Análise do Domínio do Tempo em Sistemas de Tempo Contínuo

Sinais e Sistemas Aula 05 Analise do Domınio do Tempo de Sistemas em Tempo Contınuo Gabriel Cambraia Soares MEng email gabrielsoaresifmgedubr Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia de Minas Gerais IFMG 14 de dezembro de 2021 gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 1 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta ao impulso unitario Vimos na aula passada sobre como en contrar a reposta de entrada nula de um sistema Na aula de hoje vocˆes aprenderao a en contrar a resposta de estado nulo A resposta de estado nulo e a resposta a uma entrada externa em que as condicoes iniciais em t 0 sao nulas Pode ser determinada atraves da resposta ao impulso A resposta do sistema a um impulso xt pode ser determinada substituindo a en trada por pulsos retangulares estreitos E entao somando todas as respostas do sistema a cada componente Os pulsos retangulares se transformam em impulsos quando as larguras tendem a 0 Portanto a resposta do sistema e a soma de todas as respostas aos varios compo nentes de impulso Se soubermos a resposta do sistema a uma entrada impulsiva podemos determinar a resposta do sistema a uma entrada ar bitraria xt Discutiremos no inıcio da aula um metodo de determinacao de ht a resposta ao im pulso unitario Figura 1 Representacao de uma entrada atraves de impulsos gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 2 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta ao impulso unitario A resposta ht ao impulso e a resposta do sistema a uma entrada impulsiva δt aplicada em t 0 Com todas as condicoes iniciais zero para t 0 Uma entrada em impulso δt e como um raio o qual atinge instantaneamente e entao some Mas em seu caminho naquele momento singular os objetos atingidos sao reorgani zados Similarmente uma entrada em impulso δt aparece momentaneamente em t 0 e entao desaparece para sempre Ela resulta no armazenamento de energia Ou seja cria condicoes iniciais nao nulas instantaneamente dentro do sistema para t 0 A resposta ao impulso portanto deve constituir os modos caracterısticos para t 0 ht TMC Em que TMC sao os termos dos modos ca racterısticos Essa resposta e valida para t 0 O que acontece em t 0 No unico momento t 0 so pode haver um impulso De forma que a resposta completa ht e ht A0δt TMC Fazendo xt δt e yt ht em QDyt PDxt QDht PDδt gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 3 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta ao impulso unitario Substituindo os termos diferenciais em QDht PDδt DN a1DN1 aN1D aNht b0DN b1DN1 bN1D bNδt Substituindo ht A0δt no tempo zero DN a1DN1 aN1D aNA0δt b0DN b1DN1 bN1D bNδt A0DN A0a1DN1 A0aN1D A0aNδt b0DN b1DN1 bN1D bNδt A derivada do impulso de mais alta ordem nos dois lados e N com os valores de coeficiente A0 no lado esquerdo e b0 no lado direito Os dois valores devem coincidir Portanto A0 b0 e ht b0δt Modos caracteristicos ht b0δt PDyntut Onde ynt e a combinacao linear dos modos caracterısticos do sistema gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 4 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta ao impulso unitario ht b0δt PDyntut As condicoes iniciais para ynt sao conhecidas de acordo com a ordem N do sistema N 1 yn0 1 N 2 yn0 0 yn0 1 N 3 yn0 1 yn0 0 yn0 1 E assim por diante gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 5 19 a 7 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta ao impulso unitario Exemplo Determine a resposta ht ao Fazendo t 0 e substituindo as condides impulso para um sistema descrito por iniciais D 3D 2yt Dxt 0atea O polinémio caracteristico é T 1 2e2 ree eee Logocq leql SA4F2A1A2 Portanto As raizes caracteristicas sdo Ay le A2 2 Ynt et et A combinaao linear dos modos carac Como PD D teristicos é dada por PDynt Dynt Yn e7t 272t ee ee Pynt Dynt ynt e e Diferenciando Como bo 0 Ynt cye 2ce ht bo6t PDynut e 26 As condicées iniciais sdo yn0 1 e oo yn0 0 a 7 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta de Estado Nulo Usaremos agora os conhecimentos para A identificar a resposta de estado nulo xn J Quando todas as condides sdo zero in Vamos definir um pulso badsico pt de al tura unitdria e largura AT comecando em f t 0 Fig 2a ole Mp tende os a b Definimos a entrada xt como a soma de pulsos reta ngulares estreitos Figura 2 Determinando a resposta do sistema a uma entrada arbitraria O pulso comecando em t nAT pos sui altura xnA7T e pode ser expresso por xnA7TptnAT p Para Ar 0 0 pulso pt se aproxima de ie xt a soma de todos os pulsos um impulso 6t ogo Além disso para Art O o termo xnAr xt limas 0 Do xnArpt nr Az 67 Mas sua Area permanece 7 xnAr Logo xnAr xt lima 0 ra nrAr xt limy0 So xnAr5t nArAr 7 7 v Tt ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta de Estado Nulo Para determinar a resposta para esse impulso xt iremos a considerar a entrada e os pares de saida correspondentes we entrada saida I ae 5t At oo 6t nAr ht nAr xnArAr6t nAr xnArArht nAr limp 70 xnAr5tnATAT lima40 So lxnAr ht nA Ar nae hecuay 7 T Portanto Hi om ston adoe yt lima 0 So xnAr At nArAr wt Lt Z co OV ey WN i ht rd ERR ve f xrile 1dr ALI A RESPOSTA DO SISTEMA PODE SER ENTENDIDA COMO A Figura 3 Determinando a resposta do sistema a uma entrada arbitraria SOMATORIA DAS RESPOSTAS INDIVIDUAIS A INFINITAS EN TRADAS IMPULSIVAS DE ALTURA xnAr QUANDO Ar 0 gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 819 a 7 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta de Estado Nulo A resposta yt de estado nulo obtida é dada por uma integral que possui um nome especial integral de