Função de Transferência em Tempo Discreto e Amostragem Impulsiva

Capítulo 3 3 Função de transferência em tempo discreto 31 Amostragem impulsiva Considerando um sinal xt que será amostrado por um amostrador conhecido como sampler de tal modo que a intervalos de tempo T conhecido como tempo de amostragem ou tempo de discretização ocorra uma leitura este sinal é dado pela Figura 31 e pode ser representado por δ 0 k kT t xkT t x Figura 31 Amostrador impulsivo Supondo que não são medidos tempos negativos devido a causalidade então a equação acima pode ser expandida como L L δ δ δ kT t xkT T t xT t x0 t x Observe que o δ representa um trem de impulsos e uma das formas de entender o fenômeno da amostragem é que o sinal xt modula o trem de impulsos para formar o sinal amostrado conforme apresentado pela Figura 32 Figura 32 Amostrador impulsivo como um modulador Agora aplicando a Transformada de Laplace no sinal amostrado δ δ δ 0 k kTs 2Ts Ts kT e x x2T e xT e 0 x 2T t x2TL T t xTL t x0L t L x s X L L Sabendose que a Transformada de laplace de um impulso defasado de a é e as a t L δ Então 0 k kTs 2Ts Ts xkT e x2T e xT e x0 s X L Definindo T ln z 1 s z eTs Então 0 k k ln z T 1 s x kT z s X O lado direito desta equação é a definição de transformada Z da seqüência xt então Xz s X ln z T 1 s Desta forma Xz T ln z X 1 32 Circuito DataHold A saída de um amostrador é um trem de impulsos mas em alguns casos isso não é desejável e o necessário seria um sinal contínuo a transformação de um sinal na forma de trem de impulsos em um sinal contínuo pode ser feito por um circuito tipo DataHold que nada mais é do que o processo de se obter um sinal contínuo xt de uma seqüência discreta xkT O circuito DataHold nada mais é do que um interpolador isto é ele gera ou mantém um sinal entre dois impulsos seguindo uma interpolação polinomial na forma 0 1 n 1 n 1 n n a a a a hkT τ τ τ τ L onde hkTτ é a saída do circuito datahold Assumindo xkT como o sinal que passará pelo circuito neste caso hkT deve ser igual a xkT para que os sinais sejam os mesmos então xkT a a a hkT 1 n 1 n 1 n n τ τ τ τ L 321 Segurador de Ordem Zero ZOH A forma mais simples de interpolação é fazendo n0 que representa um circuito de ordem zero dado por xkT hkT τ Na Figura 33 observase o resultado de um segurador de ordem zero Figura 33 Exemplo de sinal amostrado com uma reconstrução utilizando o ZOH O ZOH mantém o sinal anterior até que um novo sinal apareça então xkT t hkT Significando que a saída do circuito será igual à entrada até que ocorra outro sinal de entrada então 3T t1 2T t1 x2T t h2T 2 k 2T t1 T t1 xT t hT 1 k T t1 t1 x0 h t 0 k Então a resposta temporal do ZOH será definida como k 0 1 T k t1 kT t1 kT x 2T t1 T t1 xT T t1 t1 x0 h t L Como a Transformada de Laplace do degrau unitário atrasada de kT é dada por s e kT t1 L kTs Então a Transformada de Laplace da resposta do ZOH tornase 0 k kTs Ts 0 k k 1 Ts kTs xkT e s e 1 s e s xkT e H s Como 0 k kTs xkT e s X Então s X s e 1 s H Ts Consequentemente a função de transferência o ZOH é dada por s e 1 s X H s s G Ts ZOH 322 Segurador de primeira ordem Fazendo n1 que representa um circuito de primeira ordem dado por xkT a hkT 1 τ τ Aplicando a condição que 1 T xk 1 T hk Então 1 T xk xkT a T 1 T hk 1 Portanto