foi o atraso de tempo utilizado Translação complexa aT 0 k k aT 0 k k akT at X ze xkT e z z xkT e x t Z e Exemplo 22 Encontrar a transformada Z de at te Solução como a transformada de t rampa unitária é dada por Xz 1 z Tz z 1 Tz Z t X z 2 2 1 1 Então pelo teorema da translação complexa 2 aT aT 1 2 aT 1 aT at 1 ze Tze ze 1 T ze Z te X z Teorema do valor inicial Se xt possui uma transformada Xz e se limXz z existe então o valor inicial x0 é dado por limXz x0 z Prova Como a transformada z de uma seqüência de números é dada por L 3 2 1 0 k k x3Tz x2Tz xTz x0 xkT z Z xkT X z Fazendo z tender ao infinito sobra apenas x0 Teorema do valor final Supondo que xkT onde x0 0 para todo k0 tenha a transformada Xz e todos os pólos de Xz estejam dentro do circulo de raio unitário com exceção de um pólo simples em z 1 isto é a condição de estabilidade que será apresentada mais à frente Então o valor final de xkT pode ser expresso por X z z lim 1 lim xkT 1 1 z k Prova Sabendose que pela definição da transformada Z 0 k x kT z k X z Z x kT Então 0 k k 1 T z x kT z X z T Z x kT Subtraindo um do outro z Xz Xz T z x kT x kT z 1 0 k k 0 k k Aplicando o limite quando z tende à unidade Xz z lim 1 T z x kT x kT z lim 1 1 z 0 k k 0 k k 1 z Como foi assumido que xk 0 para k 0 então o lado esquerdo da equação acima tornase 0 k 0 k k k 0 k k 0 k k 1 z T xkT kT x T 1 xkT x kT 1 T z x kT x kT z lim Expandindo o somatório lim xk x x 1 x2 x0 x 1 1 x x0 T xkT kT x k 0 k L Então X z z lim 1 lim xk 1 1 z k 22 Transformada Z inversa Como apresentado anteriormente quando sinais contínuos são amostrados a sua reconstrução não é única isto é parte do sinal pode ter sido perdida devido ao teorema da amostragem Por exemplo o sinal apresentado na Figura 21 como o sinal amostrado gera apenas os pontos discretos qual o sinal real 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 2 15 1 05 0 05 1 15 2 Figura 21 Sinal amostrado e suas possíveis reconstruções Assim a transformada Z de xkT ou xt gera um único Xz desde que especificado o tempo de amostragem T Por sua vez a transformada inversa de Xz gera um único xkT mas resta saber se este xkT representa a resposta esperada para xt assim podese dizer que a transformada inversa de Xz pode não gerar um único xt 221 Método de expansão em frações parciais Alguns métodos podem ser utilizados para encontrar a transformada z inversa nesta parte será abordado o método de expansão em frações parciais que consiste em expandir Xz em frações na forma mais simples possível e utilizar a tabela de transformada Z para encontrar a sua representação em tempo contínuo Exemplo 23 Encontrar a transformada z inversa de 1 1 az 1 z Xz Solução Nas tabelas de transformada Z não se encontra a função acima porém fazendo 1 1 az 1 1 z Yz Xz Utilizando a tabela de transformada z temse que k 1 1 1 a az 1 1 Z Y z Z Porém o desejado é k 1T 1 1 1 a T ykT z Y z Z Xz Z Assim 0 k 0 321 k a T ykT kT y k 1T L Para encontrar a transformada z inversa de Xz devese notar que Xz é dada da seguinte forma n n 1 n 1 1 n m m 1 m 1 1 0 m a z a a z z b z b b z b z Xz L L com m n Ou ainda n n 1 1 n m n m 1 1 n m 0 a z a z 1 b z b z b z Xz L L Colocando na forma de pólos e zeros n 2 1 m 2 1 0 p z p z p z z z z z z z b Xz L L Supondo que todos os pólos são pólos não repetidos e tenha pelo menos 1 zero na origem bm 0 então a melhor expansão será na forma n n 2 2 1 1 p z a p z a p z