convoluao A integral de convoluao é representada simbolicamente pelo sinal de x co yt xt ht xrht 7dr co A resposta ao Estado Nulo do sistema yt a uma entrada arbitrdria xt pode ser obtida a partir da resposta ao impulso unitdrio ht Ou seja conhecendo ht podemos obter a resposta ao Estado Nulo do sistema para qual quer entrada xt yt é a convoluao de xt por ht Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo A operacao de convolucao pode ser compreendida analisando a interpretacao grafica Se ct for a convolucao de xt com ht entao ct xτ ht τdτ A funcao xτ e idˆentica a xt Para sabermos como ht τ se parece vamos comecar com a funcao hτ A reversao no tempo desta funcao reflexao com relacao ao eixo vertical resulta em hτ Se deslocarmos hτ em t segundos temos hτ t ht τ Portanto inicialmente fazemos a reversao no tempo de hτ hτ E entao o deslocamos no tempo por t htτ ct em t e determinada pela entrada xτ ponde rada por ht τ no pulso sombreado Mais as contribuicoes de todos os pulsos anteriores de xτ A soma de todas essas entradas e a integral de convolucao gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 10 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo Figura 4 Vıdeo explicacao grafica sobre a integral de convolucao Fonte httpsyoutubeacAw5WGtzuk gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 11 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo O procedimento para a convolucao grafica pode ser resumido por 1 Mantenha a funcao xτ fixa 2 Visualize a funcao hτ como um objeto rıgido e o rotacione ou inverta com relacao ao eixo vertical para obter hτ 3 Desloque a funcao invertida ao longo do eixo τ por t0 segundos A figura deslocada agora representa gt0 τ 4 A area debaixo do produto de xτ com gt0τ figura deslocada e ct0 o valor da convolucao para t t0 5 Repita este procedimento deslocando a figura por diferentes valores positivos e negativos para obter ct para todos os valores de t gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 12 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo Exemplo Determine graficamente yt xt ht para xt etut e ht e2tut A Fig 5 exibe xt e ht Figura 5 Entrada xt e resposta ao impulso ht A Fig 6c mostra xτ e hτ como funcoes de τ A funcao htτ e obtida deslocando hτ por t Se t for positivo o deslocamento e para a direita atraso Se t for negativo entao o deslocamento e para a esquerda avanco A Fig 6d mostra que para t negativo htτ nao so brepoem xτ Logo yt 0 para t 0 A Fig 6e mostra a situacao para t 0 quando xτ e htτ se sobrepoem O produto e nao nulo apenas no intervalo 0 τ t intervalo sombreado Figura 6 Deslocamento de ht τ gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 13 19 a 7 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta de Estado Nulo Portanto t yt f xrht 7 dr 0 Basta agora substituir as expressdes corretas para xT e ht7 na integral Sabemos que xt e e ht e Logo xr e77 e At e 27 Logo at ae ft t 2t ye f ete t MNdz eT edr e e 0 0 Além disso yt 0 para t 0 logo yt ef eut x 0 t Figura 7 Grdfico de yt C gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 1419 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo Propriedades da convolucao 1 Comutativa x1t x2t x2t x1t 2 Distributiva x1t x2t x3t x1t x2t x1t x3t 3 Associativa x1t x2t x3t x1t x2t x3t 4 Deslocamento Se x1t x2t ct entao x1t x2t T x1t T x2t 5 Convolucao com impulso xt δt xt 6 Largura Se x1t tem duracao largura T1 e x2t tem duracao T2 entao a convolucao de x1t por x2t tera duracao T1 T2 Figura 8 Propriedade de largura gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 15 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo Figura 9 Tabela de convolucao gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 16 19 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo Exemplo Determine a corrente de malha yt do circuito RLC do Exemplo 22 para a entrada xt 10e3tut quando todas as condicoes iniciais sao zero A equacao de malha para esse circuito e D2 3D 2yt Dxt Obtivemos a resposta ht ao impulso para este sistema no slide 6 ht 2e2t etut A entrada e xt 10e3tut e a resposta yt e yt xt ht 10e3tut 2e2t etut Usando a propriedade distributiva da convolucao yt 10e3tut 2e2tut 10e3tut 10etut yt 20e3tut e2tut 10e3tut etut Usando o par 4 da Tabela de convolucao yt 20 3 2 e3t e2tut 10 3 1 e3t etut yt 20e3t e2tut 5e3t etut yt 5et 20e2t 15e3tut gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 17 19 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO Resposta Total A resposta total de um sistema linear pode ser escrita como a soma das componentes de entrada nula e estado nulo N respostatotal chek xt ht k1 Em vermelho temos a componente de entrada nula e em azul a componente de estado nulo Para o circuito RLC série que usamos em varios exemplos com entrada xt 10 3ut e condicées iniciais y0 0 Vvc0 5 determinamos a componente de entrada nula Também jd determinamos a componente de estado nulo Somando as componentes de entrada nula e estado nulo temos t 2t t 2t 3t correntérora 5e 5e 5e 20e 15e 9 Estado nulo af vod 7 oe Total oY A se a te Entrada nula Figura 10 Resposta total e sua decomposiao em estado nulo e entrada nula gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 1819 Analise de Sistemas em Tempo Contınuo Referˆencias bibliograficas LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares Editora Bookman 2ª edicao 2007 BARBOSA B H G Notas de aulas sinais e sistemas Universidade Federal de Lavras 2013 NAGATA E A Notas de aulas sinais e sistemas Instituto Federal do Sul de Minas Gerais 2021 gabrielsoaresifmgedubr Sinais e Sistemas 14 de dezembro de 2021 19 19