T 1 T xk xkT a1 Consequentemente a equação do segurador de primeira ordem fica xkT T 1 T xk xkT hkT τ τ Como o FOH utiliza uma extrapolação linear utilizando o valor anterior e o atual para predizer o valor do próximo e além disso o valor hkT deve ser igual a xkT então T xT T x2T 1 x2T T xT x2T h2T 2 k T x0 T xT 1 xT T x0 xT hT 1 k T x0 1 x0 T x T x0 h 0 k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Que pode ser expressa convenientemente como 1 T T xk T xT 1 hkT τ τ τ Fica difícil escrever a equação sem assumir uma entrada conhecida utilizando uma entrada degrau para xt T t1 T t t1 T t 1 h t Somando e subtraindo 1tT T t1 T t1 T T t t1 T t 1 h t Aplicando a transformada de Laplace a cada um dos termos da equação acima 2 Ts Ts Ts 2 2 Ts 1 Ts e 1 s e 1 Ts e 1 Ts 1 s 1 H s Agora a transformada de Laplace da entrada xt do FOH é k 0 Ts kTs e 1 1 1 kT e s X Então a função de transferência do segurador de primeira ordem FOH fica 2 2 Ts FOH Ts 1 Ts e 1 s X H s s G Um exemplo do FOH é dado na Figura 34 Figura 34 FOH de um sinal qualquer 323 Funções de Transferência em Tempo Discreto com ZOH Supondo que antes da função Gs há um ZOH então a convolução de Gs com o ZOH é dada por G s s e 1 s X Ts Fazendo s G e s G s G e 1 s G s e 1 G s s e 1 s X 1 Ts 1 1 Ts Ts Ts Pegando apenas o último termo s G e s X 1 Ts 1 Aplicando o teorema da convolução τ τ τ t 0 1 0 1 g d t g t x onde s G L t g T t e L t g 1 1 1 Ts 1 0 δ Então τ τ τ δ t 0 1 1 g d T t t x Como o delta extrai o valor da função T t g t x 1 1 Além disso Zg1tG1Z então por definição z G z T t Z g t Z x 1 1 1 1 Porém o desejado é s Z G s z 1 G z z 1 z G z z G t Z x t Z g s G e s Z G z X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ts 1 No caso do FOH preceder a função Gs temse G s Ts 1 Ts e 1 s X 2 Ts 2 Utilizando o mesmo resultado do ZOH G s Ts 1 Z Ts z 1 G s Ts 1 Ts e Z 1 z X 2 2 1 2 2 Ts Exemplo 31 Obter a transformada Z de 1 s 1 s e 1 s X Ts Solução Como representa um ZOH 1 T 1 T 1 T 1 1 1 1 Ts z e 1 z e 1 z e 1 1 z 1 1 z 1 1 s 1 s Z 1 z 1 1 s 1 s Z 1 z 1 1 s 1 s e Z 1 z X 324 Resposta em Freqüência do ZOH A função de transferência do ZOH é dada por s e 1 G Ts ZOH A resposta em freqüência que é o diagrama de bode pode ser encontrada substituindo s por jω T 2 T 2 sin Te 2j e e e 2 2j e e 2e 2j e 2 1 j e 1 j G 1 2Tj 1 2 Tj 1 2 Tj 2 Tj 1 1 2 Tj 1 2 Tj 1 2 Tj Tj Tj ZOH ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Nas figuras abaixo ωs representa a freqüência de Nyquist isto é a máxima freqüência que o sinal ainda pode ser reconstruído adequadamente Caso o sinal amostrado apresente freqüências acima da freqüência de Nyquist o sinal discretizado apresentará erro de aliasing a FRF b diagrama de Bode Figura 35 Resposta em freqüência do ZOH O ZOH pode ser entendido como um filtro de reconstrução do sinal amostrado e ele não é um filtro passabaixo ideal Como a magnitude muda com a freqüência atenuando o sinal a medida que a freqüência aumenta o ZOH distorce o sinal isto é ele muda a amplitude e a fase do sinal de saída 33 Função de Transferência Pulsada A função de transferência FT pulsada é a função de transferência em Laplace envolvendo o amostrador Supondo que um sistema cuja resposta ao impulso seja ht tenha a entrada xt e a saída seja yt