Espaço de Estados Discreto: Teoria e Formulação

Capítulo 5 5 Espaço de Estados Discreto A representação em forma de Matrizes de Estado é um das principais ferramentas de simulação de sistemas e elas são formuladas diretamente no domínio em tempo contínuo ou discreto e não envolvem transformações para Laplace ou transformada Z 51 Introdução à formulação de estado Considerando um sistema massamolaamortecedor na forma u t ky t cy t my t Que pode ser reescrito como m u t y t y t 2 t y 2 n n ω ζω Definindo uma variável como y t t x y t t x 1 1 Definindo uma outra variável como y t t x t x y t t x 2 1 2 Substituindo na equação original e deixando somente uma variável com a derivada temporal então m u t t x t x 2 t x 1 2 n 2 n 2 ω ζω Agora escrevendo um sistema na seguinte forma m u t 1 0 t x t x 2 0 1 t x t x 2 1 n 2 n 2 1 ζω ω Ainda está faltando a resposta yt do sistema que é dada por 0 u t t x t x 0 1 t y 2 1 Que pode ser escrito da seguinte maneira Du t Cx t y t Bu t Ax t x t A forma acima é conhecida como forma de estado Como observado a transformação para a formulação de espaço de estados consistiu em transformar uma equação de segunda ordem em duas equações de primeira ordem Generalizando a transformação de espaço de estados consiste em transformar um sistema de equações de ordem n para um sistema de primeira ordem de 2n equações tornando assim mais simples a sua solução 52 Nomenclatura de Espaço de Estados Vetor de estado xt é o vetor de ordem n que contém todos os estados Vetor de saída yt é o vetor de ordem m que contém todas as respostas Vetor de entrada ut é o vetor de ordem r que contém todas as entradas Matriz de estado A é a matriz de ordem nn que contém os autovalores e os autovetores do sistema Matriz de entrada B é a matriz de ordem nr da entrada Matriz de saída C é a matriz de ordem mn da saída Matriz de transmissão direta D é matriz de ordem mr que correlaciona diretamente a entrada com a saída Então 1 r m r n 1 m n 1 m r 1 n r n 1 n n n 1 u t D x t C t y u t B x t A t x A representação em diagramas de bloco do sistema acima é dada por Figura 51 Representação em diagrama de blocos para tempo contínuo 53 Representação de Espaço de Estados discretos A formulação de espaço de estados discretos é dado por Duk Cxk yk Huk Gxk 1 xk Notase que as matrizes C e D não mudaram significando que são as mesmas matrizes para sistemas em tempo contínuo Agora supondo um sistema discreto cuja função de transferência é dada por n n 1 1 n n 1 1 0 a z a z 1 b z b z b Uz z Y L L Esta FT pode ser representada de várias maneiras em espaço de estados pois a formulação de estado não é única 531 Forma Canônica Controlável A forma canônica controlável é dada por k u 1 0 0 0 x k k x x k k x a a a a 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 x k 1 k x 1 x k 1 k x n 1 n 2 1 1 n 2 n 1 n n 1 n 2 1 M M L L M O M M M L L M uk b k x x k k x a b b b a b a b b yk 0 n 2 1 0 1 1 0 n 1 n 1 0 n n M L Se a matriz G for uma matriz de posto cheio isto é o determinante é diferente de zero o sistema é controlável caso contrário significa que pelo menos 1 dos estados não é controlável A controlabilidade significa que o sistema pode ser alterado de qualquer estado para qualquer estado em um período de tempo finito 532 Forma Canônica Observável A forma canônica observável é dada por k u a b b a b b b a b a b b x k k x x