a z Xz L Se houver pólos repetidos supondo um pólo duplo e nenhum outro pólo a expansão poderá ser na forma 1 2 2 1 1 p z c p z c z Xz Exemplo 24 Supondo que a transformada z seja na forma 1 2z 2z z 2 z z Xz 2 3 2 As raízes do denominador que são os pólos são dadas por 1 j 3 2 1 1 portanto um pólo real e um par de pólos complexos conjugados sendo assim fazendo 1 z 1 z z a a z a a a z a a 1 z z a a z 1 z a 1 z 1 z z 2 z z z X 2 3 1 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 Portanto montando o sistema matricial para a solução 2 3 4 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 a a a 2 1 1 a a a 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 3 2 1 3 2 1 Então 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 z z 1 2z z z 1 3z z 1 z 4 1 z z 2 1 z z 3z 1 z 4 1 z z 2 3z 1 z 4 1 z 1 z z 2 z z z X Para o primeiro termo 0 k 0 321 k 4 4 1 xkT 4 1 ykT z 1 4 Yz X z z k 1 1 1 L Para o segundo termo devese notar que 2 1 1 z T cos 2z 1 T sin z t Z sin ω ω ω Aplicando o teorema da translação complexa 2 2aT 1 aT 1 aT akT z e T cos z 2e 1 T sin z e kT sin Z e ω ω ω Então comparando o segundo membro de Xz com a equação acima notase que se 1 e 2aT significando que e aT 1 e 1 2 T cos ω significando que 3 T π ω e consequentemente 3 2 T sin ω Então 2 1 1 2 2aT 1 aT 1 aT k z z 1 z 2 3 z e T cos z 2e 1 T sin z e sin 3 k 1 Z ω ω π Significando que π π 0 k 0 321 k 2 3 1 sin 3 k xkT z z 1 3z Z 2 3 1 sin 3 k z X k 2 1 1 k L Para a terceira parte utilizando a resposta anterior π π 0 k 0 321 k 1 sin 3 k 1 3 4 3 kT x z z 1 4z sin 3 k 1 3 Z 4 3 Yz X z z k 2 1 1 k 1 L Portanto a solução final fica π π 0 k 0 321 k 1 3 sin 3 k 4 3 2 3sin 3 k 4 xkT L 222 Método computacional Matlab O método apresentado aqui pode ser implementado em qualquer software ele consiste em calcular a resposta do sistema ao delta de Kronecker neste caso a resposta será numérica e em alguns casos a reconstrução pode ser retirada facilmente Exemplo 25 Calcular a transformada Z inversa de 1 2z z 2z z 1 z 2 z z Xz 2 2 2 No Matlab digitar num1 2 0 numerador den1 2 1 denominador u1 zeros130 delta de Kronecker xfilternumdenu resposta ao delta de Kronecker Solução encontrada x Columns 1 through 12 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 Columns 13 through 24 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 Columns 25 through 31 73 76 79 82 85 88 91 Neste caso a seqüência de valores é dada por 1 3k xk k0 1 2 23 Exercícios Resolvidos Exemplo 26 Encontrar a transformada Z de ω 0 t 0 0 t t cos x t Solução Sabendose que 2 e e t cos j t j t ω ω ω e que 1 t j t e z 1 1 Z e ω ω e 1 t j t z e 1 1 Z e ω ω Então 1 T 2zcos z T zcos z z e 1 1 e z 1 1 2 1 t Z cos 2 2 1 t 1 t ω ω ω ω ω Exemplo 27 Encontrar a transformada Z do sinal que tem a seguinte representação em Laplace 1 s s 1 X s Neste caso das tabelas de transformada de laplace inversa temse que t 1 e 1 X s L t 0 Então a transformada Z fica e 1z z z e 1 z e 1 1 z 1 1 e Z1 Z X s T 1 T 1 T 1 t Exemplo 28 Encontrar a transformada Z da função definida na assumindo tempo de amostragem T 1 segundo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 02 04 06 08 1 t xt Figura 22 sinal a ser discretizado Observe que há algumas possíveis soluções pois xt pode ser escrita como 3 impulsos devidamente defasados e o degrau unitário defasado de 4 instantes de tempo 4 1 kT 3 0 75 kT 2 kT 50 1 0 25 kT xkT δ δ δ Aplicando a