cujas transformadas de Laplace são Hs Xs e Ys respectivamente Pelo teorema da convolução temse τ τ τ τ τ τ t 0 t 0 d h x t d x h t x t h t y t Que no domínio de Laplace é dada por H s X s Y s Adicionando um amostrador em xt este é dado por δ δ k 0 0 k kT t xkT kT t x t t x Aplicando esta entrada no sistema temse que a resposta yt será a combinação de cada impulso gerado por xt em ht sendo assim kT t 0 nTxnT t h kTx kT h t 2Tx 2T h t Tx T h t h t x 0 t y k n 0 L Amostrando também a saída do sistema temse a Soma de Convolução dada por hkT xkT nThnT xkT nTxnT hkT kT y n 0 n 0 O procedimento feito até aqui é exatamente o que ocorre na Figura 36 Devese notar que Hz é a resposta do sistema ao delta de Kronecker pois se δ 0 k 0 0 k 1 kT xkT Então 1 xkT z Z kT z X 0 k k δ Significando que Yz Hz se a entrada for um impulso Figura 36 Sistema em tempo contínuo com amostradores 331 Transformada de Z de FTs incluindo o amostrador Em sistemas em tempo discreto alguns sinais do sistema são amostrados enquanto outros continuam representados em tempo contínuo que é exatamente o que ocorre na Figura 36 Sendo assim será útil calcular a função de transferência pulsada contendo amostradores em várias posições Note que na Figura 36 a resposta do sistema Ys é dada por s H s X s Y A Transformada de Laplace Inversa de Ys é dada por τ τ δ τ τ τ τ τ 0 k t 0 0 k t 0 1 hkTxkT kT d x t h x d h t s H s X L t y Aplicando a transformada Z 0 n n k 0 hkTxkT z Yz Fazendo m n k zX z H xkT z mT z h hmTxkT z z Y k 0 k m 0 m 0 m m k 0 k Significando que s s X H s H s X s Y Aplicando transformada Z tornase H z Xz Yz HzXz Yz 332 Função de Transferência em Cascata Considerando o sistema apresentado na Figura 37a supondo que os amostradores estão sincronizados Neste caso observase que s H s U s Y s G s X s U Como mostrado no item anterior encontrase s s X s G H s Y s s U H s Y s s X G s U Aplicando a Transformada Z obtémse a função de transferência HzGZ Xz Yz HzG z Xz Yz Porém aplicando o mesmo método na Figura 37b neste caso temse que s HG s X s H s G s X s Y Que resulta em s X HG s s Y Cuja transformada Z é dada por HG z Xz Yz Notase claramente que H z GZ HGz Figura 37 Sistemas em cascata Exemplo 32 Encontrar a função de transferência discreta em cascata do sistema apresentado na Figura 37 supondo a s 1 G s e b s 1 H s Para a Figura 37a temse 1 bT 1 aT z e 1 1 z e 1 1 b s 1 a Z s 1 Z HzGZ Xz z Y Para a Figura 37b temse 1 bT 1 aT 1 bT aT z e 1 z e 1 z e e a b 1 b a s s a b a b 1 Z b s 1 a s 1 Z HGZ Xz z Y Este exemplo mostra claramente que ambos são diferentes 333 Função de transferência em malha fechada Como mencionado anteriormente a amostragem pode ocorrer em qualquer etapa do processo de controle Supondo um sistema em malha fechada como o descrito na Figura 38 Figura 38 sistema em malha fechada envolvendo amostador Consequentemente s HG s E s R s H s G s E s R s E Que pode ser reescrito utilizando FT pulsada para todos os termos como s GH 1 s R s E s E HG s s R s E Como s s E G s C Então a função de transferência pulsada de malha fechada é dada por s GH 1 s G s R s C s GH 1 s R s G s s E G s C Aplicando a transformada Z encontrase a função de transferência discreta em malha fechada GH z 1 G z R z Cz 334 Função de transferência em malha fechada