k k x a 1 0 0 a 0 0 0 a 0 0 1 a 0 0 0 1 x k 1 k x 1 x k 1 k x 0 1 1 0 2 2 0 n 1 1 n 0 n n n 1 n 2 1 1 2 1 n n n 1 n 2 1 M M L L M O M M M L L M uk b k x x k k x 1 0 0 yk 0 n 2 1 M L Para o sistema ser completamente observável a matriz G deve ser uma matriz de posto cheio A observabilidade significa que todos os estados do sistema podem ser observados ou medidos 533 Forma Canônica Diagonal Expandindo a FT em frações parciais tal que n n 2 2 1 1 0 p z c p z c p z c b Uz Yz L Então a forma canônica diagonal é dada por k u 1 1 1 k x x k k x p 0 0 0 0 p 0 0 0 p 1 k x 1 x k 1 k x n 2 1 n 2 1 n 2 1 M M L M O M L L M uk b k x x k k x c c c yk 0 n 2 1 n 2 1 M L onde pi representa os pólos do sistema 534 Forma Canônica de Jordan A forma canônica de jordan é usada quando se deseja representar o sistema na forma diagonal mas existem pólos repetidos Supondo que o pólo p1 é repetido m vezes então k u 1 1 1 0 0 k x k x k x x k k x p 0 0 p 0 0 p 0 0 0 0 1 p 0 0 0 1 p 1 k x 1 k x 1 k x 1 x k 1 k x n 1 m m 2 1 n 1 m 1 1 1 n 1 m m 2 1 M M M M L M O M L L M O M M M L L M M uk b k x k x k x c c c yk 0 n 2 1 n 2 1 M L 535 Não unicidade das matrizes de estado A representação de estado não é única isto é para um mesmo sistema na forma de função de transferência pode haver várias representações de estado Por exemplo supondo que um sistema seja observável e controlável definições que serão apresentada mais à frente então haverá uma representação na forma canônica controlável e observável Para exemplificar supondo o sistema na seguinte forma de estado Duk Cxk k y Huk Gxk 1 k x Supondo uma transformação tal que Pxˆk xk onde a matriz P é de ordem nn mesma ordem da matriz G Então Duk CPxˆk k y Huk GPxˆk 1 xˆk P Que pode ser reescrito como Duk CPxˆk yk P Huk P GPxˆk 1 xˆk 1 1 Agora definindo P GP Gˆ 1 Cˆ CP e P H Hˆ 1 Então Duk Cˆ xˆk k y Hˆ uk Gˆ xˆk 1 k xˆ Que é exatamente da mesma forma que o sistema original Se a matriz P for a matriz dos autovetores da matriz G então o sistema será diagonalizado caso isso não seja possível a matriz resultante será a matriz de Jordan 54 Simulando um sistema na forma de estado discreto Nesta parte supõese que o sistema seja linear e invariante no tempo na forma Duk Cxk k y Huk Gxk 1 k x Pegando apenas os estados do sistema para o instante inicial têmse Hu0 Gx0 x 1 Para o instante seguinte Hu 1 GHu0 G x0 Hu 1 Hu0 G Gx0 Hu 1 Gx 1 x2 2 Para o instante seguinte Hu2 GHu 1 G Hu0 x0 G Hu2 Hu 1 GHu0 G G x0 Hu2 Gx2 3 x 2 3 2 Fazendo isso para k instantes 1 k 0 j k j 1 k Hu j G G x0 xk k 1 2 3 Substituindo este resultado em yk Duk Hu j G C G x0 k y 1 k 0 j k j 1 k k 1 2 3 55 Passando de Matrizes de Estado para FT Supõese o sistema na forma Duk Cxk yk Huk Gxk 1 xk Aplicando transformada Z obtémse DUz CXz z Y HU z GXz zx0 z zX Supondo condições iniciais nulas HUz G zI X z HUz G X z zI HU z GXz zX z 1 Substituindo em Yz D Uz H G C zI DUz HUz G C zI Yz 1 1 Como a função de transferência pulsada é a relação dada por YzUz D H G C zI Uz Yz 1 Observe que se YzUz é uma matriz mr 56 Discretização de Matrizes de Estado Contínuas Em se tratando de sistemas em tempo discreto podese converter diretamente de matrizes de estado contínuas para matrizes de estado discretas Porem é necessário fazer uma revisão de matrizes antes de mostrar o processo de discretização Em se tratando de matrizes há alguns cuidados a serem