transformada Z em cada termo 2 1 5 1 1 4 3 2 1 z 1 4 z z z 1 z 4 3z 2 z 4 z Z xkT Ou então como uma reta iniciando em 0 menos uma reta negativa iniciando em 4 4 4 kT 1 4 kT 1 xkT Aplicando a transformada Z em cada termo 2 1 5 1 2 1 5 2 1 1 z 1 4 z z z 1 z 4 1 z 1 z 4 1 Z xkT 24 Exercícios Propostos Exercício 21 Obter a transformada Z de a e at a 1 1 t x b t2e at t x c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 02 04 06 08 1 t xt Exercício 22 Considerando a seguinte função de transferência discreta 2 1 1 1 40 z 31 z 1 z 1 z Xz Determinar a Valor inicial x0 b Valor final x c A transformada Inversa j EQUAÇÕES DIFERENÇA Nos sistemas contínuos as funções se relacionam por meio de equações diferenciais Nos sistemas discretos as sequências se relacionam por meio de equações diferença Uma equação diferença pode ser escrita de dois modos A Usando termos em atraso tais como y n 1 y n 2 x n3 B Usando texntos em avanço tais como yn 1yn 2xn 3 Por conveniência usaremos a forma em avanço DEFINIÇAOUma equação diferença linear e invariante no tempo em avanço é uma expressão do tipo yn Na1yn N 1 aNlyn IaNyn 1 bNMun MbNMlun M 1 bNlunl bNun onde un sequência de entrada yn sequência de saida M S N condição de causalidade DEFINIÇAO A ordem de uma equação diferença é dada pela diferença entre o maior e o menor argumento da saída y Na equação 1 acima temos OrdemnNnN NOTA A equação 1 é válida para qualquer n logo se substituirmos n N por na expressão continuará válida e resultará na equação 2 yn a1yn 1 aNlynN 1 aN yn N bNMunN MbNMIunN M 1 bN lun N 1 bNun N 2 Que é a founa em atraso da equação 1 SOLUÇÃO RECURSIVA lliTERATIVA DE EQUAÇÃO DIFERENÇA Observe que a equação 2 pode ser expressa por yn a1yn 1 a2yn 2 aNyn N bNMunN M bNMlun N M l bNIunN lbNunN 3 Nesta equação 3 vemos que n é calculado a partir de 2Nl informações que são i Os N valores anteriores da saída ynlyn 2 yn N Os N valores anteriores de enti ada unN M IunN M 2 unN ii O valor atual da entrada un N M DEFINIÇÃO Os valores y ly 2 y N são denominadas de condições trucuus Observe que yO a1yl a2y2 aNyN bNMuN M bNMIuN M l bNluN lbNuN A expressão acima permite calcular yO conhecendose as condições iniciais e evidentemente a entrada De modo análogo podemos calcular yly2 y3 e assim recursivamente um valor a cada instante Observe que se os coeficientes a1 O i 1 2 6 N 1 forem nulos a equação e nao recurstva EXEMPLO 1 Resolver interativamente yn 1 yn 1 un operador em atraso 2 Com y 1 16 eun n 2 causal SOLUÇÃO 3 1 a n O yO yluO 2 1 y021608 b n 1 yl yO ul 2 1 yl 81 5 2 1 c n 2 y2 yl u2 2 1 13 y2 54 2 2 E assim sucessivamente EXEMPLO 2 Resolver interativamente yn 2 yn 1024yn un 2 2un 1 Comy 1 2 e y 2 lAenbada causal é un n Operador em avanço SOLUÇÃO yn 2 yn 1024ynun 2 2un 1 a n 2 yO y1024y2u02u1 yO 2024100 yO 1 76f b n 1 y1 y0024ylu12uO y1 1 760242 1o jyl 2 281 4 c n O y2 yl O 24 yO u2 2ul y2 2280241 76 221 Jy2 185761 EXEMPLO 3 Determine os 3 primeiros tetmos deyn para yn 1 2yn un Sabese que y 1 10 e que 1Ln 2 para n O Resolva iterativamente SOLUÇÃO yn 1 2yn un n 1 y02ylu1 lyO 20J n O yl 2yOuO lyl 42J n 1 y2 2yl ul ly2 861 COMENT ARIO A resolução recursiva ou interativa aqui mostrada é bastante simples Entretanto este método é útil para obtenção dos primeiros termos da sequência de saída E pouco prático se estivetmos interessados por exemplo em calcular ylOO Como fazer neste caso Usaremos a transfotmada Z