de controladores digitais Na prática o controlador será um controlador digital e a planta será em tempo contínuo Neste caso haverá um amostrador que discretiza o sinal através do conversor AD quando o sinal entra em uma placa controladora ou no sistema que realiza o controlador como um controlador lógico programável CLP que normalmente é implementado em tempo discreto Após a realização do controlador o sinal de controle gerado é enviado para o conversor DA que normalmente possui um ZOH para implementar a lei de controle em tempo contínuo Um caso como o apresentado aqui sem levar em conta as funções de transferência dos conversores AD e DA é dado na Figura 39 Figura 39 sistema em malha fechada envolvendo amostador No caso a função de transferência em malha fechada é dada por s s E s G G s C s s E G s G s C D D Aplicando a transformada Z z Ez GzG Cz D Como Cz GzG z Rz Cz C z R z E z D Chegando a G zGz 1 G zGz R z z C D D 335 Função de transferência pulsada de um controlador PID digital A resposta de um controlador PID no domínio do tempo é dada por te dt T d dt te T 1 te K t m d t i 0 onde et é a entrada do controlador dada pela diferença da resposta da planta e pela referência a ser seguida K é o ganho proporcional Ti é a constante de tempo do controle integral e Td a constante de tempo do controle proporcional Para se obter a função de transferência pulsada do controlador PID é necessário realizar a discretização da resposta temporal A integral será aproximada pela soma trapezoidal e a derivada será aproximada pela derivada da interpolação utilizando 2 pontos Assim T 1 T e k e kT T 2 e kT 1 T e k 2 e 2T e T 2 e T e 0 T T e kT K kT m d i L Ou então 1 T e k e kT T T 2 e hT 1 T e h T T e kT K mkT d k i h 1 Para resolver o problema devese primeiro notar que 1 i 0 h h 1 k h i xhz X z z 1 1 xh Z Prova esta transformada é comprovada fazendo xk 1 x i x i xh yk k h i L A transformada Z de cada um dos termos utilizando a propriedade da translação real k 1 i i xkz 1 z x i zi x z Y L Porém observe que definindo L L k 1 i i xkz z1 x i x i z Xz E da definição de transformada Z L 2 1 0 k k x2z x 1 z x0 xkz Zxk Xz Então obtêmse 1 i 0 h xhz h Xz Xz Por outro lado X z z 1 1 Y z X z z Y z Y z xk 1 yk yk 1 1 Pois a transformada Z de xk que começa em k i é Xz finalmente 1 i 0 h h 1 1 k h i xhz X z z 1 1 Xz z 1 1 Yz xh Z Voltando ao problema original utilizando o resultado acima e assumindo a causalidade isto é que para o tempo t 0 não há resposta do erro Ez z 1 1 E0 Ez z 1 1 e hT Z 1 1 k h 1 Ez z 1 z E0 Ez z 1 1 z 1 T e h Z 1 1 1 1 k h 1 Agora para z E z 1 T e k Z Ez e kT Z 1 Então a transformada Z do controlador PID é dada por z Ez T E z T z 1 z z 1 1 2 1 T T K E z M z 1 d 1 1 1 i Resultando em 1 d 1 1 i z T 1 T z 1 z 1 2T T K 1 Ez Mz Rearranjando os termos 1 D 1 I P 1 d 1 i i z 1 K z 1 K K z T 1 T z 1 1 T T 2T T K 1 Ez z M Onde 2 K K 2T KT K K I i p ganho proporcional i I T KT K ganho integral T KT K D D ganho derivativo A equação acima é referenciada como sendo a forma em posição Exemplo 33 Comparar a resposta ao degrau do sistema abaixo considerando o sistema com e sem o controlador PID digital na forma como apresentado na Figura 310 Figura 310 sistema em malha fechada envolvendo amostador Assumindo que o tempo de