tomados e algumas definições a serem compreendidas Começando com 0 k k k k k 2 2 At k A t kA t 1 2 A t 1 At I e L L Diferenciando esta solução em relação ao tempo para isso a derivada é feita termo a termo encontrase e A Ae dt e d At At At Agora três relações importantes I e e At At Bt At A B t e e e se AB BA Bt At A B t e e e se AB BA Agora obtendo a resposta para matrizes de estado contínuas isto é Bu t Ax t x t Que pode ser reescrita como Bu t Ax t x t Agora prémultiplicando por eAt Bu t e x t dt e d Ax t x t e At At At Integrando1 de 0 a t τ τ τ t 0 A At Bu d e x0 x t e Que pode ser rearranjada como τ τ τ t 0 A t At Bu d e e x0 x t A equação acima representa a solução para um sistema na forma de estado contínuo Para a solução completa basta substituir os estados xt em 1 Deve ser lembrado que a integral da derivada é a própria função aplicada os limites de integração Du t Cx t y t Para fazer o mesmo para um sistema discreto temse que HukT GxkT 1 T xk Bu t Ax t x t Para que possa ser utilizada a solução de um sistema contínuo para encontrar a solução de um sistema discreto assumese que a entrada ut entre um período e outro de amostragem é constante isto é que há um ZOH então ukT u t kT t kTT Então a solução τ τ τ t 0 A t At Bu d e e x0 x t Para o tempo kT τ τ τ kT 0 A AkT AkT Bu d e e x0 e xkT Para o tempo k1T τ τ τ 1 T k 0 A A k 1 T A k 1 T Bu d e e x0 e 1 T xk Agora fazendo τ τ τ τ τ τ kT 0 A kT AkT AT 1 T k 0 k 1 T A A k 1 T AT Bu d e x0 e e Bu d e x0 e xkT e 1 T k x Simplificando2 τ τ τ τ τ τ τ τ τ 1 T k kT A A k 1 T AT kT 0 A AkT AT 1 T k 0 A A k 1 T AkT AT A k 1 T AT Bu d e e xkT e Bu d e e e Bu d e e x0 e e e xkT e 1 T xk Supondo agora o ZOH então o tempo entre kT e k1T pode ser substituído por 0 e T dentro da integral pois o que vai variar é apenas uτ que é considerado constante Então τ τ τ T 0 A AT AT Bu d e e xkT e 1 T xk Aplicando a transformação de variável onde λ Tτ λ λ λ T 0 A AT Bu d e xkT e 1 T xk Que representa a solução da equação de estado discreta na forma HukT GxkT 1 T xk Que neste caso temse que para encontrar estas matrizes discretas necessariamente G eAT e B d e H T 0 A λ λ Pelas equações acima verificase claramente que as matrizes discretas são dependentes do tempo de amostragem 2 Deve ser lembrado que A k 1T AT AkT e e e A solução para ykT é dada simplesmente por DukT CxkT ykT Se a matriz A for não singular então I A B e I B e A B d e H 1 AT AT 1 T 0 A λ λ Exemplo 51 Considerando o sistema abaixo encontrar a representação de estado discreto e a expressão para função de transferência discreta para T 1 s 2 1 2 2 2 a a s s b 2s s 1 2 ss 1 G s Solução O primeiro passo é encontrar uma representação de estado para o sistema utilizando a forma canônica controlável t x t x 0 1 t y 1 uk 0 t x t x 2 0 1 0 t x t x 2 1 2 1 2 1 Como foi visto para as matrizes discretas têmse3 0 1353 0 0 4323 1 e 0 e 2 1 1 1 e G T 2 2T AT Outra forma de encontrar a matriz G é fazendo 2 s 1 0 2 s s 1 s 1 A sI L e 1 At Cuja transformada de laplace inversa é dada por t 2 2t 1 At e 0 e 2 1 1 1 2 s 1 0 2 s s 1 s 1 L e Então λ λ λ λ λ 4323 0 2838 0 e 2 1 1 2 1 e 2 T 1 1 0 e 2 1 1 0 2 1 e 2 T 1 T 1 0 d e 0 e 2 1 1 1 B d e H T 2 T 2 T 2 T 2 T 0 2 2 T 0 A Desta forma o sistema discreto na forma de matrizes de estado é dado por 3 0 k k k k k 2 2 At k A t kA t 1 2 A t 1 At I e L L k x x k 0 1 k y 4323 uk 0 0 2838 