amostragem T é de 1 segundo os ganhos do controlador sejam KP 1 KI02 KD 02 e que a planta seja dada por 1 s s 1 G p Solução Primeiro devese calcular a função de transferência pulsada entre o ZOH e a planta A convolução da planta e o ZOH é dada por 1 s s 1 s e 1 G G s p ZOH Aplicando a transformada de Z 1 T 2 1 1 1 T T T 1 2 1 2 1 s p ZOH z e 1 z 1 z z Te e 1 e 1 T z 1 1 s s 1 Z z 1 1 s s 1 Z z 1 1 s s 1 s e Z 1 G G Z Esta transformada foi obtida através de tabela de transformação Item 13 fazendo a 1 Para comparar com o resultado do Exemplo 27 devese lembrar que naquele ponto estavase trabalhando com sinais que são as respostas e não as Funções de Transferência como tratadas aqui No Exemplo 27 a resposta é convolução da FT com entrada Agora substituindo os valores de T 1 e simplificando obtêmse 1 1 2 1 p ZOH 0 3679z 1 z 1 0 2642z 0 3679z G z G Z G A função de transferência do controlador PID é dada por 1 2 1 1 2 D 1 D P D I P 1 D 1 I P D z 1 20 z 41 z 41 z 1 K z z 2K K K K K z 1 K z 1 K K G z Ez z M Agora a função de transferência em malha fechada é dada por 1 D 1 I P z 1 K z 1 K K 1 1 2 1 z 1 0 3679z 1 0 2642z 3679z 0 Rz 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 D D 0 0528z 0 6642z 1 5906z 1 8528z 1 0 0528z 0 2963z 0 1452z 0 5151z 0 3679z 1 7358z 2 3679z 1 0 0528z 0 2963z 0 1452z 0 5151z 1 0 3679z 1 7358z 2 3679z 1 0 0528z 0 2963z 0 1452z 5151z 0 0 3679z 1 z 1 0 2642z 0 3679z z 1 20 z 41 z 41 1 0 3679z 1 z 1 0 2642z 0 3679z z 1 20 z 41 z 41 G z Gz 1 G zG z R z z C Programa em Matlab clear allclose allclc planta sem o sistema de controle discreto significando que a simulação é tempo contínuo num1 numerador contínuo den1 1 0 denominador contínuo figureColor1 1 1 stepnumden resposta ao degrau Planta controlada com PID digital numd0 05151 01452 02963 00528 dend1 18528 15906 06642 00528 kT0140 vetor de tempo discreto com T1 rones141 criação do degrau unitário cfilternumddendr simulação do sistema figureColor1 1 1plotkTckokTck titleUnitStep ResponsexlabelkT sylabelOutput C a sem controle b controlado Figura 311 Resposta do sistema 336 Simulação de sistemas em tempo discreto Uma função de transferência em tempo discreto pode ser representada por n n 1 1 n m n m 1 1 n m 0 n n 1 1 n m n m 1 1 n m 0 a a z z b b z b z a z a z 1 b z b z b z X z Y z L L L L n m Que também pode ser expressa na forma de pólos e zeros n 2 1 m 2 1 0 p z p z p z z z z z z z b Xz Yz L L n m Observe que n n 1 1 m m 1 1 0 a z a z 1 b z b z b Xz z Y L L Que pode ser reescrita como Xz b z b z b Y z a z a z 1 m m 1 1 0 n n 1 1 L L Aplicando a transformada inversa de Z obtémse mT b xkT T b xkT xkT b nT a ykT 2T a ykT T a ykT kT y m 1 0 n 2 1 L L Significando que a resposta atual ykT é obtida fazendo mT b xkT T b xkT xkT b nT a ykT 2T a ykT T a ykT kT y m 1 0 n 2 1 L L Deve ser lembrado que para kT 0 a resposta do sistema será zero isto é yT 0 devido à condição de causalidade Exemplo 34 Calcular a resposta ao degrau unitário em tempo discreto com T 05 para o sistema dado em tempo contínuo 1 2 s s G s Solução Das tabelas de transformada Z 0 3679 1 2131z z 0 9098z z U z z Y 0 3679z 1 2131z 1 0 9098z 1 z e 1 z T e 1 1 1 s s Z 2 2 2 1 1 1 2 T 1 T 2 Então o sistema a ser simulado é 1 12131z1 03679z2Yz 1 09098z1Uz Aplicando a Transformada Z inversa ykT 12131yk1T 03679yk2T ukT 09098uk1T Rearranjando 1 T 0 9098uk ukT 2T 0 3679yk 1 T 1 2131yk ykT Como xkT1kT então começando o processo de iteração Para k 0 ukT u0 1 ykT y0 u0 1 Para k 1 ukT u05 1 u01 ykT y05 12131y0 u05 09098u0 12131 1 09098 13033 Para k2 ukT u1 1 u05 1 ykT y1 12131y05 03679y0 u1 09098u05 1213113033 03679 1 09098 13033 Para k3 ukT u15 1 u1 1 ykT y15 12131y15 03679y1 u15 09098u1 1213113033 0367913033 1 09098 11917 Para k4 xkT u2 1 u15 1 u1 1 ykT y212131y1503679y1u209098u15 12131119103679130331 09098 10564 E assim por diante 337 Realização de Controladores digitais e filtros digitais Considerando o sistema abaixo n n 1 1 m m 1 1 0 a z a z 1 b z b z b Xz z Y L L A sua representação em diagramas de bloco ou utilizando o Simulink do Matlab é dada na Figura 312 esta realização é conhecida como padrão pois o sistema pode ser alterado para se obter outras realizações Figura 312 Função de transferência Exemplo 35 Implementar em Simulink o exemplo da Figura 310 Utilizando funções de transferência para o controlador e para a planta e finalmente a função de transferência de malha fechada Solução a função de transferência da planta é dada por 2 1 2 1 0 3679z 1 3679z 1 0 2642z 0 3679z Gz Função de transferência do controlador PID digital 1 2 1 PID z 1 20 z 41 z 41 z G Para implementar esta função de transferência da planta e do controlador utiliza se o bloco denominado Discrete Filter mas poderia ser utilizado os blocos Discrete Transfer Fcn ou Discrete ZeroPole A implementação do sistema está apresentada na Figura 313 Figura 313 Diagrama de blocos implementado em Simulink utilizando funções de transferência Para a implementação da função de transferência de malha fechada optouse pela expansão em blocos ao invés de se utilizar função de transferência para tanto devese observar que a função de transferência de malha fechada é dada por 4 3 2 1 4 3 2 1 0 0528z 0 6642z 1 5906z 1 8528z 1 0 0528z 0 2963z 0 1452z 0 5151z R z z C Observe que neste caso observase que o termo b0 é zero pois sua representação é 4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 3 3 2 2 1 1 0 MF a z a z a z a z 1 b z b z b z b z b z G Para este caso a solução se encontra na Figura 314 Figura 314 Diagrama de blocos implementado em Simulink utilizando atrasadores 35 Exercícios Propostos Exercício 31 Obter a transformada Z das seguintes funções de transferência e comparar os resultados com os valores obtidos no Matlab com T 1 e a 3 a 2 1 s s 3 s G s b 2 Ts a s 1 s e 1 G s Dica clear allclose allclc denifindo os dados da planta T02 num1 3 denconv1 1 1 2 Gstfnumden planta contínua Gzc2dGsT planta discreta Exercício 32 Calcular a Transformada Z do seguinte sinal 2 st 2 s e 1 G s Exercício 33 Calcular a Transformada Z da seguinte função de transferência 2 3s s 1 s G 2 Exercício 34 Calcular a resposta ckT para k 012345 rupondo que a entrada rkT seja um impulso e o tempo de amostragem T 1 segundo 2 1 1 50 z 1 2z 1 R z z C Exercício 35 Obter a função de transferência discreta em malha fechada dos seguintes diagramas de bloco a b Exercício 36 Calcular a função de transferência em malha fechada do seguinte diagrama de blocos Exercício 37 Calcular a função de transferência em malha fechada do seguinte diagrama de blocos