k x k x 0 1353 0 0 4323 1 1 k x 1 k x 2 1 2 1 2 1 Para a representação em FT discreta 0 1353 1 1353z z 0 1485 0 2838z 0 4323 0 2838 0 0 1353 0 0 4323 1 1 0 0 0 z 1 1 D H G C zI Gz Uz z Y 2 1 1 O mesmo problema pode ser resolvido utilizando o Matlab clear allclose allclc Planta contínua num1 numerador denconv0 0 11 2 0 denominador Transformando para matrizes de Estado ABCDtf2ssnumden discretizando as matrizes T1 GHc2dABT voltando para TF discreta numddendss2tfGHCD Observe que neste caso as matrizes de estado não estão na forma canônica mas o resultado em Função de Transferência deve ser exatamente o mesmo 57 Exercícios Resolvidos Exemplo 52 Para o sistema abaixo converter para matrizes de estado discretas utilizando o Matlab 10 106325s 1 6325s s 2 s s G 2 3 clear allclose allclc denifindo os dados da planta T01 num1 2 denconv1 201sqrt10 101 1 Funções de Transferencia Gstfnumden planta contínua Gzc2dGsT planta discreta Matrizes de Estado ABCDtf2ssnumden MEsssABCD empacotando MEzc2dMEsT Matrizes de estado discreta Exemplo 53 Para uma suspensão ativa representando ¼ de veículo escrever as matrizes de estado contínuas supondo que o distúrbio da via seja wt Neste caso as matrizes que regem o comportamento dinâmico do sistema são dadas por Massa Suspensa u t x x k x x c x m N S S N S S S S Masssa NãoSuspensa u t k w t k x x x k x x c x m P N P S N S S N S N N Que na forma matricial fica u t k w t t u x x k k k k k x x c c c c x x m 0 0 m p P S P S S S S P S S S S S P S N S Este caso representa um sistema MIMO duas entradas e duas saídas Definindo as variáveis de estado iniciando pelos deslocamentos S 1 S 1 x x x x e N 2 N 2 x x x x Para as velocidades S 1 3 x x x e N 2 4 x x x Com as definições acima as equações de estado são dadas por 3 1 x x 4 2 x x S 2 1 S S 4 3 S S 3 m u t x x m k x x m c x u t m 1 w t m k x m k x x m k x x m c x N N P 2 N P 1 2 N S 3 4 N S 4 Que na forma matricial fica w u m k m 1 0 m 1 0 0 0 0 x x x x m c m c m k k m k m c m c m k m k 1 0 0 0 0 1 0 0 x x x x N P N S 4 3 2 1 N S N S N P S N S S S S S S S S S 4 3 2 1 De forma geral se for sempres assumido que o vetor de estado se inicia com deslocamentos e depois as velocidades as matrizes de estado podem ser dadas a partir das matrizes dinâmicas como F t KX t CX t MX t Sendo que o vetor de estado t X X t X t E as matrizes de estado M F U 0 M C X M K I 0 X 1 1 1 A resposta do sistema deve ser dado pelo que se deseja medir supondo que seja necessário medir os deslocamentos e velocidades w u 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 y y y y 4 3 2 1 4 3 2 1 Caso seje necessário medir apenas o deslocamento da massa suspensa w u 0 0 x x x x 0 0 0 1 y 4 3 2 1 1 Exemplo 54Para o sistema abaixo encontrar as matrizes de estado As equações de movimento na forma matricial são dadas por 3 3 3 2 2 2 1 1 3 2 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 u F u u F u u F x x x k k k 0 k k k k 0 k k x x x m 0 0 0 m 0 0 0 m Portanto as matrizes de estado podem ser dadas como 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 3 3 2 3 3 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 1 6 5 4 3 2 1 u u u F F F m 1 0 0 m 1 0 0 m 1 m 1 0 0 m 1 0 0 m 1 m 1 0 0 m 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x 0 0 0 m k k m k 0 0 0 0 m k m k k m k 0 0 0 0 m k m k 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x x x